Este documento presenta una introducción a los índices numéricos y describe varios índices de precios comunes como Laspeyres, Paasche, Fisher y Törnqvist. Explica cómo se calculan y las propiedades que cumplen según el enfoque axiomático. Recomienda el uso de índices encadenados para medir la eficiencia y señala que aunque Fisher y Törnqvist cumplen la mayoría de propiedades, Törnqvist falla una por aproximación.

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Introducci´on
Principales ´ındices de precios
Selecci´on de ´ındices
Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
N´umeros ´Indices - Medici´on de eficiencia
con aplicaciones en Stata
Mauro Orlando Guti´errez Mart´ınez
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
gutierrez mauro@hotmail.com
diciembre 2017
Mauro Orlando Guti´errez Mart´ınez N´umeros ´Indices-Medici´on de eficiencia

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Introducci´on
Principales ´ındices de precios
Selecci´on de ´ındices
Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
Contenido
1 Introducci´on
2 Principales ´ındices de precios
3 Selecci´on de ´ındices
4 Aplicaci´on
5 Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
Mauro Orlando Guti´errez Mart´ınez N´umeros ´Indices-Medici´on de eficiencia

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Introducci´on
Principales ´ındices de precios
Selecci´on de ´ındices
Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
N´umeros ´ındices
Conceptos
N´umero ´ındice.
Un n´umero ´ındice se define como un n´umero real que mide cambios
de un conjunto de variables relacionadas.
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Introducci´on
Principales ´ındices de precios
Selecci´on de ´ındices
Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
N´umeros ´ındices
Notaci´on
pmj : Precio del M-esimo bien del periodo j. Tal que m ∈ {1, . . . , M} y
j ∈ {s, t}.
qmj : Precio del M-esimo bien del periodo j. Tal que m ∈ {1, . . . , M} y
j ∈ {s, t}.
Sin p´erdida de generidad j puede ser interpretada como otra unidad pro-
ductiva en el mismo periodo de tiempo. Asimismo, las cantidades pueden
representar productos e insumos.
El periodo de referencia con respecto al que se mide los cambios, se de-
nomina ”periodo base”.
El periodo para el que se calcula el ´ındice, se denomina ”a˜no corriente”.
Ist representa un n´umero ´ındice general, con periodo corriente t y periodo
base s.
Vst ,Pst ,Qst representan n´umero ´ındices de valor, precio y cantidad, respec-
tivamente.
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Introducci´on
Principales ´ındices de precios
Selecci´on de ´ındices
Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
N´umeros ´ındices
Problema general de los n´umero ´ındices
Sea Vst un ´ındice que mide el cambio de valor de una canasta de bienes
entre los periodos s y t.
Vst =
M
m=1 pmt qmt
M
m=1 pms qms
(1)
Las variaciones del ´ındice de valor pueden provenir de variaciones en los
precios o en las cantidades, por lo que la descomposici´on es deseada.
Si asumimos un solo bien:
Vst =
pt qt
ps qs
=
pt
ps
.
qt
qs
(2)
La variaci´on de precios y cantidades puede ser determinada. Sin embargo
cuando M ≥ 2 existe un problema de agregaci´on.
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Principales ´ındices de precios
Selecci´on de ´ındices
Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
N´umeros ´ındices
´Indice de precio de Laspeyres
El ´ındice de Laspeyres usa como ponderadores las cantidades del periodo
base.
PL
st =
M
m=1 pmt qms
M
m=1 pms qms
=
M
m=1
pmt
pms
pms qms
M
m=1 pst qms
=
M
m=1
pmt
pms
pms qms
M
m=1 pms qms
(3)
=
M
m=1
pmt
pms
ωms
Puede interpretarse como un ´ındice de precio, ponderado por el valor rela-
tivo de dicho bien en el periodo s.
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Principales ´ındices de precios
Selecci´on de ´ındices
Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
N´umeros ´ındices
´Indice de precio de Paasche
El ´ındice de precios de Paasche usa como ponderadores las cantidades del
periodo corriente.
PP
st =
M
m=1 pmt qmt
M
m=1 pms qmt
=
M
m=1 pmt qmt
M
m=1
pms
pmt
pmt qmt
=
1
M
m=1
pms
pmt
pmt qmt
M
m=1 pmt qmt
(4)
=
1
M
m=1
pms
pmt
ωmt
Puede interpretarse como un ´ındice de precio arm´onico ponderado por el
valor relativo de dicho bien en el periodo corriente t.
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Aplicaci´on
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N´umeros ´ındices
´Indice de precio de Fisher
Fisher (1922) defini´o un ´ındice definido como el promedio de
los ´ındices de Laspayres y Paasche.
PF
st = PL
st.PP
st (5)
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Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
N´umeros ´ındices
´Indice de precio de T¨ornqvist
Se define como un promedio geom´etrico ponderado, considerando
como ponderadores al valor relativo del bien en los periodos s
y t.
PT
st =
M
m=1
pmt
pms
ωms +ωmt
2
(6)
Una forma habitual es expresarlo como su forma logar´ıtmica.
lnPT
st =
M
m=1
ωms + ωmt
2
[lnpmt − lnpms] (7)
≈
M
m=1
ωms + ωmt
2
pmt
pms
− 1
≈ πMauro Orlando Guti´errez Mart´ınez N´umeros ´Indices-Medici´on de eficiencia

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Selecci´on de ´ındices
Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
N´umeros ´ındices de Cantidad - Aproximaci´on directa
QL
st =
M
m=1 pms qmt
M
m=1 pms qms
(8)
Figura 1: ´Ind. de cantidad de Laspeyres
QP
st =
M
m=1 pmt qmt
M
m=1 pmt qms
(9)
Figura 2: ´Ind. de cantidad de Paasche
QF
st = QL
st .QP
st (10)
Figura 3: ´Ind. de cantidad de Fisher
QT
st =
M
m=1
qmt
qms
ωms +ωmt
2
(11)
Figura 4: ´Ind. de cantidad de
T¨ornqvist
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Selecci´on de ´ındices
Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
N´umeros ´ındices de Cantidad - Aproximaci´on indirecta
Sup´ongase que los cambios en el valor puede expresarse como:
Vst
cambio de valor
= Pst
cambio de precio
. Qst
cambio de cantidad
(12)
Qst =
Vst
Pst
=
M
m=1 pmt qmt
M
m=1 pms qms
Pst
=
M
m=1 pmt qmt /Pst
M
m=1 pms qms
(13)
Qst =
Valor en el periodo ”t” (a precio constante en el periodo ”s”)
valor en el periodo ”s” a precios de dicho periodo
(14)
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Introducci´on
Principales ´ındices de precios
Selecci´on de ´ındices
Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
¿C´omo seleccionar el ´ındice de precio adecuado?
Existen 2 enfoques que han sido utilizados para la seccionar los
´ındices de precios m´as adecuados:
Enfoque axiom´atico
Enfoque te´orico
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Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
Enfoque axiom´atico (1)
Propiedades de los n´umeros ´ındices
El enfoque axiom´atico consiste en analizar si el ´ındice de precio
cumple con ciertas propiedades deseadas.
Positividad: El ´ındice de precio o de cantidad deber´a ser en
cada momento positivo.
Continuidad: El ´ındice es una funci´on continua de precios y
cantidades.
Proporcionalidad: Si todos los precios (cantidades) se incre-
mentan en la misma proporci´on, luego Pst (Qst) debe crecer en
la misma proporci´on.
Conmensurabilidad o invarianza dimensional: El ´ındice de
precio (cantidad) debe ser independiente de las unidades de
medida.
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Enfoque axiom´atico (2)
Propiedades de los n´umeros ´ındices
Test de reversi´on del tiempo: Para 2 periodo de tiempo s y
t, el ´ındice debe cumplir con: Pst = 1/Pts o Qst = 1/Qts.
Test de valor medio: El ´ındice de precio (cantidad) debe
tomar un valor entre el valor m´aximo y m´ınimo de los cambios
a nivel de los commodities.
Test de reversi´on de los factores: Un f´ormula se dice que
cumple este test, si el producto del ´ındice de cantidad y de
precio es igual al ratio de valor.
Test de circularidad o transitividad: Para cualquier 3 peri-
odos s, t y r, el ´ındice cumple con esta propiedad si: Pst =
Psr .Prt
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Enfoque axiom´atico (3)
Propiedades de los n´umeros ´ındices
Resultado 1.
El ´ındice de Fisher cumple con todas las propiedades con excepci´on
del test de circularidad. Al cumplir con el test de reversi´on de los
factores se denomina como un ´ındice ideal.
Resultado 2.
El ´ındice de T¨ornqvist cumple con todas las propiedades con
excepci´on del test de circularidad y el test de reversi´on de los
factores. Sin embargo el ´ındice de T¨ornqvist falla el test de
reversi´on de los factores por un peque˜no orden de aproximaci´on.
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Aplicaci´on
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Enfoque axiom´atico (3)
¿´Indices de base fija o encadenados?
Los ´ındices encadenados se definen como:
I(0, t) = I(0, 1).I(1, 2).....I(t − 1, t) (15)
Los ´ındice de base fija, consideran la aplicaci´on de la f´ormulas
anteriores considerando directamente para los periodo 0 y t.
¿Cu´al es el mejor?: No existe consenso, pero para prop´ositos
de medici´on de eficiencia, se recomienda los ´ındices
encadenados a fin de capturar los peque˜nos cambios en cada
periodo.
La utilizaci´on de un ´ındice encadenado, no asegura que
cumpla la propiedad transitiva.
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Enfoque axiom´atico (3)
¿Fisher o T¨ornqvist?
Las diferencias num´ericas entre los ´ındices de Fisher y
T¨ornqvist son peque˜nas.
En la pr´actica suele utilizarse m´as el ´ındice de T¨ornqvist, no
obstante debe preferirse el ´ındice de Fisher, debido a su
propiedad dual (exacto y superlativo), as´ı como su habilidad
para tratar con los ceros.
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Aproximaci´on te´orica econ´omica
El enfoque econ´omico es conocido tambi´en como el enfoque
funcional de los n´umeros ´ındices, desde que dicha
aproximaci´on postula las relaciones funcionales entre los
precios y cantidades para insumos as´ı como tambi´en para los
productos.
M productos
N insumos
pms y pmt representa los precios de los productos para el
m-imo commodity en los periodos s y t, respectivamente.
qms y qmt representa las cantidades de los productos para el
m-imo commodity en los periodos s y t, respectivamente.
m = {1, 2, . . . , M}.
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Principales ´ındices de precios
Selecci´on de ´ındices
Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
Aproximaci´on te´orica econ´omica
contin´ua (...)
wns y wnt representa los precios de los insumos para el n-imo
commodity en los periodos s y t, respectivamente.
xns y xnt representa las cantidades de los insumos para el
n-imo commodity en los periodos s y t, respectivamente.
n = {1, 2, . . . , N}.
pt, ps, qt, qs, wt, ws, xt, y xs, representan los vectores de
n´umeros no negativos de dimensiones apropiadas.
Ss
y St
representa las tecnolog´ıas de producci´on en los
periodos s y t.
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Aplicaci´on
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Aproximaci´on te´orica econ´omica
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Principales ´ındices de precios
Selecci´on de ´ındices
Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
´Indice de precios de Laspeyres - Aplicaci´on
Figura 5: ´Indice de Laspeyres - aplicaci´on
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Aplicaci´on
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´Indice de precios de Paasche - Aplicaci´on
Figura 6: ´Indice de Paasche - aplicaci´on
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Principales ´ındices de precios
Selecci´on de ´ındices
Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
´Indice de precios de Fisher - Aplicaci´on
Figura 7: ´Indice de Fisher - aplicaci´on
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Principales ´ındices de precios
Selecci´on de ´ındices
Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
´Indice de precios de T¨ornqvist - Aplicaci´on
Figura 8: ´Indice de T¨ornqvist - aplicaci´on
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Selecci´on de ´ındices
Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
N´umeros ´Indices (Index Number) en Stata
Instalaci´on del aplicativo.
ssr install index
carga de data.
use ”C:mogmUPC8 analisis de eficienciaindex.dta”, clear
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Selecci´on de ´ındices
Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
N´umeros ´Indices (Index Number) en Stata
comando de ejecuci´on.
index p1 p2 = q1 q2 , summ list chain simple
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Selecci´on de ´ındices
Aplicaci´on
Aplicaci´on de n´umeros ´ındices con Stata
Referencias
Ricardo, Andr´es (2007)
El m´etodo DEA y su aplicaci´on sector energ´etico y las emisiones CO2 en
Am´erica Latina y el Caribe. Serie estudios estad´ısticos y prospectivos, Cepal,
disponible en http://archivo.cepal.org/pdfs/2007/S0700014.pdf
Cepal (2015)
Methods Of Measuring The Economy, Efficiency And Effectiveness Of Public
Expenditure, anexo 7. Cepal, disponible en
https://www.cepal.org/sites/default/files/project/files/annex_7_
methods_of_measuring_economy_efficiency_and_effectivenes.pdf
Yong-bae Ji (s.f.)
Data Envelopment Analysis in Stata. Stata Journal, disponible en
https://www.cgdev.org/doc/stata/MO/DEA/dea_in_stata.pdf
Cooper, W (2007)
Data Envelopment Analysis: a comprehensive text with models, applications,
references and DEA-solver software. Springer edition, 2007.
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