Clase11

Fenómenos de Transporte. Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos
Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental
Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular

TRANSFERENCIA DE ENERGIA

DISEÑO POR BALANCES MICROSCOPICOS

-Las distintas metodologías de diseño aplicadas a sistemas en los cuales
ocurre transferencia de cantidad de movimiento son aplicables a
sistemas en los cuales ocurre transferencia de energía.

Objetivo: encontrar ecuaciones que vinculen la transferencia de
energía de un sistema con magnitudes tales como las diferencias de
temperaturas entre sistema y alrededores

Métodos

Balances Microscópicos Balances Macroscópicos Similitud

-No es necesario realizar -Es necesario realizar -Es necesario realizar
experiencias experiencias experiencias
-Brindan información punto a -Brindan información de la -Brindan información
punto del sistema entrada y salida al sistema global del sistema
-Las ecuaciones son -Las ecuaciones son -Las ecuaciones son
matemáticamente complejas matemáticamente sencillas matemáticamente sencillas

-Resulta interesante destacar que para este fenómeno de transferencia
el método de diseño por balances microscópicos permite resolver un
mayor número de casos que en el fenómeno de transferencia de
cantidad de movimiento.

MECANISMOS DE TRANSFERENCIA CALORICA

-La transferencia de energía puede realizarse por medio de trabajo o de
flujo calórico.

-Si la transferencia de energía entre nuestro sistema y otro sistema o
los alrededores ocurre sin transferencia de masa y sin diferencia de
temperatura entonces la energía se transfiere por medio de trabajo.

124


-En cambio, si la transferencia de energía ocurre debido a una
diferencia de temperaturas entonces la energía se transfiere por medio
de un flujo calórico o calor.

-O sea que lo que se transfiere es energía y el flujo calórico o calor es el
mecanismo por medio del cual ocurre la transferencia.

-En general los mecanismos de transferencia calórica se agrupan en
dos tipos básicos: conducción y radiación.

-La convección no se considera un mecanismo de transferencia calórica
ya que lo que ocurre es que se está transportando la energía interna
acumulada en los elementos de volumen debido al movimiento de la
masa desde o hacia el volumen de control.

CONDUCCION

-Es la transferencia de energía desde una parte de un cuerpo hacia
otra parte del mismo cuerpo, o desde un cuerpo hacia otro que se
encuentre en contacto físico con el primero, sin que existan
componentes de velocidad continua.

-O sea que en la conducción, si bien puede haber movimiento
molecular, el aporte convectivo originado por el movimiento de los
elementos de volumen debe ser nulo.

-Por lo tanto, la transferencia de energía se debe producir por una
interacción a nivel atómico o molecular.

-Así, en el caso de gases, la transferencia de energía se produce por
choques debido al movimiento al azar de las moléculas, donde aquellas
que provienen de la zona de mayor temperatura poseen una mayor
cantidad de movimiento. Esta es transferida por choques a las
moléculas con menor energía cinética. Como resultado se produce una
transferencia de energía desde la zona de mayor temperatura hacia la
de menor temperatura.

-En sólidos no-metálicos y en líquidos la transferencia de energía
ocurre a través de efectos vibracionales entre átomos vecinos.
-Para el caso de metales la transferencia se produce debido al
desplazamiento de los electrones de la banda de valencia hacia las
zonas de menor temperatura del sólido.

125


-La ecuación constitutiva que establece la relación entre el flujo de
calor por conducción y el gradiente de temperatura que lo origina se
conoce como ley de Fourier:

q = − k ∇T

-Esta ecuación es análoga a la ley de Newton, la cual establece la
relación entre el flujo de cantidad de movimiento y el gradiente de
velocidad que lo origina.

-El coeficiente "k" recibe el nombre de coeficiente de conductividad
térmica.

-La ley de Fourier se encuentra expresada en notación vectorial y por
lo tanto será válida para cualquier tipo de coordenadas.

-Así:
Coordenadas Rectangulares

∂T ∂T ∂T
qx = −k q y = −k qz = − k
∂x ∂y ∂z

Coordenadas Cilíndricas

∂T 1 ∂T ∂T
qr = − k qθ = − k qz = − k
∂r r ∂θ ∂z

Coordenadas Esféricas

∂T 1 ∂T
qr = − k qθ = − k
∂r r ∂θ

1 ∂T
qφ = − k
r senθ ∂φ

126


-Debido a la variedad de mecanismos involucrados en la conducción la
conductividad térmica varía para los distintos materiales y además
depende de la temperatura.

-En general para diferencias no muy grandes de temperatura "k"
puede considerarse constante e igual al valor medio correspondiente a
esas temperaturas o sino puede utilizarse una dependencia lineal,
según:

k = a + bT

-En gases y en materiales porosos aislantes la conductividad térmica
aumenta cuando la temperatura aumenta.

-En líquidos y en sólidos metálicos la conductividad térmica disminuye
cuando la temperatura aumenta.

-En sólidos no-metálicos la conductividad térmica puede aumentar o
disminuir con el aumento de la temperatura.

RADIACION

-Independientemente de la conducción, todo cuerpo por encima del
cero absoluto emite radiación electromagnética que se transfiere a la
velocidad de la luz sin necesidad de la existencia de un medio material.

-La expresión que permite evaluar el flujo calórico en función de la
temperatura del cuerpo recibe el nombre de ley de Stefan-Boltzmann:

q = σT 4

-Donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann:

σ = 1.355 × 10 − 12
cal
s • cm 2 • K 4
BALANCE MICROSCOPICO DE ENERGIA INTERNA

-Como ya fue descripto la energía puede acumularse como energía
mecánica (cinética y potencial) e interna y transferirse como trabajo o
flujo calórico.

127


-La energía mecánica puede convertirse irreversiblemente por fricción
en energía interna (Ev) o reversiblemente por compresión o expansión
(Ep).

Salida de
masa

Energía Energía
Mecánica Interna
W
Q
Ev

Ep

Entrada de
masa

-De la misma manera que se efectuó un balance parcial de energía
considerando únicamente la energía mecánica también es posible
realizar un balance parcial de energía interna utilizando el siguiente
principio de conservación:
⎡Velocidad ⋅ de ⎤ ⎡Velocidad ⋅ de ⎤ ⎡Velocidad ⋅ de ⎤
⎢ acumulación ⋅ de ⎥ = ⎢entrada ⋅ de ⎥ − ⎢ salida ⋅ de ⎥+
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ energía ⋅ int erna ⎥ ⎢energía ⋅ int erna⎥ ⎢ energía ⋅ int erna⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

128


⎡Velocidad ⋅ neta ⋅ de ⎤ ⎡Conversión ⎤
⎢ entrada ⋅ de ⋅ energía⎥ ⎢ irreversible ⋅ de ⎥
+⎢ ⎥+⎢ ⎥
⎢ int erna ⋅ por ⎥ ⎢ energía ⋅ mecánica ⎥
⎢ flujo ⋅ calórico ⎥ ⎢ en ⋅ energía ⋅ int erna⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
-Suposiciones:
1)Considerar despreciables los aportes de energía interna por
compresión o expansión frente al aporte por fricción. Esta es una
buena suposición para fluidos incompresibles.
2)Despreciar el aporte de energía interna por radiación
electromagnética.

Z

Líneas de
Flujo

Y

x+Δx
x

X
-Aplicando el principio de conservación al elemento de volumen de la
ˆ
figura y utilizando el símbolo U para la energía interna por unidad de
masa y el símbolo φ v para la denominada función de disipasión viscosa
que tiene en cuenta la transformación irreversible de energía mecánica
en interna para un fluido newtoniano:

129


Δ xΔ y Δ z
∂ ρU ( )
ˆ
(
= ΔyΔ z ρ v x U − ρv x U
ˆ ˆ + )
∂t x x + Δx

+ Δ xΔ z ⎛ ρ v y U − ρ v y U
⎜ ˆ ˆ ⎞ + Δ xΔ y ⎛ ρ v U − ρ v U
⎟ ⎜ z ˆ ˆ ⎞
z z + Δz ⎟ +
⎝ y y + Δy ⎠ ⎝ z ⎠

( )
+ Δ y Δ z q x x − q x x + Δ x + Δ xΔ z ⎛ q y − q y
⎜
⎝ y
⎞+
⎟
y + Δy ⎠
( )
+ ΔxΔy q z z − qz z + Δz + ΔxΔyΔzμφ v

-Dividiendo ambos miembros por ΔxΔyΔz y tomando el límite cuando
el elemento de volumen tiende a cero:

( )
∂ ρU ˆ
= −⎢ x (
ˆ
+
) (
⎡ ∂ ρv U ∂ ρv yU ∂ ρv zU
ˆ
+
ˆ ) ( )⎤ − ⎛ ∂q x + ∂q y + ∂qz ⎞ + μφ
⎥ ⎜ ⎟
∂t ∂x ∂y ∂z ⎜ ∂z ⎟
v
⎢
⎣ ⎥ ⎝ ∂x
⎦ ∂y ⎠

-En notación vectorial:

( )
∂ ρU ˆ
( )
= −∇ • ρ vU − ∇ • q + μφ v
ˆ
∂t

-Esta es la expresión del balance microscópico de energía interna desde
el punto de vista de Euler (el elemento de volumen analizado esta fijo
en el espacio).

-Para pasar al punto de vista de Lagrange se desarrollan las derivadas
de los productos de la siguiente manera:

ρ∂ (U ) U∂ (ρ )
( )
ˆ ˆ
+ = − ρ v • ∇ U − U ∇ • (ρ v ) − ∇ • q + μφ v
ˆ ˆ
∂t ∂t
-Agrupando:

⎡ ∂U
ˆ
ˆ ⎤ ˆ ⎡ ∂ρ ⎤
ρ⎢ + v • ∇U ⎥ + U ⎢ + ∇ • (ρ v )⎥ = −∇ • q + μφ v
⎣ ∂t ⎦ ⎣ ∂t ⎦

130


-El primer sumando es la derivada sustancial de la energía interna por
unidad de masa. El segundo sumando es igual a cero de acuerdo con el
balance microscópico de materia:

∂ρ
= −∇ • (ρ v )
∂t
-Por lo tanto el balance microscópico de energía interna desde el punto
de vista de Lagrange queda:

ˆ
DU
ρ = − ∇ • q + μφ v
Dt

-El balance microscópico de energía interna nos indica que la variación
de energía interna de un volumen de fluido que se mueve aguas abajo
se produce debido al ingreso de energía por conducción y a la
transformación irreversible de energía mecánica en interna.

-El aporte debido a la entrada y salida de fluido no se considera ya que
nos estamos moviendo junto al fluido.

-Estas expresiones de los balances microscópicos de energía interna no
resultan útiles ya que la energía interna y el flujo calórico no son
magnitudes directamente medibles.

-Por este motivo ambas magnitudes se expresan en función de la
temperatura.

-Para ello se reemplaza la expresión del flujo calórico utilizando la
ecuación constitutiva de Fourier:

ˆ
DU
ρ = ∇ • (k ∇T ) + μφv
Dt
-En general la energía interna de un sistema resulta ser una función de
la temperatura y el volumen del sistema. Por lo tanto:

ˆ ⎛ ∂U ⎞ dV + ⎛ ∂U ⎞ dT
ˆ ˆ
dU = ⎜
⎜ ∂V ⎟⎟ ˆ ⎜
⎜ ∂T ⎟
⎟
⎝ ˆ⎠ ⎝ ⎠V
T ˆ

131


-En sistemas con más de un constituyente es necesario considerar la
funcionalidad con los cambios de composición.
-Utilizando la definición de capacidad calorífica a volumen constante y
una de las relaciones de Maxwell se tiene que:

⎛ ∂U ⎞ ⎛ ∂U ⎞
ˆ ∂p ⎞
⎟ = T⎛
ˆ
⎜
⎜ ∂T ⎟ = C v
⎟
ˆ ⎜
⎜ ∂V ⎟ ⎜ ⎟ −p
⎝ ⎠Vˆ ⎝ ˆ⎠
T ⎝ ∂T ⎠Vˆ

-Reemplazando en la diferencial total de la energía interna:

ˆ ⎡ ⎛ ∂p ⎞ − p⎤ dV + C v dT
dU = ⎢T ⎜ ⎟ ⎥ ˆ
ˆ
⎣ ⎝ ∂T ⎠Vˆ ⎦

-Dividiendo por dt y utilizando la derivada sustancial:

DU ⎡ ⎛ ∂p ⎞
ˆ ⎤ DV ˆ DT
ˆ
= ⎢T ⎜ ⎟ − p⎥ + Cv
Dt ⎣ ⎝ ∂T ⎠Vˆ ⎦ Dt Dt

-Además:

⎛1 ⎞
DVˆ D⎝ ρ ⎟
⎜
⎠ = − 1 Dρ
=
Dt Dt ρ 2 Dt

-Y utilizando el balance microscópico de materia:

Dρ
= − ρ (∇ • v )
Dt
-Por lo tanto:

ˆ
= (∇ • v )
DV 1
Dt ρ

-Reemplazando :

132


DU ⎡ ⎛ ∂ p ⎞
ˆ ⎤
ρ = ⎢T ⎜ ⎟ − p⎥ (∇ • v ) + ρC v
ˆ DT
Dt ⎣ ⎝ ∂T ⎠V ˆ ⎦ Dt

-Para fluidos incompresibles : (∇ • v ) = 0 y C v ≅ C p , por lo tanto,
ˆ ˆ
igualando con el balance microscópico de energía interna:

DT
ρC p
ˆ = ∇ • (k ∇T ) + μφv
Dt

-Si además, se supone que la conductividad térmica es constante:

DT
ρC p
ˆ = k∇ 2T + μφ v
Dt

-Esta es la expresión del balance microscópico de energía interna para
un fluido newtoniano incompresible, de conductividad térmica
constante en función de la temperatura desde el punto de vista de
Lagrange.

-Desde el punto de vista de Euler:

⎛ ∂T ⎞
ρC p ⎜
ˆ + v • ∇T ⎟ = k∇ 2T + μφ v
⎝ ∂t ⎠

-Ambas ecuaciones son aplicables a cualquier sistema de coordenadas.

-Si se trabaja con sólidos se cancelan el término de disipación viscosa
(no hay roce) y término de velocidad, por lo tanto:

∂T
ρC p
ˆ = k∇ 2T
∂t

-Definiendo la difusividad térmica α como:

133


k
α=
p ρC
ˆ
-El balance microscópico de energía interna aplicado a sólidos queda:

∂T
= α∇ 2T
∂t

TRANSFERENCIA DE ENERGIA POR CONDUCCION

-El balance microscópico de energía interna permite obtener, a través
de su resolución, el perfil de temperatura del sistema en estudio. Es
decir la funcionalidad:

T = T ( x , y, z , t )

-Teniendo en cuenta que la energía se transfiere desde la zona de
mayor temperatura hacia la zona de menor temperatura, el fenómeno
puede analizarse como la transferencia continua de energía desde un
manantial hacia un sumidero.

-Ambos pueden estar ubicados dentro o fuera del sistema en estudio.
Por ejemplo, la disipación viscosa es un manantial interno ya que en
cada punto del sistema se está generando energía interna debido a la
conversión irreversible de energía mecánica por roce.

-Cuando el manantial y/o el sumidero son internos aparecerán como
un término adicional en el balance microscópico de energía interna.

-Si en cambio el manantial y/o el sumidero son externos aparecerán en
las condiciones de contorno del sistema.

-En un sistema no necesariamente deben existir manantial y sumidero.
Pero si uno de ellos falta, entonces el sistema necesariamente operará
en estado no estacionario.

-Por ejemplo, si una esfera de un sólido es calentada desde el exterior
tendrá un manantial en su superficie, pero no tendrá sumidero, toda la
energía que entra al sistema se acumula. De manera que la

134


temperatura del sistema variará permanentemente en el tiempo. Sólo
dejará de hacerlo cuando todos los puntos de la esfera hayan alcanzado
la misma temperatura que el manantial.

-Es importante aclarar que si bien la existencia de manantial y
sumidero son una condición necesaria para lograr estado estacionario
no es suficiente ya que existen casos de estado transitorio aún en
presencia de ambos.

CONDICIONES DE CONTORNO E INICIALES

-Las condiciones de contorno e iniciales más comunes en transferencia
de energía, necesarias para resolver las ecuaciones diferenciales son las
siguientes:

Condición Inicial.

-En sistemas transitorios es común describir la distribución inicial de
temperatura del sistema. Por ejemplo, para un sistema con gradiente
de temperatura en "x":
a ⋅ t = 0 ⋅ ⋅ ⋅ T = T (x )
o si inicialmente el sistema no posee gradiente de temperatura:

a ⋅ t = 0 ⋅ ⋅ ⋅ T = T0 = constante

Temperatura Prescripta.

-Esta condición de contorno implica conocer la temperatura en un
borde del sistema. Por ejemplo:

en ⋅ ⋅ x = 0 ⋅ ⋅T = T (t ) ⋅ ⋅ó ⋅ ⋅T = T0 = constante

Flujo Prescripto.

-Puede utilizarse cuando se conoce el flujo de energía en algún punto
del sistema. Por ejemplo, cuando un borde del sistema está aislado, o el
sistema posee un plano o eje de simetría el flujo de calor resulta nulo:

135


dT dT
en ⋅ ⋅ x = 0 ⋅ ⋅q x = 0 ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ − k = 0⋅⋅ ⇒ =0
dx dx
Plano de simetría
Aislante
T1 T1
qx +qx -qx

x
-x +x

Interfase entre dos medios con distinta conductividad térmica

-En las interfases no puede haber acumulación de energía, es decir que
deberá haber continuidad de flujos. Por lo tanto:

dT dT
en ⋅ ⋅ x = x1 ⋅ ⋅q x 1 = q x 2 ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ k1 = k2
dx 1 dx 2

-Esta condición no es válida si la interfase representa un manantial o
un sumidero de energía. Esto se presenta por ejemplo en sistemas con
cambio de fase.

Transferencia Interfasial por Convección.

-Cuando existen interfases sólido-fluido resulta difícil conocer la
derivada de T del lado del fluido, debido a la existencia de convección.

-Como se verá mas adelante, en esos casos toda la complejidad del
movimiento convectivo se incorpora en un coeficiente de transferencia
calórica "h".

-Por lo tanto, para un interfase sólido-fluido:

= h(T1 − Ta )
dT
en ⋅ ⋅ x = 0 ⋅ ⋅k sólido
dx

Fluido

Sólido
T1
ks
B

B
136


Transferencia Interfasial por Radiación

-Si la interfase presenta una temperatura elevada la transferencia de
enrgía por radiación se vuelve importante. Por lo tanto:

en ⋅ ⋅ x = 0 ⋅ ⋅k s
dT
dx
(
= σ T14 − T2
4 )
-Para sistemas en los cuales la convección y la radiación son similares
en importancia:
en ⋅ ⋅ x = 0 ⋅ ⋅k s
dT
dx
4
(
= σ T14 − T2 + h(T1 − T2 ) )

137

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