Este documento presenta diferentes métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución, incluyendo el método de los discos y el método de las arandelas. Se explican estos métodos a través de varios ejemplos y se resuelven paso a paso para calcular el volumen generado al rotar diferentes regiones planas alrededor de ejes.

1. Matemática II
Sesión 6

2. Elaborado por Elsa Guédez
Matemática II
Volumen de un Sólido de Revolución:
Discos y Arandelas

3. Elaborado por Elsa Guédez
Sólidos de Revolución
1) Sólo consideraremos ejes de rotación
paralelos a los ejes coordenados
2) Sólo consideraremos ejes de rotación
que no atraviesen la región a rotar
Se va a determinar el volumen de objetos
tridimensionales generados al rotar una
región plana alrededor de una recta o
eje, objetos que denominaremos Sólidos
de Revolución.

4. Elaborado por Elsa Guédez
Sólidos de Revolución
1) El Método de los Discos.
2) El Método de las Arandelas.
3) El Método de los casquillos.
(Lo revisaremos en la próxima clase)

5. Elaborado por Elsa Guédez
Sólidos de Revolución
El volumen de un cilindro: V =  r² h donde el radio de
la base del cilindro es la función, y la altura del cilindro
es el diferencial, por lo que el volumen del cilindro
resulta ser:
V =  f ²(x) dx ó V =  f ²(y) dy

6. Elaborado por Elsa Guédez
El Método de los Discos ( al eje de rotación).
Gira alrededor del eje de coordenadas:
Del eje Y
Del eje X

7. Elaborado por Elsa Guédez
El Método de los Discos.
Gira alrededor de una recta paralela a los ejes:
K está por arriba
Paralela al eje X: recta y= K (horizontal)
K está por debajo
K está a la derecha
Paralela al eje Y: recta x= K (vertical)
K está a la izquierda

8. Elaborado por Elsa Guédez
El Método de las arandelas ( al eje de rotación).
Gira alrededor del eje de coordenadas:
Del eje Y:
Del eje X:

9. Elaborado por Elsa Guédez
El Método de las arandelas.
Gira alrededor de una recta paralela a los ejes:
K está por arriba:
Paralela al eje X: recta y= K (horizontal)
K está por debajo:
K está a la derecha:
Paralela al eje Y: recta x= K (vertical)
K está a la izquierda:

10. Elaborado por Elsa Guédez
Considera la región “R” limitada por:
Calcular el volumen del sólido generado al rotar “R” alrededor
del eje “x”.
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Ejemplo 1 (método del disco)
con “x” e “y” medidos en metros.
˄ y = 0

11. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Se considerará:
La partición de “n” subintervalos para x∈ [-4, 4]
Ancho de cada subintervalo: ∆x.
Puntos muestra: Puntos medios de c/subintervalo (xi
*)
Se asumirá constante a f(x), en cada subintervalo y dadas por
sus valores en el punto muestra respectivo.
Se tiene la gráfica:

12. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Por lo cual, el volumen del disco # i es:

13. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Por lo tanto, el volumen “V” del tanque es:
Dada la continuidad de la función a integrar, es posible aplicar
el T.F.C. y resulta:

14. Elaborado por Elsa Guédez
ANEXO
De acuerdo a la geometría clásica (la de los griegos), el
volumen de una esfera de radio “R” viene dado por:
En nuestro ejemplo esto corresponde a:
Solución del Ejemplo 1
Que corresponde al resultado antes obtenido.

15. Elaborado por Elsa Guédez
Ejemplo 2 (Método del disco)
Considera la región “R” limitada por: x = 7 – y2 ˄ x = -2
con “x” e “y” medidos en metros.
Calcular el volumen del sólido generado al rotar “R”
alrededor de la recta x = -2.
Sea 7 – y2 = -2, entonces
Solución:
y2 = 9 y de allí y = ± 3:
Si y = 0 entonces:
x = 7 – (0)2 =7

16. Elaborado por Elsa Guédez
Se considerará:
Solución del Ejemplo 2
La partición de “n” subintervalos para [-3, 3]
Ancho de cada subintervalo: ∆y
Por lo cual, el volumen del disco # i es:
Y así, el volumen del sólido está dado por:

17. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
Dada la continuidad de la función a integrar, es posible aplicar
el T.F.C. y resulta:
Conclusión
El volumen pedido es: V ≈ 814 m3
Evaluando se tiene V =

18. Elaborado por Elsa Guédez
Ejemplo 3 (Método de las arandelas)
Considera la región “R” limitada por: x = 7 – y2 ˄ x = -2
con “x” e “y” medidos en metros.
Calcular el volumen del sólido generado al rotar “R”
alrededor de la recta x = -3.

19. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 3
Nuevamente se tiene la parábola pero gira alrededor de x = -3:

20. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 3
Se considerará:
La partición de “n” subintervalos para [-3, 3]
Ancho de cada subintervalo: ∆y
Puntos muestra: yi
* (Puntos medios de c/subintervalo - optativo)
Ctte. a g(y) = 7 – y2 en c/subintervalo y dada por su valor en el
punto muestra respectivo.
Por lo cual, el volumen del disco # i es:

21. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 3
Dada la continuidad de la función a integrar, es posible aplicar
el T.F.C. y resulta:
Y así, el volumen del sólido está dado por:
Conclusión
El volumen pedido es: V≈ 1040,49 m3

22. Elaborado por Elsa Guédez
Ejemplo 4 (Método de las arandelas)
Considera la región “R” limitada por: y = 1/x, y = x ˄ x = 2,
con “x” e “y” medidos en metros.
Calcular el volumen del sólido generado al rotar “R”
alrededor de la recta x = 4.

23. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 4
La región a considerar para calcular el volumen es:

24. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 4
Caso 1:
Si y ∈ [1/2, 1], se tiene un primer volumen:
Y el volumen es:
Se estudiarán dos casos:

25. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 4
Caso 2:
Si y ∈ [1, 2], se tiene:
Y el volumen es:
Conclusión
El volumen del sólido generado al rotar “R” alrededor de la recta
x = 4 es aproximadamente 12 m3
)
( 3
m
12
2
V
1
V
V 

