Este documento presenta 18 proposiciones sobre transformaciones lineales entre espacios vectoriales para que sean calificadas como verdaderas o falsas. También presenta varios ejemplos de transformaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita, donde se pide determinar la regla de correspondencia, el núcleo, la imagen y la matriz asociada con respecto a diferentes bases. Finalmente, en algunos casos se pide construir una transformación lineal que cumpla con ciertas condiciones dadas.

1. Ramiro J. Saltos
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal (Audt)
Deber de Repaso # 1: Transformaciones Lineales
Tema 1
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas justificando apropiadamente su respuesta.
1. Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea :T V W→ una transformación lineal, Rα ∈ y v V∈ . Si
( ) WT v Oα = entonces 0α =
2. Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea :T V W→ una transformación lineal, Rα ∈ y v V∈ . Si
( ) WT v Oα = entonces Vv O=
3. Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea :T V W→ una transformación lineal, , Rα β ∈ y v V∈ . Si
( ) ( )T v T vα β= entonces α β=
4. Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea :T V W→ una transformación lineal, Rα ∈ y ,v w V∈ . Si
( ) ( )T v T wα α= entonces v w=
5. Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea :T V W→ una transformación lineal y ,v w V∈ . Si
( ) ( )T v T w= entonces v w=
6. Sea :T V W→ una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita,
entonces se cumple que ( ) ( ) dimv T T Wρ+ =
7. Si 2:L P R→ es una transformación lineal tal que ( )2
L ax bx c a c+ + = − , entonces ( )2 Im L∉
8. Sea :T V W→ una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita, si
el ( )Nu T V= entonces ( )Im WT O=
9. Sea :T V W→ una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita, si
el ( ) VNu T O= entonces ( )Im T W=
10. Sea :T V W→ una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita, si
el ( )Nu T V= y la ( ) ( )dim dimV W= , entonces ( )Im WT O=
11. Sea :T V W→ una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita, si
el ( ) VNu T O= y la ( ) ( )dim dimV W= , entonces ( )Im T W=
12. Sea { }, ,S v w u= un conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial V y sea :T V W→
una transformación lineal. Si ( )w Nu T∈ , entonces el conjunto ( ) ( ) ( ){ }, ,G T v T w T u= es linealmente
dependiente en el espacio vectorial W
13. Una transformación lineal :T V W→ cuyo único elemento en el núcleo de T es el VO es inversible
14. Sean 1 :T V W→ y 2 :T V W→ dos transformaciones lineales. Si ( ) ( )1 2Nu T Nu T= y
( ) ( )1 2Im ImT T= , entonces 1 2T T=
15. Sea :T V W→ una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita. Si
( ) ( )dim dimV W= , entonces T es un isomorfismo
16. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita tal que ( )dim 3V = . Entonces es posible construir una
transformación lineal :T V W→ tal que ( ) 1v T = y el ( ) 3Tρ =
17. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Si la ( ) ( )dim dimV W≠ , entonces existe
una transformación lineal :T V W→ tal que ( )det 0TA ≠ siendo TA la matriz asociada a T
18. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces existe por lo menos una
transformación lineal :T V W→ tal que ( ) 0v T = y el ( ) ( )dimT Wρ =

2. Ramiro J. Saltos
Tema 2
Sea
32
: RRT → una aplicación definida por:
2 2
a b
a
T a b
b
a b
+ 
   
= −   
   + 
a) Determine el ( )Ker T y la Im( )T así como una base y la dimensión de los mismos
b) Determine la matriz asociada a T respecto a las bases:
• 1
1 0
,
0 1
B
    
=     
    
y 2
1 0 0
0 , 1 , 0
0 0 1
B
      
      
=       
      
      
• 3
1 3
,
2 4
B
    
=     
    
y 4
1 1 1
1 , 1 , 0
1 0 0
B
      
      
=       
      
      
Tema 3
Sea
2
1: RPT → una aplicación definida por:
( ) 





−
+
=+
ba
ba
baxT
32
a) Determine el ( )Ker T y la Im( )T así como una base y la dimensión de los mismos
b) Determine la matriz asociada a T respecto a las bases:
• { }1 1,B x= y 2
1 0
,
0 1
B
    
=     
    
• { }3 1 ,1B x x= + − y 4
1 3
,
2 4
B
    
=     
    
Tema 4
Sea 2222: xx DST → una aplicación definida por:






−
−+
=





ba
cba
cb
ba
T
30
0
a) Determine el ( )Ker T y la Im( )T así como una base y la dimensión de los mismos
b) Determine la matriz asociada a T respecto a las bases:
• 1
1 0 0 1 0 0
, ,
0 0 1 0 0 1
B
      
=       
      
y 2
1 0 0 0
,
0 0 0 1
B
    
=     
    
• 3
1 1 1 1 1 0
, ,
1 0 1 1 0 0
B
      
=       
      
y 4
1 0 1 0
,
0 1 0 1
B
 −    
=     
    

3. Ramiro J. Saltos
Tema 5
Sea 222: xMPT → una aplicación definida por:
( ) 











=++
cb
ba
cbxaxT
11
112
a) Determine el ( )Ker T y la Im( )T así como una base y la dimensión de los mismos
b) Determine la matriz asociada a T respecto a las bases:
• { }2
1 1, ,B x x= y 2
1 0 0 1 0 0 0 0
, ,
0 0 0 0 1 0 0 1
B
       
=        
       
• { }2
3 1, 1, 1B x x x= + + + y 4
1 1 0 1 1 1 0 0
, , ,
0 0 2 0 1 0 0 1
B
 − −        
=         
        
Tema 6
Sea 222: PST x → una aplicación definida por:
( ) ( ) ( )cbaxcbaxcba
cb
ba
T 98765432 2
++++++++=





a) Determine el ( )Ker T y la Im( )T así como una base y la dimensión de los mismos
b) Determine la matriz asociada a T respecto a las bases:
• 1
1 1 1 0 0 2
, ,
1 1 0 1 2 1
B
 −      
=       −      
y { }2
2 ; 1; 1B x x x= + −
• 3
1 1 1 1 1 0
, ,
1 0 1 1 0 0
B
      
=       
      
y { }2
4 1 2 ;1 2 ;5B x x x= + − −
Tema 7
Sea
2
1:T P R→ una transformación lineal tal que:
( )
1
2
5
T x
 
− =  
− 
( )
2
1 3
7
T x
− 
+ =  
 
Determine la regla de correspondencia de T
Tema 8
Sea
2
1:T P R→ una transformación lineal tal que:
( )
4
5 2
1
T x
 
− =  
− 
( )
1
8 3
7
T x
 
+ =  
 
Determine la regla de correspondencia de T
Tema 9
Construya, de ser posible, una transformación lineal
3
2:T P R→ tal que:
( )2
2
1 0
1
T x x
 
 
+ + =  
 
 
( )2
3
1 2 1
0
T x
 
 
+ =  
 
 
( )2
1
2
3
T x x
 
 
+ = − 
 
 

4. Ramiro J. Saltos
Tema 10
Construya, de ser posible, una transformación lineal 2
3
: PRT → que cumpla con las siguientes condiciones:
•










∈==−=










= Rttctbta
c
b
a
TNu ,2,,/)(
• { }bacPcbxaxT +=∈++= /)Im( 2
2
•
2
2
3
1
0
xxT ++=










− y
2
1
1
1
1
xT +=










Tema 11
Construya, de ser posible, una transformación lineal
3
22: RST x → que cumpla con las siguientes condiciones:
•






=+∧=∈





= 02/)( 22 cbcaS
cb
ba
TKer x
•









−
=




−
4
1
3
20
01
T y










=





−
0
1
1
12
20
T
•










=+−∈










= 0/)Im( 3
zyxR
z
y
x
T
Tema 12
Sean
33
1 : RRT → y
33
2 : RRT → dos transformaciones lineales definidas por:










++
+
−
=










cba
ba
ca
c
b
a
T 21










+
+−
++
=










ba
cba
cba
c
b
a
T
32
22
Encuentre la transformación lineal ( ) ( )12121 532 TTTTTL +−−=
Tema 13
Sea 1 2 2: xT P D→ una transformación lineal tal que:
( )
5 2 0
0 3
a b
T a bx
a b
+ 
+ =  
− + 
a) Demuestre que T es un isomorfismo
b) Encuentre la regla de correspondencia de
1
T −