Presentación que abarca definiciones de relaciones matemáticas.

2. Relación Polivalente
• Es una relación en donde al menos un elemento del dominio, corresponde a más
de un elemento del rango; es decir, si una recta vertical trazada por algún valor
de “x” del dominio, corta a la gráfica en más de un punto. A las relaciones
polivalentes se las conoce como ecuaciones e inecuaciones.

3. Relación Polivalente
• La recta vertical corta a la gráfica de la relación en 2 puntos:
𝑃1 𝑥1; 𝑦1 𝑦 𝑃2 𝑥2; 𝑦2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑥1 = 𝑥2 ∈ 𝐷𝑜𝑚 ∧ 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜

4. EJEMPLO: (𝑦 − 50)2= 15𝑥 − 30

5. Relación Monovalente
• Es una relación en donde a cada elemento del dominio le corresponde a
uno y solo un elemento del rango; es decir, si una recta vertical trazada
por cualquier “x” del dominio corta a la gráfica en uno y solo un punto. A
las relaciones monovalentes también se les conoce como funciones.

6. Relación Monovalente
• La recta vertical corta a la gráfica de la relación en un punto: 𝑃1 𝑥1; 𝑦1

7. EJEMPLO: y − 3 =
1
4
(𝑥 − 8)2

8. Relación Biunívoca
• Se dice que el dominio y el rango están en correspondencia biunívoca,
cuando existe un apareamiento de los elementos 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 con los
elementos 𝑦 ∈ 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜; de tal manera que a cada elemento de “x”, le
corresponde uno y solo un elemento “y”, y a cada elemento “y” le
corresponde uno y solo un elemento de “x”; es decir, una relación es
biunívoca si la relación es monovalente y si además toda recta horizontal
trazada por cualquier “y” del rango, corta a la gráfica en uno y solo un
punto.

9. Relación Biunívoca
• La recta vertical y la horizontal, corta a la gráfica de la relación en uno y solo
un punto 𝑃(𝑥, 𝑦); en donde 𝑥 𝜖 𝐷𝑅 e 𝑦 𝜖 𝑅𝑅

10. EJEMPLO: 𝑦 = 𝑥 − 1
La recta vertical y horizontal
corta a la gráfica en uno y solo
un punto 𝑃(𝑥, 𝑦); en donde 𝑥 ∈
𝐷𝑜𝑚 𝑦 ∈ 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜

11. • Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.
• Criterio de la recta vertical: Si se traza una recta vertical a la gráfica de
una relación, y ésta corta a la gráfica en un solo punto, esa relación es
monovalente; pero si esa recta corta a la gráfica en dos puntos, esa
relación es polivalente.

13. ¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN?
• Sean 𝑥 ∧ 𝑦 dos conjuntos no
vacíos de números reales, una
función de “x” en “y” es una
regla de correspondencia que
asocia a cada elemento de “x”
un único elemento de “y”.
1
-1
0
2
1 = 𝑓 1 = 𝑓(−1)
0 = 𝑓 0
2 = 𝑓 2
X
F(x)
𝑥2
𝑓 𝑥 = 𝑥2

14. ¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN?
• El conjunto “x” es el
dominio de la función; el
conjunto “y” es el valor
de la función en “x” o la
imagen de “x”. El
conjunto de todas las
imágenes de los
elementos del dominio
es el rango de la
función.
x
x
y
y
Conjunto de
Partida
Conjunto
de
Llegada
Dominio
Rango
Recorrido
Imagen
𝑓

15. OTROS EJEMPLOS
-2
-1
4
−
1
2
= 𝑓 −2
−1 = 𝑓 −1
1
4
= 𝑓 4
X
F(x)
1
𝑥
𝑓 𝑥 =
1
𝑥
0
-2
3
3 = 𝑓 0 = 𝑓 −2
= 𝑓(3)
X
F(x)
𝑓 𝑥 = 3

16. OTROS EJEMPLOS
0
1
2
4
0 = 𝑔(0)
1 = 𝑔(1)
2 = 𝑔(2)
2 = 𝑔(4)
X g(x)
𝑔 𝑥 = 𝑥
𝑔 𝑥 = 𝑥

17. Al conjunto de partida
se lo llama dominio
𝐷 𝑜 𝐷1, consta de
todos los
“x” para los cuales “y”
existe.
Al conjunto de llegada se le
llama Rango de la función
𝑅 ó 𝑅1, consta de todos los
valores de “y”. Al rango se
lo conoce también como
contradominio, codominio
o recorrido.

18. Al valor de “x” de D se le llama
variable independiente.
Al valor de “y” de R se le llama
variable dependiente.
"𝑓" es un símbolo para
representar la función
𝑓(𝑥)
El conjunto referencial es
ℝ

19. La gráfica de una función es el
conjunto de puntos 𝑥, 𝑦 que
satisfacen la relación dada. Criterio de la RectaVertical: Un
conjunto de puntos P(𝑥, 𝑦) en el
plano; es una función si y solo si; una
recta vertical intersecta a la gráfica a
los más en un solo punto.

20. DOMINIOY RANGO DE UNA FUNCIÓN
• DOMINIO
• Sean A y B 2 conjuntos no vacíos, entonces la función “f” de A en B, tiene como
dominio al conjunto 𝐷𝑓 formado por todo “x” de los pares ordenados (x,y) que
pertenecen a “f”, es decir:
• 𝒇 ⊆ 𝑨𝒙𝑩 → 𝑫𝒇 = 𝒙 ∈ 𝑨 ∃ 𝒚 ∈ 𝑩 ∧ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑹 ⊆ 𝑨
• Si consideramos que 𝐴 = 𝐵 = ℜ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 ⊆ ℜ𝑥ℜ = ℜ2
que tiene como
dominio al conjunto 𝐷𝑓 definido por:
• 𝒇 ⊆ 𝕽𝒙𝕽 = 𝕽𝟐
→ 𝑫𝒇 = 𝒙 ∈ 𝕽 ∃ 𝒚 ∈ 𝕽 ∧ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝒇 ⊆ 𝕽

21. • RANGO
• Sea A y B conjuntos no vacíos, entonces la función “f” de A en B, tiene como rango
al conjunto 𝑅𝑓, formado por todo “y” de los pares ordenados (x,y) que perteneces a
“f”, es decir:
• 𝒇 ⊆ 𝑨𝒙𝑩 → 𝑹𝒇 = 𝒚 ∈ 𝑩 ∃ 𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝒇 ⊆ 𝑩
• Si consideramos que 𝐴 = 𝐵 = ℜ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 ⊆ ℜ𝑥ℜ = ℜ2
que tiene como
rango al conjunto 𝑅𝑓 definido por:
• 𝒇 ⊆ 𝕽𝒙𝕽 = 𝕽𝟐
→ 𝑹𝒇 = 𝒚 ∈ 𝕽 ∃ 𝒙 ∈ 𝕽 ∧ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝒇 ⊆ 𝕽
DOMINIOY RANGO DE UNA FUNCIÓN

23. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
• La gráfica de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es la representación de todos los pares
ordenados 𝑥, 𝑦 = (𝑥, 𝑓 𝑥 ) en el plano ℜ2
, siempre que 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅𝑓

24. DEFINICIÓNGEOMÉTRICA DE FUNCIÓN
• 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función si y solo si cualquier recta L perpendicular al eje X, trazada
en 𝑥 = 𝑎 ∈ 𝐷𝑓, corta a la gráfica de 𝑓(𝐺𝑓 𝑓 ) en un solo punto P( a, f(a)).
Simbólicamente es:
• 𝐺𝑓 𝑓 ⋂𝐿 = 𝑃 𝑎, 𝑓 𝑎 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función.

25. OBSERVACIÓN
• 𝑦 = 𝑓(𝑥) no es una función si y solo si cualquier recta L perpendicular al eje X,
trazada en 𝑥 = 𝑎 ∈ 𝐷𝑓, corta a la gráfica de 𝑓(𝐺𝑓 𝑓 ) en más de un punto P( a,f(a))
simbólicamente es:
• 𝐺𝑓 𝑓 ∩ 𝐿 = 𝑃1 𝑎, 𝑓1(𝑎, )) ; 𝑃2 𝑎, 𝑓2 𝑎 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) no es una función.