Clase 4 inducción electromagnética

1. Inducción electromagnética
Clase 04

2. Inducción electromagnética
 En los temas anteriores se plantearon problemas relacionados con campos
magnéticos sin considerar el tiempo, o sea estáticos. Ahora iniciaremos la solución
de problemas relacionados con campos magnéticos variables.
 Flujo magnético
 El flujo magnético ∅ (también se representa por ∅ 𝐵 𝑜 ∅ 𝑚 ) a través de una
superficie se define matemáticamente por:
La unidad de flujo magnético en el S.I. es el weber (Wb)
∅ =
𝑠𝑢𝑝
𝐵 ∙ 𝑑𝐴

3. Inducción electromagnética
 El flujo magnético neto a través de cualquier superficie cerrada es cero.
 En forma equivalente, el número de líneas de campo magnético que entran a una
superficie cerrada es la misma que el numero de líneas que salen de ella. Las líneas
de campo magnético son siempre cerradas, pues no existen polos magnéticos
aislados.
∅ = 𝐵 ∙ 𝑑𝐴 = 0

4. Inducción electromagnética
 Los experimentos realizados por Michel Faraday en Inglaterra en 1851, y los
conducidos por Joseph Henry en Estados Unidos en el mismo año, mostraron que
una corriente eléctrica podría inducirse en un circuito mediante un campo
magnético variable. Este fenómeno se conoce con le nombre de inducción
electromagnética.
 Ley de inducción de Faraday
 Esta ley establece que la fem inducida en un circuito es directamente proporcional
a la variación con respecto del tiempo del flujo magnético a través del circuito
matemáticamente se expresa por:
𝜀 = −
𝑑∅ 𝑚
𝑑𝑡

5. Inducción electromagnética
 El signo negativo indica que la fem inducida tiene tal dirección que se opone al
cambio que la produce. De la definición del flujo magnético se sabe que su
variación se puede producir variando el campo magnético o la superficie, o el
ángulo que forman el campo magnético y la superficie (área). La corriente inducida
sólo dura mientras esta variando el flujo magnético.
 Ley de Lenz
 La fem y la corriente inducidas se oponen a la causa que las produce, es decir, las
corrientes inducidas producen campos magnéticos que tienden a anular los
cambios de flujo que las inducen.

6. Inducción electromagnética
 Fuerza electromotriz inducida en un conductor en movimiento
 Cuando un conductor de longitud ℓ se mueve en el interior de un campo
magnético 𝐵 sea perpendicular al conductor, la fem inducida se expresa por la
ecuación:
𝜀 = −𝐵ℓ𝑣

7. Inducción electromagnética
 Generación de corrientes alternas
 Un generador de corriente alterna es un dispositivo que transforma la energía
mecánica en energía eléctrica. Se basa en la ley de inducción de Faraday. En su
forma más sencilla, es un conjunto de 𝑁 espiras de alambre de área 𝐴 cada una,
que giran en el interior de un campo magnético 𝐵 mediante algún medio externo
con velocidad angular constante 𝜔.
 La fem inducida al variar el flujo magnético es:
𝜀 = −𝑁
𝑑∅ 𝑚
𝑑𝑡
= −𝑁
𝑑 𝐵𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
𝑑𝑡
𝜀 = −𝑁𝐴𝐵𝜔𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 = 𝜀 𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡

8. Inducción electromagnética
 Donde la fem máxima es
𝜀 𝑜 = 𝜀 𝑚 = 𝑁𝐴𝐵𝜔

9. Problemas
 Problema 1
 Se coloca una espira plana en un campo magnético uniforme cuya dirección es
perpendicular al plano de la espira. Si el área del espira aumenta a razón de
0.04 𝑚2
/𝑠 se induce una fem de 0.16V, ¿Cuál es la magnitud del campo
magnético?

10. Problemas
 Solución
 Datos
 𝑁 = 1,
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 0.04
𝑚2
𝑠
, 𝜀 = 0.16
 La fem inducida está dada por
 𝜀 = −𝑁
𝑑∅ 𝑚
𝑑𝑡
 Como el campo magnético es perpendicular a la espira, el flujo magnético
esta dado por
 ∅ 𝑚 = 𝐵𝐴

11. Problemas
 Solución
 Sustituyendo el flujo magnético en la expresión de la fem inducida, se
tiene
 𝜀 = −𝑁
𝑑𝐴𝐵
𝑑𝑡
= −𝑁𝐵
𝑑𝐴
𝑑𝑡
 Despejando el campo magnético y sustituyendo valores, se tiene
 𝐵 = −
𝜀
𝑁
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= −
0.16
1(0.04)
 𝐵 = 4𝑇

12. Problemas
 Problema 2
 Una bobina circular tiene un diámetro de 16.7 cm y 24 vueltas. El campo magnético
es perpendicular al plano de las espiras. Si el campo aumenta linealmente de 2𝜇𝑇 a
8𝜇𝑇 en un tiempo de 0.6s, ¿Cuál es la fem inducida?
𝐷
𝑁 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝐵 = 2𝜇𝑇 ⟶ 8𝜇𝑇

13. Problemas
 Solución
 Como el campo magnético es perpendicular a las espiras, el flujo
magnético esta dado por
 ∅ 𝑚 = 𝐵𝐴
 Sustituyendo el flujo magnético en la expresión de la fem inducida, se
tiene
 𝜀 = −𝑁
𝑑∅ 𝑚
𝑑𝑡
= −𝑁
𝑑𝐴𝐵
𝑑𝑡
= −𝑁𝐴
𝑑𝐵
𝑑𝑡
 Por otro lado, como el campo magnético aumenta linealmente, la rapidez
de cambio del campo magnético esta dado por

𝑑𝐵
𝑑𝑡
=
𝐵1−𝐵0
∆𝑡

14. Problemas
 Solución
 Sustituyendo la rapidez de cambio magnético en la expresión de la fem, se
tiene y considerando que el área es 𝜋𝑟2 = 𝜋
𝐷
2
2
 𝜀 = −𝑁𝐴
𝐵1−𝐵0
∆𝑡
= −𝑁𝜋
𝐷
2
2 𝐵1−𝐵0
∆𝑡
= −
𝑁𝜋𝐷2
4
𝐵1−𝐵0
∆𝑡
 Sustituyendo los valores, se tiene
 𝜀 = −
24 𝜋 16.7×10−2 2
4
8×10−6−2×10−6
0.6
= −5.26𝜇𝑉

15. Problemas
 Problema 3
 Un campo magnético uniforme y constante 𝐵 = 0.5𝑇 pasa a través de una bobina
plana circular de alambre de 16 vueltas, cada espira con un área de 4.8 𝑐𝑚2. Si la
bobina gira sobre un eje que pasa por su diámetro con una velocidad angular 𝜔 =
60𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠, calcule la fem inducida como función del tiempo, si inicialmente en 𝑡 =
0 el campo magnético es perpendicular al plano de la bobina.

16. Problemas
𝑁 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
𝜔
𝑩

17. Problemas
 Solución
 Datos 𝐵 = 0.5𝑇, 𝑁 = 16, 𝐴 = 4.8 × 10−4 𝑚2, 𝜔 = 60𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
 La fem inducida está dada por
 𝜀 = −𝑁
𝑑∅ 𝑚
𝑑𝑡
 El flujo magnético esta dado por
 ∅ 𝑚 = 𝐵𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃

18. Problemas
 Sustituyendo el flujo magnético en la expresión de la fem
inducida, se tiene
 𝜀 = −𝑁
𝑑 𝐵𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑑𝑡
= −𝑁𝐴𝐵
𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑑𝑡
 El ángulo en función del tiempo es
 𝜃 = 𝜔𝑡
 Sustituyendo el ángulo en la fem inducida y derivando, se
tiene:
 𝜀 = −𝑁𝐴𝐵
𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
𝑑𝑡
= 𝑁𝐴𝐵𝜔𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡

19. Problemas
 Sustituyendo valores
 𝜀 = 16 4.8 × 10−4
0.5 60𝜋 𝑠𝑒𝑛 60𝜋𝑡
 𝜀 = 0.72𝑠𝑒𝑛 188.5𝑡 𝑉

20. Problemas
 Problema 4
 Un generador consta de 97 vueltas de alambre formadas en una bobina
rectangular de 50 cm por 20 cm, situada dentro de un campo magnético uniforme
de magnitud 3.5 mT. Calcule el valor máximo de la fem inducida cuando gira la
bobina a razón de 1200 revoluciones por minuto alrededor de un eje perpendicular
al campo.
20 𝑐𝑚
𝜔 𝑟𝑝𝑚
𝑁 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠

21. Problemas
 Solución
 Datos
 𝑁 = 97, 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 50 × 10−2
𝑚 𝑝𝑜𝑟 20 × 10−2
𝑚, 𝐵 = 3.5 × 10−3
𝑇,
 𝜔𝑟𝑝𝑚 = 1200 𝑟𝑝𝑚
 La fem inducida máxima esta dada por
 𝜀 𝑚á𝑥 = 𝑁𝐴𝐵𝜔
 La velocidad angular está dada por
 𝜔 =
2𝜋𝜔 𝑟𝑝𝑚
60

22. Problemas
 Solución
 Sustituyendo la velocidad angular en la expresión de la fem máxima, se
tiene:
 𝜀 𝑚𝑎𝑥 = 𝑁𝐴𝐵
2𝜋𝜔 𝑟𝑝𝑚
60
 Sustituyendo valores
 𝜀 𝑚𝑎𝑥 = 97 50 × 10−2 × 20 × 10−2 3.5 × 10−3 2𝜋 1200
60
 𝜀 𝑚𝑎𝑥 = 4.27𝑉

23. Problemas
 Problema 5
 Una barra metálica gira en relación constante en el campo magnético de la Tierra,
como se muestra en la figura. La rotación ocurre en una región donde la
componente del campo magnético terrestre perpendicular al plano de rotación es
3.30 × 10−5
𝑇. Si la barra mide 1m de largo y su rapidez angular es 5 𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠, ¿Qué
diferencia de potencial se desarrolla entre sus extremos?

24. 𝑃
𝜔
𝑂

25. Problemas
 Solución
 Datos: 𝐵 = 3.30 × 10−5
𝑇, 𝜔 = 5𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠
, ∆𝑉(𝑐𝑝) =?
𝑑𝑟
𝑣
𝑟
𝑂

26. Problemas
 Solución
 Datos: 𝐵 = 3.30 × 10−5
𝑇, 𝜔 = 5𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠
, ∆𝑉(𝑐𝑝) =?
 Sabemos que por la ley de Faraday:
 𝜀 = 𝐵 ∙ ℓ ∙ v = B ∙ 𝑟 ∙ 𝑣
 ⟹ 𝑑𝜀 = 𝐵 ∙ 𝑣 ∙ 𝑑𝑟 = 𝐵 ∙ 𝜔 ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝑟
 ⟹ 𝜀 = ∆𝑉 = 0
𝜌
𝑑𝜀 = 𝐵 ∙ 𝜔 0
𝐿
𝑟𝑑𝑟 = 𝐵 ∙ 𝜔 ∙
𝐿2
2
 ∆𝑉 𝑂𝑃 =
3.30×10−5 5𝜋 1
2
= 259 × 10−6
𝑉 = 259𝜇𝑉