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- 1. El campo magnético. Fuerza ejercida por un campo magnético 1. Cuando un tubo de rayos catódicos se sitúa horizontalmente en un campo magnético dirigido verticalmente hacia arriba, los electrones emitidos desde el cátodo siguen una de las líneas punteadas de la figura hasta incidir en la pantalla del tubo. La trayectoria correcta es a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. Aplicando la regla de la mano izquierda, la fuerza sobre una carga positiva estaría dirigida hacia la izquierda, como las cargas son negativas el sentido sería el contrario, hacia 2. Respuesta b. 2. ¿Por qué no se define B en la dirección de F, como se hace en el caso de E? Experimentalmente se ve que la fuerza siempre es perpendicular al campo. 3. Hallar la fuerza magnética que actúa sobre un protón que se mueve con velocidad 4.46 Mm/s en el sentido positivo de las x en el interior de un campo magnético de 1,75 T dirigido en el sentido positivo de las z. 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝒒𝒒 ∗ �𝒗𝒗 � �⃗⨂𝑩𝑩 ��⃗� = 𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟒𝟒. 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏. 𝟕𝟕𝟕𝟕 � 𝑭𝑭 � �⃗ = −𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒. 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ = 𝟏𝟏. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ 4. Una carga q=-3.64 nC se mueve con velocidad de 2,75 106 m/s 𝒊𝒊 ⃗. Hallar la fuerza que actúa sobre la carga si el campo magnético es a) 𝑩𝑩 ��⃗ = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑻𝑻 𝒋𝒋 ⃗. b) 𝑩𝑩 ��⃗ = 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑻𝑻 𝒊𝒊 � �⃗ + 𝟎𝟎.75 T 𝒋𝒋 ⃗. c) 𝑩𝑩 ��⃗ = 𝟎𝟎. 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑻𝑻 𝒊𝒊 ⃗. d) 𝑩𝑩 ��⃗ = 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑻𝑻 𝒊𝒊 � �⃗ + 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑻𝑻 𝒌𝒌 � �⃗ a) 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝒒𝒒 ∗ �𝒗𝒗 � �⃗⨂𝑩𝑩 ��⃗� = −𝟑𝟑. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟎𝟎 � 𝑭𝑭 � �⃗ = −𝟑𝟑. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ = −𝟑𝟑. 𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑵𝑵 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ b) 𝑭𝑭 � �⃗ = −𝟑𝟑. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟎𝟎 � = −𝟕𝟕. 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑵𝑵 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗
- 2. c) 𝑭𝑭 � �⃗ = −𝟑𝟑. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟎𝟎 � = 𝟎𝟎 d) 𝑭𝑭 � �⃗ = −𝟑𝟑. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕 � e) 𝑭𝑭 � �⃗ = −𝟑𝟑. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ �−𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 � ∗ 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟕𝟕. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ 𝑵𝑵 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ 5. Un campo magnético uniforme de valor 1,48 T está en la dirección y sentido positivo del eje de las z. Hallar la fuerza que actúa sobre un protón si su velocidad es a) 𝒗𝒗 � �⃗ = 𝟐𝟐. 𝟕𝟕 𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒔𝒔 𝒊𝒊 ⃗. b) 𝒗𝒗 � �⃗ = 𝟑𝟑. 𝟕𝟕 𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒔𝒔 𝒋𝒋 ⃗. c) 𝒗𝒗 � �⃗ = 𝟔𝟔. 𝟖𝟖 𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒔𝒔 𝒌𝒌 � �⃗. d) 𝒗𝒗 � �⃗ = 𝟒𝟒. 𝟎𝟎 𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒔𝒔 𝒊𝒊 ⃗ + 𝟑𝟑. 𝟎𝟎 𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒔𝒔 𝒋𝒋 ⃗ . a) 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟐𝟐. 𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏. 𝟒𝟒𝟒𝟒 � 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ −�𝟐𝟐. 𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏. 𝟒𝟒𝟒𝟒� ∗ 𝒋𝒋 ⃗ = −𝟔𝟔. 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ b) 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎 𝟑𝟑. 𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏. 𝟒𝟒𝟒𝟒 � 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝟑𝟑. 𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏. 𝟒𝟒𝟒𝟒� ∗ 𝒊𝒊 ⃗ = 𝟖𝟖. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ c) 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟔𝟔. 𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏. 𝟒𝟒𝟒𝟒 � = 𝟎𝟎 d) 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟒𝟒. 𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟑𝟑. 𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏. 𝟒𝟒𝟒𝟒 � 𝑭𝑭 � �⃗ = −𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ ��𝟑𝟑. 𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏. 𝟒𝟒𝟒𝟒� ∗ 𝒊𝒊 ⃗ − 𝟒𝟒. 𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏. 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝒋𝒋 ⃗� 𝑭𝑭 � �⃗ = (𝟕𝟕. 𝟏𝟏 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ − 𝟗𝟗. 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝒋𝒋 ⃗) ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵 6. Un electrón se mueve con velocidad 2.75 Mm/s en el plano xy formando un ángulo de 60º con el eje x y un ángulo de 30º con el eje y. Un campo magnético de 0.85 T está dirigido en el sentido de las y. Hallar la fuerza que actúa sobre el electrón. 𝒗𝒗 � �⃗ = 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ + 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒗𝒗 � �⃗ = 𝟏𝟏. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ + 𝟐𝟐. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝑭𝑭 � �⃗ = −𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟏𝟏. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟐𝟐. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟎𝟎 � 𝑭𝑭 � �⃗ = −𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟎𝟎. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ = 𝟏𝟏. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑵𝑵 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ 7. Un segmento de conductor recto de 2 m de largo forma un ángulo de 30º con un campo magnético uniforme de 0.37 T. Hallar la fuerza que actúa sobre el conductor si por él circula una corriente de 2 A. 𝑭𝑭 = 𝑰𝑰 ∗ 𝒍𝒍 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟑𝟑𝟑𝟑) = 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑵𝑵
- 3. Para obtener el resultado dado en el libre la intensidad ha de ser 2.6 A. 8. Un segmento de conductor recto 𝑰𝑰 𝒍𝒍 = 𝟐𝟐. 𝟓𝟓 𝑨𝑨(𝟑𝟑 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒊𝒊 ⃗ + 𝟒𝟒 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒋𝒋 ⃗) se encuentra en un campo magnético uniforme B=𝟏𝟏. 𝟓𝟓 𝑻𝑻𝒊𝒊 ⃗. Determinar la fuerza que actúa sobre el conductor. 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝟐𝟐. 𝟓𝟓 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏. 𝟓𝟓 𝟎𝟎 𝟎𝟎 � = −𝟐𝟐. 𝟓𝟓 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏. 𝟓𝟓 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ = −𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑵𝑵 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ 9. ¿Cuál es la fuerza (magnitud, dirección y sentido) de un electrón con velocidad 𝒗𝒗 � �⃗ = (𝟐𝟐𝒊𝒊 ⃗ − 𝟑𝟑𝒋𝒋 ⃗)𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 m/s en un campo magnético 𝑩𝑩 ��⃗ = �𝟎𝟎. 𝟖𝟖𝒊𝒊 ⃗ + 𝟎𝟎. 𝟔𝟔𝒋𝒋 ⃗ − 𝟎𝟎. 𝟒𝟒𝒌𝒌 � �⃗�𝑻𝑻? 𝑭𝑭 � �⃗ = −𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 −𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟖𝟖 𝟎𝟎. 𝟔𝟔 −𝟎𝟎. 𝟒𝟒 � 𝑭𝑭 ��⃗ = −𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ (−𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ (−𝟎𝟎. 𝟒𝟒) ∗ 𝒊𝒊 ⃗ + 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟎𝟎. 𝟒𝟒 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ + �𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟎𝟎. 𝟔𝟔 − (−𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ) ∗ 𝟎𝟎. 𝟖𝟖� ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝑭𝑭 � �⃗ = −𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ − 𝟏𝟏. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒋𝒋 − 𝟓𝟓. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝑭𝑭 = �(𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟐𝟐 + (𝟏𝟏. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟐𝟐 + (𝟓𝟓. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 )𝟐𝟐 = 𝟔𝟔. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵 𝜽𝜽𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 � 𝑭𝑭𝒙𝒙 𝑭𝑭 � = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 � −𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟔𝟔.𝟐𝟐𝟐𝟐 � = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏º 𝜽𝜽𝒚𝒚 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 � 𝑭𝑭𝒚𝒚 𝑭𝑭 � = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 � −𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟔𝟔.𝟐𝟐𝟐𝟐 � = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏º 𝜽𝜽𝒛𝒛 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 � 𝑭𝑭𝒛𝒛 𝑭𝑭 � = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 � −𝟓𝟓.𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟔𝟔.𝟐𝟐𝟐𝟐 � = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏º 10. El segmento conductor de la figura transporta una corriente de 1.8 A de a a b y se encuentra en el interior de un campo magnético 𝑩𝑩 ��⃗ = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐 𝑻𝑻 𝒌𝒌 � �⃗. Determinar la fuerza total que actúa sobre el conductor y demostrar que es la misma que actuaría si se tratara de un segmento recto de a a b. 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝑰𝑰 ∗ 𝒍𝒍 ⃗ ⊗ 𝑩𝑩 ��⃗ = 𝑰𝑰 ∗ 𝒍𝒍 ⃗𝟏𝟏 ⊗ 𝑩𝑩 ��⃗ + 𝑰𝑰 ∗ 𝒍𝒍 ⃗𝟐𝟐 ⊗ 𝑩𝑩 ��⃗ 𝑰𝑰 ∗ 𝒍𝒍 ⃗𝟏𝟏 ⊗ 𝑩𝑩 ��⃗ = 𝟏𝟏. 𝟖𝟖 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏. 𝟐𝟐 � = −𝟏𝟏. 𝟖𝟖 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏. 𝟐𝟐 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝑰𝑰 ∗ 𝒍𝒍 ⃗𝟐𝟐 ⊗ 𝑩𝑩 ��⃗ = 𝟏𝟏. 𝟖𝟖 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏. 𝟐𝟐 � = 𝟏𝟏. 𝟖𝟖 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏. 𝟐𝟐 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ − 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝑰𝑰 ∗ 𝒍𝒍 ⃗ ⊗ 𝑩𝑩 ��⃗ = 𝟏𝟏. 𝟖𝟖 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏. 𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ − 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ 11. Un conductor recto, rígido y horizontal, de longitud 25 cm y masa 50 g está conectado a una fuente de fem por conductores flexibles. Un campo magnético de 1,33 T es
- 4. horizontal y perpendicular al conductor. Hallar la corriente necesaria para hacer flotar el conductor, es decir, de modo que la fuerza magnética equilibre el peso del alambre. 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝑰𝑰 ∗ 𝒍𝒍 ∗ 𝑩𝑩 𝑰𝑰 = 𝒎𝒎∗𝒈𝒈 𝒍𝒍∗𝑩𝑩 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟗𝟗.𝟖𝟖 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟏𝟏. 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑨𝑨 12. Un simple magnetómetro (gausmetro) para la medida de campos magnéticos horizontales consiste en un alambre rígido de 50 cm que cuelga de un pivote conductor de modo que su extremo libre hace contacto con una cubeta de mercurio. El mercurio proporciona un contacto eléctrico sin restringir el movimiento del alambre. El alambre posee una masa de 5 g y conduce una corriente hacia abajo. a) ¿Cuál es el desplazamiento angular de equilibrio del alambre de la posición vertical si el campo magnético horizontal es 0,04 T y la corriente 0,20 A? b) Si la corriente es 20 A y un desplazamiento de la vertical de 0,5 mm puede detectarse para el extremo libre, ¿Cuál es la sensibilidad de medida de campos magnéticos horizontales para este magnetómetro? a) En el equilibrio la suma de fuerzas en el eje x ha de ser 0. 𝑰𝑰 ∗ 𝒍𝒍 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝑰𝑰∗𝒍𝒍∗𝑩𝑩 𝒎𝒎∗𝒈𝒈 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝑰𝑰∗𝒍𝒍∗𝑩𝑩 𝒎𝒎∗𝒈𝒈 � = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟎𝟎.𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟓𝟓∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 � = 𝟒𝟒. 𝟔𝟔𝟔𝟔º b) 𝑩𝑩 = 𝒎𝒎∗𝒈𝒈∗𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝑰𝑰∗𝒍𝒍 Para ángulos pequeños tgϴ≈ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝜭𝜭 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎.𝟓𝟓 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎. c) 𝑩𝑩 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟓𝟓 = 𝟒𝟒. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝑻𝑻 13. Un cable conductor por el que circula una corriente I tiene la forma de una espira semicircular de radio R situada sobre el plano xy. Existe un campo magnético uniforme
- 5. 𝑩𝑩 ��⃗ = 𝑩𝑩𝒌𝒌 � �⃗ perpendicular al plano de la espira (figura). Demostrar que la fuerza que actúa sobre la espira es 𝑭𝑭 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝒋𝒋 ⃗. 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑰𝑰 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ 𝑩𝑩 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ 𝑩𝑩 Por componentes: 𝒅𝒅𝑭𝑭𝒙𝒙 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑭𝑭𝒚𝒚 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 Por simetría la componente x global se anula. Para la componente y del semicírculo tenemos: 𝑭𝑭𝒚𝒚,𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔í𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝑩𝑩 ∗ ∫ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝝅𝝅 𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝑩𝑩 Aplicando la regla de la mano izquierda determinamos dirección y sentido, si la corriente circula por el semicírculo de izquierda a derecha tenemos dF en el sentido indicado. 14. Un alambre de 10 cm de longitud transporta una corriente de 4,0 A en la dirección z positiva. La fuerza que actúa sobre este cable por causa de un campo magnético B es 𝑭𝑭 � �⃗ = (−𝟎𝟎. 𝟐𝟐 𝒊𝒊 ⃗ + 𝟎𝟎. 𝟐𝟐 𝒋𝒋 ⃗)𝑵𝑵. Si este alambre se gira de tal modo que la corriente fluye en dirección x positiva, la fuerza sobre el alambre es 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝟎𝟎. 𝟐𝟐 𝒌𝒌 � �⃗ 𝑵𝑵.Determinar el campo magnético B. 𝑭𝑭 � �⃗ = −𝟎𝟎. 𝟐𝟐 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ + 𝟎𝟎. 𝟐𝟐 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ = 𝟒𝟒. 𝟎𝟎 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 𝑩𝑩𝒙𝒙 𝑩𝑩𝒚𝒚 𝑩𝑩𝒛𝒛 � −𝟎𝟎. 𝟐𝟐 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ + 𝟎𝟎. 𝟐𝟐 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ = 𝟒𝟒. 𝟎𝟎 ∗ (−𝟎𝟎. 𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒚𝒚 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒙𝒙 ∗ 𝒋𝒋 ⃗) 𝟎𝟎. 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒. 𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒚𝒚 ; 𝑩𝑩𝒚𝒚 = 𝟎𝟎.𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝟎𝟎.𝟏𝟏 = 𝟎𝟎. 𝟓𝟓 𝑻𝑻 𝟎𝟎. 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒. 𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒙𝒙 = 𝑩𝑩𝒚𝒚 = 𝟎𝟎.𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝟎𝟎.𝟏𝟏 = 𝟎𝟎. 𝟓𝟓 𝑻𝑻 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝟎𝟎. 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ = 𝟒𝟒. 𝟎𝟎 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑩𝑩𝒙𝒙 𝑩𝑩𝒚𝒚 𝑩𝑩𝒛𝒛 � 𝟎𝟎. 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ = 𝟒𝟒 ∗ (−(𝟎𝟎. 𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒛𝒛) ∗ 𝒊𝒊 ⃗ + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒚𝒚 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗) 𝟒𝟒 ∗ 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒛𝒛 = 𝟎𝟎; 𝑩𝑩𝒛𝒛 = 𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒 ∗ 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒚𝒚 ; 𝑩𝑩𝒚𝒚 = 𝟎𝟎. 𝟓𝟓 𝑻𝑻 𝑩𝑩 ��⃗ = 𝟎𝟎. 𝟓𝟓 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ + 𝟎𝟎. 𝟓𝟓 ∗ 𝒋𝒋 ⃗
- 6. 15. Un segmento de alambre de 10 cm de longitud transporta una corriente de 2,0 A en la dirección x positiva. La fuerza que actúa sobre este alambre debido a la presencia de un campo magnético B es 𝑭𝑭 � �⃗ = �𝟑𝟑, 𝟎𝟎 𝒋𝒋 ⃗ + 𝟐𝟐, 𝟎𝟎 𝒌𝒌 � �⃗�𝑵𝑵. Si el alambre se gira, de modo que la corriente fluye ahora en la dirección y positiva, la fuerza sobre el alambre es 𝑭𝑭 � �⃗ = �− 𝟑𝟑, 𝟎𝟎 𝒊𝒊 ⃗ − 𝟐𝟐, 𝟎𝟎 𝒌𝒌 � �⃗�𝑵𝑵. Determinar el campo magnético B. 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝟑𝟑. 𝟎𝟎 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ + 𝟐𝟐. 𝟎𝟎 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ = 𝟐𝟐. 𝟎𝟎 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑩𝑩𝒙𝒙 𝑩𝑩𝒚𝒚 𝑩𝑩𝒛𝒛 � 𝟑𝟑. 𝟎𝟎 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ + 𝟐𝟐. 𝟎𝟎 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ = 𝟐𝟐. 𝟎𝟎 ∗ (−𝟎𝟎. 𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒛𝒛 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒚𝒚 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗) 𝟑𝟑. 𝟎𝟎 = −𝟐𝟐. 𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒛𝒛 ; 𝑩𝑩𝒛𝒛 = − 𝟑𝟑.𝟎𝟎 𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟏𝟏 = −𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑻𝑻 𝟐𝟐. 𝟎𝟎 = 𝟐𝟐. 𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒚𝒚 ; 𝑩𝑩𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑻𝑻 𝑭𝑭 � �⃗ = −𝟑𝟑. 𝟎𝟎 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ − 𝟐𝟐. 𝟎𝟎 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ = 𝟐𝟐. 𝟎𝟎 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝑩𝑩𝒙𝒙 𝑩𝑩𝒚𝒚 𝑩𝑩𝒛𝒛 � −𝟑𝟑. 𝟎𝟎 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ − 𝟐𝟐. 𝟎𝟎 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ = 𝟐𝟐. 𝟎𝟎 ∗ (𝟎𝟎. 𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒛𝒛 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ − 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒙𝒙 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗) −𝟑𝟑. 𝟎𝟎 = 𝟐𝟐. 𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒛𝒛; 𝑩𝑩𝒛𝒛 = − 𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟏𝟏 = −𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑻𝑻 −𝟐𝟐. 𝟎𝟎 = −𝟐𝟐. 𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒙𝒙 ; 𝑩𝑩𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑻𝑻 𝑩𝑩 ��⃗ = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ + 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ − 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ 16. Un alambre cerrado según una forma arbitraria transporta una corriente I dentro de un campo magnético uniforme B. Demostrar explícitamente que la fuerza total que actúa sobre la parte del alambre desde un punto a a otro punto b es 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝑰𝑰 𝒍𝒍 ⃗ ⨂ 𝑩𝑩 ��⃗, en donde l es el vector de a a b. 𝒅𝒅𝑭𝑭 � �⃗ = 𝑰𝑰 ∗ 𝒅𝒅𝒍𝒍 ⃗ ⨂ 𝑩𝑩 ��⃗ 𝑭𝑭 � �⃗ = ∫ 𝑰𝑰 ∗ 𝒅𝒅𝒍𝒍 ⃗ ⨂ 𝑩𝑩 ��⃗ 𝒃𝒃 𝒂𝒂 = 𝑰𝑰 ∗ �∫ 𝒅𝒅𝒍𝒍 ⃗ 𝒃𝒃 𝒂𝒂 � ⨂ 𝑩𝑩 ��⃗ = 𝑰𝑰 ∗ 𝒍𝒍 ⃗ ⨂𝑩𝑩 ��⃗ Movimiento de una carga puntual en un campo magnético 17. Verdadero o falso: La fuerza magnética no acelera a una partícula porque es perpendicular a la velocidad de la partícula. Falso, la partícula puede girar, y eso implica aceleración. 18. Una partícula cargada móvil entra en una región en la que experimenta una desviación súbita perpendicular a su movimiento. ¿Cómo podemos saber si la desviación ha sido motivada por un campo magnético o por uno eléctrico? Si una partícula cargada móvil entra en una región en la que experimenta una desviación súbita perpendicular a su movimiento, podemos saber si la desviación ha sido motivada por un campo magnético o por uno eléctrico observando la trayectoria de la partícula. Si la trayectoria es circular, entonces la desviación ha sido motivada por un campo magnético. Si la trayectoria es rectilínea, entonces la desviación ha sido motivada por un campo eléctrico.
- 7. 19. Un protón se mueve en una órbita circular de radio 65 cm perpendicular a un campo magnético uniforme de valor 0,75 T. a) ¿Cuál es el periodo correspondiente a este movimiento? b) Hallar la velocidad del protón. c) Hallar la energía cinética del protón. a) 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝑹𝑹 ; 𝒒𝒒 ∗ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝑩𝑩 = 𝒎𝒎 ∗ � 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 ∗𝑹𝑹� 𝟐𝟐 𝑹𝑹 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒎𝒎 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟖𝟖𝟖𝟖. 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 𝒔𝒔 b) 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹 𝒗𝒗 ; 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟖𝟖𝟖𝟖.𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟒𝟒. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔 c) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ �𝟒𝟒. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 � 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱 20. Un electrón de energía cinética 45 keV se mueve en una órbita circular perpendicular a un campo magnético de 0,325 T. a) Hallar el radio de la órbita. b) Hallar la frecuencia angular y el periodo del movimiento. a) 𝒗𝒗 = � 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝑹𝑹 ; 𝑹𝑹 = 𝒎𝒎∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝒎𝒎∗� 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = �𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄∗𝒎𝒎 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 𝑹𝑹 = �𝟐𝟐∗𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒆𝒆𝒆𝒆∗ 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱 𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆 ∗𝟗𝟗.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟐𝟐. 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝒎𝒎 b) 𝝎𝝎 = 𝒗𝒗 𝑹𝑹 = � 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎 𝑹𝑹 = �𝟐𝟐∗𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝒆𝒆𝒆𝒆∗ 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱 𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟗𝟗.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑𝒌𝒌𝒌𝒌 𝟐𝟐.𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 = 𝟓𝟓. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒔𝒔−𝟏𝟏 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹 � 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎 = 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹 ∗ � 𝟐𝟐∗𝒎𝒎 𝑬𝑬𝒄𝒄 𝑻𝑻 = 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐. 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ � 𝟐𝟐∗𝟗𝟗.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒆𝒆𝒆𝒆∗ 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱 𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 𝒔𝒔 21. Un electrón procedente del Sol con una velocidad de 1 107 m/s entra en el campo magnético terrestre por encima del ecuador en donde el campo magnético es 4 10-7 T. El electrón se mueve aproximadamente según una circunferencia, excepto en una pequeña desviación a lo largo de la dirección del campo magnético terrestre hacia el polo norte. a) ¿Cuál es el radio del movimiento circular? b) ¿Cuál es el radio del movimiento circular cerca del polo norte donde el campo magnético es 2 10-5 T? a) 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝑹𝑹 ; 𝑹𝑹 = 𝒎𝒎∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 𝑹𝑹 = 𝒎𝒎∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝟗𝟗.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 b) 𝑹𝑹 = 𝒎𝒎∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝟗𝟗.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 = 𝟐𝟐. 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒎𝒎 22. Protones, deuterones (cada uno de carga +e) y partículas alfa (de carga +2e) de la misma energía cinética entran en un campo magnético uniforme B que es perpendicular a sus velocidades. Sean rp, rd y rα los radios de sus órbitas cirulares. Hallar los cocientes rd/rp y rα/rp.Admitir que mα=2 md=4 mp.
- 8. 𝒗𝒗𝒑𝒑 = � 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎𝒑𝒑 𝑹𝑹𝒑𝒑 = 𝒎𝒎𝒑𝒑∗𝒗𝒗𝒑𝒑 𝒒𝒒𝒑𝒑∗𝑩𝑩 = 𝒎𝒎𝒑𝒑∗� 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎𝒑𝒑 𝒒𝒒𝒑𝒑∗𝑩𝑩 = �𝟐𝟐∗𝒎𝒎𝒑𝒑∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒒𝒒𝒑𝒑∗𝑩𝑩 𝑹𝑹𝒅𝒅 = �𝟐𝟐∗𝒎𝒎𝒅𝒅∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒒𝒒𝒅𝒅∗𝑩𝑩 𝑹𝑹𝒅𝒅 𝑹𝑹𝒑𝒑 = �𝒎𝒎𝒅𝒅∗𝒒𝒒𝒑𝒑 �𝒎𝒎𝒑𝒑∗𝒒𝒒𝒅𝒅 = √𝟐𝟐 De la misma manera: 𝑹𝑹𝜶𝜶 𝑹𝑹𝒑𝒑 = �𝒎𝒎𝜶𝜶∗𝒒𝒒𝒑𝒑 �𝒎𝒎𝒑𝒑∗𝒒𝒒𝜶𝜶 = 𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 23. Un protón y una partícula alfa se mueven en un campo magnético uniforme en circunferencias de igual radio. Comparar a) Sus velocidades. b) Sus energías cinéticas. c) Sus momentos angulares. (Véase problema 22). a) 𝒗𝒗𝒑𝒑 = 𝒒𝒒𝒑𝒑∗𝑩𝑩∗𝑹𝑹 𝒎𝒎𝒑𝒑 𝒗𝒗𝜶𝜶 = 𝒒𝒒𝜶𝜶∗𝑩𝑩∗𝑹𝑹 𝒎𝒎𝜶𝜶 𝒗𝒗𝒑𝒑 𝒗𝒗𝜶𝜶 = 𝒒𝒒𝒑𝒑 𝒎𝒎𝒑𝒑 ∗ 𝒎𝒎𝜶𝜶 𝒒𝒒𝜶𝜶 = 𝟐𝟐 b) 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎𝒑𝒑 ∗ 𝒗𝒗𝒑𝒑 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎𝒑𝒑 ∗ � 𝒒𝒒𝒑𝒑∗𝑩𝑩∗𝑹𝑹 𝒎𝒎𝒑𝒑 � 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒𝒑𝒑 𝟐𝟐∗𝑩𝑩𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒑𝒑 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒄𝒄 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝒒𝒒𝒑𝒑 𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒑𝒑 ∗ 𝒎𝒎𝜶𝜶 𝒒𝒒𝜶𝜶 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝟒𝟒 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 c) 𝑳𝑳𝒑𝒑 = 𝒎𝒎𝒑𝒑 ∗ 𝒗𝒗𝒑𝒑 ∗ 𝑹𝑹 = 𝒎𝒎𝒑𝒑 ∗ 𝒒𝒒𝒑𝒑∗𝑩𝑩∗𝑹𝑹 𝒎𝒎𝒑𝒑 ∗ 𝑹𝑹 = 𝒒𝒒𝒑𝒑 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑳𝑳𝒑𝒑 𝑳𝑳𝜶𝜶 = 𝒒𝒒𝒑𝒑 𝒒𝒒𝜶𝜶 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 24. Una partícula de carga q y masa m tiene una cantidad de movimiento p = m v y una energía cinética 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝒑𝒑𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 . Si se mueve en una órbita circular de radio r perpendicular a un campo magnético uniforme B, demostrar que a) 𝒑𝒑 = 𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 b) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝑩𝑩𝟐𝟐𝒒𝒒𝟐𝟐𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 a) 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝑹𝑹 ; 𝒗𝒗 = 𝒒𝒒∗𝑩𝑩∗𝑹𝑹 𝒎𝒎 𝒑𝒑 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒒𝒒∗𝑩𝑩∗𝑹𝑹 𝒎𝒎 = 𝒒𝒒 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝑹𝑹 b) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ � 𝒒𝒒∗𝑩𝑩∗𝑹𝑹 𝒎𝒎 � 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐∗𝑩𝑩𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒎𝒎 25. Un haz de partículas entra con velocidad v en una región de campo magnético uniforme B que forma un pequeño ángulo ϴ con v. Demostrar que después de que una partícula se mueve una distancia 𝟐𝟐𝟐𝟐 � 𝒎𝒎 𝒒𝒒𝒒𝒒 � 𝒗𝒗 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 medida a lo largo de la dirección de B, la velocidad de la partícula tiene la misma dirección que cuando entra en el campo. La velocidad de la partícula la consideramos formada por dos componentes, la que es paralela al campo magnético y la que es perpendicular a él.
- 9. 𝒗𝒗∥ = 𝒗𝒗 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒗𝒗⊥ = 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝜽𝜽 La distancia que se mueve la partícula en la dirección del campo en un periodo será: 𝒙𝒙 = 𝒗𝒗∥ ∗ 𝑻𝑻 El periodo viene determinado por la velocidad perpendicular al campo que es la que hace girar a la partícula, al mismo tiempo que avanza debido a 𝒗𝒗∥. 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹 𝒗𝒗⊥ Para la velocidad perpendicular tenemos la fuerza magnética: 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗⊥ ∗ 𝑩𝑩 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗⊥ 𝟐𝟐 𝑹𝑹 ; 𝒗𝒗⊥ = 𝒒𝒒∗𝑩𝑩∗𝑹𝑹 𝒎𝒎 Substituyendo esto en el periodo: 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹 𝒗𝒗⊥ = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹∗𝒎𝒎 𝒒𝒒∗𝑩𝑩∗𝑹𝑹 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒎𝒎 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 El avance de la partícula en el sentido del campo será: 𝒙𝒙 = 𝒗𝒗∥ ∗ 𝑻𝑻 = 𝒗𝒗 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ∗ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒎𝒎 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝒎𝒎 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 � ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 26. Un protón de velocidad 107 m/s entra en una región de campo magnético uniforme B=0,8 T, dirigido hacia dentro de la página como muestra la figura. El ángulo ϴ es 60 º. Determinar el ángulo ϕ y la distancia d. Por simetría se observa que ϕ=60º. Usando trigonometría: 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 (𝟗𝟗𝟗𝟗 − 𝜽𝜽) = 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝒅𝒅/𝟐𝟐 𝒓𝒓 ; 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒓𝒓 = 𝒅𝒅. 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒓𝒓 ; 𝒓𝒓 = 𝒎𝒎∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩
- 10. 𝒅𝒅 = 𝒓𝒓 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟎𝟎.𝟖𝟖 = 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 27. Supongamos que en la figura anterior B=0,6 T, la distancia d=0,4 m y ϴ=24º. Determinar la velocidad v y el ángulo ϕ si las partículas son a) Protones. B) Deuterones. a) Por simetría ϕ=24º. 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 (𝟗𝟗𝟗𝟗 − 𝜽𝜽) = 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝒅𝒅/𝟐𝟐 𝒓𝒓 𝒓𝒓 = 𝒅𝒅 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟎𝟎. 𝟒𝟒 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟎𝟎. 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒓𝒓 ; 𝒗𝒗 = 𝒒𝒒∗𝒓𝒓∗𝑩𝑩 𝒎𝒎 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟎𝟎.𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟎𝟎.𝟔𝟔 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟎𝟎.𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟎𝟎.𝟔𝟔 𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏. 𝟒𝟒𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Selectores de velocidad 28. Un haz de partículas cargadas positivamente pasa sin desviarse de izquierda a derecha a través de un selector de velocidades en el cual el campo eléctrico está dirigido hacia arriba. El haz se invierte a continuación de modo que se propaga de derecha a izquierda. ¿Se desviará ahora el haz en el selector de velocidades? Si es así, ¿en qué dirección? En la situación inicial la fuerza eléctrica es compensada por la magnética. En esta situación, usando la regla de la mano izquierda, la velocidad está de izquierda a derecha, la fuerza magnética hacia arriba, el campo ha de estar dirigido hacia fuera del papel. Al ir en sentido contrario, la fuerza magnética cambia de sentido, es hacia arriba, igual que la eléctrica, por tanto, se desviará hacia arriba. 29. Un selector de velocidad tiene un camp magnético de valor 0,28 T perpendicular a un campo eléctrico de valor 0,46 MV/m. a) ¿Cuál deberá ser la velocidad de una partícula para pasar a través de dicho selector sin ser desviada? ¿Qué energía deberían tener b) Los protones? c) Los electrones para pasar a través del mismo sin ser desviados? a) 𝒒𝒒 ∗ 𝑬𝑬 = 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 ; 𝒗𝒗 = 𝑬𝑬 𝑩𝑩 = 𝟎𝟎.𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝒎𝒎/𝒔𝒔
- 11. b) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ (𝟏𝟏. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔)𝟐𝟐 = 𝟐𝟐. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱 𝟐𝟐. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱 ∗ 𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒆𝒆𝒆𝒆 c) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟗𝟗. 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ (𝟏𝟏. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔)𝟐𝟐 = 𝟏𝟏. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱 𝟏𝟏. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱 ∗ 𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱 = 𝟕𝟕. 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒆𝒆𝒆𝒆 30. Un haz de protones se mueve a lo largo del eje x en su sentido positivo con una velocidad de 12.4 km/s a través de una región de campos cruzados equilibrados con desviación nula. a) Si existe un campo magnético de valor 0.85 T en el sentido positivo de las y, hallar el valor y dirección del campo eléctrico. b) ¿Serán desviados los electrones de la misma velocidad por estos campos? Si es así, ¿en qué dirección y sentido? a) Aplicando la regla de la mano izquierda, el campo eléctrico deberá estar dirigido en el sentido entrante del plano del papel para contrarrestar la fuerza magnética que va dirigida hacia fuera del plano del papel. 𝒗𝒗 � �⃗ = 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 𝒊𝒊 ⃗ 𝑭𝑭 � �⃗𝒎𝒎 = 𝒒𝒒 ∗ � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 �⃗ 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟎𝟎 � = 𝒒𝒒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟎𝟎. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝒌𝒌 �⃗ 𝑭𝑭 � �⃗𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = −𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟎𝟎. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝒌𝒌 �⃗ = −𝟏𝟏. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒌𝒌 �⃗ 𝑬𝑬 ��⃗ = 𝑭𝑭 ��⃗𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒒𝒒 = −𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ = −𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ b) El resultado no depende de la masa, la fuera magnética iría en sentido contrario, la eléctrica también, el resultado es que no hay desviación. Medida de q/m 31. Las placas de un aparato Thomson q/m son de 6,0 cm de largo y están separadas por 1,2 cm. El extremo de las placas está a 30,0 cm de la pantalla del tubo. La energía cinética de los electrones es de 2,8 keV. a) Si se aplica un potencial de 25,0 V a través de las placas de deflexión, ¿en cuánto se desviará el haz? b) Hallar el valor de un campo cruzado que permita al haz pasar sin ser desviado. a) Calculamos la fuerza vertical y la aceleración cuando está entre las placas.
- 12. 𝑭𝑭𝒚𝒚 = 𝒒𝒒 ∗ 𝑬𝑬 = 𝒒𝒒∗𝑽𝑽 𝒅𝒅 ; 𝒂𝒂𝒚𝒚 = 𝒒𝒒∗𝑽𝑽 𝒅𝒅∗𝒎𝒎 En el eje de las x tenemos una velocidad constante: 𝒗𝒗𝒙𝒙 = � 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎 El tiempo entre placas: 𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝒗𝒗𝒙𝒙 ∗ ∆𝒕𝒕𝟏𝟏; ∆𝒕𝒕𝟏𝟏 = 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒗𝒗𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝟏𝟏 � 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎 La velocidad vertical de salida de las placas: 𝒗𝒗𝒚𝒚 = 𝒂𝒂𝒚𝒚 ∗ ∆𝒕𝒕𝟏𝟏 = 𝒒𝒒∗𝑽𝑽 𝒅𝒅∗𝒎𝒎 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏 � 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎 En el momento en que abandonan la zona entre placas la posición es: ∆𝒚𝒚𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒂𝒂𝒚𝒚 ∗ (∆𝒕𝒕𝟏𝟏)𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒∗𝑽𝑽 𝒅𝒅 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 Una vez ha salido de las placas el electrón se moverá con m.r.u. 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝒗𝒗𝒙𝒙 ∗ ∆𝒕𝒕𝟐𝟐; ∆𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒗𝒗𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 � 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎 ∆𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝒗𝒗𝒚𝒚 ∗ ∆𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝒒𝒒∗𝑽𝑽 𝒅𝒅∗𝒎𝒎 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏 � 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎 ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐 � 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎 = 𝒒𝒒∗𝑽𝑽 𝟐𝟐∗𝒅𝒅 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏∗𝒙𝒙𝟐𝟐 𝑬𝑬𝒄𝒄 El punto de colisión será: ∆𝒚𝒚𝟏𝟏 + ∆𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝒒𝒒∗𝑽𝑽 𝒅𝒅 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑬𝑬𝒄𝒄 + 𝒒𝒒∗𝑽𝑽 𝟐𝟐∗𝒅𝒅 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏∗𝒙𝒙𝟐𝟐 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∆𝒚𝒚𝟏𝟏 + ∆𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒∗𝑽𝑽 𝒅𝒅∗𝑬𝑬𝒄𝒄 ∗ � 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐� ∆𝒚𝒚𝟏𝟏 + ∆𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟐𝟐.𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ � 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟐𝟐 + 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎. 𝟑𝟑� ∆𝒚𝒚𝟏𝟏 + ∆𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟕𝟕. 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝒎𝒎 b) La fuerza magnética contrarrestará a la eléctrica: El campo magnético estará dirigido hacia dentro del plano del papel. 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝒒𝒒 ∗ 𝑬𝑬 𝑩𝑩 = 𝑬𝑬 𝒗𝒗 = 𝑽𝑽/𝒅𝒅 � 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 �𝟐𝟐∗𝟐𝟐.𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟗𝟗.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟔𝟔. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝑻𝑻 Espectrómetro de masas 32. El cloro tiene dos isótopos estables, 𝑪𝑪𝑪𝑪 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒚𝒚 𝑪𝑪𝑪𝑪 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑 cuyas abundancias naturales son, respectivamente, 76 % y 24 % (aproximadamente). El gas cloro ionizado con una sola carga ha de separarse en sus componentes isotópicos mediante un espectrómetro de masas. El campo magnético del espectrómetro es 1,2 T. ¿Cuál es el valor mínimo del potencial a través del cual deben acelerarse estos iones para que la separación entre ellos sea de 1,4 cm? En el campo eléctrico la velocidad: 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗 = � 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 𝒎𝒎 En el campo magnético: 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝒎𝒎𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟑𝟑𝟑𝟑 ; 𝒒𝒒 ∗ 𝑩𝑩 = 𝒎𝒎𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝒗𝒗 𝑹𝑹𝟑𝟑𝟑𝟑 ; 𝑹𝑹𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝒎𝒎𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝒎𝒎𝟑𝟑𝟑𝟑∗� 𝟐𝟐∗𝒒𝒒∗∆𝑽𝑽 𝒎𝒎𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = � 𝟐𝟐∗∆𝑽𝑽∗𝒎𝒎𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒒𝒒∗𝑩𝑩𝟐𝟐
- 13. 𝑹𝑹𝟑𝟑𝟑𝟑 = � 𝟐𝟐∗∆𝑽𝑽∗𝒎𝒎𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒒𝒒∗𝑩𝑩𝟐𝟐 ∆𝒔𝒔 = 𝟐𝟐 ∗ (𝑹𝑹𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝑹𝑹𝟑𝟑𝟑𝟑) = 𝟐𝟐 ∗ � 𝟐𝟐∗∆𝑽𝑽 𝒒𝒒∗𝑩𝑩𝟐𝟐 ∗ ��𝒎𝒎𝟑𝟑𝟑𝟑 − �𝒎𝒎𝟑𝟑𝟑𝟑� = 𝟐𝟐 𝑩𝑩 ∗ � 𝟐𝟐∗∆𝑽𝑽 𝒒𝒒 ∗ ��𝒎𝒎𝟑𝟑𝟑𝟑 − �𝒎𝒎𝟑𝟑𝟑𝟑� � 𝟐𝟐∗∆𝑽𝑽 𝒒𝒒 = ∆𝒔𝒔∗𝑩𝑩 𝟐𝟐∗��𝒎𝒎𝟑𝟑𝟑𝟑−�𝒎𝒎𝟑𝟑𝟑𝟑� ∆𝑽𝑽 = 𝒒𝒒 𝟐𝟐 ∗ ∆𝒔𝒔𝟐𝟐∗𝑩𝑩𝟐𝟐 𝟒𝟒∗��𝒎𝒎𝟑𝟑𝟑𝟑−�𝒎𝒎𝟑𝟑𝟑𝟑� 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟒𝟒∗�√𝟑𝟑𝟑𝟑−√𝟑𝟑𝟑𝟑� 𝟐𝟐 ∗𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒖𝒖 ∆𝑽𝑽 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 33. Un ion 𝑴𝑴𝑴𝑴 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 simplemente ionizado (masa 3,983 10-26 kg) se acelera a través de un potencial de 2,5 kV y se desvía en un campo magnético de 557 G que existe en un espectrómetro de masas. a) Hallar el radio de curvatura de la órbita del ion. b) ¿Cuál es la diferencia de los radios para los iones 𝑴𝑴𝑴𝑴 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟒𝟒 y 𝑴𝑴𝑴𝑴 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 ? (Suponer que su relación de masas es 26/24). a) 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝟐𝟐∗∆𝑽𝑽∗𝒎𝒎𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒒𝒒∗𝑩𝑩𝟐𝟐 = � 𝟐𝟐∗𝟐𝟐.𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑∗𝟑𝟑.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗�𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑮𝑮∗ 𝟏𝟏 𝑻𝑻 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒𝑮𝑮 � 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎 b) 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝟐𝟐∗∆𝑽𝑽∗𝒎𝒎𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒒𝒒∗𝑩𝑩𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝟐𝟐∗∆𝑽𝑽 𝒒𝒒∗𝑩𝑩𝟐𝟐 ∗ ��𝒎𝒎𝟐𝟐𝟐𝟐 − √𝒎𝒎𝟐𝟐𝟐𝟐� 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝟐𝟐∗𝟐𝟐.𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗�𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑮𝑮∗ 𝟏𝟏 𝑻𝑻 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒𝑮𝑮 � 𝟐𝟐 ∗ �� 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 − √𝟑𝟑. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐� 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 34. Un haz de iones 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝟑𝟑 𝟔𝟔 y 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝟑𝟑 𝟕𝟕 pasa a través de un selector de velocidades y entra en un espectrómetro de magnético. Si el diámetro de la órbita de los iones 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝟑𝟑 𝟔𝟔 es de 15 cm. ¿Cuál es el diámetro de la correspondiente a los iones 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝟑𝟑 𝟕𝟕 ? 𝒅𝒅𝟔𝟔 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟔𝟔 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎𝟔𝟔∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 𝒅𝒅𝟕𝟕 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟕𝟕 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎𝟕𝟕∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 𝒅𝒅𝟕𝟕 = 𝒅𝒅𝟔𝟔 ∗ 𝒎𝒎𝟕𝟕 𝒎𝒎𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∗ 𝟕𝟕 𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒄𝒄
- 14. 35. En el ejemplo 28.6, determinar el tiempo requerido para que un ion 𝑵𝑵𝑵𝑵 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟓𝟓𝟓𝟓 y un ion 𝑵𝑵𝑵𝑵 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟔𝟔𝟔𝟔 completen la trayectoria semicircular. Ejemplo 28.6: Un ion de 𝑵𝑵𝑵𝑵 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟓𝟓𝟓𝟓 de carga +e y masa 9.62 10-26 kg se acelera a través de una diferencia de potencial de 3 kV y se desvía en un campo magnético de 0,12 T. a) Determinar el radio de curvatura de la órbita del ion. b) Determinar la diferencia que existe entre los radios de curvatura de los iones 𝑵𝑵𝑵𝑵 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟓𝟓𝟓𝟓 y 𝑵𝑵𝑵𝑵 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟔𝟔𝟔𝟔 . (Suponer que la relación de masas es 58/60). a) 𝑹𝑹𝟓𝟓𝟓𝟓 = � 𝟐𝟐∗∆𝑽𝑽∗𝒎𝒎𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒒𝒒∗𝑩𝑩𝟐𝟐 = � 𝟐𝟐∗𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑∗𝟗𝟗.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟎𝟎. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒎𝒎 b) 𝑹𝑹𝟔𝟔𝟔𝟔 = � 𝟐𝟐∗∆𝑽𝑽∗𝒎𝒎𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒒𝒒∗𝑩𝑩𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑹𝑹𝟓𝟓𝟓𝟓 = �𝒎𝒎𝟔𝟔𝟔𝟔 �𝒎𝒎𝟓𝟓𝟓𝟓 ; 𝑹𝑹𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝑹𝑹𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ �𝒎𝒎𝟔𝟔𝟔𝟔 �𝒎𝒎𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟎𝟎. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ � 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟎𝟎. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒎𝒎 ∆𝑹𝑹 = 𝟎𝟎. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 − 𝟎𝟎. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 ∆𝒕𝒕𝟓𝟓𝟓𝟓 = ∆𝒙𝒙𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒗𝒗 = 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒗𝒗 = 𝝅𝝅 ∗ 𝒎𝒎𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝒗𝒗 𝒒𝒒 ∗ 𝑩𝑩 𝒗𝒗 = 𝝅𝝅 ∗ 𝒎𝒎𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒒𝒒 ∗ 𝑩𝑩 = 𝝅𝝅 ∗ 𝟗𝟗. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∆𝒕𝒕𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝒔𝒔 ∆𝒕𝒕𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝝅𝝅∗𝒎𝒎𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝝅𝝅∗ 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗𝟗𝟗.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝒔𝒔 36. Un espectrómetro de masas se encuentra precedido por un selector de velocidad constituido por placas paralelas separadas entre sí 2,0 mm y entre las que existe una diferencia de potencial de 160 V. El campo magnético en el espectrómetro de masas es de 1,2 T. Calcular: a) La velocidad con la que se introducen los iones en el espectrómetro. b) La diferencia en los diámetros de las órbitas del 𝑼𝑼 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 y 𝑼𝑼 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 simplemente ionizados. (La masa de un ion 𝑼𝑼 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 es 3,903 10-25 kg). a) En el selector de velocidades: 𝑭𝑭𝒎𝒎 = 𝑭𝑭𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 ; 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝒒𝒒 ∗ 𝑬𝑬 ∶ 𝒗𝒗 = 𝑬𝑬 𝑩𝑩 = ∆𝑽𝑽 𝒅𝒅∗𝑩𝑩 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏.𝟐𝟐 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) En el espectrómetro:
- 15. 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝑹𝑹 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝒎𝒎𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝒎𝒎𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 ∗ (𝒎𝒎𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝒎𝒎𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐) 𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏.𝟐𝟐 ∗ � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟑𝟑. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 � 𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝒅𝒅𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟗𝟗. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝒎𝒎 El ciclotrón 37. Un ciclotrón para acelerar protones tiene un campo magnético de 1,4 T y un radio de 0,7 m. a) ¿Cuál es la frecuencia del ciclotrón? b) Hallar la energía máxima de los protones cuando salen del mismo. c) ¿En que variará la respuesta a este problema si se utilizan deuterones, que tienen la misma carga, pero doble masa, en lugar de protones? a) El periodo de la partícula es: 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝑹𝑹 ; 𝒒𝒒 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝑩𝑩 = 𝒎𝒎 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 ; 𝒒𝒒 ∗ 𝑩𝑩 = 𝒎𝒎 ∗ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒎𝒎 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏.𝟒𝟒 = 𝟒𝟒. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝒔𝒔 ; 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐. 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) 𝑹𝑹 = 𝒎𝒎∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 ; 𝒗𝒗 = 𝒒𝒒∗𝑩𝑩∗𝑹𝑹 𝒎𝒎 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐∗𝑩𝑩𝟐𝟐 𝒎𝒎 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ �𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟐𝟐 ∗𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟐𝟐 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟐𝟐 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟕𝟕. 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱 = 𝟒𝟒. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝒆𝒆𝒆𝒆 c) 𝒇𝒇 = 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐∗𝒎𝒎𝒑𝒑 = 𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐∗𝑩𝑩𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒎𝒎𝒑𝒑 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 = 𝟐𝟐. 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝒆𝒆𝒆𝒆 38. Un determinado ciclotrón tiene un campo magnético de 1,8 T y está proyectado para acelerar protones hasta 25 MeV. a) ¿Cuál es la frecuencia del ciclotrón? b) ¿Cuál deberá ser el radio mínimo del imán para obtener una energía de salida de 25 MeV?
- 16. c) Si se aplica un potencial alternativo a las des con un valor máximo de 50 kV, ¿Cuántas vueltas orbitales deberán realizar los protones antes de emerger con la energía de 25 MeV? a) 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒎𝒎 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 ; 𝒇𝒇 = 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 𝟐𝟐∗∗𝝅𝝅∗𝒎𝒎 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏,𝟖𝟖 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) 𝒗𝒗 = � 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎 𝑹𝑹 = 𝒎𝒎∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝒎𝒎∗� 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = �𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄∗𝒎𝒎 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = �𝟐𝟐∗𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝒆𝒆𝒆𝒆∗ 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱 𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆 ∗𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑪𝑪∗𝟏𝟏.𝟖𝟖 𝑻𝑻 = 𝟎𝟎. 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎 c) 𝑵𝑵 = 𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝒆𝒆𝒆𝒆∗ 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱 𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝑬𝑬𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 En 1 vuelta el portón pasa 2 veces por el campo eléctrico: 𝑬𝑬𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = ( 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 )𝑱𝑱 𝑵𝑵 = 𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝒆𝒆𝒆𝒆∗ 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱 𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟐𝟐∗𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 39. Demostrar que la frecuencia del ciclotrón es la misma para deuterones que para partículas alfa y que es la mitad de la correspondiente a un protón en el interior del mismo campo magnético (véase problema 22). 𝒇𝒇 = 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒎𝒎 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫: 𝒒𝒒𝒅𝒅 = 𝒒𝒒𝒑𝒑 ; 𝒎𝒎𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎𝒑𝒑 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑í𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂: 𝒒𝒒𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒𝒑𝒑 ; 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎𝒑𝒑 Por tanto, en los dos casos la frecuencia es la misma. 𝒇𝒇 = 𝒒𝒒𝒅𝒅∗𝑩𝑩 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒎𝒎𝒅𝒅 = 𝒒𝒒𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗𝑩𝑩 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒎𝒎𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒𝒑𝒑∗𝑩𝑩 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒎𝒎𝒑𝒑 40. Demostrar que el radio de la órbita de una partícula cargada en un ciclotrón es proporcional a la raíz cuadrada del número de órbitas recorridas. 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝑵𝑵 ∗ 𝑬𝑬𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 = 𝑵𝑵 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 𝑹𝑹 = 𝒎𝒎∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝒎𝒎∗� 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = �𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄∗𝒎𝒎 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = �𝟐𝟐∗𝑵𝑵∗𝟐𝟐∗𝒒𝒒∗∆𝑽𝑽 ∗𝒎𝒎 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝟐𝟐 ∗ �𝒒𝒒∗∆𝑽𝑽 ∗𝒎𝒎 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 ∗ √𝑵𝑵 Pares de fuerzas sobre espiras e imanes 41. ¿Qué orientación debe tener una espira de corriente para que el momento del par sea máximo? 𝝉𝝉 = 𝑰𝑰 ∗ 𝒂𝒂 ∗ 𝒃𝒃 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔
- 17. El momento será máximo cuando ϴ=90º; o sea el plano de la espira paralelo al campo. 42. Una bobina circular pequeña de 20 vueltas de alambre está en un campo magnético uniforme de 0,5 T de modo que la normal al plano de la bobina forma un ángulo de 60 º con la dirección de B. El radio de la bobina es 4 cm y por ella circula una corriente de 3 A. a) ¿Cuál es el valor del momento magnético de la bobina? b) ¿Qué momento o par de fuerzas se ejerce sobre la bobina? a) 𝝁𝝁 = 𝑵𝑵 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑨𝑨 ∗ 𝒎𝒎𝟐𝟐 b) 𝝉𝝉 = 𝝁𝝁 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟎𝟎. 𝟓𝟓 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵 ∗ 𝒎𝒎 43. ¿Cuál es el momento del par máximo que actúa sobre una bobina circular de 400 vueltas de radio 0,75 cm que transporta una corriente de 1,6 mA y está situada en un campo magnético uniforme de 0,25 T? 𝝉𝝉 = 𝑵𝑵 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝑩𝑩 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎. 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝑵𝑵 ∗ 𝒎𝒎 44. Un alambre conductor se dobla en forma de un cuadrado de lado L=6 cm y se sitúa en el plano xy. Transporta una corriente I=2,5 A. ¿Cuál es el momento del par que actúa sobre el conductor si existe un campo magnético de 0,3 T a) En la dirección z. b) En la dirección x? a) 𝝉𝝉 �⃗ = 𝝁𝝁 � �⃗ ⊗ 𝑩𝑩 ��⃗ = � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑩𝑩 � = 𝟎𝟎 b) 𝝉𝝉 �⃗ = 𝝁𝝁 � �⃗ ⊗ 𝑩𝑩 ��⃗ = � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 𝑩𝑩 𝟎𝟎 𝟎𝟎 � = 𝑩𝑩 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐. 𝟓𝟓 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝝉𝝉 �⃗ = 𝟐𝟐. 𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ El signo de + o – en el eje y dependerá del sentido de la corriente en la espira. 45. Repetir el problema 44 para el caso en que el alambre se dobla en forma de un triángulo equilátero de lado 8 cm. a) 𝝉𝝉 �⃗ = 𝝁𝝁 � �⃗ ⊗ 𝑩𝑩 ��⃗ = � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑩𝑩 � = 𝟎𝟎
- 18. b) 𝝉𝝉 �⃗ = 𝝁𝝁 � �⃗ ⊗ 𝑩𝑩 ��⃗ = � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 𝑩𝑩 𝟎𝟎 𝟎𝟎 � = 𝑩𝑩 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝝉𝝉 �⃗ = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐. 𝟓𝟓 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ √𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 − 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝝉𝝉 �⃗ = 𝟐𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ El signo de + o – en el eje y dependerá del sentido de la corriente en la espira. 46. Una espira circular rígida de radio R y masa M transporta una corriente I y yace en el plano xy sobre una mesa plana rugosa. Existe un campo magnético horizontal de magnitud B. ¿Cuál es el valor mínimo de B para que un borde de la espira se levante sobre la mesa? 𝝉𝝉𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝝁𝝁 ∗ 𝑩𝑩 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝑩𝑩 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝑩𝑩 𝝉𝝉𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹 𝑰𝑰 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝑩𝑩 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹 𝑩𝑩 = 𝒎𝒎∗𝒈𝒈 𝑰𝑰∗𝝅𝝅∗∗𝑹𝑹 47. Una bobina rectangular de 50 vueltas tiene lados de 6,0 y 8,0 cm y transporta una corriente de 1,75 A. Está orientada como indica la figura y pivota alrededor del eje z. a) Si el alambre situado en el plano xy forma un ángulo ϴ=37º con el eje y como se indica, ¿qué ángulo forma el vector unitario normal n con el eje x? b) Expresar n en función de los vectores unitarios i y j. c) ¿Cuál es el momento magnético de la bobina? d) Determinar el momento del par que actúa sobre la bobina cuando se sitúa en un campo magnético uniforme B=1,5 T j. e) Determinar la energía potencial de la bobina en este campo. a) 37º
- 19. b) 𝒏𝒏 ��⃗ = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟑𝟑𝟑𝟑º ∗ 𝒊𝒊 ⃗ − 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔º ∗ 𝒋𝒋 ⃗ = 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ − 𝟎𝟎. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ c) 𝝁𝝁 � �⃗ = 𝑵𝑵 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒏𝒏 ��⃗ = 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ (𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎) ∗ (𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ − 𝟎𝟎. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝒋𝒋 ⃗) 𝝁𝝁 � �⃗ = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ − 𝟎𝟎. 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝒋𝒋 d) 𝝉𝝉 �⃗ = 𝝁𝝁 � �⃗ ⊗ 𝑩𝑩 ��⃗ = � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 −𝟎𝟎. 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏. 𝟓𝟓 𝟎𝟎 � = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏. 𝟓𝟓 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ = 𝟎𝟎. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ e) 𝑼𝑼 = −𝝁𝝁 � �⃗ ∗ 𝑩𝑩 ��⃗ = (𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ − 𝟎𝟎. 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝒋𝒋) ∗ (𝟏𝟏. 𝟓𝟓 ∗ 𝒋𝒋 ⃗) 𝑼𝑼 = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏. 𝟓𝟓 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ ∗ 𝒋𝒋 ⃗ + 𝟎𝟎. 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏. 𝟓𝟓 ∗ 𝒋𝒋 ∗ 𝒋𝒋 = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑱𝑱 48. La bobina del problema 47 pivota alrededor del eje z y se mantiene en diversas posiciones en un campo magnético B=2,0 T j. Dibujar la posición de la bobina y determinar el momento del par cuando el vector unitario normal es a) n=i. b) n =j. c) n=-j. d) 𝒏𝒏 = (𝒊𝒊 + 𝒋𝒋) √𝟐𝟐 � . a) 𝝁𝝁 � �⃗ = 𝑵𝑵 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒏𝒏 ��⃗ = 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟐𝟐 ∗ (𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎) ∗ 𝒊𝒊 ⃗ = 𝟎𝟎. 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ 𝝉𝝉 �⃗ = 𝝁𝝁 � �⃗ ⊗ 𝑩𝑩 ��⃗ = � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎. 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟐𝟐. 𝟎𝟎 𝟎𝟎 � = 𝟎𝟎. 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟐𝟐. 𝟎𝟎 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ = 𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ b) 𝝁𝝁 � �⃗ = 𝑵𝑵 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒏𝒏 ��⃗ = 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟐𝟐 ∗ (𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎) ∗ 𝒋𝒋 ⃗ = 𝟎𝟎. 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝝉𝝉 �⃗ = 𝝁𝝁 � �⃗ ⊗ 𝑩𝑩 ��⃗ = � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟐𝟐. 𝟎𝟎 𝟎𝟎 � = 𝟎𝟎 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ c) 𝝁𝝁 � �⃗ = 𝑵𝑵 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒏𝒏 ��⃗ = −𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟐𝟐 ∗ (𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎) ∗ 𝒋𝒋 ⃗ = −𝟎𝟎. 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝝉𝝉 �⃗ = 𝝁𝝁 � �⃗ ⊗ 𝑩𝑩 ��⃗ = � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎 −𝟎𝟎. 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟐𝟐. 𝟎𝟎 𝟎𝟎 � = 𝟎𝟎 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗
- 20. d) 𝝁𝝁 � �⃗ = 𝑵𝑵 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒏𝒏 ��⃗ = 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟐𝟐 ∗ (𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎) (𝒊𝒊 ⃗ + 𝒋𝒋 ⃗) √𝟐𝟐 � 𝝁𝝁 � �⃗ = 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ (𝒊𝒊 ⃗ + 𝒋𝒋 ⃗) 𝝉𝝉 �⃗ = 𝝁𝝁 � �⃗ ⊗ 𝑩𝑩 ��⃗ = � 𝒊𝒊 ⃗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝒌𝒌 � �⃗ 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟐𝟐. 𝟎𝟎 𝟎𝟎 � = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐. 𝟎𝟎 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ = 𝟎𝟎. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ Momentos magnéticos 49. La unidad SI correspondiente al momento magnético de una espira es A m2. Utilizar esta expresión para demostrar que 1 T=1 N/A m. 𝝉𝝉 = 𝝁𝝁 ∗ 𝑩𝑩 ; [𝑩𝑩] = � 𝝉𝝉 𝝁𝝁 � = 𝑵𝑵∗𝒎𝒎 𝑨𝑨∗𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝑵𝑵 𝑨𝑨∗𝒎𝒎 50. Un pequeño imán de longitud 6,8 cm se coloca formando un ángulo de 60º respecto a la dirección de un campo magnético uniforme de valor 0,04 T. El momento del par observado tiene el valor 0,10 N m. Hallar el momento magnético del imán. 𝝉𝝉 = 𝝁𝝁 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ; 𝝁𝝁 = 𝝉𝝉 𝑩𝑩∗𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟎𝟎.𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟐𝟐. 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑨𝑨 ∗ 𝒎𝒎𝟐𝟐 51. Una espira de alambre está formada por dos semicírculos conectados por dos segmentos rectos (figura). Los radios interior y exterior son 0,3 y 0,5 m, respectivamente. Por el circuito fluye una corriente de 1,5 A, siendo su sentido horario en el semicírculo exterior. ¿Cuál es el momento magnético de esta espira de corriente? 𝝁𝝁 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝟏𝟏. 𝟓𝟓 ∗ 𝝅𝝅 𝟐𝟐 (𝟎𝟎. 𝟓𝟓𝟐𝟐 − 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟐𝟐) = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑨𝑨 ∗ 𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒑𝒑á𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈. (Regla mano derecha) 52. Un alambre de longitud L se arrolla en una bobina circular de N espiras. Demostrar que cuando esta bobina transporta una corriente I, su momento magnético tiene la magnitud 𝑰𝑰𝑳𝑳𝟐𝟐 /𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒. 𝑳𝑳 = 𝑵𝑵 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓 ; 𝒓𝒓 = 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑵𝑵
- 21. 𝝁𝝁 = 𝑵𝑵 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝑵𝑵 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝑵𝑵 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑵𝑵 � 𝟐𝟐 = 𝑰𝑰∗𝑳𝑳𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝑵𝑵 53. Una partícula de carga q y masa m se mueve en una circunferencia de radio r con una velocidad angular ω. a) Demostrar que la corriente media es 𝑰𝑰 = 𝒒𝒒𝒒𝒒/𝟐𝟐𝟐𝟐 y que el momento magnético tiene por valor 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏/𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝒓𝒓𝟐𝟐 . b) Demostrar que el momento angular de esta partícula tiene el valor 𝑳𝑳 = 𝒎𝒎𝒓𝒓𝟐𝟐 𝝎𝝎 y que los vectores de momento magnético y momento angular están relacionados por 𝝁𝝁 = � 𝒒𝒒 𝟐𝟐𝟐𝟐 � 𝑳𝑳. a) 𝑰𝑰 = 𝒒𝒒 ∆𝒕𝒕 = 𝒒𝒒 𝑻𝑻 = 𝒒𝒒 ∗ 𝒇𝒇 = 𝒒𝒒∗𝝎𝝎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝁𝝁 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝒒𝒒∗𝝎𝝎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 b) 𝑳𝑳 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝎𝝎 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝑳𝑳 𝒎𝒎 ∗ 𝝎𝝎 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝑳𝑳 𝒎𝒎∗𝝎𝝎 = � 𝒒𝒒 𝟐𝟐∗𝒎𝒎 � ∗ 𝑳𝑳 54. Una espira única de alambre se sitúa en circunferencia alrededor de un cartón de forma rectangular cuya longitud y anchura son 70 y 20 cm, respectivamente. El cartón se dobla entonces a lo largo de la línea perpendicular a su longitud que pasa por el punto medio entre los dos extremos, de tal modo que los dos planos formados por el cartón doblado forman un ángulo de 90º. Si la espira de alambre transporta una corriente de 0,2 A, ¿Cuál es la magnitud el momento magnético de este sistema? Supongamos que al área de la espira es A La normal en el plano xz estará dirigida según el eje y positivo, la otra mitad, del plano xy , tendrá n dirigido hacia el eje z positivo. 𝝁𝝁 � �⃗ = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 𝟐𝟐 ∗ �𝒋𝒋 ⃗ + 𝒌𝒌 � �⃗� Si suponemos que el radio de la espira es de 20 cm: 𝑨𝑨 = 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟐𝟐 𝝁𝝁 � �⃗ = 𝟎𝟎. 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐 ∗ �𝒋𝒋 ⃗ + 𝒌𝒌 � �⃗� = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ �𝒋𝒋 ⃗ + 𝒌𝒌 � �⃗� 55. Repetir el problema 54 para el caso en que la línea de doblez está a 40 cm de un extremo. En este caso las dos áreas no son iguales,
- 22. En nuestro caso h=0.05 cm y c=0,1 𝜶𝜶 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 ∗ 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝒉𝒉 𝑹𝑹 � = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 ∗ 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎.𝟏𝟏 � = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏º 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝝅𝝅 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔� = 𝟔𝟔. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟐𝟐 − 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟔𝟔. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟐𝟐 𝝁𝝁 � �⃗ = �𝟎𝟎. 𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ + 𝟎𝟎. 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗� En módulo: 0.0052 A*m2. 56. Un cilindro hueco de longitud L posee los radios Ri interior y Ro exterior (figura). El cilindro tiene una densidad de carga uniforme ρ. Deducir una expresión para el momento magnético en función de la velocidad angular de rotación del cilindro alrededor de su eje. Consideramos un elemento diferencial del cilindro de radio r, espesor dr y carga dq. 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑨𝑨 = 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝎𝝎 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑳𝑳∗𝝆𝝆∗𝒓𝒓∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝎𝝎 = 𝝎𝝎 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝅𝝅 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝝁𝝁 = 𝝅𝝅 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝆𝝆 ∗ ∫ 𝝆𝝆 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹𝒐𝒐 𝑹𝑹𝒊𝒊 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝆𝝆 ∗ �𝑹𝑹𝒐𝒐 𝟒𝟒 − 𝑹𝑹𝒊𝒊 𝟒𝟒 � 57. Una varilla no conductora de masa M y longitud l tiene una carga uniforme por unidad de longitud λ y se hace girar con velocidad angular ω alrededor de un eje que pasa a través de uno de sus extremos y es perpendicular a la varilla. a) Considerar un pequeño segmento de longitud dx y carga dq=λdx a una distancia x del eje de giro (figura). Demostrar que el momento magnético de este segmento es 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝝀𝝀𝝀𝝀𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅. b) Integrar el resultado para demostrar que el momento magnético total de la varilla es 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝝀𝝀𝝀𝝀𝒍𝒍𝟑𝟑 .
- 23. c) Demostrar que el momento magnético μ y el momento angular L están relacionados por 𝝁𝝁 = � 𝑸𝑸 𝟐𝟐𝟐𝟐 � 𝑳𝑳, en donde Q es la carga total sobre la varilla. a) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑨𝑨 = 𝝅𝝅 ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝎𝝎 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑻𝑻 = 𝝀𝝀∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝎𝝎 = 𝝀𝝀∗𝝎𝝎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝅𝝅 ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐 ∗ 𝝀𝝀∗𝝎𝝎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝀𝝀 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 b) 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝀𝝀 ∗ 𝝎𝝎 ∗ ∫ 𝒙𝒙𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒍𝒍 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 𝟔𝟔 ∗ 𝝀𝝀 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒍𝒍𝟑𝟑 c) 𝑳𝑳 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟏𝟏 𝟑𝟑 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝒍𝒍𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎 Del apartado b: 𝝎𝝎 = 𝟔𝟔∗𝝁𝝁 𝝀𝝀∗𝒍𝒍𝟑𝟑 𝑳𝑳 = 𝟏𝟏 𝟑𝟑 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝒍𝒍𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔∗𝝁𝝁 𝝀𝝀∗𝒍𝒍𝟑𝟑 = 𝟐𝟐∗𝑴𝑴∗𝒍𝒍𝟐𝟐 𝑸𝑸 𝒍𝒍 ∗𝒍𝒍𝟑𝟑 ∗ 𝝁𝝁 𝝁𝝁 = 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑳𝑳 58. Un disco no uniforme, no conductor de masa M, radio R y carga total Q posee una densidad de carga superficial 𝝈𝝈 = 𝝈𝝈𝒐𝒐𝒓𝒓 𝑹𝑹 y una masa por unidad de área 𝝈𝝈𝒎𝒎 = ( 𝑴𝑴 𝑸𝑸 )𝝈𝝈. El disco gira con velocidad angular ω respecto a su eje. a) Demostrar que el momento magnético del disco tiene una magnitud 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝝅𝝅𝝅𝝅𝝈𝝈𝒐𝒐𝑹𝑹𝟒𝟒 = 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑸𝑸𝑸𝑸𝑹𝑹𝟐𝟐 . b) Demostrar que el momento magnético μ y el momento angular L están relacionados por la expresión 𝝁𝝁 = � 𝑸𝑸 𝟐𝟐𝟐𝟐 � 𝑳𝑳. a) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
- 24. 𝑨𝑨 = 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑻𝑻 = 𝝈𝝈∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝎𝝎 = 𝝎𝝎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ 𝒓𝒓 𝑹𝑹 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝎𝝎 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 𝑹𝑹 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 𝑹𝑹 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝅𝝅∗𝝎𝝎∗𝝈𝝈𝒐𝒐 𝑹𝑹 ∗ 𝒓𝒓𝟒𝟒 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝝁𝝁 = 𝝅𝝅∗𝝎𝝎∗𝝈𝝈𝒐𝒐 𝑹𝑹 ∗ ∫ 𝒓𝒓𝟒𝟒 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 𝟓𝟓 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ 𝑹𝑹𝟒𝟒 Utilizando la densidad de carga: 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ 𝒓𝒓 𝑹𝑹 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝝈𝝈𝒐𝒐 𝑹𝑹 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑸𝑸 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝝈𝝈𝒐𝒐 𝑹𝑹 ∗ ∫ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹 𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 Dividiendo las dos expresiones obtenidas: 𝝁𝝁 𝑸𝑸 = 𝟏𝟏 𝟓𝟓 ∗𝝅𝝅∗𝝎𝝎∗𝝈𝝈𝒐𝒐∗𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝝈𝝈𝒐𝒐∗𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟑𝟑∗𝝎𝝎 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝝁𝝁 = 𝟑𝟑∗𝝎𝝎∗𝑸𝑸 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 b) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝝈𝝈𝒎𝒎 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴 𝑸𝑸 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑴𝑴 𝑸𝑸 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ 𝒓𝒓 𝑹𝑹 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑴𝑴∗𝝈𝝈𝒐𝒐 𝑸𝑸∗𝑹𝑹 ∗ 𝒓𝒓𝟒𝟒 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑰𝑰 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑴𝑴∗𝝈𝝈𝒐𝒐 𝑸𝑸∗𝑹𝑹 ∗ ∫ 𝒓𝒓𝟒𝟒 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹 𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 𝟓𝟓 ∗ 𝝅𝝅∗𝑴𝑴∗𝝈𝝈𝒐𝒐 𝑸𝑸 ∗ 𝑹𝑹𝟒𝟒 Dividiendo por la carga encontrada en (a): 𝑰𝑰 𝑸𝑸 = 𝟐𝟐 𝟓𝟓 ∗ 𝝅𝝅∗𝑴𝑴∗𝝈𝝈𝒐𝒐 𝑸𝑸 ∗𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝝈𝝈𝒐𝒐∗𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟑𝟑 𝟓𝟓 ∗ 𝑴𝑴 𝑸𝑸 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑰𝑰 = 𝟑𝟑 𝟓𝟓 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑳𝑳 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟑𝟑 𝟓𝟓 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎 Dividiendo por la expresión de μ: 𝑳𝑳 𝝁𝝁 = 𝟑𝟑 𝟓𝟓 ∗𝑴𝑴∗𝑹𝑹𝟐𝟐∗𝝎𝝎 𝟑𝟑∗𝝎𝝎∗𝑸𝑸 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 𝑸𝑸 ; 𝝁𝝁 = 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑳𝑳 59. Una corteza esférica de radio R posee una densidad superficial de carga σ. La esfera gira alrededor de su diámetro con velocidad angular ω. Determinar el momento magnético de la esfera rotatoria. Usando la expresión que relaciona el momento magnético y el momento angular encontrada anteriormente: 𝝁𝝁 = 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑳𝑳 𝑸𝑸 = 𝝈𝝈 ∗ 𝑨𝑨 = 𝝈𝝈 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐
- 25. 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆é𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓: 𝑰𝑰 = 𝟐𝟐 𝟑𝟑 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑳𝑳 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 𝟑𝟑 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎 𝝁𝝁 = 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑳𝑳 = 𝝈𝝈∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐 𝟑𝟑 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ 𝝎𝝎 60. Una esfera sólida de radio R posee una densidad de carga uniforme ρ. La esfera gira alrededor de su diámetro con velocidad angular ω. Determinar el momento magnético de la esfera giratoria. 𝝁𝝁 = 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑳𝑳 𝑸𝑸 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 = 𝝆𝝆 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 𝑰𝑰 = 𝟐𝟐 𝟓𝟓 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑳𝑳 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 𝟓𝟓 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎 𝝁𝝁 = 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑳𝑳 = 𝝆𝝆∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐 𝟓𝟓 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝑹𝑹𝟓𝟓 ∗ 𝝎𝝎 61. Un cilindro sólido de radio R y longitud L posee una densidad de carga uniforme +ρ entre r=0 y r=Rs y una densidad igual de carga de signo opuesto, - ρ, entre r=Rs y r = R. ¿Cuál debe ser el radio Rs para que al girar el cilindro alrededor de su eje el momento magnético sea cero? Utilizamos: 𝝁𝝁 = 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑳𝑳 Para el cilindro interior, de carga positiva: 𝝁𝝁 = 𝝆𝝆∗𝑽𝑽 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝝎𝝎 = 𝝆𝝆∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 Para el parte con carga negativa, corteza cilíndrica, tendremos: 𝝁𝝁 = 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑳𝑳 = 𝝆𝝆∗𝑽𝑽 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝝎𝝎 Para el momento de inercia:
- 26. En nuestro caso: 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴 ∗ (𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟐𝟐 ) 𝝁𝝁 = 𝝆𝝆∗𝝅𝝅∗(𝑹𝑹𝟐𝟐−𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟐𝟐)∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴 ∗ (𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟐𝟐) ∗ 𝝎𝝎 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝝅𝝅 ∗ (𝑹𝑹𝟒𝟒 − 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟒𝟒) ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 Los dos han de ser iguales en valor absoluto: 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 = 𝝆𝝆∗𝝅𝝅∗(𝑹𝑹𝟐𝟐−𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟐𝟐)∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴 ∗ (𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟐𝟐 ) ∗ 𝝎𝝎 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟒𝟒 = (𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟐𝟐) ∗ (𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟐𝟐 ) 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟒𝟒 = 𝑹𝑹𝟒𝟒 − 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟒𝟒 ; 𝑹𝑹𝒔𝒔 = 𝑹𝑹𝟒𝟒 √𝟐𝟐 𝟒𝟒 62. Un cilindro sólido de radio R y longitud L posee una densidad de carga negativa uniforme 𝝆𝝆 = −𝝆𝝆𝒐𝒐 entre r=0 y r=1/2 R y una densidad de carga positiva de igual magnitud + ρo entre r=1/2R y r=R (figura). El cilindro gira alrededor de su eje con velocidad angular w. Deducir una expresión para el momento magnético del cilindro. Usando los resultados del problema anterior. Para el cilindro interior, de carga negativa: 𝝁𝝁𝟏𝟏 = −𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝝅𝝅∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟒𝟒 ∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟒𝟒 = − 𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 Para la corteza exterior:
- 27. 𝝁𝝁𝟐𝟐 = 𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝝅𝝅∗(𝑹𝑹𝟐𝟐− 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟒𝟒 )∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴 ∗ �𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟒𝟒 � ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝑹𝑹𝟒𝟒 − 𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏 � ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 𝝁𝝁𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 El momento resultante será: 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 − 𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟕𝟕 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 63. Una corteza cilíndrica de longitud L con radio interno Ri y radio externo Ro posee una densidad de carga no uniforme, +ρo, entre Ri y el radio Rs y y una densidad de carga de signo opuesto, - ρo, entre Rs y Ro. El cilindro gira alrededor de su eje con velocidad angular ω. Deducir una expresión para el momento magnético de este cilindro. Usando el resultado del problema 61 para las dos cortezas esféricas: Corteza interior: 𝝁𝝁𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟒𝟒 − 𝑹𝑹𝒊𝒊 𝟒𝟒 � ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 Corteza exterior: 𝝁𝝁𝟐𝟐 = − 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ (𝑹𝑹𝒐𝒐 𝟒𝟒 − 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟒𝟒) ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 El momento resultante, en valor absoluto: 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 ∗ �(𝑹𝑹𝒐𝒐 𝟒𝟒 − 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟒𝟒) − �𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟒𝟒 − 𝑹𝑹𝒊𝒊 𝟒𝟒 �� 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 ∗ (𝑹𝑹𝒐𝒐 𝟒𝟒 − 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟒𝟒 + 𝑹𝑹𝒊𝒊 𝟒𝟒 ) 64. Una esfera sólida de radio R posee una densidad de carga uniforme +ρo entre r=0 y r=Rs y una densidad de carga igual de signo opuesto -ρo, entre r=Rs y r=R. L esfera gira alrededor de su diámetro con velocidad angular ω. Determinar Rs de modo que el momento magnético de la esfera sea cero. ¿Cuál es la carga neta que posee la esfera? Para la esfera interior: 𝝁𝝁 = 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑳𝑳 = 𝝆𝝆𝒐𝒐∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ � 𝟐𝟐 𝟓𝟓 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟐𝟐 � ∗ 𝝎𝝎 = 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟓𝟓 ∗ 𝝎𝝎 Para la corteza esférica exterior: 𝑰𝑰 = 𝟐𝟐 𝟓𝟓 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝑹𝑹𝟓𝟓−𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟓𝟓 𝑹𝑹𝟑𝟑−𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟑𝟑 𝝁𝝁 = 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑳𝑳 = − 𝝆𝝆𝒐𝒐∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗�𝑹𝑹𝟑𝟑−𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟑𝟑� 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ � 𝟐𝟐 𝟓𝟓 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝑹𝑹𝟓𝟓−𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟓𝟓 𝑹𝑹𝟑𝟑−𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟑𝟑� ∗ 𝝎𝝎
- 28. 𝝁𝝁 = − 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ (𝑹𝑹𝟑𝟑 − 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟑𝟑) ∗ 𝑹𝑹𝟓𝟓−𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟓𝟓 𝑹𝑹𝟑𝟑−𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟑𝟑 ∗ 𝝎𝝎 = − 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ (𝑹𝑹𝟓𝟓 − 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟓𝟓 ) ∗ 𝝎𝝎 Igualando los dos momentos: 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟓𝟓 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ (𝑹𝑹𝟓𝟓 − 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟓𝟓 ) ∗ 𝝎𝝎 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟓𝟓 = (𝑹𝑹𝟓𝟓 − 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟓𝟓 ) 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝒔𝒔 𝟓𝟓 = 𝑹𝑹𝟓𝟓 𝑹𝑹𝒔𝒔 = 𝑹𝑹 √𝟐𝟐 𝟓𝟓 65. Una esfera sólida de radio R posee una densidad de carga uniforme +ρo, entre r=0 y r=1/2R y una densidad de carga igual de signo opuesto, -ρo, entre r=1/2R y r=R. La esfera gira alrededor de su diámetro con velocidad angular ω. Deducir una expresión para el momento magnético de esta esfera en rotación. Usando los resultados anteriores, para la esfera interior: 𝝁𝝁𝟏𝟏 = 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟓𝟓 𝟐𝟐𝟓𝟓 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟓𝟓 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟓𝟓 Para la corteza esférica, la consideramos formada por una esfera entera negativa de radio R y una esfera positiva en suinterior de radio R/2, elmomento será la suma de los momentos de las dos partes: 𝝁𝝁𝟐𝟐 = − 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟓𝟓 + 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟓𝟓 𝟐𝟐𝟓𝟓 El momento resultante será: 𝝁𝝁 = 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝑹𝑹𝟓𝟓 ∗ � 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟓𝟓 − 𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟓𝟓 � = − 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝑹𝑹𝟓𝟓 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝝁𝝁 = − 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝑹𝑹𝟓𝟓 Des signo contrario a w. La carga total de la esfera es: 𝑸𝑸 = 𝝆𝝆𝟎𝟎 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟖𝟖 − 𝝆𝝆𝟎𝟎 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝑹𝑹𝟑𝟑 − 𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟖𝟖 � = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝆𝝆𝟎𝟎 ∗ � 𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟖𝟖 − 𝑹𝑹𝟑𝟑 + 𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟖𝟖 � 𝑸𝑸 = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝆𝝆𝟎𝟎 ∗ � 𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟒𝟒 − 𝑹𝑹𝟑𝟑 � = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝆𝝆𝟎𝟎 ∗ � 𝑹𝑹𝟑𝟑−𝟒𝟒∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟒𝟒 � 𝑸𝑸 = −𝝅𝝅 ∗ 𝝆𝝆𝟎𝟎 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑
- 29. Efecto Hall 66. Una cinta de metal de 2,0 cm de ancho y 0,1 cm de espesor lleva una corriente de 20 A y está situada en el interior de un campo magnético de 2,0 T, según se ve en la figura. El voltaje Hall se mide y resulta ser de 4,27 μV. a) Calcular la velocidad de desplazamiento de los electrones en la cinta. b) Hallar la densidad numérica de los portadores de carga en la cinta. c) ¿Cuál de los puntos a o b se encuentra a mayor potencial? a) 𝑽𝑽𝑯𝑯 = 𝒗𝒗𝒅𝒅 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒘𝒘 ; 𝒗𝒗𝒅𝒅 = 𝑽𝑽𝑯𝑯 𝑩𝑩∗𝒘𝒘 = 𝟒𝟒.𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟐𝟐.𝟎𝟎∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝑰𝑰 = 𝒏𝒏 ∗ 𝒒𝒒 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗𝒅𝒅 ; 𝒏𝒏 = 𝑰𝑰 𝒒𝒒∗𝑨𝑨∗𝒗𝒗𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 = 𝟓𝟓. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎−𝟑𝟑 c) Aplicando la regla de la mano izquierda: En la parte a se acumulan las cargas positivas y en b las negativas. Va>Vb. 67. La densidad numérica de electrones libres en el cobre es de 8,47 1022 electrones por centímetro cúbico. Si la cinta de metal de la figura del problema anterior es de cobre y la corriente es 10 A, hallar a) La velocidad de desplazamiento. b) El voltaje Hall. (Admitir que el campo magnético es 2,0 T) a) 𝑰𝑰 = 𝒏𝒏 ∗ 𝒒𝒒 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗𝒅𝒅 ; 𝒗𝒗𝒅𝒅 = 𝑰𝑰 𝒏𝒏∗𝒒𝒒∗𝑨𝑨 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟖𝟖.𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟑. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝑽𝑽𝑯𝑯 = 𝒗𝒗𝒅𝒅 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒘𝒘 = 𝟑𝟑. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 ∗ 𝟐𝟐. 𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏. 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝑽𝑽 68. Se utiliza una cinta de cobre (8.47 1022 electrones por centímetro cúbico) de 2 cm y 0,1 cm de espesor para medir los valores de campos magnéticos desconocidos que son perpendiculares a la cinta. Hallar el valor de B cuando I=20 A y el voltaje Hall es a) 2,00 μV b) 5.25 μV c) 8,00 μV. a) 𝑽𝑽𝑯𝑯 = 𝒗𝒗𝒅𝒅 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒘𝒘 ; 𝑩𝑩 = 𝑽𝑽𝑯𝑯 𝒗𝒗𝒅𝒅∗𝒘𝒘
- 30. 𝒗𝒗𝒅𝒅 = 𝑰𝑰 𝒏𝒏∗𝒒𝒒∗𝑨𝑨 A=w*t 𝑩𝑩 = 𝑽𝑽𝑯𝑯 𝒗𝒗𝒅𝒅∗𝒘𝒘 = 𝑽𝑽𝑯𝑯 𝑰𝑰 𝒏𝒏∗𝒒𝒒∗𝑨𝑨 ∗𝒘𝒘 = 𝑽𝑽𝑯𝑯∗𝒏𝒏∗𝒒𝒒∗𝑨𝑨 𝑰𝑰∗𝒘𝒘 = 𝑽𝑽𝑯𝑯∗𝒏𝒏∗𝒒𝒒∗𝒘𝒘∗𝒕𝒕 𝑰𝑰∗𝒘𝒘 = 𝑽𝑽𝑯𝑯∗𝒏𝒏∗𝒒𝒒∗𝒕𝒕 𝑰𝑰 𝑩𝑩 = 𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔∗𝟖𝟖.𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏. 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑻𝑻 b) 𝑩𝑩 = 𝟓𝟓.𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔∗𝟖𝟖.𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟑𝟑. 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑻𝑻 c) 𝑩𝑩 = 𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔∗𝟖𝟖.𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟓𝟓. 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑻𝑻 69. La sangre contiene iones cargados de modo que al moverse desarrolla un voltaje Hall a través del diámetro de una artería. Una arteria gruesa con un diámetro de 0,85 cm tiene una velocidad de flujo de 0,6 m/s. Si una sección de esta arteria se encuentra en un campo magnético de 0,2 T, ¿Cuál es la diferencia de potencial a través del diámetro de la arteria? 𝑽𝑽𝑯𝑯 = 𝒗𝒗𝒅𝒅 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒘𝒘 = 𝟎𝟎. 𝟔𝟔 ∗ 𝟎𝟎. 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑽𝑽 70. El coeficiente Hall R viene definido por 𝑹𝑹 = 𝑬𝑬𝒚𝒚 𝑱𝑱𝒙𝒙𝑩𝑩𝒛𝒛 , en donde Jx es la corriente por unidad de área enla dirección del conductor, Bz es el campo magnético en la dirección z y Ey es el campo Hall en la dirección y. Demostrar que el coeficiente Hall es 1/nq, en donde q es la carga de los portadores, -1.6 10-19 C si se trata de electrones. (Los coeficientes Hall de los metales monovalentes, tales como el cobre, la plata y el sodio, son por tanto, negativos). 𝑬𝑬𝒚𝒚 = 𝑽𝑽𝑯𝑯 𝒘𝒘 𝑱𝑱𝒙𝒙 = 𝑰𝑰 𝒘𝒘∗𝒕𝒕 = 𝒏𝒏 ∗ 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗𝒅𝒅 𝑹𝑹 = 𝑬𝑬𝒚𝒚 𝑱𝑱𝒙𝒙∗𝑩𝑩𝒛𝒛 = 𝑽𝑽𝑯𝑯 𝒘𝒘 𝒏𝒏∗𝒒𝒒∗𝒗𝒗𝒅𝒅∗𝑩𝑩𝒛𝒛 Usando 𝑽𝑽𝑯𝑯 = 𝒗𝒗𝒅𝒅 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒘𝒘 𝑹𝑹 = 𝑽𝑽𝑯𝑯 𝒘𝒘 𝒏𝒏∗𝒒𝒒∗𝒗𝒗𝒅𝒅∗𝑩𝑩𝒛𝒛 = 𝒗𝒗𝒅𝒅∗𝑩𝑩𝒛𝒛∗𝒘𝒘 𝒏𝒏∗𝒒𝒒∗𝒗𝒗𝒅𝒅∗𝑩𝑩𝒛𝒛∗𝒘𝒘 = 𝟏𝟏 𝒏𝒏∗𝒒𝒒 71. El aluminio tiene una densidad de 2,7 103 kg/m3 y una masa molar de 27 g/mol. El coeficiente Hall del aluminio es R=-0.3 10-10 m3/C (véase el problema 70para la definición de R). Determinar el número de electrones de conducción por átomo de aluminio. 𝑹𝑹 = 𝟏𝟏 𝒏𝒏∗𝒒𝒒 ; 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏 𝑹𝑹∗𝒒𝒒 Usando el número de átomos por unidad de volumen: 𝒏𝒏𝒂𝒂 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑵𝑵𝑨𝑨 𝑴𝑴 Por otra parte: 𝑵𝑵 = 𝒏𝒏 𝒏𝒏𝒂𝒂 = 𝟏𝟏 𝑹𝑹∗𝒒𝒒 𝝆𝝆∗ 𝑵𝑵𝑨𝑨 𝑴𝑴 = 𝑴𝑴 𝑹𝑹∗𝒒𝒒∗𝑵𝑵𝑨𝑨∗𝝆𝝆 = 𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 �−𝟎𝟎.𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏�∗�−𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏�∗𝟔𝟔.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟐𝟐.𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟑𝟑. 𝟒𝟒𝟒𝟒 72. El magnesio es un metal divalente. Su densidad es 1,74 103 kg/m3 y su masa molar 24,3 g/mol. Suponiendo que cada átomo de magnesio contribuye con dos