Utilización de combinaciones para calcular sumas finitas de progresiones, demostración del principio utilizado por inducción matemática aplicado a combinaciones, ejemplo específico

1. [1]
Combinatoria en las progresiones
Combinatoria en las progresiones
By Héctor L. Cervantes C.
Abstract.- Aplicación de fórmula de las combinaciones en el cálculo de suma de n términos de una
progresión. Demostración del principio aplicado y metodología del método.
Ejemplo.- Obtención de la suma de la siguiente progresión: ∑ 𝒎( 𝒎 + 𝟐)𝒏
𝒎=𝟏
∑ 𝒎( 𝒎 + 𝟐)
𝒏
𝒎=𝟏
= 𝟑 + 𝟖 + 𝟏𝟓 + ⋯ + 𝒏( 𝒏 + 𝟐)
Como: 𝒎( 𝒎 + 𝟐) = 𝒎 𝟐
+ 𝟐𝒎
Entonces: ∑ 𝒎( 𝒎 + 𝟐)𝑛
𝑚=1 = ∑ 𝒎 𝟐
+ 𝟐 ∑ 𝒎𝒏
𝒎=𝟏
𝒏
𝒎=𝟏 (1)
Cristo las potencias superiores a la unidad deben ser ajustadas al análisis combinatorio como un
producto de factores descendientes de uno en uno, es decir
𝑚2
= ( 𝒎)( 𝒎 − 𝟏) + 𝑚
Así
𝒎( 𝒎 + 𝟐) = 𝒎 𝟐
+ 𝟐𝒎 = ( 𝒎)( 𝒎 − 𝟏) + 𝑚 + 𝟐𝒎
Simplificando
𝒎 𝟐
+ 𝟐𝒎 = ( 𝒎)( 𝒎 − 𝟏) + 𝑚 + 𝟐𝒎 = ( 𝒎)( 𝒎 − 𝟏) + 𝟑𝒎
(2)
Insertando (2) en (1)
∑ 𝒎( 𝒎 + 𝟐)
𝑛
𝑚=1
= ∑ 𝒎 𝟐
+ 𝟑 ∑ 𝒎
𝒏
𝒎=𝟏
𝒏
𝒎=𝟏
= ∑ ( 𝒎)( 𝒎 − 𝟏) + 𝟑 ∑ 𝒎
𝒏
𝒎=𝟏
𝒏
𝒎=𝟏
(3)
Cristo como: (
𝒎
𝟐
) =
( 𝒎)( 𝒎−𝟏)
𝟐
despejando ( 𝒎)( 𝒎 − 𝟏) = 𝟐 (
𝒎
𝟐
) (4)
(
𝒎
𝟏
) = 𝒎 (𝟓)
Insertando (4) y (5) en (3) tenemos

2. [2]
Combinatoria en las progresiones
Cristo la expresión (3) ya está en condiciones de ser identificada como suma de dos
combinaciones (al ser ajustado su primer sumando).
∑ 𝒎( 𝒎 + 𝟐)
𝑛
𝑚=1
= ∑ 𝟐 (
𝒎
𝟐
) + 𝟑 ∑ (
𝒎
𝟏
)
𝒏
𝒎=𝟏
𝒏
𝒎=𝟏
(6)
¿Propósito de la expresión combinatoria (6)?
Cristo el propósito de expresar la suma como una suma de combinaciones es utilizar una
propiedad importante de la suma de combinaciones que tienen un mismo r para cada sumando en
particular. Y dicha propiedad se demuestra al final del artículo utilizando inducción matemática en
las combinaciones, para generalizar la suma de dos a ene sumandos para cada combinación.
Principio Matemático
𝟐 ∑ (
𝒎
𝟐
) = 𝟐 (
𝒏 + 𝟏
𝟐 + 𝟏
) = 𝟐 (
𝒏 + 𝟏
𝟑
)
𝒏
𝒎=𝟏
𝟑 ∑ (
𝒎
𝟏
)
𝒏
𝒎=𝟏
= 𝟑 (
𝒏 + 𝟏
𝟏 + 𝟏
) = 𝟑 (
𝒏 + 𝟏
𝟐
)
Cristo insertando las dos expresiones anteriores en la expresión ∑ 𝒎( 𝒎 + 𝟐)𝑛
𝑚=1 (6)
∑ 𝒎( 𝒎 + 𝟐)
𝑛
𝑚=1
= 2 (
𝑛 + 1
3
) + 3 (
𝑛 + 1
2
)
(7)
Cristo para obtener la expresión final se escribe los valores de los resultados de las combinaciones
totales finales y se simplifica (en lo posible) la expresión algebraica.
∑ 𝒎( 𝒎 + 𝟐)
𝑛
𝑚=1
= 2
( 𝑛 + 1)( 𝑛)( 𝑛 − 1)( 𝒏 − 𝟐)!
( 𝑛 + 1 − 3)! 3!
+ 3
( 𝑛 + 1)( 𝑛)( 𝒏 − 𝟏)!
( 𝑛 + 1 − 2)! 2!
Simplificando
∑ 𝒎( 𝒎 + 𝟐)
𝑛
𝑚=1
= ( 𝑛 + 1)( 𝑛) [
2( 𝑛 − 1)
6
+ 3
(1)
2
] =

3. [3]
Combinatoria en las progresiones
∑ 𝒎( 𝒎 + 𝟐)
𝑛
𝑚=1
= ( 𝑛 + 1)( 𝑛) [
2𝑛 − 2 + 9
6
] =
∑ 𝒎( 𝒎 + 𝟐)
𝑛
𝑚=1
=
𝑛( 𝑛 + 1)(2𝑛 + 7)
6
(8)
Resultado buscado
Para n=3 ∑ 𝒎( 𝒎 + 𝟐)𝑛=3
𝑚=1 = 3 + 8 + 15 = 26 (9)
Aplicando la fórmula (8) tenemos:
∑ 𝒎( 𝒎 + 𝟐)𝑛=3
𝑚=1 =
3(3+1)[2(3)+7]
6
= 26 (10)
Los resultados (9) y (10) concordaron
DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN DEL PRINCIPIO MATEMÁTICO UTILIZADO
Suponiendo que para un ”n” dado la siguiente expresión es cierta
(
𝒉
𝒉
) + (
𝒉 + 𝟏
𝒉
) + ⋯ + (
𝒉 + 𝒏
𝒉
) = (
𝒉 + 𝒏 + 𝟏
𝒉 + 𝟏
) (𝟕)
La inducción consiste en que si demuestro en base a la suposición (7) el siguiente resultado para
n+1, entonces, el resultado es cierto para cualquier número de sumandos combinatorios, es
decir:
(
𝒉
𝒉
) + (
𝒉 + 𝟏
𝒉
) + ⋯ + (
𝒉 + 𝒏
𝒉
) + (
𝒉 + 𝒏 + 𝟏
𝒉
) = (
𝒉 + 𝒏 + 𝟐
𝒉 + 𝟏
) (𝟖)
Insertando (7) en lado izquierdo de (8) tenemos:
(
𝒉 + 𝒏 + 𝟏
𝒉 + 𝟏
) + (
𝒉 + 𝒏 + 𝟏
𝒉
) =
Simplificando tenemos:
(
𝒉 + 𝒏 + 𝟏
𝒉 + 𝟏
) + (
𝒉 + 𝒏 + 𝟏
𝒉
) = ( 𝒉 + 𝒏 + 𝟏)! {
𝟏
( 𝒉 + 𝟏)! 𝒏!
+
𝟏
𝒉! ( 𝒏 + 𝟏)!
}

4. [4]
Combinatoria en las progresiones
=
( 𝒉 + 𝒏 + 𝟏)!
( 𝒉 + 𝟏)! ( 𝒏 + 𝟏)!
{( 𝒏 + 𝟏) + ( 𝒉 + 𝟏)} =
( 𝒉 + 𝒏 + 𝟏)!
( 𝒉 + 𝟏)! ( 𝒏 + 𝟏)!
( 𝒉 + 𝒏 + 𝟐)
Es decir:
(
𝒉 + 𝒏 + 𝟏
𝒉 + 𝟏
) + (
𝒉 + 𝒏 + 𝟏
𝒉
) =
( 𝒉 + 𝒏 + 𝟐)!
( 𝒉 + 𝟏)! ( 𝒏 + 𝟏)!
= (
𝒉 + 𝒏 + 𝟐
𝒉 + 𝟏
)
Q.E.D.
Cristo este es un resultado esperado
DEMOSTRACIÓN DEL FUNDAMENTO PARA DOS SUMANDOS
(
𝒉
𝒉
) + (
𝒉 + 𝟏
𝒉
) = (
𝒉 + 𝟐
𝒉 + 𝟏
) (𝟏𝟏)
Cristo ahora demuestro el principio matemático (11), de izquierda a derecha:
Tomando lado izquierdo de (11) tenemos:
(
𝒉
𝒉
) + (
𝒉 + 𝟏
𝒉
) =
𝒉!
𝒉! ( 𝒉 − 𝒉)!
+
( 𝒉 + 𝟏)!
𝒉! ( 𝒉 + 𝟏 − 𝒉)!
=
𝒉!
𝒉!
+
( 𝒉 + 𝟏 + 𝟏 − 𝟏)( 𝒉 + 𝟏)!
( 𝒉 + 𝟏) 𝒉!
= 𝟏 +
( 𝒉 + 𝟐)!
( 𝒉 + 𝟏)!
− 𝟏 =
=
( 𝒉 + 𝟐)!
( 𝒉 + 𝟏)!
=
( 𝒉 + 𝟐)!
( 𝒉 + 𝟏)! ( 𝒉 + 𝟐 − [ 𝒉 + 𝟏])!
= (
𝒉 + 𝟐
𝒉 + 𝟏
)
Q.E.D. (12)
Cristo ahora demuestro el principio (11) de derecha a izquierda
(
𝒉 + 𝟐
𝒉 + 𝟏
) =
( 𝒉 + 𝟐)!
( 𝒉 + 𝟏)! ( 𝒉 + 𝟐 − 𝒉 − 𝟏)!
=
( 𝒉 + 𝟐)( 𝒉 + 𝟏)!
( 𝒉 + 𝟏)!
=
(
𝒉 + 𝟐
𝒉 + 𝟏
) = 𝒉 + 𝟐 = ( 𝒉 + 𝟏) + 𝟏 =
( 𝒉 + 𝟏)!
𝒉!
+ (
𝒉
𝒉
) =
=
( 𝒉 + 𝟏)!
𝒉! ( 𝒉 + 𝟏 − 𝒉)
+ (
𝒉
𝒉
) = (
𝒉 + 𝟏
𝒉
) + (
𝒉
𝒉
)
Q,E.D. (13)

5. [5]
Combinatoria en las progresiones
Cristo los resultados (13) y (12) juntamente con la inducción matemática anterior, demuestra el
principio matemático aplicado a la suma de progresión finita.
METODOLOGÍA
1.-El término enésimo de la progresión finita, puede ser representado por un polinomio
∑ 𝑎 𝑚 𝑛 𝑚𝑟
𝑚=0
2.Cristo se comienza con la potencia mayor de n del término enésimo de la progresión
𝑎 𝑟 𝑛 𝑟
= 𝑎 𝑟( 𝑛)( 𝑛 − 1) ⋯ ( 𝑛 − 𝑟 + 1) − ∑ 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
3.-Ejemplo donde n es el término de equilibrio.
𝑛2
= ( 𝑛)( 𝑛 − 1) + 𝑛
4.-Los demás términos de equilibrio se van simplificando con las potencias inferiores de n, luego
se comienza los mismos pasos con la potencia siguiente inferior de n del enésimo término de la
progresión, a fin de tener todos los términos de n como apropiados para fórmulas combinatorias.
5.-Finalmente a cada término de n expresado como una suma de combinatorias, se le aplica la
suma de la progresión y se obtiene una suma de sumas.
6.-A cada suma de combinatoria se le aplica el principio matemático demostrado y se simplifica la
expresión final para el resultado final como expresión algebraica de ene.
End