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Matrices Álgebra de Matrices Tipos de matrices
Matrices
Profesores del curso:
Richard Acuña 1
Clifford Torres 1
Jhony Valverde 1
Ángel Ramírez 1
1
Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, Perú
30/03/2020
Periodo 2020-1 Profesores del curso

Tabla de contenidos
1 Matrices
Operaciones con matrices
2 Álgebra de Matrices
3 Tipos de matrices

Definición 1
Una matriz es un ordenamiento rectangular de números (R ó C)
dispuestos en filas y columnas.
Ejemplo:

2.3 −1/7
0 15

;


12 −1 0
7 0 15
√
24 0 π



Notación:
1. A las matrices se les designa mediante letras mayúsculas. Así
se dirá, sea A una matriz.
Ejemplo:
A =


12 −1 0
7 0 15
√
24 0 π


2. Los elementos de la matriz A son denotados por aij , donde: a es
el elemento matricial, i indica la fila y j indica la columna.
Así:
A =





a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
am1 am2 · · · amn





m×n
ó A = [aij ]m×n = Am×n , m, n ∈ N

Definición 2
El orden de una matriz esta dado por la expresión m × n, se lee m
por n , donde m es el número de filas y n es el número de columnas
de la matriz.
Observación:
El conjunto ordenado {ai1, ai2, · · · , ain} es la i-ésima fila con
1 ≤ i ≤ m, y el conjunto ordenado {a1j , a2j , · · · , amj } es la j-ésima
columna con 1 ≤ j ≤ n, de la matriz A = [aij ]m×n.




.
.
.
.
.
. · · ·
.
.
.
ai1 ai2 · · · ain
.
.
.
.
.
. · · ·
.
.
.




m×n





· · · a1j · · ·
· · · a2j · · ·
.
.
.
.
.
.
.
.
.
· · · amj · · ·





m×n

Definición 3 (Igualdad de matrices)
Sean A = [aij ]m×n y B = [bij ]m×n dos matrices. Entonces
A = B si y sólo si aij = bij , para cada 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
Es decir:
Elemento (ij) de A = Elemento (ij) de B

Considere las matrices A = [aij]m×n , B = [bij]m×n y k ∈ K = R, C.
Definición 4 (Suma de matrices)
Es la matriz C = [cij ]m×n donde cij = aij + bij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Notación: A + B = [aij + bij ]m×n = C = [cij ]m×n
Definición 5 (Multiplicación de una matriz A por un escalar k)
Es la matriz kA = [kaij ]m×n, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Observación:
Sea B una matriz de orden m × n, entonces −B = (−1)B, es decir:
Si B = [bij ]m×n, entonces − B = [−bij ]m×n

Definición 6 (Resta de matrices)
Es la matriz A − B definida por:
A − B = A + (−B) = [aij − bij ]m×n.

Definición 7 (Multiplicación de matrices)
El producto de A = [aij ]m×n y B = [bij ]n×p es la matriz
AB = C = [cij ]m×p donde
cij =
n
X
k=1
aik bkj = ai1b1j + ai2b2j + · · · + ainbnj




.
.
.
.
.
. · · ·
.
.
.
ai1 ai2 · · · ain
.
.
.
.
.
. · · ·
.
.
.




m×n
| {z }
A





· · · b1j · · ·
· · · b2j · · ·
.
.
.
.
.
.
.
.
.
· · · bmj · · ·





n×p
| {z }
B
=




.
.
.
.
.
.
.
.
.
· · · cij · · ·
.
.
.
.
.
.
.
.
.




m×p
| {z }
C

Ejemplo: Determine AB si:
A =

1 2
−3 6

y B =

3 2 0
−1 3 1

.
Resolución:
Tenemos AB = C = [cij ]2×3, donde:
c11 = (1)(3) + (2)(−1) = 1, c12 = (1)(2) + (2)(3) = 8,
c13 = (1)(0) + (2)(1) = 3, c21 = (−3)(3) + (6)(−1) = −15,
c22 = (−3)(2) + (6)(3) = 12, c23 = (−3)(0) + (6)(1) = 6
entonces
C = AB =

1 8 3
−15 12 6


Ejercicio: Sean las matrices A = [i − 2j]m×n y B = [j]n×p.
Hallar la matriz AB.
Resolución:
Del dato aij = i − 2j , bij = j y sea AB = C = [cij ]m×p , entonces
cij =
n
X
k=1
aik bkj =
n
X
k=1
(i − 2k)(j) = j
n
X
k=1
i −
n
X
k=1
2k
!
= j(in − n(n + 1))
finalmente AB = [j(in − n(n + 1))]m×p.
Definición 8
Matriz nula, es la matriz donde todos sus elementos son ceros. Se
denota por O.

Tabla de contenidos
1 Matrices
2 Álgebra de Matrices
3 Tipos de matrices

Propiedad 1
Sean A, B y C matrices, k1, k2 escalares. Siempre que haya
consistencia en sus órdenes, entonces:
1. A + B = B + A
2. A + O = O + A
3. A + (−A) = O
4. A(BC) = (AB)C
5. AO = O y OA = O
6. A(B ± C) = AB ± AC
7. k(A ± B) = kA ± kB
8. (k1 + k2)A = k1A + k2A

Demostración:
1. Sean Am×n y Bm×n, entonces
A + B = [aij + bij ]m×n = [bij + aij ]m×n = B + A.

4. Sean Am×p, Bp×r y Cr×n, tendremos D = BC y E = AD,
así el elemento
eij =
p
X
k=1
aik dkj =
p
X
k=1
aik
r
X
l=1
bkl clj
!
=
p
X
k=1
r
X
l=1
aik bkl clj
!
también F = AB y G = FC,
así el elemento
gij =
r
X
l=1
fil clj =
r
X
l=1
p
X
k=1
aik bkl
!
clj =
p
X
k=1
r
X
l=1
aik bkl clj
!
entonces: eij = gij para 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n,
finalmente por igualdad de matrices
A(BC) = (AB)C.

Observación:
1. Si AB = AC y A 6= O, entonces no siempre se cumple B = C.
Ejemplo:
Sean las matrices A =

1 0
0 0

, B =

0 0
1 1

y C =

0 0
1 0

,
donde tenemos AB =

0 0
0 0

= AC, pero B 6= C.
2. Si AB = O, entonces no siempre se cumple A = O ó B = O.
Ejemplo:
Sean las matrices A =

1 0
0 0

y B =

0 0 0
1 0 1

, donde tenemos
AB = O, pero A 6= O y B 6= O.

Definición 9 (Matriz transpuesta)
Una matriz At
es la matriz transpuesta de una matriz A de orden
m × n, si las filas de At
son las columnas de A y las columnas de At
son las filas de A, invirtiendo el orden.
Notación: At
= [at
ij ]n×m, donde
A = [aij ]m×n ⇐⇒ At
= [aji ]n×m
Ejemplo:
A =

4 0 3
−5 2 6

, entonces At
=


4 −5
0 2
3 6

 .

Propiedad 2
Sean A, B matrices y k un escalar. Entonces
1. (At
)t
= A.
2. (A + B)t
= At
+ bt
.
3. (kA)t
= kAt
.
4. (AB)t
= Bt
At
.

Demostración:
1. Sea A = [aij ]m×n entonces At
= [at
ij ]n×m = [aji ]n×m.
Así
(At
)t
= [at
ji ]m×n = [aij ]m×n = A.

4. Sean A = [aij ]m×n y B = [bjk ]n×p, entonces AB = C = [cik ]m×p de
esto (AB)t
= Ct
= [ct
ik ]p×m, así
ct
ik = cki =
n
X
j=1
akj bji (1)
también de At
= [at
ij ]n×m y Bt
= [bt
jk ]p×n, tendremos
Bt
At
= D = [dik ]p×m
así
dik =
n
X
j=1
bt
ij at
jk =
n
X
j=1
bji akj =
n
X
j=1
akj bji (2)
de (1) y (2) tendremos:ct
ik = dik entonces por igualdad de matrices
(AB)t
= Bt
At
.

Definición 10 (Matriz cuadrada)
El número de sus filas es igual al de sus columnas.
Notación: A = [aij ]n×n = [aij ]n = An
Definición 11 (Diagonal principal de una matriz cuadrada An)
En una matriz An son los elementos aij donde i = j.
Ejemplo: Sea la matriz D =


4 0 3
−5 2 6
1 0 0

, entonces los elementos
d11 = 4, d22 = 2 y d33 = 0forman la diagonal principal.

Definición 12 (Traza de una matriz An)
Es la suma de los elementos de la diagonal principal.
Notación: Traza(A) =
n
X
k=1
akk = a11 + a22 + · · · + ann
A =





a11
a22
...
ann






Definición 13 (Matriz diagonal)
Es una matriz cuadrada donde todos sus elementos que no
pertenecen a la diagonal principal son ceros.
Notación: A = [aij ]n×n es una matriz diagonal si aij = 0 para i 6= j.
Ejemplo: 

4 0 0
0 2 0
0 0 −1



Definición 14 (Matriz escalar)
Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de su diagonal
principal son iguales.
Notación: A = [aij ]n×n es una matriz escalar si aij = 0 para i 6= j
y aij = c para i = j, donde c es una constante.
Ejemplo: 

2 0 0
0 2 0
0 0 2



Definición 15 (Matriz identidad)
Es una matriz escalar en la que todos los elementos de su diagonal
principal es igual a uno.
Notación: A la matriz identidad se le denota por I e In.
Ejemplo:
I3 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1


Propiedad 3
Sea B una matriz de orden m × n e I la matriz identidad, entonces
Bm×nIn = Bm×n y ImBm×n = Bm×n.

Definición 16 (Matriz simétrica)
Es toda matriz cuadrada A que cumple con la condición A = At
.
Notación: A = [aij ]n×n es una matriz simétrica ⇐⇒
A = At
⇐⇒ aij = aji , 1 ≤ i, j ≤ n.
Ejemplo: 

2
√
2 −7
√
2 −3 0
−7 0 2.3



Definición 17 (Matriz antisimétrica)
Es una matriz cuadrada A que cumple con la condición A = −At
.
Notación: A = [aij ]n×n es una matriz antisimétrica ⇐⇒
A = −At
⇐⇒ aij = −aji , 1 ≤ i, j ≤ n.
Ejemplo: 

0 −
√
2 7
√
2 0 8
−7 8 0


Observación:
Si A es una matriz antisimétrica, entonces aii = 0, 1 ≤ i ≤ n.

Definición 18 (Matriz triangular inferior)
Es una matriz cuadrada cuyos elementos situados sobre la diagonal
principal son ceros.
Notación: A = [aij ]n×n es una matriz triangular inferior si y sólo si
aij = 0 , i j
Ejemplo: 

5 0 0
2 −1 0
−7 0 8



Definición 19 (Matriz triangular superior)
Es una matriz cuadrada cuyos elementos situados debajo la diagonal
principal son ceros.
Notación: A = [aij ]n×n es una matriz triangular superior si y sólo si
aij = 0 , i j
Ejemplo: 

9 −3 0
0 7 5
0 0 8



Definición 20 (Matriz idempotente)
Es una matriz cuadrada A que cumple A2
= A.
Ejemplo: Si
A =


2 −2 −4
−1 3 4
1 −2 −3

 ,
entonces A es una matriz idempotente ya que A2
= A.
Propiedad 4
Si A es idempotente, entonces An
= A, n ∈ N.

Definición 21 (Matriz involutiva)
Es una matriz cuadrada A que cumple A2
= I.
Ejemplo: Si
A =

−1 0
1 1

,
entonces A es una matriz involutiva ya que A2
= I.

Definición 22 (Matriz nilpotente)
Si existe k ∈ N tal que Ak
= O. Al menor número natural p que
cumple Ap
= O se le llama índice de nilpotencia de la matriz A. Se
cumple que:
A nilpotente de índice p ⇒ Am
= O, ∀m ≥ p.
Ejemplo: La siguiente matriz
A =

6 −9
4 −6

es una matriz nilpotente de índice 2, ya que A2
= O.

Definición 23 (Matriz periódica)
Si existe p ∈ N tal que Ap+1
= A. Además si p es el menor número
natural que cumple Ap+1
= A se dice que A es periódica de periódo
p.
Ejemplo: La siguiente matriz A =

0 1
−1 0

, es una matriz periodica
de periódo 4, ya que A2
=

−1 0
0 −1

, A3
=

0 −1
1 0

, A4
=

1 0
0 1

,
A4+1
=

0 1
−1 0

= A.
Observación: Es inmediato comprobar que si A es periódica de
periodo p se cumple que:
A, A2
, A3
, · · · , Ap
, Ap+1
= A, Ap+2
= A2
, Ap+3
= A3
, · · ·

Ejercicio: Suppose A is an n × n matrix and let I be the n × n identity
matrix. If A is an idempotent and nonzero matrix, then determine all
integers k such that the matrix I − kA is idempotent.
Resolución:
Se busca alguna condición sobre k tal que I − kA sea una matriz
idempotente. Tenemos:
(I − kA)2
= (I − kA)(I − kA) = I(I − kA) − kA(I − kA)
A es idempotente
= I − kA − kA + k2
A2
= I − 2kA + k2
A
= I − (2k − k2
)A
La matriz I − kA es idempotente si y sólo si I − kA = I − (2k − k2
)A, ó
equivalentemente (k2
− k)A = 0.
Pero A no es la matriz nula, entonces I − kA sera idempotente si y
sólo si k2
− k = 0, esto se cumple si y sólo si k = 0, 1.

Ejercicio: If we define eA
=
∞
X
i=0
1
i!
Ai
, then determinate eA
when
A =


0 1 0
0 0 1
0 0 0

 .
Resolución:
A2
= AA =


0 1 0
0 0 1
0 0 0




0 1 0
0 0 1
0 0 0

 =


0 0 1
0 0 0
0 0 0


A3
= A2
A =


0 0 1
0 0 0
0 0 0




0 1 0
0 0 1
0 0 0

 =


0 0 0
0 0 0
0 0 0

 .

observe que A es una matriz nilpotente de índice de nilpotencia igual
a 3. Luego:
eA
= I + A +
1
2
A2
=


1 0 0
0 1 0
0 0 1

 +


0 1 0
0 0 1
0 0 0

 +
1
2


0 0 1
0 0 0
0 0 0


entonces
eA
=


1 1 1/2
0 1 1
0 0 1



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