funciones polinomicas

1. Valor: Honestidad-Innovación
Tema: funciones algebraicas
Subtema: .función racional
Maestr@s: Lic. Jackeline Escobar.
2022-2023

2. FUNCIÓN RACIONAL
La relación F, denotada por: F = {(x,y)∈RxR/y = P(x)/Q(x); Q(x) ≠ 0}, donde P(x) y Q(x) son
polinomios, es la función general racional.
Observaciones:
 En forma abreviada se escribe: 𝑓 𝑥 =
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
, notación funcional, ó también 𝑦 =
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
;
𝑄(𝑥) ≠ 0, ecuación. Por ejemplo:
𝑔 𝑥 =
𝑥 − 3
𝑥 + 1
; 𝑓 𝑥 =
𝑥 + 1
2𝑥 + 4
; ℎ 𝑥 =
𝑥2
− 4
𝑥 − 2
; 𝑦 =
𝑥2
+ 4𝑥 + 4
𝑥2 − 𝑥 − 6
; 𝑦 =
1
𝑥

3. FUNCIÓN RACIONAL
Análisis de las Asíntotas
Una asíntota es una recta real o imaginaria que, prolongada indefinidamente, se acerca de
continuo a una curva sin llegar nunca a encontrarla en la gran mayoría de casos (se acerca a
la gráfica de la función sin tocarla). Existen tres tipos de asíntota: vertical, horizontal y
oblicua.
a) ASÍNTOTA VERTICAL (AV)
 Las asíntotas verticales se hallan en los valores de x que anulan al
denominador. Por ejemplo:
o si 𝑔 𝑥 =
1
𝑥+2
se tiene: 𝑥 + 2 = 0 → 𝑥 = −2 es asíntota
vertical.
 La gráfica de la función no puede cortar a las asíntotas
verticales.
 Una función racional puede tener infinitas asíntotas verticales.

4. FUNCIÓN RACIONAL
a) ASÍNTOTA HORIZONTAL (AH)
Son rectas horizontales asociadas a la función, que pueden cortar la gráfica de la función. Una
función tiene como máximo dos asíntotas horizontales.
Para determinar la asíntota horizontal se toma en cuenta los grados de los polinomios (m y n):
𝑓 𝑥 =
𝑷 𝒙
𝑸 𝒙
=
𝑎𝑚𝑥𝒎
+ … + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
𝑏𝑛𝑥𝒏 + … + 𝑏1𝑥 + 𝑏0
; 𝑄(𝑥) ≠ 0
1) El grado de P(x) igual al de Q(x).
Para 𝑚 = 𝑛 se tiene que 𝑦 =
𝑎𝑚
𝑏𝑛
, es una AH. La asíntota horizontal
es la recta dada por el cociente de los coeficientes principales. Por
ejemplo:
Si 𝑔 𝑥 =
𝑥
𝑥+1
→ 𝑔 𝑥 =
1𝑥
1𝑥+1
se tiene: 𝑦 =
1
1
= 1. Luego 𝑦 = 1 es
AH.

5. FUNCIÓN RACIONAL
1) El grado de P(x) es menor que el de Q(x).
Para 𝑚 < 𝑛 se tiene que 𝑦 = 0, es la AH. La asíntota horizontal es la recta 𝑦 = 0 (el eje
x). Por ejemplo:
Si 𝑓 𝑥 =
4𝑥+1
𝑥2−5𝑥+6
; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 = 1 𝑦 𝑛 = 2 → 𝑚 < 𝑛 ; 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 1 < 2 entonces 𝑦 = 0 es AH.

6. FUNCIÓN RACIONAL
c) ASÍNTOTA OBLICUA (AO)
1) El grado de P(x) es mayor que el de Q(x)
Para m > n, y si el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador, la
función presenta una asíntota oblicua (se encuentra dividiendo P(x) para Q(x)). No existen
asíntotas horizontales.
 Una función puede tener como máximo dos AO.
 Si una función tiene asíntota oblicua no tiene asíntota horizontal y recíprocamente.
 La gráfica de la función puede cortar a las asíntotas oblicuas en uno o varios puntos,
por ejemplo:
𝑓 𝑥 =
𝑥2
− 2𝑥 + 4
𝑥 − 3
;
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑠𝑢 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑎; 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 +
7
𝑥 − 3
𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑂𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎 𝐴𝑂 : 𝑦 = 𝑥 + 1
𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝐴𝑉 : 𝑥 − 3 → 𝑥 = 3
 Si el grado del numerador es dos o más unidades mayores que el del denominador, no hay
asíntota oblicua, pero si una asíntota horizontal.

7. FUNCIÓN RACIONAL
Observación:
Para determinar si una relación es función se analiza, fundamentalmente,
el Df con la RV.
 Para determinar si una relación es función, se propone:
P1. Asíntota vertical (Hallar; Q(x) = 0)
P2. Asíntota horizontal (Analizar los grados: m, n):
P3. Asíntota oblicua (Analizar los grados: m, n):
P4. Puntos de corte eje x (Hallar: f(x) = 0).
P5. Puntos de corte eje y (Hallar: f(0)).
P6. Monotonía [en un intervalo (a, b)]
P7. Simetría
P8. Dominio y Codominio:
P9. Graficar

8. EJEMPLO
Graficar: 𝑓 𝑥 =
𝑥+1
𝑥−4
, y determinar si es función.
P1: Asíntota vertical (Hallar; Q(x) = 0):
x - 4 = 0 → x = 4 es una AV
(perpendicular al eje X).
P2: Asíntota horizontal (Analizar los grados: m, n):
𝑚 = 𝑛 → 𝐴𝐻 = 𝑦 =
1
1
= 1 (𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥).
P3: Asíntota oblicua (Analizar los grados: m, n):
m = n, f(x) no posee asíntota oblicua.
P4. Puntos de corte eje x (Hallar: f(x) = 0).
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 1
𝑥 − 4
→
𝑥 + 1
𝑥 − 4
= 0
𝑥 + 1 = 0 → 𝑥 = −1
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒: (−1,0)
P5. Puntos de corte eje y (Hallar: f(0)).
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 1
𝑥 − 4
→ 𝑓 0 =
0 + 1
0 − 4
𝑓(0) = −
1
4
→ 𝑓(0) = −0,25
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒: (0; −0,25)
P6. Monotonía [en un intervalo (a, b)]
Observación: se considera la AV:

9. EJEMPLO
P7. Simetría
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 1
𝑥 − 4
→ 𝑓 −𝑥 =
−𝑥 + 1
−𝑥 − 4
𝑓 −𝑥 =
𝑥 − 1
𝑥 + 4
→ 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−𝑥)
−𝑓(−𝑥) = −
𝑥 − 1
𝑥 + 4
→ 𝑓(𝑥) ≠ −𝑓(−𝑥)
∴ 𝑓(𝑥) 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎.
P8. Dominio y Codominio:
Los reales excepto los valores de las AV y AH
según corresponda al Df y al Cdf.
Df = R - {4}
Cdf = R – {1}
P9. Para trazar la gráfica se consideran los
siguientes valores (ver tabla de valores):
Tabla de valores:

10. Valor: Honestidad-Innovación
Tema: funciones algebraicas
Subtema: .función irracional
Maestr@s: Lic. Jackeline Escobar.
2022-2023

11. FUNCIÓN IRRACIONAL
La relación F, denotada por: F = {(x,y)∈RxR/y = √r(x)n}, donde r(x) es una función polinómica
o racional y n es un número natural mayor que 1, se llama función general irracional, radical o
raíz.
Observaciones:
 En forma abreviada se escribe: f(x) = √r(x)n (Notación funcional) ó y = √r(x)n
(Ecuación). Por ejemplo:
Propiedades
1. Si n es par entonces la expresión r(x) debe ser mayor o igual a 0. Es decir, para
determinar el dominio se resuelve la inecuación: r(x) ≥ 0. Por ejemplo:

12. FUNCIÓN IRRACIONAL
1. Si n es impar entonces el dominio de f(x) es igual al dominio de r(x). Df = Dr
2. La gráfica puede tener una o más ramas dependiendo de la expresión polinómica o
racional que se encuentre dentro del signo radical. Se llama curva irracional.
3. Monotonía [en un intervalo (a, b)⊂Df]: Se considera el Df. f(x) puede ser
creciente o decreciente.
4. Simetría: No tiene simetría par ni impar.
Para determinar si una relación es función, se propone:
P1. Hallar los puntos de corte con el eje X (Hallar: f(x) = 0)
P2. Hallar los puntos de corte con el eje Y (Hallar: f(0))
P3. Dominio y Codominio (Analizar el índice: n):
P4. Monotonía [en un intervalo (a, b)]
P6. simetría
P9. Gráfica

13. EJEMPLO
Graficar: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2, y determinar si es función.
P1. Puntos de corte eje x (Hallar: f(x) = 0).
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2→ 𝑥 + 2 = 0 → 𝑥 = -2
𝑥 = ± −2
Punto de corte: No existe
P2. Puntos de corte eje y (Hallar: f(0)).
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 → 𝑓(0) = √0 + 2 → 𝑓(0) = 2
Punto de corte: (0, 2)
P3. Dominio y Codominio (Analizar el índice: n):
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2; 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 → 𝑥 ≥ 0 → 𝐷𝑓 = [0, +∞)
𝑦 = 𝑥 + 2 → 𝑦 − 2 = 𝑥 → 𝑥 = 𝑦 − 2
n es par: 𝑦 − 2 ≥ 0 → Cdf = [2, +∞)
P4. Monotonía [en un intervalo (a, b)]
Observación: se considera el Df:

14. EJEMPLO
P6. Para trazar la gráfica se consideran los siguientes
valores (ver tabla de valores):

15. Valor: Honestidad-Innovación
Tema: funciones algebraicas
Subtema: .función valor absoluto de primer grado
Maestr@s: Lic. Jackeline Escobar.
2022-2023

16. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
La relación F, denotada por: F = {(x,y)∈RxR/y =│x│}, es la función general valor
absoluto.
Observaciones
 En forma abreviada se escribe: f(x) =│x│, notación funcional, ó y = │x│, ecuación.
 La función valor absoluto es una función por partes y se define mediante las
siguientes funciones parciales:

17. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
TIPO DE FUNCIÓN DE VALOR ABSOLUTO
1. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO DE PRIMER GRADO:
Características
 La gráfica pasa por el origen (0, 0)
 Si f(x) = +│ax│, las semirrectas se abren hacia arriba.
 Si f(x) = -│ax│, las semirrectas se abren hacia abajo.
 El dominio y codominio
El Df, son todos los valores x∈R para los cuales f no tienen limitaciones (restricciones).
El Cdf son todas las imágenes f(x), cuando x recorre todo el dominio.
Si f(x) = │x│: Df = R y Cdf = [0, + ∞) Si f(x) = -│x│: Df = R y Cdf = [0, - ∞)

18. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
 Estiramiento o encogimiento:
Si a>1: Encogimiento
Si 0<a<1: Estiramiento
f(x) = +│ax│

19. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Si f(x) = │ax + b│, se tiene las siguientes características:
o Si: +│ax+b│, las semirrectas se abren hacia arriba.
o Si: -│ax+b│, las semirrectas se abren hacia abajo.
o Si b > 0 la gráfica se desplaza dicho valor hacia la izquierda
o Si b < 0 la gráfica se desplaza dicho valor hacia la derecha.
o Punto de corte eje X: (xi,0).
o Punto de corte eje Y: (0, y1) La gráfica no pasa por el origen.
o La gráfica es creciente y decreciente
o La gráfica no es simétrica con respecto al eje Y. No se cumple que:
f(x) = f(-x), ∀x∈D.
o El dominio y la imagen son:
f(x) = │ax + b│: Df = R y Cdf = [0, + ∞) f(x) = -│ax + b│: Df = R y
Cdf = [0, - ∞)

20. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
FUNCIÓN DE LA FORMA: y = ± │ax + b│+ k. tiene como características:
o 1. El valor de k, en la función anterior, determina deslizamientos verticales
respecto del eje X. Si k > 0, la gráfica se desplaza dicho valor hacia arriba,
caso contrario hacia abajo, del eje X.
o 2. Existen dos puntos de corte con el eje X. Por lo tanto, se presentan 2
ecuaciones.
o 3. Para determinar el vértice de la gráfica se halla el promedio de los
puntos de corte y se considera el desplazamiento vertical. Se determina
mediante la expresión: V( x̅, ± k).

21. EJEMPLO
Graficar la relación: G = {(x,y)∈RxR/y = │x-2│}, y
determinar si es función.
P1. Punto de corte eje X (Hallar g(x) = 0).
Aplicando la definición de |x|, para resolver g(x) = 0, se tiene:
Punto de corte: (2,0). La gráfica no pasa por el origen.
P2. Punto de corte eje Y. (Hallar g(0)):
g(x) = │x-2│ → g(0) = │0 -2│ → g(0) = 2.
Punto de corte: (0,2).
P3. Monotonía [en un intervalo (a, b)⊂Df]
Graficar el punto de corte con el eje X,
para obtener los intervalos.

22. EJEMPLO

23. EJEMPLO
P7. Luego, se grafica la función (ver tabla de valores):

24. REFERENCIAS
Bastidas, P. et al (2016, pp. 23-56) Funciones. (1era Edición). Quito-Ecuador.
Ediciones Ecuafuturo.