El documento presenta 4 problemas de cálculo integral relacionados con el volumen de sólidos de revolución. El primer problema calcula el volumen de un repuesto automotriz girando una región y encuentra que es 736π/15 unidades cúbicas. El segundo problema calcula el volumen de una cápsula espacial girando otra región y obtiene 32π unidades cúbicas. El tercer problema calcula el volumen de una cuña girando una sección cuadrada y obtiene 256/15 unidades cúbicas. Finalmente, el cuarto problema calcula el vol

1. Universidad de La Sabana
C´alculo Integral - Examen 1 - Agosto 2020
1. Cierto repuesto automotor tiene la forma del s´olido obtenido al girar la regi´on acotada por f(x) = x,
g(x) = x2
, x = 1, y, x = 3 alrededor de la recta y = −1.
Para cada x ∈ [1, 3] el elemento de volumen es un anillo con radio exterior x2
+ 1 y radio interior x + 1,
de forma que el volumen del repuesto est´a dado por
3
1
π[(x2
+ 1)2
− (x + 1)2
] dx =
736π
15
.
As´ı, si un lote de dichos repuestos requiere 736π unidades c´ubicas en bodega, el n´umero de repuestos en
el lote es
Volumen total
Volumen unitario
=
736π
736π
15
= 15.
2. Cierta c´apsula espacial tiene la forma del s´olido obtenido al girar la regi´on acotada por f(x) = x, g(x) = x2
,
x = 1, y, x = 3 alrededor de la recta x = −1.
Para cada x ∈ [1, 3] el elemento de volumen es un casquete cil´ındrico de radio x + 1 y altura x2
− x, de
forma que el volumen de la c´apsula est´a dado por
3
1
2π(x + 1)(x2
− x) dx = 32π.
3. El eje de cierta cu˜na es el eje y y sus secciones transversales perpendiculares a dicho eje son cuadrados de
lado 2(2 −
√
y)2
centrados en el eje y, para y ∈ [0, 4].
El volumen de la cu˜na est´a dado por
4
0
[2(2 −
√
y)2
]2
dy =
256
15
.
Si un lote de dichas cu˜nas requiere un contenedor de 512 unidades c´ubicas, entonces el n´umero de cu˜nas
en el lote es
Volumen total
Volumen unitario
=
512
256
15
= 30.
4. Considere un cono circular recto de radio 1 y altura 1 generado como un s´olido de revoluci´on.
Por ejemplo, considere la regi´on entre las rectas y = x, y = 1, y el intervalo x ∈ [0, 1], girando alrededor
del eje y. Los elementos de volumen son casquetes cil´ındricos de radio x y altura 1 − x, y por lo tanto el
volumen del cono est´a dado por
1
0
2πx(1 − x) dx =
1
0
2πt(1 − t) dt =
π
3
.
Como el valor de la integral
1
0
π(1 − x)2
dx tambi´en es
π
3
, entonces el volumen del cono est´a dado por
cualquiera de las tres integrales.
Finalmente, en un volumen de 9π unidades c´ubicas es posible disponer el siguiente n´umero de estos conos
Volumen total
Volumen unitario
=
9π
π
3
= 27.