Clase 8 inducción electromagnética TE

1. Inducción
electromagnética
Clase 08
17-Octubre-2014

2. Inducción electromagnética
 En los temas anteriores se plantearon problemas relacionados con campos
magnéticos sin considerar el tiempo, o sea estáticos. Ahora iniciaremos la
solución de problemas relacionados con campos magnéticos variables.
 Flujo magnético
 El flujo magnético ∅ (también se representa por ∅퐵 표 ∅푚) a través de una
superficie se define matemáticamente por:
∅ =
푠푢푝
퐵 ∙ 푑퐴
La unidad de flujo magnético en el S.I. es el weber (Wb)

3. Inducción electromagnética
 El flujo magnético neto a través de cualquier superficie cerrada es cero.
∅ = 퐵 ∙ 푑퐴 = 0
 En forma equivalente, el número de líneas de campo magnético que
entran a una superficie cerrada es la misma que el numero de líneas que
salen de ella. Las líneas de campo magnético son siempre cerradas, pues
no existen polos magnéticos aislados.

4. Inducción electromagnética
 Los experimentos realizados por Michel Faraday en Inglaterra en 1851, y los
conducidos por Joseph Henry en Estados Unidos en el mismo año,
mostraron que una corriente eléctrica podría inducirse en un circuito
mediante un campo magnético variable. Este fenómeno se conoce con le
nombre de inducción electromagnética.
 Ley de inducción de Faraday
 Esta ley establece que la fem inducida en un circuito es directamente
proporcional a la variación con respecto del tiempo del flujo magnético a
través del circuito matemáticamente se expresa por:
휀 = −
푑∅푚
푑푡

5. Inducción electromagnética
 El signo negativo indica que la fem inducida tiene tal dirección que se
opone al cambio que la produce. De la definición del flujo magnético se
sabe que su variación se puede producir variando el campo magnético o
la superficie, o el ángulo que forman el campo magnético y la superficie
(área). La corriente inducida sólo dura mientras esta variando el flujo
magnético.
 Ley de Lenz
 La fem y la corriente inducidas se oponen a la causa que las produce, es
decir, las corrientes inducidas producen campos magnéticos que tienden
a anular los cambios de flujo que las inducen.

6. Inducción electromagnética
 Fuerza electromotriz inducida en un conductor en movimiento
 Cuando un conductor de longitud ℓ se mueve en el interior de un campo
magnético 퐵 sea perpendicular al conductor, la fem inducida se expresa
por la ecuación:
휀 = −퐵ℓ푣

7. Inducción electromagnética
 Generación de corrientes alternas
 Un generador de corriente alterna es un dispositivo que transforma la
energía mecánica en energía eléctrica. Se basa en la ley de inducción de
Faraday. En su forma más sencilla, es un conjunto de 푁 espiras de alambre
de área 퐴 cada una, que giran en el interior de un campo magnético 퐵
mediante algún medio externo con velocidad angular constante 휔.
 La fem inducida al variar el flujo magnético es:
휀 = −푁
푑∅푚
푑푡
= −푁
푑 퐵퐴푐표푠휔푡
푑푡
휀 = −푁퐴퐵휔푠푒푛휔푡 = 휀표푠푒푛휔푡

8. Inducción electromagnética
 Donde la fem máxima es
휀표 = 휀푚 = 푁퐴퐵휔

9. Problemas
 Problema 1
 Se coloca una espira plana en un campo magnético uniforme cuya
dirección es perpendicular al plano de la espira. Si el área del espira
aumenta a razón de 0.04 푚2/푠 se induce una fem de 0.16V, ¿Cuál es la
magnitud del campo magnético?

10. Problemas
 Solución
 Datos
 푁 = 1,
푑퐴
푑푡
= 0.04
푚2
푠
, 휀 = 0.16
 La fem inducida está dada por
 휀 = −푁
푑∅푚
푑푡
 Como el campo magnético es perpendicular a la espira, el flujo
magnético esta dado por
 ∅푚 = 퐵퐴

11. Problemas
 Solución
 Sustituyendo el flujo magnético en la expresión de la fem inducida,
se tiene
 휀 = −푁
푑퐴퐵
푑푡
= −푁퐵
푑퐴
푑푡
 Despejando el campo magnético y sustituyendo valores, se tiene
 퐵 = −
휀
푁
푑퐴
푑푡
= −
0.16
1(0.04)
 퐵 = 4푇

12. Problemas
 Problema 2
 Una bobina circular tiene un diámetro de 16.7 cm y 24 vueltas. El campo
magnético es perpendicular al plano de las espiras. Si el campo aumenta
linealmente de 2휇푇 a 8휇푇 en un tiempo de 0.6s, ¿Cuál es la fem inducida?
퐷
푁 푣푢푒푙푡푎푠 퐵 = 2휇푇 ⟶ 8휇푇

13. Problemas
 Solución
 Como el campo magnético es perpendicular a las espiras, el flujo
magnético esta dado por
 ∅푚 = 퐵퐴
 Sustituyendo el flujo magnético en la expresión de la fem inducida,
se tiene
 휀 = −푁
푑∅푚
푑푡
= −푁
푑퐴퐵
푑푡
= −푁퐴
푑퐵
푑푡
 Por otro lado, como el campo magnético aumenta linealmente, la
rapidez de cambio del campo magnético esta dado por
 푑퐵
푑푡
=
퐵1−퐵0
Δ푡

14. Problemas
 Solución
 Sustituyendo la rapidez de cambio magnético en la expresión de la
fem, se tiene y considerando que el área es 휋푟2 = 휋
퐷
2
2
 휀 = −푁퐴
퐵1−퐵0
Δ푡
= −푁휋
퐷
2
2 퐵1−퐵0
Δ푡
= −
푁휋퐷2
4
퐵1−퐵0
Δ푡
 Sustituyendo los valores, se tiene
 휀 = −
24 휋 16.7×10−2 2
4
8×10−6−2×10−6
0.6
= −5.26휇푉

15. Problemas
 Problema 3
 Un campo magnético uniforme y constante 퐵 = 0.5푇 pasa a través de una
bobina plana circular de alambre de 16 vueltas, cada espira con un área
de 4.8 푐푚2. Si la bobina gira sobre un eje que pasa por su diámetro con
una velocidad angular 휔 = 60휋 푟푎푑/푠 , calcule la fem inducida como
función del tiempo, si inicialmente en 푡 = 0 el campo magnético es
perpendicular al plano de la bobina.

16. Problemas
푁 푣푢푒푙푡푎푠
휔
푩

17. Problemas
 Solución
 Datos 퐵 = 0.5푇, 푁 = 16, 퐴 = 4.8 × 10−4 푚2, 휔 = 60휋 푟푎푑/푠
 La fem inducida está dada por
 휀 = −푁
푑∅푚
푑푡
 El flujo magnético esta dado por
 ∅푚 = 퐵퐴푐표푠휃

18. Problemas
 Sustituyendo el flujo magnético en la expresión de la
fem inducida, se tiene
 휀 = −푁
푑 퐵퐴푐표푠휃
푑푡
= −푁퐴퐵
푑(푐표푠휃)
푑푡
 El ángulo en función del tiempo es
 휃 = 휔푡
 Sustituyendo el ángulo en la fem inducida y derivando,
se tiene:
 휀 = −푁퐴퐵
푑 푐표푠휔푡
푑푡
= 푁퐴퐵휔푠푒푛휔푡

19. Problemas
 Sustituyendo valores
 휀 = 16 4.8 × 10−4 0.5 60휋 푠푒푛 60휋푡
 휀 = 0.72푠푒푛 188.5푡 푉

20. Problemas
 Problema 4
 Un generador consta de 97 vueltas de alambre formadas en una bobina
rectangular de 50 cm por 20 cm, situada dentro de un campo magnético
uniforme de magnitud 3.5 mT. Calcule el valor máximo de la fem inducida
cuando gira la bobina a razón de 1200 revoluciones por minuto alrededor
de un eje perpendicular al campo.
20 푐푚
휔푟푝푚
푁 푣푢푒푙푡푎푠

21. Problemas
 Solución
 Datos
 푁 = 97, 푑푖푚푒푛푠푖표푛푒푠 50 × 10−2 푚 푝표푟 20 × 10−2푚, 퐵 = 3.5 × 10−3푇,
 휔푟푝푚 = 1200 푟푝푚
 La fem inducida máxima esta dada por
 휀푚á푥 = 푁퐴퐵휔
 La velocidad angular está dada por
 휔 =
2휋휔푟푝푚
60

22. Problemas
 Solución
 Sustituyendo la velocidad angular en la expresión de la fem
máxima, se tiene:
 휀푚푎푥 = 푁퐴퐵
2휋휔푟푝푚
60
 Sustituyendo valores
 휀푚푎푥 = 97 50 × 10−2 × 20 × 10−2 3.5 × 10−3 2휋 1200
60
 휀푚푎푥 = 4.27푉

23. Problemas
 Problema 5
 Una barra metálica gira en relación constante en el campo magnético de
la Tierra, como se muestra en la figura. La rotación ocurre en una región
donde la componente del campo magnético terrestre perpendicular al
plano de rotación es 3.30 × 10−5푇. Si la barra mide 1m de largo y su rapidez
angular es 5 휋 푟푎푑/푠, ¿Qué diferencia de potencial se desarrolla entre sus
extremos?

24. 푃
휔
푂

25. Problemas
 Solución
 Datos: 퐵 = 3.30 × 10−5푇, 휔 = 5휋
푟푎푑
푠
, Δ푉(푐푝) =?
푑푟
푣
푟
푂

26. Problemas
 Solución
 Datos: 퐵 = 3.30 × 10−5푇, 휔 = 5휋
푟푎푑
푠
, Δ푉(푐푝) =?
 Sabemos que por la ley de Faraday:
 휀 = 퐵 ∙ ℓ ∙ v = B ∙ 푟 ∙ 푣
 ⟹ 푑휀 = 퐵 ∙ 푣 ∙ 푑푟 = 퐵 ∙ 휔 ∙ 푟 ∙ 푑푟
휌
푑휀 = 퐵 ∙ 휔 0
 ⟹ 휀 = Δ푉 = 0
퐿
푟푑푟 = 퐵 ∙ 휔 ∙
퐿2
2
 Δ푉 푂푃 =
3.30×10−5 5휋 1
2
= 259 × 10−6푉 = 259휇푉