Este documento describe diferentes métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución. Explica que un sólido de revolución se obtiene al girar una región plana alrededor de un eje. Luego, detalla fórmulas para calcular el volumen cuando el eje de rotación es paralelo al eje x o y, usando los métodos de discos, arandelas o capas cilíndricas. Finalmente, compara estos métodos y explica cómo aplicarlos para calcular el volumen en diferentes casos.
El documento describe el método de capas cilíndricas para calcular el volumen de un sólido de revolución. Explica que cuando un elemento de área rectangular se gira alrededor de un eje, forma una capa cilíndrica cuyo volumen puede calcularse usando una integral definida. Proporciona fórmulas para el cálculo del volumen dependiendo de si el eje de giro es horizontal o vertical y presenta un ejemplo numérico.
Este documento describe cuatro métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución: el método del disco, el método de la arandela, y el método de los casquillos cilíndricos. Explica cada método a través de definiciones, fórmulas matemáticas y ejemplos numéricos.
1) El documento describe varios métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución, incluyendo el método de disco, el método de anillo y el método de capas cilíndricas. 2) El método de disco aproxima el volumen dividiendo la región en discos y sumando sus volúmenes, el método de anillo se usa para sólidos huecos reemplazando los discos por anillos, y el método de capas cilíndricas considera elementos de área paralelos al eje de revolución
Este documento describe el método de discos para calcular el volumen de sólidos de revolución. Explica que al girar una región plana alrededor de un eje, genera un sólido de revolución. El volumen se aproxima sumando los volúmenes de discos delgados, e integra la fórmula límite cuando el número de discos tiende a infinito. Presenta tres ejemplos de aplicación del método a diferentes sólidos de revolución.
G2.3 calculo de volumen de revolucion, metodo de arandelas2.docxJesse Lem
El documento explica el método de las arandelas para calcular el volumen de sólidos de revolución. Este método involucra integrales que representan el volumen interno y externo de la arandela, cuya diferencia da el volumen total. Se proporcionan ejemplos resueltos de aplicar este método para encontrar el volumen de diferentes sólidos.
Aplicaciones de calculo de integrales dobles y tripleswalterabel03
2
0
2
∫
−2 x + 20
4x
2
dydx
x) dx + ∫ (20 − 2x) dx = 36
Este documento presenta aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo el cálculo del área de figuras planas mediante integrales dobles. Se explica que el área de una región D se obtiene como la integral doble de la función constante 1 sobre D. Además, se resuelven dos ejemplos de cálculo de áreas de regiones mediante integrales dob
Este documento describe métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución, incluidos el método del disco, el método de la arandela y el método de los casquillos. Explica las contribuciones de Arquímedes al cálculo de volúmenes y áreas. Finalmente, presenta ejercicios de aplicación de estos métodos al cálculo del volumen de una esfera y un tronco de cono.
1. El documento describe el cálculo de volúmenes utilizando integrales triples. Define la integral triple como una suma de Riemann que mide el volumen de una región sólida cuando tiende a cero.
2. Explica que existen seis órdenes posibles de integración y cómo determinar los límites de integración de acuerdo a la región definida.
3. Proporciona ejemplos numéricos para calcular volúmenes utilizando la fórmula de la integral triple.
El documento describe el método de capas cilíndricas para calcular el volumen de un sólido de revolución. Explica que cuando un elemento de área rectangular se gira alrededor de un eje, forma una capa cilíndrica cuyo volumen puede calcularse usando una integral definida. Proporciona fórmulas para el cálculo del volumen dependiendo de si el eje de giro es horizontal o vertical y presenta un ejemplo numérico.
Este documento describe cuatro métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución: el método del disco, el método de la arandela, y el método de los casquillos cilíndricos. Explica cada método a través de definiciones, fórmulas matemáticas y ejemplos numéricos.
1) El documento describe varios métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución, incluyendo el método de disco, el método de anillo y el método de capas cilíndricas. 2) El método de disco aproxima el volumen dividiendo la región en discos y sumando sus volúmenes, el método de anillo se usa para sólidos huecos reemplazando los discos por anillos, y el método de capas cilíndricas considera elementos de área paralelos al eje de revolución
Este documento describe el método de discos para calcular el volumen de sólidos de revolución. Explica que al girar una región plana alrededor de un eje, genera un sólido de revolución. El volumen se aproxima sumando los volúmenes de discos delgados, e integra la fórmula límite cuando el número de discos tiende a infinito. Presenta tres ejemplos de aplicación del método a diferentes sólidos de revolución.
G2.3 calculo de volumen de revolucion, metodo de arandelas2.docxJesse Lem
El documento explica el método de las arandelas para calcular el volumen de sólidos de revolución. Este método involucra integrales que representan el volumen interno y externo de la arandela, cuya diferencia da el volumen total. Se proporcionan ejemplos resueltos de aplicar este método para encontrar el volumen de diferentes sólidos.
Aplicaciones de calculo de integrales dobles y tripleswalterabel03
2
0
2
∫
−2 x + 20
4x
2
dydx
x) dx + ∫ (20 − 2x) dx = 36
Este documento presenta aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo el cálculo del área de figuras planas mediante integrales dobles. Se explica que el área de una región D se obtiene como la integral doble de la función constante 1 sobre D. Además, se resuelven dos ejemplos de cálculo de áreas de regiones mediante integrales dob
Este documento describe métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución, incluidos el método del disco, el método de la arandela y el método de los casquillos. Explica las contribuciones de Arquímedes al cálculo de volúmenes y áreas. Finalmente, presenta ejercicios de aplicación de estos métodos al cálculo del volumen de una esfera y un tronco de cono.
1. El documento describe el cálculo de volúmenes utilizando integrales triples. Define la integral triple como una suma de Riemann que mide el volumen de una región sólida cuando tiende a cero.
2. Explica que existen seis órdenes posibles de integración y cómo determinar los límites de integración de acuerdo a la región definida.
3. Proporciona ejemplos numéricos para calcular volúmenes utilizando la fórmula de la integral triple.
APLICACION DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN AREAS Y VOLUMENESfer123asdzxc
Este documento presenta diferentes métodos para calcular áreas y volúmenes utilizando la integración de funciones. Introduce el cálculo de áreas planas y volúmenes de revolución mediante los métodos de discos, arandelas y capas. Luego, presenta ejemplos para aplicar estos métodos al cálculo de áreas y volúmenes de funciones específicas.
Método de arandelas (Volumen de sólidos de revolución)Deigoz Fernändoz
Pequeña introducción al método de arandelas para el cálculo de volumen en un sólido de revolución, se presenta la teoría, la fórmula para el cálculo y la aplicación de esta en algunos ejericios.
El documento describe un problema de vaciado de un tanque a través de un orificio en su base. La ecuación diferencial asociada es dt/dh = -hg^2ca/A(h), donde h es la altura del líquido, a es el área del orificio, g la gravedad, c el coeficiente de descarga y A(h) el área de la sección transversal del tanque. Esta ecuación permite determinar la variación de la altura del líquido con el tiempo al resolverse sujeto a condiciones iniciales.
El documento trata sobre las matemáticas en la ingeniería. Explica que el cálculo se deriva de la geometría griega y fue utilizado por Demócrito, Eudoxo y Arquímedes. Luego introduce conceptos como las derivadas parciales, que son útiles para determinar la velocidad de cambio de una función de varias variables con respecto a una variable en particular. Finalmente, detalla algunas aplicaciones de las derivadas parciales y las integrales múltiples en ingeniería, física y otras áreas.
Este documento describe cómo calcular el centroide de un área limitada por curvas analíticas integrando las expresiones para el primer momento del área con respecto a los ejes x e y. Proporciona un ejemplo de determinar el centroide de una figura definida por la ecuación k=a2b2. Calcula los primeros momentos integrando un elemento diferencial horizontal y concluye dando las coordenadas del centroide.
El documento habla sobre ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden. Explica dos métodos para resolver estas ecuaciones: sustituyendo y=xv o x=yu y resolviendo la ecuación diferencial resultante, que es separable. También presenta ejemplos resueltos y ejercicios propuestos relacionados con ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden.
Ejercicios resueltos integrales dobles y triples manoleter
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre cálculo de integrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas. En total se presentan 7 problemas con sus respectivas soluciones, donde se calculan áreas, volúmenes y otras integrales dobles sobre diferentes regiones delimitadas por funciones.
Este documento contiene varios problemas de física relacionados con óptica, fluidos y flotación. El primer problema involucra el cálculo del volumen mínimo de hielo necesario para que una mujer pueda pararse sobre él sin mojarse los pies. Los otros problemas involucran cálculos de densidad, volumen, fuerza de empuje, velocidad de fluidos, índice de refracción y lentes delgadas. Los problemas aplican conceptos como la segunda ley de Newton, el principio de Arquimedes y las leyes de la refracción
Este documento describe los detalles de un proyecto de construcción de una carretera. Explica los materiales que se usarán, como concreto y asfalto, el trazado de la carretera y los posibles impactos ambientales. También incluye un cronograma tentativo de la construcción y el presupuesto estimado para completar el proyecto.
El documento describe diferentes métodos para representar superficies geométricas, incluyendo la representación implícita, explícita y paramétrica. Explica que la representación paramétrica expresa las coordenadas x, y, z en función de dos parámetros u y v, lo que resulta útil para estudiar las superficies. A continuación, proporciona ejemplos de representaciones paramétricas para superficies como la esfera, el cono, el cilindro, el paraboloide, el plano y el elipsoide.
Este documento presenta fórmulas y reglas para el cálculo diferencial y la integración. Incluye derivadas de funciones elementales, reglas básicas de integración, cambio de variable, funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométricas e hiperbólicas, y métodos como sustitución trigonométrica e integral por partes.
Este documento presenta 10 problemas resueltos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias que modelan el movimiento armónico simple de sistemas resorte-masa. Se calculan las constantes de los resortes, las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones de movimiento para cada sistema, expresando las soluciones en función de las condiciones iniciales.
El documento presenta dos ejemplos de transformación de bases a bases ortonormales en el espacio euclidiano R3 mediante el proceso de Gram-Schmidt. En el primer ejemplo se transforma la base B1 = {(1,0,1), (0,0,1), (-1,1,0)} a la base ortonormal B1' = {(0,0,1), (-1,1,0), (1/√2,1/√2,0)}. En el segundo ejemplo se transforma la base B2 = {(1,0,1), (0,1,-1), (1,0
Este informe de laboratorio presenta los resultados de un experimento sobre un sistema masa-resorte. Se midieron las oscilaciones de un resorte al variar la masa colgada y se analizaron las relaciones entre masa y período, longitud y fuerza, y masa y período al cuadrado. El objetivo era verificar las ecuaciones del sistema masa-resorte y determinar experimentalmente la constante elástica del resorte.
El documento describe las aplicaciones de las integrales dobles, incluyendo el cálculo del área de figuras planas, volúmenes de sólidos, masa, momentos estáticos, centros de masa e inertias para regiones bidimensionales. Explica cómo calcular estas cantidades usando integrales dobles sobre una región D, dividiéndola en subrectángulos. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial e Integrales de lineaRuddy Sanchez Campos
Este documento presenta 15 ejercicios resueltos relacionados con cálculo vectorial e integrales de línea. Los ejercicios involucran determinar valores de integrales, verificar teoremas como el de Green, demostrar propiedades de campos conservativos, y calcular trabajos realizados por fuerzas a lo largo de trayectorias dadas.
Este documento describe los componentes tangencial y normal de la aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una curva. Explica cómo descomponer la aceleración en estas dos componentes, siendo la componente tangencial paralela a la velocidad y la componente normal apuntando hacia el centro de curvatura de la trayectoria. También describe los componentes radial y transversal de la aceleración y cómo expresar la velocidad y aceleración en coordenadas polares.
Este documento describe tres métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución: el método del disco, el método de la arandela y el método de los casquillos cilíndricos. Explica cómo usar cada método para determinar la fórmula del volumen e integra la función para calcular el volumen. También proporciona ejemplos resueltos de cada método.
Este documento explica qué son los sólidos de revolución y cómo calcular su volumen usando el método de discos. Los sólidos de revolución se generan al girar una región del plano alrededor de una línea recta llamada eje de revolución. El volumen se puede encontrar calculando el volumen de cada disco generado y sumándolos, donde el volumen de cada disco es πr^2 h siendo r el radio y h la altura.
APLICACION DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN AREAS Y VOLUMENESfer123asdzxc
Este documento presenta diferentes métodos para calcular áreas y volúmenes utilizando la integración de funciones. Introduce el cálculo de áreas planas y volúmenes de revolución mediante los métodos de discos, arandelas y capas. Luego, presenta ejemplos para aplicar estos métodos al cálculo de áreas y volúmenes de funciones específicas.
Método de arandelas (Volumen de sólidos de revolución)Deigoz Fernändoz
Pequeña introducción al método de arandelas para el cálculo de volumen en un sólido de revolución, se presenta la teoría, la fórmula para el cálculo y la aplicación de esta en algunos ejericios.
El documento describe un problema de vaciado de un tanque a través de un orificio en su base. La ecuación diferencial asociada es dt/dh = -hg^2ca/A(h), donde h es la altura del líquido, a es el área del orificio, g la gravedad, c el coeficiente de descarga y A(h) el área de la sección transversal del tanque. Esta ecuación permite determinar la variación de la altura del líquido con el tiempo al resolverse sujeto a condiciones iniciales.
El documento trata sobre las matemáticas en la ingeniería. Explica que el cálculo se deriva de la geometría griega y fue utilizado por Demócrito, Eudoxo y Arquímedes. Luego introduce conceptos como las derivadas parciales, que son útiles para determinar la velocidad de cambio de una función de varias variables con respecto a una variable en particular. Finalmente, detalla algunas aplicaciones de las derivadas parciales y las integrales múltiples en ingeniería, física y otras áreas.
Este documento describe cómo calcular el centroide de un área limitada por curvas analíticas integrando las expresiones para el primer momento del área con respecto a los ejes x e y. Proporciona un ejemplo de determinar el centroide de una figura definida por la ecuación k=a2b2. Calcula los primeros momentos integrando un elemento diferencial horizontal y concluye dando las coordenadas del centroide.
El documento habla sobre ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden. Explica dos métodos para resolver estas ecuaciones: sustituyendo y=xv o x=yu y resolviendo la ecuación diferencial resultante, que es separable. También presenta ejemplos resueltos y ejercicios propuestos relacionados con ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden.
Ejercicios resueltos integrales dobles y triples manoleter
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre cálculo de integrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas. En total se presentan 7 problemas con sus respectivas soluciones, donde se calculan áreas, volúmenes y otras integrales dobles sobre diferentes regiones delimitadas por funciones.
Este documento contiene varios problemas de física relacionados con óptica, fluidos y flotación. El primer problema involucra el cálculo del volumen mínimo de hielo necesario para que una mujer pueda pararse sobre él sin mojarse los pies. Los otros problemas involucran cálculos de densidad, volumen, fuerza de empuje, velocidad de fluidos, índice de refracción y lentes delgadas. Los problemas aplican conceptos como la segunda ley de Newton, el principio de Arquimedes y las leyes de la refracción
Este documento describe los detalles de un proyecto de construcción de una carretera. Explica los materiales que se usarán, como concreto y asfalto, el trazado de la carretera y los posibles impactos ambientales. También incluye un cronograma tentativo de la construcción y el presupuesto estimado para completar el proyecto.
El documento describe diferentes métodos para representar superficies geométricas, incluyendo la representación implícita, explícita y paramétrica. Explica que la representación paramétrica expresa las coordenadas x, y, z en función de dos parámetros u y v, lo que resulta útil para estudiar las superficies. A continuación, proporciona ejemplos de representaciones paramétricas para superficies como la esfera, el cono, el cilindro, el paraboloide, el plano y el elipsoide.
Este documento presenta fórmulas y reglas para el cálculo diferencial y la integración. Incluye derivadas de funciones elementales, reglas básicas de integración, cambio de variable, funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométricas e hiperbólicas, y métodos como sustitución trigonométrica e integral por partes.
Este documento presenta 10 problemas resueltos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias que modelan el movimiento armónico simple de sistemas resorte-masa. Se calculan las constantes de los resortes, las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones de movimiento para cada sistema, expresando las soluciones en función de las condiciones iniciales.
El documento presenta dos ejemplos de transformación de bases a bases ortonormales en el espacio euclidiano R3 mediante el proceso de Gram-Schmidt. En el primer ejemplo se transforma la base B1 = {(1,0,1), (0,0,1), (-1,1,0)} a la base ortonormal B1' = {(0,0,1), (-1,1,0), (1/√2,1/√2,0)}. En el segundo ejemplo se transforma la base B2 = {(1,0,1), (0,1,-1), (1,0
Este informe de laboratorio presenta los resultados de un experimento sobre un sistema masa-resorte. Se midieron las oscilaciones de un resorte al variar la masa colgada y se analizaron las relaciones entre masa y período, longitud y fuerza, y masa y período al cuadrado. El objetivo era verificar las ecuaciones del sistema masa-resorte y determinar experimentalmente la constante elástica del resorte.
El documento describe las aplicaciones de las integrales dobles, incluyendo el cálculo del área de figuras planas, volúmenes de sólidos, masa, momentos estáticos, centros de masa e inertias para regiones bidimensionales. Explica cómo calcular estas cantidades usando integrales dobles sobre una región D, dividiéndola en subrectángulos. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial e Integrales de lineaRuddy Sanchez Campos
Este documento presenta 15 ejercicios resueltos relacionados con cálculo vectorial e integrales de línea. Los ejercicios involucran determinar valores de integrales, verificar teoremas como el de Green, demostrar propiedades de campos conservativos, y calcular trabajos realizados por fuerzas a lo largo de trayectorias dadas.
Este documento describe los componentes tangencial y normal de la aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una curva. Explica cómo descomponer la aceleración en estas dos componentes, siendo la componente tangencial paralela a la velocidad y la componente normal apuntando hacia el centro de curvatura de la trayectoria. También describe los componentes radial y transversal de la aceleración y cómo expresar la velocidad y aceleración en coordenadas polares.
Este documento describe tres métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución: el método del disco, el método de la arandela y el método de los casquillos cilíndricos. Explica cómo usar cada método para determinar la fórmula del volumen e integra la función para calcular el volumen. También proporciona ejemplos resueltos de cada método.
Este documento explica qué son los sólidos de revolución y cómo calcular su volumen usando el método de discos. Los sólidos de revolución se generan al girar una región del plano alrededor de una línea recta llamada eje de revolución. El volumen se puede encontrar calculando el volumen de cada disco generado y sumándolos, donde el volumen de cada disco es πr^2 h siendo r el radio y h la altura.
Este documento describe tres métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución: el método del disco, el método de la arandela y el método de los casquillos cilíndricos. Explica cómo aplicar cada método a diferentes tipos de regiones girando alrededor de diferentes ejes, y proporciona ejemplos resueltos para ilustrar los pasos de cada método.
Este documento describe cómo calcular el volumen de un sólido de revolución usando el método de discos. Explica que si se rota una función continua y positiva f(x) alrededor del eje x entre los límites a y b, el volumen se puede calcular como la integral de pi*f(x)^2 dx. También cubre cómo calcular volúmenes de sólidos con cavidades y rotaciones alrededor de otros ejes.
Este documento describe cómo calcular el volumen de un sólido de revolución usando el método de discos. Explica que si se rota una función alrededor de un eje, la integral de 2πrf(x)dx entre los límites calcula el volumen generado, donde r es el radio y f(x) la altura. También cubre cómo calcular volúmenes con cavidades y rotaciones alrededor de otros ejes.
Este documento describe cómo calcular el volumen de un sólido de revolución usando el método de discos. Explica que si se rota una función alrededor de un eje, la integral de 2πrf(x)dx entre los límites calcula el volumen generado, donde r es el radio y f(x) la altura. También cubre cómo calcular volúmenes con cavidades y rotaciones alrededor de otros ejes.
Este documento describe cómo calcular el volumen de un sólido de revolución usando el método de discos. Explica que si se rota una función alrededor de un eje, la integral de 2πrf(x)dx entre los límites calcula el volumen generado, donde r es el radio y f(x) la altura. También cubre cómo calcular volúmenes con cavidades y rotaciones alrededor de otros ejes.
Este documento describe cómo calcular el volumen de un sólido de revolución usando el método de discos. Explica que si se rota una función continua y positiva f(x) alrededor del eje x entre los límites a y b, el volumen se puede calcular como la integral de pi*f(x)^2 dx. También cubre cómo calcular volúmenes de sólidos con cavidades y rotaciones alrededor de otros ejes.
Este documento describe cómo calcular el volumen de un sólido de revolución usando el método de discos. Explica que si se rota una función alrededor de un eje, la integral de 2πrf(x)dx entre los límites calcula el volumen generado, donde r es el radio y f(x) la altura. También cubre cómo calcular volúmenes con cavidades y rotaciones alrededor de otros ejes.
Este documento describe cómo calcular el volumen de un sólido de revolución usando el método de discos. Explica que si se rota una función continua y positiva f(x) alrededor del eje x entre los límites a y b, el volumen se puede calcular como la integral de pi*f(x)^2 dx. También cubre cómo calcular volúmenes de sólidos con cavidades y rotaciones alrededor de otros ejes.
Este documento describe cómo calcular el volumen de un sólido de revolución usando el método de discos. Explica que si se rota una función alrededor de un eje, la integral de 2πrf(x)dx entre los límites calcula el volumen generado, donde r es el radio y f(x) la altura. También cubre cómo calcular volúmenes con cavidades y rotaciones alrededor de otros ejes.
Este documento trata sobre la aplicación de integrales para calcular áreas, volúmenes y centros de masa. Explica el teorema para calcular el área entre dos curvas, diferentes métodos para calcular volúmenes de revolución como el método de discos, arandelas y secciones conocidas. También cubre cómo calcular el área de una superficie de revolución y los centros de masa de sistemas unidimensionales y bidimensionales utilizando momentos.
El documento describe varias aplicaciones de la integral definida para calcular áreas, volúmenes y otras cantidades. Explica cómo se puede usar la integral para calcular el área bajo una curva, entre dos curvas, y el volumen de objetos de revolución girando áreas alrededor de un eje. También presenta el método de las secciones para calcular volúmenes cuando se conoce el área de las secciones transversales.
Unidad 1 parte 3 b de matemáticas ii v3Edgar Ramos
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con el cálculo del volumen de sólidos de revolución utilizando los métodos de los discos y de las capas. Incluye ejemplos de cómo formular e integrar expresiones para encontrar el volumen al girar diferentes regiones planas alrededor de ejes u otras líneas. También cubre la verificación del volumen de figuras geométricas como esferas y conos mediante estos métodos.
Este documento presenta diferentes métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución utilizando el cálculo integral. Explica cómo calcular el volumen al girar áreas alrededor de los ejes x e y y provee fórmulas para el método del disco, la arandela y los cascarones cilíndricos. También incluye ejemplos paso a paso para ilustrar cada método.
El documento describe diferentes aplicaciones del cálculo integral, incluyendo el cálculo de áreas, volúmenes y longitudes. Explica cómo usar la integral para calcular el área bajo una curva y entre dos curvas, así como para calcular volúmenes de sólidos de revolución usando los métodos de los discos y las arandelas. También presenta el método de secciones conocidas para calcular volúmenes cuando se conoce el área de la sección transversal.
1) El documento describe el cálculo del volumen de sólidos de revolución mediante el método del disco. 2) Explica cómo determinar el volumen sumando los volúmenes de cilindros circulares rectos de corta altura (discos) que forman el sólido al girar una región plana alrededor de un eje. 3) También cubre cómo calcular el volumen cuando la región gira alrededor de un eje paralelo al eje x pero distinto, así como el cálculo para sólidos huecos.
Este documento describe métodos para calcular volúmenes de sólidos de revolución usando integrales definidas. Explica cómo rotar una región plana alrededor de un eje para formar un sólido y cómo aproximar el volumen usando discos o aros. Proporciona fórmulas para calcular volúmenes cuando el eje de rotación es horizontal o vertical.
Este documento presenta varios métodos para calcular volúmenes utilizando el cálculo integral, incluyendo métodos para sólidos de revolución, regiones entre curvas, y sólidos no revolucionarios. Explica cómo descomponer volúmenes complejos en secciones transversales más simples y utiliza ejemplos numéricos para ilustrar cada método.
Presentación de la conferencia sobre la basílica de San Pedro en el Vaticano realizada en el Ateneo Cultural y Mercantil de Onda el jueves 2 de mayo de 2024.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
1. Instituto Universitario de Tecnología
¨Antonio José de Sucre¨
EXTENSION BARQUISIMETO
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
Integrante:
María Navarrete
Ci:
26 746 409
2. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
Volumen de un sólido de revolución
Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al
rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las
cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.
Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada
en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo
volumen tratamos de determinar.
Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos
El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes
cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones cuadráticas.
Rotación paralela al eje (x)
El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos
gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal,
es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene
dado por la siguiente fórmula genérica
En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y = f(x), y = 0, x = a y x
= b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por
la fórmula:
3. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
Método de discos o rebanadas.
Ambas expresiones se deducen de que al hacer girar un área formada por
innumerables rectángulos de base dx y altura f(x), alrededor del eje X, se forman
discos colocados verticalmente cuyos volúmenes sumados resultan en el
volumen de todo el sólido. Cada disco tiene por volumen el de un cilindro como
si fuera una moneda acomodada verticalmente, es decir, V=Πr²h donde el radio
de la base del cilindro es f(x), y la altura del cilindro es dx, por lo que el volumen
del cilindro resulta ser V = πf²(x)dx y la suma de todos estos volúmenes parciales,
es el volumen total que resulta en la expresión:
Si son dos funciones f(x) y g(x), el volumen total será la resta del volumen mayor
menos el volumen menor
Pero si el giro es alrededor de una recta paralela al eje X: y=K, entonces la
expresión resultante es (siempre que K<X en para todo X):
En el caso en el que K>X, es decir la recta X=K se encuentre a la derecha de las
funciones se debe aplicar:
Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)
Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes generados por el
giro de un área comprendida entre dos funciones cualesquiera, f(x) y g(x), en un
intervalo [a,b], con f(x) > g(x) en el intervalo [a,b].Alrededor de un eje de
revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante
positiva. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:
4. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana
comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de
revolución viene generado por:
Método de cilindros o capas.
Veamos con mayor atencion los casos anteriores y otros nuevos métodos y aplicaciones
El Método de los discos
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El
más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo
alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo.
Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución
general, consideremos una función continua f (x ) definida en el intervalo [a,b], cuya gráfica
determina con las rectas x = a, x = b, y = 0, el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del
eje OX, obtenemos un sólido de revolución.
Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un
proceso similar al realizado en la definición de integral definida.
Elegimos una partición regular de [a, b]:
Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del
mismo.
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene el volumen
requerido. Además, si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula
similar.
El Método de las arandelas
El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos de revolución con un
agujero, reemplazando el disco representativo por una arandela representativa. La arandela se
obtiene girando un rectángulo alrededor de un eje
5. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
Entonces, generalizando de forma análoga como se hizo en el método de los discos, si tenemos dos
funciones continuas f (x) y g (x) definidas en un intervalo cerrado [a,b] con 0" g(x) " f(x), y las rectas x =
a, y x = b, el volumen engendrado se calcula restando los sólidos de revolución engendrados por los
recintos de ambas funciones, como vimos anteriormente.
Si las funciones se cortan, habrá que calcular los volúmenes de los sólidos engendrados en cada uno de los
subintervalos donde se puede aplicar el método anterior.
Método de secciones conocidas
En este apartado veremos cómo se calcula el volumen de algunos cuerpos geométricos cuando conocemos
el área de las bases de los cilindros parciales en que hemos dividido el sólido. Con el método de discos,
podemos hallar el volumen de un sólido que tenga una sección circular cuya área sea A = R2. Podemos
generalizar este método a sólidos de cualquier forma siempre y cuando sepamos la fórmula del área de
una sección arbitraria, como cuadrados, rectángulos, triángulos, semicírculos y trapecios.
Consideremos un sólido que tiene la propiedad de que la sección transversal a una recta dada tiene área
conocida. Esto equivale a decir intuitivamente que en cada corte que hacemos, conocemos el área de la
sección correspondiente.
En particular, supongamos que la recta es el eje OX y que el área de la sección transversal está dada por la
función A(x), definida y continua en [a,b]. La sección A(x) está producida por el plano a perpendicular a OX .
Siguiendo un proceso similar al realizado en la definición de la integral de Riemann:
Si el número de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez más al volumen del sólido; es
decir:
6. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:
Para hallar el volumen de un sólido por el método de las secciones, se procede como se indica
a continuación:
1. Esbozar la figura, incluyendo un eje perpendicular a las secciones de área conocida (es decir,
un eje OX)
2. Escoger una sección perpendicular al eje OX.
3. Expresar el área A (x) de la base de la sección en términos de su posición x sobre el eje OX.
4. Integrar entre los límites apropiados.
Método de capas.
El método de cálculo integral que se explica a continuación, el de los casquetes cilíndricos,
proporciona una forma alternativa de calcular volúmenes de sólidos de revolución. En ciertos
casos es el único método viable porque el de las secciones transversales puede resultar a
veces difícil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto.
Para comenzar a entender en detalle el método de los casquetes cilíndricos debemos
establecer cómo calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior
es r1 y cuyo radio exterior es r2 como el que aparece en la figura. Naturalmente procedemos
restando el volumen V1 del cilindro interior al volumen V2 del cilindro exterior, así:
7. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
En esta expresión podemos reconocer varias cosas. Si ponemos r = 1/2 (r2 +r1),
el radio medio de los cilindros, y si ponemos Dr = r2 − r1, el grosor del casquete
cilíndrico, entonces podemos expresar el volumen V de la forma siguiente:
Esta expresión puede recordarse fácilmente si se piensa en que el casquete
cilíndrico se abre y se aplana convirtiéndose en un caja rectangular de escaso
grosor como se muestra
Ahora bien, consideremos el problema general de hallar el volumen del sólido de
revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está
comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x, es decir, la recta
horizontal y = 0 y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b. La región y el
sólido de revolución que engendra son las diguientes respectivamente:
8. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi−1, xi], todos con el mismo
ancho: Dx = (b − a) / n. Sea xi* el punto medio del i-ésimo subintervalo.
Consideremos el rectángulo Ri construido sobre el i-ésimo subintervalo con una
altura de f (xi*) y hagámoslo girar en torno del eje y. Entonces se produce un
casquete cilíndrico que tiene como radio medio xi*, como altura f (xi*) y cuyo
grosor es Dx = xi−1 − xi.. Por lo tanto, el volumen Vi de este casquete cilíndrico
está dado por:
9. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
Para obtener un cálculo aproximado del volumen total del sólido de revolución
debemos poner n casquetes cilíndricos de éstos, unos dentro de los otros, como
lo ilustra la figura siguiente y después sumar los volúmenes de todos ellos:
Se puede probar que esta aproximación será mejor entre más grande sea n, el
número de casquetes cilíndricos. Por eso, se puede poner:
Y de esta manera hemos llegado a formular una regla general para el cálculo de
volúmenes con el método de los casquetes cilíndricos. Es la siguiente:
Regla general: El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar
alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x)
> 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, está dado por la
integral:
10. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
Para hallar el volumen de un sólido por el método de capas, se procede como se
indica a continuación.
1. Esbozar la región plana que va a ser girada, hallando los puntos de
intersección de las curvas que la limitan.
2. Sobre el dibujo hallar un rectángulo paralelo al eje de revolución.
3. Teniendo como base el boceto, escribir el volumen de la capa.
4. Integrar entre los límites apropiados.
Observación: Los métodos de discos y de capas se distinguen porque en el de
discos el rectángulo representativo es siempre perpendicular al eje de giro,
mientras que en el de capas es paralelo.
Con frecuencia uno de los dos métodos es preferible al otro.