Movimiento en dos y tres dimensiones-MRU-MRUV-MCU-MCUV-Caída Libre-Movimiento Parabólico-Movimiento Relativo

1. Movimiento en dos y tres
dimensiones

2. CINEMATICA
MECANICA
CINEMATICA DINAMICA
Campo de la Física que
estudia el movimiento de los
objetos y conceptos afines de
fuerza y energía.
Es la descripción
de cómo se
mueven los
objetos
Estudia la fuerza y las
causas que provocan
que los objetos de
muevan como lo hacen

3. Estudia el movimiento de los cuerpos (partículas) sin
preocuparnos por las causas que lo producen o afectan.
Movimiento
Siempre que hay un cambio en la posición de la
partícula
Relativo (depende del sistema de referencia que nosotros
elijamos).
r


4. posicióndevectorr

kˆzjˆyiˆxr 

Traslación
Tipos de movimiento Rotación
Oscilatorio o vibratorio
P
Q
rf
ri
x
y
Trayectoria de la
partícula
Partícula: es un punto, no tiene
dimensiones
Trayectoria Cada una de las
posiciones sucesivas que va ocupando
la partícula al desplazarse del punto P
al punto Q
VECTOR POSICION

5. DISTANCIA Y
DESPLAZAMIENTO
DISTANCIA.- Longitud de la trayectoria recorrida por un objeto.
DESPLAZAMIENTO.- Es el cambio de posición de un objeto, es decir,
que tan lejos esta el objeto de su punto de partida o referencia.
La distancia es un ESCALAR
El desplazamiento es un VECTOR.
DISTANCIA ≠ DESPLAZAMIENTO

6. El desplazamiento de la partícula cuando se mueve de
P a Q en el intervalo de tiempo Dt = tf -ti es igual al
vector
P, ti
Q, tf
rf
ri
Dr
x
y
Trayectoria de la
partícula
O
Desplazamiento
0
rrr f

D

7. B
t
1
t
2
No es necesario conocer la trayectoria para determinar el vector
desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo es
necesario conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo
A
rD

8. RAPIDEZ Y VELOCIDAD
MEDIA
RAPIDEZ. MEDIA- Es la distancia total recorrida por un objeto a lo largo
de su trayectoria, dividida por el tiempo que le toma recorrer esa
distancia.
VELOCIDAD MEDIA- Es el desplazamiento de un objeto dividido para el
tiempo transcurrido durante el mismo.
La Rapidez es un ESCALAR
La Velocidad es un VECTOR.
RAPIDEZ ≠ VELOCIDAD

9. La velocidad media de una
partícula durante el intervalo de
tiempo Dt es la razón entre el
desplazamiento y el intervalo de
tiempo.
La velocidad media es un vector
paralelo al vector Dr.
tD
D

r
v
Dr
v
Velocidad Media

10. y
x
t1
t2
A
B
rD
mV r//Vm D
)(t1
r
)(t2
r
La velocidad media apunta
en la misma dirección del
vector desplazamiento

11. La velocidad instantánea, v, se define como el límite de la
velocidad media, Dr/Dt, conforme Dt tiende a cero.
dt
d
tt
rr

 D
D
D
lim0
V
Dirección de Velocidad Instantánea:
El vector velocidad instantánea es
tangente a la trayectoria que
describe la partícula en el punto P.
Q
Q’
Q’’
Dr1
Dr3
Dr2
P
Dirección de v en P
x
y
O
Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es la
derivada del vector posición
respecto del tiempo

12. Rapidez instantánea
La rapidez instantánea es
igual al modulo de la
velocidad instantánea
dt
dr
t
r
limv~
0t(t) 
D
D
 D
)t((t) vv~ 
rD
t1
t2
Δl

13. se define como la razón
de cambio del vector
velocidad instantánea,
Dv, en el tiempo
transcurrido Dt.
tD
D

v
a
y
O
x
P
Dv
ri
rf
vi
vf
-vi
vf
Q
Aceleración Media








 2
12
12
m
s
m
tt
)(tV)(tV
a



14. La aceleración instantánea, a, se define como el límite de la razón, Dv/Dt,
cuando Dt tiende a cero:
dt
d
tt
vv
a 
D
D

D
lim0
Aceleración instantánea
La aceleración se produce
por:
1.- Cambio en la magnitud
del vector velocidad.
2.- Cambio en la dirección
del vector velocidad.
3.- Cambio en la magnitud y
dirección del vector
velocidad.

15. Aceleración media vs aceleración instantánea

16. dt
ˆd
v
dt
dv
ˆa


La aceleración instantánea es igual a la
derivada del vector velocidad
instantánea respecto del tiempo t.
(t)a
 
dt
ˆvd
dt
dV 

nˆ
v
v

 ˆ
dt
dv
a
nˆaˆaa n 
dt
dv
a  

2
n
v
a
2
n
2
aaa  

17. Donde:

18. Ejemplo
t1= 20 s
t2= 40 s
x1= 2 m
y2= 4 m
y1= 3 m
Y
X
r

D
x1 = 2 m, y1 = 3 m, t1 = 20
s
x2 = 6 m, y2 = 4 m, t2 = 40
s
   
   
yxjˆmiˆm
jˆmmiˆmm
jˆyyiˆxxrrr


DD

D
14
3426
121212Entonces el
cambio en la
posición es
y módulo del desplazamiento
neto es:
    m.mmm
yxr
1241714
22
22

DDD

y las componentes
de la velocidad media son
que ocurre en un
intervalo de tiempo
sssttt 20204012 D
sm.
s
m
t
y
v;sm.
s
m
t
x
v yx 050
20
1
20
20
4

D
D

D
D

y el vector velocidad media es    jˆsm.iˆsm.jˆviˆvv yx 05020 

1r

2r

y su modulo es   sm.sm..vvvv yx 206005020 2222


Ejercicios de Aplicación

19. Un automóvil se mueve con una velocidad media de 10 km/h
durante los primeros 30 min de su trayectoria recta; luego aumenta
su velocidad de tal manera que, en los siguientes 30 s, su
velocidad media es 12 km/h; pero encuentra un obstáculo, por lo
que retrocede 100 m en 30 s y se detiene. Encontrar su velocidad
media desde el inicio de su movimiento hasta que se detiene en
km/h.
h
min
h
minmint
2
1
60
1
30301 D
km
m
km
mmx
10
1
10
1
100100 3

h
s
h
sst
120
1
3600
1
30302 D
h
s
h
sst
120
1
3600
1
3030 D
totaltiempo
totalentodesplazami
t

D
D

x
v
ttt
xtvtv
v
DDD
DD

21
2211
        hkm
h
v /7.9
h
120
1
h
120
1
h
2
1
km10/1h1/120122/110 h
km
h
km





20. La posición de una partícula varía con el tiempo según r=(4t+2)i expresada en
SI. Calcular la velocidad instantánea en t=1s y t=3s. ¿Qué tipo de movimiento
es?.
Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de una partícula son x=t2+2;
y=2t2-1 donde x e y están dados en m y t está en s. Calcular:
a) La velocidad instantánea.
b) La aceleración instantánea.

21. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
La posición x del móvil en el
instante t lo podemos ver en la
representación de v en función
de t.

22. La función desplazamiento es el área bajo la curva de la función
velocidad
Por tanto el desplazamiento será
x ( t ) = x0 + v . t
Donde x0 será la posición inicial del móvil.

23. El gráfico adjunto representa el movimiento de una partícula en
línea recta. Si al tiempo t=0, la partícula se encuentra en la
posición x= -100 m, ¿cuál es la posición de la partícula a los 15 s?

24. Los gráficos mostrados representan el movimiento de una
partícula en línea recta. ¿Cuál es la posición de la partícula a
t=0?

25. Un ciclista cruza un semáforo con una velocidad constante de 15 km/h.
Después de 15 minutos un segundo ciclista pasa por el mismo semáforo
pero a una velocidad de 40 km/h, en dirección a la meta situada a 10 km
en línea recta a partir del semáforo. ¿Después de qué tiempo los dos
ciclistas se encontrarán?. ¿Después de qué tiempo a partir de la llegada
del primero que arribe a la meta llegará el siguiente?
 
h
vv
vt
tt
h
km
hp
5
2
15-40
40h4/1 km
12
2






h
v
x
t
h
m
3
2
15
km10
km
1
1  h
v
tvx
t
pm
2
1
40
h4/140km10
h
km
h
km
2
2
2 




Dt = t1 - t2 = 0,67 h - 0,50 h = 0,17 h = 10 min

26. MOVIMIENTO RECTILINEO
UNIFORMEMENTE ACELERADO

27. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
ACELERADO
Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración
es constante.

28. Movimiento Uniformemente Acelerado
tvv o(t)
a
u
u0 u0
at
u
O
tt
xo
x(t)
t
Pendiente = v0
pendiente = v(t)
2
oo(t)
t
2
1
tvxx a
O t
a
a
Pendiente = 0
a

31. Las ecuaciones de cinemática para la aceleración constante en
forma vectorial son:
v = v0 + a t
r = r0 + 1/2(v + v0)t
r = r0 + v0t + 1/2 a t2
Ecuaciones cinemáticas con
aceleración constante
vf
2= vo
2 + 2a∆r

32. Dada la aceleración podemos
obtener el cambio de velocidad v-v0
entre los instantes t0 y t
El desplazamiento x-x0 del
móvil entre los instantes t0 y
t, gráficamente (área de un
rectángulo + área de un
triángulo)

33. X(m)
2
30
5 7 t(s)
15
Utilice está gráfica, del movimiento rectilíneo de una partícula,
para responder a las siguientes preguntas
Su rapidez para los 5 primeros segundos es 10 m/s
a) Verdadero b) falso
A los 6 segundos la partícula está retornando al punto
de partida
a) Verdadero b) falso

34. X(m)
2
30
5 7 t(s)
15
Utilice está gráfica, del movimiento rectilíneo de una partícula,
para responder a las siguiente pregunta
El desplazamiento efectuado durante los últimos 5 s es 15m
a) Verdadero b) falso
Su velocidad para t = 7s es -5m/s
a) Verdadero b) falso

35. X(m)
2
30
5 7 t(s)
15
Utilice está gráfica, del movimiento rectilíneo de una partícula,
para responder a las siguiente pregunta
La distancia total recorrida es 60 m
a) Verdadero b) falso

36. Las ecuaciones de cinemática para la aceleración constante en
forma vectorial son:
v = v0 + a t r = r0 + 1/2(v + v0)t r = r0 + v0t + 1/2 a t2
Aceleración constante
y
x
v
at
v0
ayt
vy0
vx0
axt
vy
vx
y
1/2at2
Δr
v0t
1/2ayt2
vy0t
vx0t
1/2axt2
Δ y
Dx

37. Isabel decide poner a prueba su automóvil compitiendo en una carrera
de aceleración con Francisco. Ambos parten del reposo, pero
Francisco sale 1 s antes que Isabel. Si Francisco se mueve con una
aceleración constante de 12 pies/s2 e Isabel mantiene una aceleración
de 16 pies/s2, calcular:
a) El tiempo que tarda Isabel en alcanzar a Francisco.
b) La distancia que recorre antes de alcanzarlo.
c) Las velocidades de los dos corredores en el instante en que . -
. Isabel alcanza a Francisco.

38.  
pies103.3
2
s5.616 2
2
s
pies
2


Isabelx
 
pies103.3
2
s5.712 2
2
s
pies
2


Franciscox
  s
pies
s
pies
Isabel tv 2
1 101.0s5.616a 2 
  s
pies
s
pies
Francisco tv 90s5.712a 22 

39. ¿Qué gráfica representa correctamente el movimiento de una
partícula que tiene velocidad positiva y aceleración negativa?

40. Un vehículo viaja por una pista circular a rapidez
constante.
a) Su aceleración es cero.
b) Su aceleración es constante.
c) Su aceleración aumenta
Un atleta corre 1.5 vueltas alrededor de una pista redonda
en un tiempo de 50 s. El diámetro de la pista es 40 m y
su circunferencia es 126 m. La velocidad media del
atleta es:
a) 3.8 m/s
b) 2.5 m/s
c) 0.8 m/s
d) 75 m/s
e) 28 m/s

41. TAREA
Una persona conduce su automóvil a 50 km/h y se acerca a un cruce
justo cuando enciende la luz amarilla del semáforo. Sabe que esa luz
amarilla sólo dura 2.0 s antes de cambiar al rojo, y está a 30 m de la acera
más cercana del cruce. ¿Debe tratar de frenar o debe acelerar? El cruce
tiene 15 m de ancho y la desaceleración máxima del automóvil es de -6.0
m/s2. Así mismo, el vehículo tarda 7.0 s en acelerar de 50 km/h a 70 km/h.
No tenga en cuenta la longitud del vehículo ni el tiempo de reacción.

42. Un objeto cayendo libremente es un
objeto que está cayendo únicamente
debido a la influencia de la gravedad.
•No existe resistencia del aire
•La magnitud de es constante y es
un vector vertical y hacia abajo
jga ˆ

g


43. La aceleración en caída libre de un objeto es conocido como la
aceleración de la gravedad y se representa con el símbolo
Hay ligeras variaciones del valor de g dependiendo de
la altitud.
Frecuentemente se usa g = 10 m/s2 como una
aproximación
2
ˆ8.9
s
m
jg 


44. x
t
t
a
-g
jga ˆ
t
vv0
-v0
tv
tv/2
gtvv 0

tv
H
2
gt
2
1
tvyy 00


45. Una persona situada en la terraza de un edificio muy alto
sostiene en su mano dos esferas macizas, una de caucho y la
otra de acero. Si “suprimimos el aire”, y justo en ese
momento se sueltan las dos esferas, entonces es correcto
afirmar que:
a) La esfera de caucho llega primero al suelo.
b) La esfera de acero llega primero al suelo.
c) Ambas llegan al mismo tiempo al suelo.
d) Para saber quien llega primero hay que conocer la altura
del edificio.
e) Para saber quien llega primero al suelo, hay que saber si
las esferas son de igual o distinto tamaño.

46. 2
10
s
m
jˆg 


47. tiempo
posición
Inicia
lentamente
Finaliza con una
gran velocidad
m = g = 9.8m/s2
Arranca del
reposo v = 0
tiempo
velocidad

48. Las ecuaciones son:
a = - g
vy = voy - g . t
y = y0 + v0.t – ½ g t²
vy ² = voy ² - 2.g .D y
y

49. La aceleración de la gravedad en las cercanías de la superficie
terrestre es aproximadamente 9.8 m/s2. El significado físico
de este valor, con respecto a un móvil que se mueve
verticalmente, es que encada segundo:
a) El móvil se desplaza 9.8 metros
b) El móvil incrementa su rapidez en 9.8 m/s
c) El móvil disminuye su rapidez en 9.8 m/s
d) El móvil recorre 19.6 metros
e) El móvil puede incrementar o disminuir su rapidez en 9.8
m/s

50. Signo de la aceleración:
Si el eje X apunta hacia arriba la aceleración de la
gravedad vale a=-g, g=9.8 o 10 m/s2
Signo de la velocidad inicial:
Si el eje X apunta hacia arriba y el
cuerpo es inicialmente lanzado hacia
arriba el signo de la velocidad inicial es
positivo
Situación del origen:
Se acostumbra a poner en el origen,
en el punto en el que es lanzado el
móvil en el instante inicial.

51. PROBLEMA
Se lanza una pelota(1) verticalmente hacia arriba con una
rapidez de 10 m/s. Luego de un segundo se lanza una
piedra(2) verticalmente con una rapidez inicial de 25 m/s
Determine
a.) el tiempo que tarda la piedra en alcanzar la misma altura
que la pelota.
SOLUCION. Alturas son iguales
t1= t2 + 1
Y1= V1o t1- 1/2 g t1 ²
Y2= V2o t2- 1/2 g t 2²

52. Ypie= Y pel
V1(t2 + 1) - 1/2 g (t2 + 1) ² = V2o t 2-
1/2 g t 2²
V1t2 + V1- 1/2 g t2² - g t2- 1/2g = V2
t2- 1/2 g t2²
t2 ( V1 - g - V2) = - V1+ 1/2 g
t2 (10 - 9.8 - 25) = -10 + 4.9
t2= -5.1/- 24.8
t2 = 0.205 s.

53. PREGUNTA
Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra desde un
punto O que se toma como origen del sistema de referencia.
En el punto más alto que alcanza:
a) Su aceleración es nula
b) Su velocidad es nula
c) Su posición es nula
d) Todas son nulas
e) Ninguna es nula

54. PROBLEMA
Se deja caer un objeto desde 45 metros de altura sobre un
lugar de la superficie terrestre donde g tiene un valor
cercano a 10 m/s2. ¿Cuál es la rapidez media del objeto en
el intervalo de tiempo desde que se soltó hasta que llega al
suelo?
a) 7.5 m/s
b) 10 m/s
c) 15 m/s
d) 30 m/s
e) 45 m/s

55. PROBLEMA
Desde un globo que asciende a una velocidad de 10 [m/s]
se deja caer una piedra que llega al suelo en 16 [s].
¿A qué altura estaba el globo cuándo se soltó la piedra?.
¿Cuál es la altura máxima alcanzada?.
¿Con qué velocidad llega la piedra al suelo?.

56. TAREA
Una persona salta desde la
ventana del tercer piso de un
edificio a 15 m por arriba de la red
de incendios. Al caer sobre ésta, la
estira 1.0 m antes de quedar en
reposo. a) ¿Cuál fue la
desaceleración promedio
experimentada por la persona
cuando fue frenada hasta el reposo
por la red? b) ¿Qué haría usted
para hacer que la red sea más
segura (es decir, para generar una
desaceleración más pequeña)?
¿La estiraría o la haría más floja?
Explique su respuesta.

57. MOVIMIENTO
PARABOLICO

58. Movimiento de proyectiles
Para el movimiento de proyectiles
supondremos que la aceleración es
constante y dirigida hacia abajo,
además despreciaremos la resistencia
del aire.

59. Trayectoria de un proyectil
Trayectoria de un proyectil arrojado con una
velocidad inicial v0.

60. Ecuaciones del movimiento
Las ecuaciones del movimiento de un
proyectil en cualquier tiempo son:
x = vx0t vx = vx0 const.
vy = vy0 - gt
y = vy0t - ½gt2

61. Vector Posición r
r= voxt î + (voyt - ½gt2)ĵ
r= (vocos)t î + (vosen t - ½gt2)ĵ
r= rxî + ryĵ

62. TIRO PARABÓLICO
v= vxî +vyĵ
v= voCos î +(vosen - gt) ĵ

63. Alcance y altura máxima
Tiempo de subida ts
ts= Voy/g
Vy =0 en el punto
máximo
Vy = voy -gt
Altura máxima
Vy
2 =voy
2 – 2gh
hmax= voy
2
2g
Tiempo de caída tc
Es igual al tiempo de
subida si el cuerpo llega al
mismo nivel desde donde
se lanzó
Alcance R = vox tv
tiempo de vuelo tv= ts + tc = 2ts

64. Algunos parámetros del tiro parabólico
g
v
h
2
sen 0
22
0 

g
v
R 0
2
0sen2


65. Alcance máximo
g
v
R 0
2
0sen2


66. PROBLEMA: Se dispara un proyectil con una velocidad de 240 m/s sobre un
blanco B situado a 600 m por encima del arma A y a una distancia horizontal de
3600 m. Despreciando la resitencia del aire, determine el valor del ángulo de tiro
.
Vox = vo cos = 240 cos 
x = (240 cos ) t
3600=(240 cos ) t
t= 3600 = 15 .
240 cos  cos 
Movimiento horizontal
Movimiento vertical Y = voy t - ½gt2  600= 240sen  t - ½(9.81)t2
600= 240sen  (15) - ½(9.81) (15)2
cos  cos2 
 1104 tg2  - 3600tg  + 1704 = 0 , donde sec x=raiz(1 + tan2x)
tg  = 0.575 y tg  = 2.69
 = 29.9º y  = 69.6º

67. Problema

70. Problema

71. TAREA
Se dispara un proyectil desde el nivel del suelo, en ángulo de 30 con la horizontal.
¿Cuál debe ser la velocidad inicial del proyectil para que logre pasar sobre un
obstáculo de 50 m de altura, ubicado sobre la superficie, a 500 m del punto de
lanzamiento?
v0

h
d

73. Componente tangencial y normal de la ACELERACION

74. VECTORES POSICION ,VELOCIDAD Y ACELERACION
kzjyixr ˆˆˆ 

t
r
vmed
D
D



k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
dt
rd
v ˆˆˆ 


t
v
amed
D
D



k
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv
dt
vd
a zyx ˆˆˆ 



t
xoxx dtavv
0 
t
xo dtvxx
0
2
2
dt
xd
a 

75. PROBLEMA
Un estudiante de Física A conduce su auto en línea recta por una de las pistas de la
ESPOL. En el instante t=0, el estudiante que avanza a 10m/s en la dirección +x, pasa
un letrero que está a x=50m. Si su aceleración es:
a) Deduzca expresiones para su posición y velocidad en función del tiempo.
b) ¿Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente variado?
c) Realizar los gráficos posición, velocidad y aceleración versus tiempo.
d) ¿En que momento es máxima su velocidad?
e) ¿Cuál es su máxima velocidad?
f) ¿Dónde se encuentra el auto cuando alcanza su máxima velocidad?
tssmax )/10.0(/0.2 32


78. Se define movimiento circular
como aquel cuya trayectoria es una
circunferencia.
Posición P,  . Se representa en
coordenadas polares r y  donde la
unica variable f(t) es  ya que
r= cte
Desplazamiento angular, Δθ
Velocidad angular, w

79. La localización de un objeto que viaja en una trayectoria circular se
especifica más adecuadamente por medio de coordenadas polares r y .
La coordenada angular puede estar dada en las unidades grados o radianes.

80. Un radián es el ángulo subtendido por el arco cuya longitud es igual al radio
del círculo.
r
s


81. tD
D


w
Las unidades en el SI son rad/s.
dt
d
tt

w 
D
D

D 0
lim

Se denomina velocidad angular media al cociente entre el
desplazamiento angular y el tiempo
Velocidad angular
instantanea

82. R
S
ttt 12
12



D
D 
w
Desplazamiento angular
Rapidez angular
media
tt
D
D
D


w lim 0
Rapidez angular instantánea
tD
D

w

 Velocidad angular
media
rv
 w Velocidad lineal o tangencial
rv w Rapidez lineal o tangencial
fT
1 Periodo
fw 2

83.    D w

   D w

La velocidad angular es perpendicular al plano y cumple la regla de la
mano derecha.

85. Relación entre v y w
rv

w
w

yv

87. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son
análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme

91. 2
2
4
T
R
an



99. TAREA
Un bicicleta con ruedas de radio R=35cm pasa por un charco de agua a 20
km/h.
A. ¿Cuál será la aceleración centrípeta de las gotas cuando abandonen la
rueda?
B. Haga un esquema de la trayectoria de la gotas al dejar la rueda.
Suponiendo que el ciclista carezca de guardabarros,
C. ¿Cuál será la máxima altura a la que lleguen las gotas?
D. ¿Cuál será la máxima distancia (desde la bicicleta) a donde caerán?.

100. En este movimiento la rapidez no es constante. Ejemplo: Un
carro de montaña rusa que frena y se acelera al moverse en
un lazo vertical.
cte
R
v
an 
2
dt
vd
a

tan
La aceleración radial (centrípeta) es mayor donde v (velocidad
tangencial) es mayor.
La aceleración tangencial tiene la dirección de la velocidad si la
partícula está acelerando, y la dirección opuesta si está
frenando.

102. tD
D

w

tt D
D

D
w

0
lim(rad/s2)

103. mcu mcuv

104. r
 ,
r

tu

S
S’ tu'rr 

 
u'vv
dt
tud
dt
'rd
dt
rd





relativaVelocidaduv'v


inercialesSistemasa'a
dt
ud
dt
vd
dt
'vd





105. relativaPosición
AB
A
B
AB
A
B
rrr
xxx



AB
A
B
ABA
B
vvv
dt
rd
dt
rd
dt
rd


 relativa
Velocidad
relativanAceleracióAB
A
B
ABA
B
aaa
dt
vd
dt
vd
dt
vd




xA
xB
xB-xA
A B

106. EJEMPLO:
Un helicóptero se mueve orientado hacia el Norte con una velocidad de
50km/h con respecto al aire. El aire se mueve con una velocidad de 15km/h
del Este al Oeste. Calcular la velocidad del helicóptero con respecto a un
observador que está en reposo en la Tierra.

107. EJEMPLO: Un bote puede viajar a 2 m/s en aguas
quietas. El bote intenta cruzar un río cuya corriente es
de 1.5 m/s, apuntando la proa directamente al otro lado
del río. a) ¿Cuál es la velocidad del bote relativa a la
orilla del río? b) Si el río tiene un ancho de 150m,
¿Cuánto tiempo demora en cruzarlo? c) ¿Qué distancia
total recorre el bote mientras cruza el río?
vB = 2.0 m/s
vR = 1.5 m/s
SOLUCION:
datos
d = 150 m
a) la velocidad del bote relativa a la orilla resulta
de la suma de los vectores velocidad del bote
relativa al agua y velocidad del agua (corriente)
relativa a la orilla
elegimos sistema de coordenadas XY
Y
X
con vectores unitarios jˆ,iˆ
iˆ
jˆ
el vector velocidad del bote es
jˆviˆvvvv RBRB 

con módulo
sm.sm.vvv AB 52512 2222
y dirección en ángulo , dado por
750
02
51
.
.
.
v
v
tan
B
R
 con   º..tan 87367501


Rv

Bv

v


108. B) El vector de posición del bote está dado por          jˆtviˆtvjˆtyiˆtxtr RB 

el cruce del río está dado por la coordenada y(t)
es decir, y(t) = vB·t y llega al otro lado cuando y(tC) = d, donde tC es el tiempo de cruce.
Entonces, s
sm.
m
v
d
t
B
C 75
02
150

C) La distancia total recorrida D está determinada por la velocidad respecto de la orilla v y
el tiempo de cruce tC
Así     m.ssm.tvD C 51877552 

109. Se cruzan dos trenes en sentido contrario con velocidades
respectivas de 80 km/h y 40 km/h. Un viajero del primero de ellos
observa que el segundo tren tarda 3 segundos en pasar por delante
de él. ¿Cuánto mide el segundo tren?.
A. 52 m
B. 125 m
C. 100 m
D. 130 m
Un barco efectúa el servicio de pasajeros entre dos ciudades A y B,
situadas en la misma ribera de un río y separadas por una distancia
de 75 Km. Si en ir de A a B tarda 3 horas y en volver de B a A tarda 5
horas deducir la velocidad del barco VB Y la de la corriente Vc
suponiendo que ambas permanecen constantes.
A. VB = 15 km/h; Vc = 3 km/h
B. VB = 20 km/h; Vc = 3 km/h
C. VB = 20 km/h; Vc = 5 km/h
D. VB = 75 km/h; Vc = 5 km/h
TAREA: