El documento presenta una clasificación de diferentes tipos de funciones como funciones radicales, racionales, logaritmicas, trigonométricas y exponenciales. También describe transformaciones de funciones como desplazamientos verticales u horizontales, reflexiones y estiramientos. Finalmente, introduce las funciones trigonométricas inversas como arcsen, arccos, arctan, etc.

1. M.Sc. FredySuntaxi – CÁLCULO DIFERENCIAL– PRIMER NIVEL
MAPA CONCEPTUAL DE CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES.
Ejemplos:
Identifique las siguientes funciones y complete la tabla:
N.- Función Nombre de la función
1 𝑓(𝑥) = √ 𝑥+ 2 FUNCION RADICAL
2
𝑔(𝑥) =
𝑥 + 2
𝑥 + 4
j/
FUNCION RACIONAL
3 𝑗(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥− 2) FUNCION LOGARITMICA
4 𝑘(𝑥) = |𝑥 − 2| FUNCION VALOR ABSOLUTO
5 𝑙(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) FUNCION TRIGONOMETRICA
6 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥
FUNCION EXPONENCIAL
7 ℎ(𝑥) = 3𝑥4
− 2𝑥2
+ 5 FUNCINO POLINOMIAL
Elabore el grafico en Geogebra.
ASINTOTAS DE FUNCIONES RACIONALES
Asíntota vertical (
𝑁
𝐷
) Asíntota horizontal (
𝑁
𝐷
) Asíntota oblicua (
𝑁
𝐷
)
Se iguala el denominador
a cero.
D = 0
𝑓(𝑥) =
𝑥 − 1
𝑥 − 2
; 𝑥 − 2 = 0
GN < GD, tenemos y = 0
GN = GD, tenemos y =
𝑐𝑜𝑒𝑓. 𝑁
𝑐𝑜𝑒𝑓. 𝐷
N > D, no hay asíntota
horizontal
Cuando el grado del
Numerador menos el
grado del denominador es
uno. GN – GD = 1
𝑓(𝑥) =
2𝑥 − 1
𝑥 − 1
= 𝑙𝑜𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝑦 =
2
1
Ejercicios:
Obtenga las asíntotas analíticamente y grafique en Geogebra.
1) 𝑓(𝑥) =
2𝑥+3
3𝑥−4
𝑓(𝑥)
=
2𝑥 + 3
3𝑥 − 4
; 3𝑥 − 4
= 0
𝑥 =
4
3
3) 𝑓(𝑥) =
4𝑥+3
3𝑥2−2
3𝑥2
− 2 = 0
Asíntota vertical
(√3𝑥−√2)(√3𝑥−√2)= 0
√3𝑥 −√2 = 0; √3𝑥− √2 =0
𝑥1 = √
2
3
; 𝑥2 = −√
2
3
Asíntota horizontal:
Tenemos que el grado del
numerador es menor que el
grado del denominador
𝑦 = 0

2. M.Sc. FredySuntaxi – CÁLCULO DIFERENCIAL– PRIMER NIVEL
2) 𝑓(𝑥) =
5𝑥2+3
2𝑥2−5
4) 𝑓(𝑥) =
3𝑥2−2𝑥+4
𝑥−3
Además, determine el dominio y el rango de las funciones.
DESPLAZAMIENTOS VERTICALES Y HORIZONTALES
Transformaciones rígidas
Una transformaciónrígida de una gráfica es aquella que sólocambia la posición de la
gráfica en el plano 𝑥𝑦, pero no su forma.
Teorema.
Supongamos que 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una funciónyque 𝑐 es una constante positiva. Entonces,
la gráfica de
i) 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 es la gráfica de 𝑓 desplazada 𝑐 unidades verticalmente haciaarriba.
ii) 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑐 es la gráfica de 𝑓 desplazada 𝑐 unidades verticalmente haciaabajo.
iii) 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑐) es la gráfica de 𝑓 desplazada 𝑐 unidades horizontalmente haciala
izquierda.
iv) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑐) es la gráfica de 𝑓 desplazada 𝑐 unidades horizontalmente haciala
derecha.
Ejemplo:
Para las transfomaciones, tenemos 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
i) Se desplaza hacia arriba 𝑦 = 𝒙𝟐
+ 2
ii) Se desplaza hacia abajo 𝑦 = 𝒙𝟐
− 2
iii) Se desplaza hacia la izquierda 𝑦 = (𝒙 + 𝟐)𝟐
iv) Se desplaza hacia la derecha 𝑦 = (𝒙 − 𝟐)𝟐
REFLEXIONES
Teorema
Supongamos que 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función. Entonces, la gráfica de
i) 𝑦 = −𝑓(𝑥) es la gráfica de 𝑓 reflejada en el eje 𝑥.
ii) 𝑦 = 𝑓(−𝑥) es la gráfica de 𝑓 reflejada en el eje 𝑦.
Ejemplo:
i) Para reflexión en el eje 𝒙, tenemos 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
ii) Para reflexión en el eje 𝒚, tenemos 𝒇(𝒙) = √𝒙
ESTIRAMIENTOS Y COMPRESIONES VERTICALES
Transformaciones no rígidas
Si una función 𝑓 se multiplica por una constante 𝑐 > 0, cambia la forma de la gráfica,
pero se conserva, aproximadamente, suforma original. La gráfica de 𝑦 = 𝑐𝑓(𝑥) es la de
𝑦 = 𝑓(𝑥) deformada de manera vertical;la gráfica de 𝑓 se estira (o se alarga, o se
elonga)verticalmente, o se comprime (o se aplana) de manera vertical, lo cualdepende
del valor de 𝑐. El estiramiento o la compresión de una gráfica son ejemplos de
transformaciones no rígidas.
Teorema.
Supongamos que 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una funciónyque 𝑐 es una constante positiva. Entonces,
la gráfica de 𝑦 = 𝑐𝑓(𝑥) es la gráfica de 𝑓
i) Estirada verticalmente por un factor de 𝑐 unidades, si 𝑐 > 1.
ii) Comprimida verticalmente por unfactor de 𝑐 unidades, si 0 < 𝑐 < 1.
Ejemplo:
i) Para estiramiento vertical en el eje 𝒙, tenemos 𝒇(𝒙) = √𝒙 entonces, 𝒚 = 𝟐√𝒙
ii) Para compresión vertical en el eje 𝒙, tenemos 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
entonces, 𝒚 =
𝟏
𝟏𝟎
𝒙𝟐
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y SUS INVERSAS
Las funciones trigonométricas provienendel circulotrigonométrico, que se pueden
expresar engrados, perosonfundamentales en radiales.

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Tabla de ángulos medidos en grados yradianes para el dominio.
Grados 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
Radianes 0 𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
𝜋
2
2𝜋
3
3𝜋
4
5𝜋
6
𝜋 3𝜋
2
2𝜋
Los valores negativos son equivalentes.
Circulo trigonométrico.
Se llama circulotrigonométricoporque suradioes la unidad. A continuación, puede
observar la relaciónque existe entre grados y radianes, así como los puntos más
notables del circulo trigonométrico.
Periodicidad de funciones trigonométricas
Definición: Una función 𝑓(𝑥) es periódica si existe un número positivo 𝑝, tal que
𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓(𝑥) para todovalor de 𝑥. el menor de estos valores de 𝑝 es el periodo de
𝑓.
En el caso de las funciones trigonométricas, tenemos:
Funciones de periodo 2𝜋 Funciones de periodo 𝜋
𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 2𝜋) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓(𝑥)
𝑡𝑎𝑛(𝑥 + 𝜋) = 𝑡𝑎𝑛(𝑥)
𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 2𝜋) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑠𝑒𝑐(𝑥 + 2𝜋) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥)
𝑐𝑠𝑐(𝑥 + 2𝜋) = 𝑐𝑠𝑐(𝑥)
𝑐𝑡𝑔(𝑥 + 𝜋) = 𝑐𝑡𝑔(𝑥)
Elaborar los gráficos de funciones trigonométricas.
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛(𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑡𝑔(𝑥)
A fin de determinar el dominio, rango, amplitudyperiodo.
Además, podemos hablar de funciones par e impar.
Función par. Toda grafica de una función
par es simétrica con respecto al eje 𝒚. Es
decir, 𝒇(−𝒙) = 𝒇(𝒙)
Función impar. Toda grafica de una
función impar es simétrica conrespecto
al origen. Es decir, 𝒇(−𝒙) = −𝒇(𝒙)
𝑐𝑜𝑠(−𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑠𝑒𝑐(−𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(−𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑡𝑎𝑛(−𝑥) = −𝑡𝑎𝑛(𝑥)
𝑐𝑠𝑐(−𝑥) = −𝑐𝑠𝑐(𝑥)
𝑐𝑡𝑔(−𝑥) = −𝑐𝑡𝑔(𝑥)
Funciones trigonométricas inversa.
Para obtener la funcione trigonométricas inversasdebemos despejar la variable 𝑥,
luegohacer cambios de variable de 𝑦 por 𝑥 , ademásempleamos 𝑓−1(𝑥), así:
Función trigonométrica Función trigonométrica inversa 𝑓−1
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) al despejar 𝑥, queda
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑦)
𝑓−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) al despejar 𝑥, queda
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑦)
𝑓−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) al despejar 𝑥, queda
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑦)
𝑓−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)
𝑦 = 𝑐𝑡𝑔(𝑥) al despejar 𝑥, queda
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(𝑦)
𝑓−1
(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(𝑥)
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(𝑥)
𝑦 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) al despejar 𝑥, queda
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑦)
𝑓−1
(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥)
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥)

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𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐(𝑥) al despejar 𝑥, queda
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑠𝑐(𝑦)
𝑓−1
(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑠𝑐(𝑥)
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑠𝑐(𝑥)
En este casoel rango esta expresadoenradianes.
Una de las formas de probar que una función tiene su inversa, es mediante la
composición de funciones, es decir:
(𝒇 °𝒇−𝟏
)(𝒙) = (𝒇−𝟏
° 𝒇)(𝒙) = 𝒙
Donde 𝒙 es la funciónidentidad.
Elaborar los gráficos de funciones trigonométricas inversa, para determinar el dominio
y rango.
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)
Tarea en casa.
Preguntas planteadas.
Parte 1.
Elaborar los gráficos de funciones trigonométricas.
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛(2𝑥)
𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓(𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑓(𝑥) = 2𝑡𝑎𝑛(𝑥)
A fin de determinar el dominio, rango, amplitudyperiodo.
Parte 2.
Elaborar los gráficos de funciones trigonométricas inversa, para determinar el dominio
y rango.
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(2𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑠𝑐(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(𝑥)
Parte 3.
Grafique 𝑦 = 2 − 2√𝑥 − 3
Ahoraexplique qué transformacionestuvoapartirde la funciónbásica
𝑦 = √𝑥, muestre todoslosgráficos.
Parte 4.
Obtenga las asíntotas analíticamente y grafique en Geogebra.
1) 𝑓(𝑥) =
3𝑥−2
4𝑥+2
3) 𝑓(𝑥) =
4𝑥−1
6𝑥2−3
2) 𝑓(𝑥) =
4𝑥2+8
3𝑥2−2
4) 𝑓(𝑥) =
2𝑥2−2𝑥+1
𝑥+3
Además, determine el dominio y el rango de las funciones.