Clase 1 medicion de-eficiencia

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Introducción
Medición de eficiencia - clase 1
Conceptos relevantes de la teor´ıa de la firma
Mauro Orlando Gutiérrez Mart´ınez
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
gutierrez mauro@hotmail.com
Marzo 2018
Mauro Orlando Gutiérrez Mart´ınez Medición de eficiencia: conceptos relevantes

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Introducción
Contenido
1 Introducción
Función de producción
Función de costos
Función de ingresos
Función de beneficios
Función de demanda y oferta

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Introducción
Función de costos
Contenido
1 Introducción

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Introducción
Función de costos
Contenido
1 Introducción
Función de costos

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Introducción
Función de costos
Funciones de producción: introducción
Una función de producción es una representación de la tecnolog´ıa que transforma
insumos en productos.
y = f (x1, x2, ..., xJ ) = f (x) (1)
Donde:
y: Nivel de producción
xi : Nivel de insumo i
1 f (x) es finita, no negativa y tiene un único valor para todo valor x no negativo.
2 f (0) = 0: Sin insumos no hay producción.
3 f (x) ≥ f (x ) para x ≥ x (monotonicidad).
4 f (x) es continua y dos veces diferenciable.
5 Cualquier vector de insumos x0 y x1 y los niveles de producción asociadas f (x0)
y f (x1), la función f (.) es concava si:
f (θx0 + (1 − θ)x1) ≥ θf (x0) + (1 − θ)f (x1)

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Introducción
Función de costos
Figura 1: Función de producción

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Introducción
Función de costos
Figura 2: Función de producción y supuestos. Tomado de Coelli 2005

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Introducción
Función de costos
Producto marginal y Tasa marginal de sustitución
Producto marginal.
MPn =
∂f (x)
∂xn
(2)
Tasa marginal de sustitución técnica.
MRTSnm =
∂xn(x1, ..., xn−1, xn+1, ..., xN)
∂xm
= −
MPm
MPn
(3)
Donde xn(x1, ..., xn−1, xn+1, ..., xN ), es una función que indica la cantidad
de xn para alcanzar un nivel de producción, dada una cantidad de
insumos (x1, ..., xn−1, xn+1, ..., xN )

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Introducción
Función de costos
Elasticidad del producto y Elasticidad de sustitución directa
Elasticidad del producto.
En =
∂f (x)
∂xn
xn
f (x)
(4)
Elasticidad de sustitución directa - DES.
DESnm =
d(xm/xn)
d(MPn/MPm)
MPn/MPm
xm/xn
(5)
Para 2 bienes se presenta por σ

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Introducción
Función de costos
Elasticidad sustitución
Figura 3: Elasticidad sustitución. Tomado de Coelli 2005

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Introducci´on
Funci´on de costos
Rendimientos de escala
f (k · x) < k · f (x) ⇔ Rendimientos decrecientes a escala DRS
f (k · x) = k · f (x) ⇔ Rendimientos constantes a escala CRS
f (k · x) > k · f (x) ⇔ Rendimientos crecientes a escala IRS (6)

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Introducción
Función de costos
Elasticidad de escala o elasticidad total de producción
=
∂f (kx)
∂k
k
f (kx) k=1
=
N
n=1
En (7)
Si la función de producción exhibe DRS, CRS o IRS, la elasticidad
de escala es menor, igual o mayor a 1.

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Introducción
Función de costos
Ejemplo de aplicación
Sea una función Cobb Douglas q = 2x0.5
1 x0.4
2
MP1 =
∂q
∂x1
= x−0.5
1 x0.4
2
MP2 =
∂q
∂x2
= 0.8x0.5
1 x−0.6
2
E1 =
∂q
∂x1
x1
q
= x−0.5
1 x0.4
2
x1
2x0.5
1 x0.4
2
= 0.5
E2 =
∂q
∂x2
x2
q
= 0.8x0.5
1 x−0.6
2
x2
2x0.5
1 x0.4
2
= 0.4
La elasticidad de escala queda definida como:
=
2
i=1
En = 0.5 + 0.4 = 0.9

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Introducción
Función de costos
Ejemplo de aplicación
σ =
d(x2/x1)
d(MP1/MP2)
MP1/MP2
x2/x1
Nótese que:
MP1
MP2
=
x−0.5
1 x0.4
2
0.8x0.5
1 x−0.6
2
=
1
0.8
x2
x1
⇒
x2
x1
= 0.8
MP1
MP2
σ =
d(x2/x1)
d(MP1/MP2)
MP1/MP2
x2/x1
= 0.8x
1
0.8
x2
x1
x
x1
x2
= 1

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Introducción
Función de costos
Función de producción de corto plazo y largo plazo
Una función de largo plazo implica que pueden modificarse todos los niveles de
insumos.
Una función de corto plazo implica que los niveles de 1 o más insumos no
pueden modificarse.
Figura 4: Función de corto plazo. Tomado de Coelli 2005

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Introducción
Función de costos
Función de Transformación
Las posibilidades de producción de una firma que usa N insumos y
produce M productos puede resumirse con la siguiente función de
transformación:
T(x, q) = 0 (8)
Donde:
q = (q1, ..., qM) es un vector Mx1 de productos.
x = (x1, ..., xN) es un vector Nx1 insumos.
Un caso especial es:
T(x, q) = q − f (x) = 0

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Introducción
Función de costos
Función de producción homogénea
Una función es homogénea si satisface la siguiente condición.
λγ
y = f (λx1, λx2, ..., λxn) (9)
La función es homogénea de grado γ
Si γ = 1 la función presenta rendimientos constantes a escala.
Si γ > 1 la función presenta rendimientos crecientes a escala.
Si γ < 1 la función presenta rendimientos decrecientes a escala.

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Introducción
Función de costos
Rendimientos a escala: RTS
Si las funciones no son homogéneas, RTS puede ser estimado:
RTS =
∂ln(f (λx))
∂lnλ
|λ=1 (10)
Los RTS pueden ser expresadas como la suma de elasticidades
RTS =
j
∂ln(f (λx))
∂ln(λxj )
|λ=1 =
j
∂ln(f (x))
∂ln(xj )
=
j
j (x) (11)

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Introducción
Función de costos
Sustituibilidad
—
σ12 =
dln(x2/x1)
dln(f1/f2)
(12)
σ12 = ∞, x1 y x2 son sustitutos perfectos.
σ12 = 0, x1 y x2 son complementarios perfectos.
σ12 = 1, si f es una función Cobb-Douglas.
σ12 = cte, si f es una función CES.

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Introducci´on
Funci´on de costos
Sustituibilidad
σij = σji = i xi fi
xi xj
Fji
F
(13)
Donde:
F =
0 f1 f2 . . . fJ
f1 f11 f12 . . . f1J
f2 f12 f22 . . . f2J
...
...
...
...
...
fJ f1J f2J . . . fJJ
y Fji es el cofactor asociado con fij . Para J = 2
σ12 =
−f1 · f2(x1f1 + x2f2)
x1x2(f11f 2
2 − 2f12f1f2 + f22f 2
1 )

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Introducción
Función de costos
Separabilidad
Una función es separable, si por ejemplo una función de 3 inputs puede ser escrita
como:
y = f (x) = G(xa, x3) (14)
Donde xa = g(x1, x2) y las funciones G(.) y f (.) satisface las propiedades de una
función de producción.
La función g(.) se le denomina función de agregación, porque agrega varios
insumos en uno.
Una caracter´ıstica de una función separable es:
∂MRTSij /∂xk = ∂(fi /fj )/∂xk = 0
Si se cumple la condición anterior, la función de producción puede ser escrita
como:
f (x) = G(f 1
(x1
), ..., f m
(xm
)) (15)

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Introducción
Función de costos
Cambio tecnológico
El cambio técnico se refiere a un cambio en la tecnolog´ıa de producción
que puede provenir de métodos mejorados de uso de las entradas
existentes (cambio técnico incorporado) o a través de cambios en la
calidad de la entrada (cambio técnico no incorporado).
Figura 5: Cambio tecnológico

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Introducción
Función de costos
Si la función de producción puede ser escrita como y = f (x, t), entonces:
TC(x, t) =
∂lnf (x, t)
∂t
(16)
El cambio tecnológico es neutral si es independiente de x
TC(x, t) = TC(t) (17)
El cambio tecnológico es neutral a la Hick si:
y = f (x, t) = A(t)f (x) (18)
Nota: Si TC(x, t) depende de x, entonces es no neutral.

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Introducción
Función de costos
Figura 6: Cambio tecnológico. Tomado de Coelli 2005

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Introducción
Función de costos
Función de costos
Es la función que minimiza el gasto, dado un nivel de producción y
los precios de los insumos.
c(w, q) = min
x
w x tal que T(q, x) = 0 (19)
Donde w = (w1, ..., wN) es el vector de precio de los insumos.

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Introducción
Función de costos
Función de costos
Ejemplo
c(w1, w2, q) = min
x
w1 · x1 + w2 · x2 tal que x2 − 0.177x−1.25
1 q2.5
= 0
Sustituyendo x2
c(w1, w2, q) = min
x1
w1 · x1 + 0.177w2x−1.25
1 q2.5
= 0
Derivando
x1(w1, w2, q) = 0.511w−0.444
1 w0.444
2 q1.111
x2(w1, w2, q) = 0.409w0.556
1 w−0.556
2 q1.111
Por tanto la función de costo queda definida por:
C(w1, w2, q) = w1·x1(w1, w2, q)+w2·x2(w1, w2, q) = 0.92w0.556
1 w0.444
2 q1.111

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Introducción
Función de costos
Función de costos
Propiedades
No negativa.
No decreciente en w: un incremento de los precios de los
insumos no podrá decrecer los costos. Si w0 ≥ w1 ⇒
c w0, q ≥ c w1, q .
No decreciente en q: Si q0 ≥ q1 ⇒ c w, q0 ≥ c w, q1 .
Homogeneidad: c(kw, q) = k · c(w, q)
concavidad: c(θw0 + (1 − θ)w1, q) ≥
θc(w0, q) + (1 − θ)c(w1, q) ∀ 0 ≤ θ ≤ 1 (condición técnica
para asegurar pendiente negativa de la demanda de factores).

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Introducción
Función de costos
Función de costos
Figura 7: Minimización de la función de costos. Tomado de Coelli 2005

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Introducci´on
Funci´on de costos
Demanda derivada de factores
Lema de Shephard
xn (w, q) =
∂c(w, q)
∂wn
(20)
C(w1, w2, q) = 0.92w0.556
1 w0.444
2 q1.111
Tomando las derivadas de primer orden tenemos:
x1(w1, w2, q) = 0.511w−0.444
1 w0.444
2 q1.111
x2(w1, w2, q) = 0.409w0.556
1 w−0.556
2 q1.111

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Introducci´on
Funci´on de costos
Demanda derivada de factores
Propiedades
No negatividad: xn(w, q) ≥ 0
No creciente en w: ∂xn(w, q)/∂wn ≤ 0
No decreciente en q: ∂xn(w, q)/∂q ≥ 0
Homogeneidad: xn(kw, q) = xn(w, q)para k > 0
Simetr´ıa: ∂xn(w, q)/∂wm = ∂xm(w, q)/∂wn

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Introducción
Función de costos
Función de costo de corto plazo
Definición
c(w, q, xf ) = min
xv
wv · xv + wf · xf sujeto a T(q, x) = 0
Donde
Xf : insumos fijos.
Xv : insumos variables.
La función de corto plazo cumple con las propiedad de la función
de costos de largo plazo. Adicionalmente cumple con:
c(w, q, xf ) ≥ c(w, q).
Si X0
f ≥ X1
f ⇒ c(w, q, x0
f ) ≥ c(w, q, x1
f )).

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Introducción
Función de costos
Función de costo medio y marginal de corto plazo
Definiciones
Costo variable de corto plazo: SVC = wv xv (w, q, xf )
Costo fijo de corto plazo: SFC = wf xf
Costo total de corto plazo: STC = wv xv (w, q, xf ) + wf xf
Costo variable medio de corto plazo: SAVC = wv xv (w,q,xf )
q
Costo fijo medio de corto plazo: SAFC =
wf xf
q
Costo medio de corto plazo: SAC = c(w,q,xf )
q
Costo marginal de corto plazo:SMC = ∂c(w,q,xf )
∂q
Costo total de largo plazo: LTC = c(w, q)
Costo promedio total de largo plazo: LAC = c(w,q)
q
Costo marginal de largo plazo: LMC = ∂c(w,q)
∂q

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Introducción
Función de costos
Econom´ıas de escala y de alcance
Definiciones
Medida de la econom´ıa de escala total.
c =
M
m=1
∂ln c(w, q)
∂lnqm
−1
(21)
La firma exhibirá retornos crecientes, constantes o decrecientes a
escala si c es mayor, igual o menor que 1.

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Introducción
Función de costos
Definiciones
Medida de la econom´ıa de alcance (scope).
Existen 3 medidas:
S =
M
m=1
c(w, qm)/c(w, q) − 1 (22)
Sm =
c(w, qm) + c(w, qM−m) − c(w, q)
c(w, q)
(23)
Smn =
∂2c(w, q)
∂qmqn
(24)
Donde:
c(w, qm): costo de producir solo el producto m.
c(w, qM−m): costo de producir todos los bienes menos el producto m.

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Introducción
Función de costos
Interpretación
Medida de la econom´ıa de alcance (scope).
S =
M
m=1
c(w, qm)/c(w, q) − 1
Sm =
c(w, qm) + c(w, qM−m) − c(w, q)
c(w, q)
Smn =
∂2c(w, q)
∂qmqn
Si S > 0 es mejor producir en grupo, caso contrario conviene producir todos los
bienes por separado.
Si Sm > 0 es mejor producir en grupo, caso contrario conviene producir m por
separado.
Si Smn < 0 existe econom´ıa de alcance con respecto al n producto.

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Introducción
Función de costos
La función de ingresos se define como:
r(p, q) = max
q
p q tal que T(q, x) = 0 (25)
Donde:
p = (p1, p2, ..., pM) es un vector de precios sobre los que la
firma no tiene control.

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Introducci´on
Funci´on de costos
Propiedades
Negatividad: r(p, x) = 0.
No decreciente en p: si p0 ≥ p1 entonces r(p0, x) ≥ r(p1, x).
No decreciente en x: si x0 ≥ x1 entonces r(p, x0) ≥ r(p, x1).
convexo en p:
r(θp0 + (1 − θ)p1, x) ≤ θr(p0, x) + (1 − θ)r(p1, x) ∀0 ≤ θ ≤ 1.
Homogeneidad: r(kp, x) = kr(p, x) ∀k > 0

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Introducción
Función de costos
Función de ingresos de largo plazo
Ingreso total de largo plazo.
LTR = pq (26)
Ingreso promedio de largo plazo.
LAR = p (27)
Ingreso marginal de largo plazo.
LMR = p (28)

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Introducción
Función de costos
Función de beneficios.
Se define como:
π(p, w) = max
q,x
p q − w x tal que T(q, x) = 0 (29)

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Introducci´on
Funci´on de costos
Propiedades
Negatividad: π(p, w) ≥ 0.
No decreciente en p: si p0 ≥ p1 entonces
π(p0, w) ≥ π(p1, w).
No decreciente en w: si w0 ≥ w1 entonces
π(p, w0) ≤ π(p, w1).
Homogeneidad: π(kp, kw) = kr(p, w) ∀k > 0.
Convexo en (p, w): π(θp0 + (1 − θ)p1, θw0 + (1 − θ)w1) ≤
θπ(p1, w1) + (1 − θ)π(p1, w1) ∀ 0 ≤ θ ≤ 1.

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Introducci´on
Funci´on de costos
Demanda derivada de insumos - Lema de Hotelling
xn(p, w) = −
∂π(p, w)
∂wn
(30)
qm(p, w) = −
∂π(p, w)
∂pn
(31)

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Introducci´on
Funci´on de costos
Demanda y oferta
No negatividad: xn(p, w) ≥ 0.
No creciente en w: ∂xn(p, w)/∂wn ≤ 0.
Homogeneidad: xn(kp, kw) = xn(p, w), ∀k > 0
Simetr´ıa: ∂xn(p, w)/∂wm = ∂xm(p, w)/∂wn, ∀k > 0
No negatividad: qm(p, w) ≥ 0.
No decreciente en p: ∂qm(p, w)/∂pm ≥ 0.
Homogeneidad: qm(kp, kw) = qm(p, w), ∀k > 0
Simetr´ıa: ∂qn(p, w)/∂pm = ∂qm(p, w)/∂pn, debido a que
∂xn(p,w)
∂wm
= ∂2π(p,w)
∂wn∂wm
= ∂2π(p,w)
∂wm∂wn
= ∂xm(p,w)
∂wn

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Introducción
Función de costos
Referencias
Coelli, et. al. (2005)
An introduction to efficiency and productivity analysis, Springer US. 2005
Kumbhahar, et. al. (2015)
A practitioner’s guide to stochastic frontier analysis using stata,
Cambrigde University Press. 2015

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