Unidad # 3 continuidad y limite

Cálculo Diferencial I.T.S.R 1er Semestre Ing. Industrial
Elaboro: MDCD Ing. Alejandro Arana Paredes
UNIDAD # 3 CONTINUIDAD Y LIMITE
3.1 Limite de una Función
En matemáticas, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una
función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado
valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para
definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración,
entre otros. Informalmente se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a C,
y se escribe:
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿
Y se lee: “el límite de f(x), cuando x tiende a C, es L”
Y también se lee “f(x) tiende a L si x tiende a C
Podemos definir que un límite “f” es una función definida en un intervalo abierto que
contiene a la pendiente “m” de la recta a la gráfica de “f” en el punto.
Ejemplo: Pensemos en el límite de f(x) = x +2
x
Si realizamos una tabla tabular para calcular la gráfica de la función una unidad antes de 3
y otra después de 3. Notaras que el límite dela función se encuentran a su vez constreñido
al rango (4, 6). Al tomar valores más cercanos a c = 3, por ejemplo 2.5 0 3.5, el rango en
donde se encuentra L se reducirá aún más.
Por lo tanto si f es una función definida en [𝑎, 𝑏] con la posible excepción de 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏, ]
decimos que L es el límite de f cuando x tiende a C, si dado un argumento x muy cercano a
C (tan próximo como se desee), hallamos que su imagen está también muy cercana de L

3.2 Limite de una función de variable Real
Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un subconjunto D de
los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de
D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:
f:D————->R
x————->x2.
Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:
- El conjunto inicial o dominio de la función.
- El conjunto final o imagen de la función.
- La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento
del conjunto imagen.
Función real de variable real:
Es aquella cuyo dominio y recorrido son subconjuntos del conjunto de los números reales.
Límite: Cuando “X” se aproxima mucho a ese valor (un valor cualquiera) sin ser ese valor.
El límite de una función siempre debe de existir
LIMITE DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL
FUNCIÓN DE VARIABLE REAL
REPRESENTACIÓN
GRAFICA
Es aquella cuyo
dominio y recorrido
son subconjuntos
del conjunto de los
números reales
Se clasifican en algebraicas y
trascendentes
Las funciones reales de
variable real se suelen
representar en el plano,
utilizando un sistema de
referencia

Ejemplos
1.- lim
𝑥→1
𝑥+3
𝑥−4
…………………………………………………….. 𝐿𝑖𝑚
1+3
1−4
= −
4
3
2.- lim
𝑥→−1
𝑥+3
𝑥−4
………………………………………………….. 𝐿𝑖𝑚
−1+3
−1−4
= −
2
5
3.- lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥 ………………………………………………….. 𝐿𝑖𝑚 cos(1) = 1
4.- lim
𝑥→10
√𝑥2 − 2 ……………………………….……….. 𝐿𝑖𝑚 √(102 − 2) = √98
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
I. Resuelva los siguientes límites
1.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
√
8𝑥+1
𝑥+3
…………………………………………………
2.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
√
𝑥2+3𝑥+4
𝑥3+1
………………………………………………
3.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
2𝑥2
− 7𝑥 ………………………………………………
4.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
7𝑥 − 5 ……………………………….………………..
5.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥2−2
𝑥2−5𝑥+2
…………………………………………………
6.- 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→2
𝑥+∆𝑥
2
……………………………………………………
7.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→7
4𝑥−3
7𝑥−2
……………………………….………….………..
8.- 𝑙𝑖𝑚
ℎ→4
4𝑥2−2𝑥ℎ
√ℎ
……………………………….………………..
9.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥2−2𝑥+1
2𝑥2+𝑥−3
……………………………………….…………
10.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
√4𝑥
𝑥3
………………………………………..…………

3.3 Calculo de límites
Límite: Concepto que describe la tendencia (lim) de una sucesión o función, a medida que
los parámetros se acercan a determinado valor. Si f(x) es una función usual (polinómicas,
racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a,
entonces se suele cumplir que:
lim =
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
* Es decir ” para calcular el limite sustituye en la función el valor al que tienen las x
Ejemplos de Límites utilizando Factorización
1.- 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟕
𝒙 𝟐−𝟒𝟗
𝒙−𝟕
=
(𝑥−7)(𝑥+7)
𝑥−7
= 𝑥 + 7 = 7 + 7 = 𝟏𝟒
2.- 𝒍𝒊𝒎
𝒙→−𝟑
𝒙 𝟐−𝟗
𝟐𝒙 𝟐+𝟓𝒙−𝟑
=
(𝑥+3)(𝑥−3)
(𝑥+3)(2𝑥−1)
=
𝑥−3
2𝑥−1
=
−3−3
2(−3)−1
=
𝟔
𝟕
1.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
𝑥2−9
𝑥2+8𝑥+15
………………
2.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
𝑥2−4
𝑥+2
…………………
3.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→7
𝑥−7
𝑥2−6𝑥−7
……………………
4.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
9
2
2𝑥2−9𝑥
2𝑥2−23𝑥+63
……………………
5.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
𝑥+3
𝑥3+5𝑥2+6𝑥
……………………
6.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−5
𝑥2−25
𝑥+5
……………………
7.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
𝑥+2
2𝑥2+7𝑥+6
……………………
8- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−
5
4
4𝑥+5
28𝑥2+31𝑥−5
……………………

Ejemplo de Límites utilizando Racionalización
1.- 𝒍𝒊𝒎
𝒙→2
4−𝒙 𝟐
3−√𝑥2+5
= (
4−𝒙 𝟐
3−√𝑥2+5
) (
3+√𝑥2+5
3+√𝑥2+5
) =
(4−𝑥2)(3+√𝑥2+5)
(32)−(√𝑥2+5)
2 =
(4−𝑥2)(3+√𝑥2+5
9−𝑥2−5
=
(4−𝑥2)(3+√𝑥2+5
4−𝑥2
=
= (3 + √𝑥2 + 5 = 3 + √(2)2 + 5 = 3 + √9 = 3 + 3 = 𝟔
1.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
√ 𝑥−1
𝑥−1
………………
2.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
√𝑥+5−2
𝑥+1
…………………
3.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
√𝑥+2 − √2
𝑥
…………………
4.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
4−√𝑥2+7
3𝑥+9
…………………
5.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
√ 𝑥−2
𝑥3−64
…………………
6.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→7
5−√4+3𝑥
7−𝑥
…………………
7.- 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥2−1
√ 𝑥 − 1
…………………

3.4 Propiedades de los Límites
Sean f y g dos funciones se verifica que:
Si existe 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) 𝑦 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
1. lim
𝑥→𝑐
[𝑓(𝑥) + 𝐠(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) + 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
g(𝑥)
2. lim
𝑥→𝑐
[𝑓(𝑥) − 𝐠(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) − 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
g(𝑥)
3. lim
𝑥→𝑐
[𝑓(𝑥) . 𝐠(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) . 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
g(𝑥)
4. lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
g(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑐
g(𝑥)
𝑠𝑖 lim
𝑥→𝑐
g(𝑥) ≠ 0
5. Límite de una constantes: Si K es una constante, entonces lim
𝑥→𝑐
𝑘 = 𝑘
6. Límite del producto de una constante por una función Si lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) existe: entonces;
lim
𝑥→𝑐
𝑘𝑓(𝑐) = 𝑘. lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
7. Límite de una potencia: lim
𝑥→𝑐
𝑥 𝑛
= 𝑐 𝑛(𝑛 ∈ 𝑁)
8. Límite de un polinomio: : lim
𝑥→𝑐
𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑐)
9. Límite de un radical: : lim
𝑥→𝑐
√𝑓(𝑥) = √lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)

3.5 Limites Laterales
Limite por la izquierda.
Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto (d , a). Entonces, el límite
de f(x), conforme x se tienda a “a” por la izquierda es “L”, lo que se denota por:
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿
si para cualquier 𝜀 > 0 , sin importar que tan pequeña sea, existe una 𝛿 > tal que si
0 < 𝑎 − 𝑥 < 𝛿 entonces |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
Limite por la derecha.
Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite
de f(x), conforme x se tienda a “a” por la derecha es “L”, lo que se denota por:
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿
si para cualquier 𝜀 > 0 , sin importar que tan pequeña sea, existe una 𝛿 > tal que si
0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 entonces |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 . Observemos la imagen
Recordar que en los límites laterales si un resultado nos da:
#
0+
= +∞
#
0−
= −∞

Ejemplo # 1. Encontrar los límites laterales de una función
1. lim
𝑥→1+
𝑥2
− 1
= (1+)2
− 1 = 1+
− 1 = 0+
= 0
2. lim
𝑥→1−
1
𝑥−1
=
1
1−−1
=
1
0−
= −∞
3. lim
𝑥→0+
1
𝑥
=
1
0+ = +∞
Resolver ejercicios de límites laterales
1. lim
𝑥→1+
𝑥2
2. lim
𝑥→1+
𝑥2−1
𝑥−1
…………………………………………………………………..Factorizar
3. lim
𝑥→1+
𝑥2
− 1
4. lim
𝑥→−1−
(3𝑥 + 5)
5. lim
𝑥→−1+
(𝑥2
+ 1)
6. lim
𝑥→2−
(𝑥2
+ 1)
7. lim
𝑥→−2+
(6 − 𝑥)
8. lim
𝑥→1+
(𝑥+1)2
𝑥−1

3.6 Limites al infinito
Las gráficas de las funciones en sus extremos derecho e izquierdo pueden tener
características distintas; sobre todo cuando la extensión de la curva no está limitada. Por
ejemplo la curva que se ilustra en la figura de abajo presenta una asíntota horizontal hacia
la derecha. En cambio sobre la izquierda se observa que conforme x toma valores negativos
cada vez más alejados del cero, las imágenes respectivas son negativas y a su vez se alejan
también del cero de la coordenada vertical. Lo anterior se denota de la siguiente manera:
y = g(x)
1
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = −∞ y lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 1
0 x
Para el primer caso la simbología nos informa que conforme vayamos tomando argumentos
negativos muy alejados del cero (𝑥 → −∞), la función irá decreciendo(o su curva se
extenderá hacia abajo sin parar). En cambio, al tomar valores de x muy grandes, el valor de
la función estará cada vez más próxima a la unidad. El conocer la forma de la curva en los
extremos, es la utilidad principal de los límites en el infinito. A continuación daremos una
definición de estos límites.
DEFINICION: Sea f una función cuyo dominio abarca al menor desde un número arbitrario
b hasta∞, decimos que:
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿
Si al tomar valores x suficientemente grandes se encuentra que f(x) es un número cercano
a L. Si esto no ocurre diremos que la función no posee límite en el infinito y lo
denotaremos como:
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 ó lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = −∞
Según el crecimiento de f sea positivo o negativo. Por teorema recordemos que:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟏
𝒙
= 𝟎 y 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
𝟏
𝒙
= 𝟎
Recordemos que en los límites al infinito si un resultado nos da:
1
0
= ∞
0
1
= 0

Ejemplo # 1. Calcular lim
𝑥→∞
𝑥
𝑥2−2
lim
𝑥→∞
𝑥
𝑥2
𝑥2
𝑥2 −
2
𝑥2
=
1
𝑥
1 −
2
𝑥2
=
0
1 − 0
= 𝟎
Ejemplo # 2. Calcular lim
𝑥→∞
6𝑥2−4𝑥+3
2𝑥2+8𝑥
lim
𝑥→∞
6
𝑥2
𝑥2 −
4𝑥
𝑥2 +
3
𝑥2
2𝑥2
𝑥2 −
8𝑥
𝑥2
=
6 −
4
𝑥
+
3
𝑥2
2 −
8
𝑥
=
6
2
= 3
1. Resolver ejercicios de límites al infinito
Calcular lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥−1
Calcular lim
𝑥→∞
12𝑥2+2𝑥−1
4𝑥2+2𝑥
Calcular lim
𝑥→∞
4𝑥3
𝑥2+2
Calcular lim
𝑥→∞
−6𝑥2
𝑥
Calcular lim
𝑥→∞
−3𝑥2+5𝑥+1
3𝑥2−𝑥
Calcular lim
𝑥→∞
7𝑥2+5𝑥3+𝑥
5𝑥2+2𝑥

3.7 Función Continua y Discontinua
Una función puede ser continua o discontinua en un punto de acuerdo a la siguiente
definición:
Definición de Continuidad:
Decimos que una función f es continua en un punto 𝑥 = 𝐶 si y solo si:
a) f está definida en C
b) lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
c) lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)
Ejemplo: Así, 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 𝟐
representa una función continúa en un punto, digamos x = 3, ya
que 3 pertenece al dominio (𝑥 ∈ 𝑅), es decir, f está definida en x = 3, además:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
2𝑥2
Existe, ya que:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
2𝑥2
= 18 y por ultimo
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑓(𝑥) = 𝑓(3) = 18
¿Por qué x = 1 en la función 𝒇(𝒙) =
𝒙−𝟏
𝒙 𝟐−𝟏
no es continua?
Porque al calcular el límite, comprobamos su existencia:
lim
𝑥→1
𝑥 − 1
𝑥2 − 1
= lim
𝑥→1
1
𝑥 + 1
=
1
2
Sin embargo x = 1 no pertenece al dominio de la función, por lo que no se verifican los puntos de la
definición de continuidad. En otras palabras a esta función se le llama Función Discontinua por
que el número real no pertenece a la función de sus dominios, estas son aquellas en las se reflejan
las asíntotas verticales y horizontales. Su grafica se realiza levantando el lápiz.
Su grafica se
realiza sin levantar
el lápiz.

Ejemplo de función Continua
Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma
la función en ese punto. Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que
su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de
papel.
Continuidad de una función en un punto
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres
condiciones siguientes:
1. Que el punto x= a tenga imagen.
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.
Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.
Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y
coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir
Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y
coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Ejemplo de función Discontinua
1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide
con el valor de la función en el mismo.
2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no
coincide con el valor de la función en el mismo. El valor que deberíamos dar a la función en dicho
punto para que fuera continúa en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.
3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable.
1. El alumno realizara 2 ejercicios de función continua y 2 ejercicios de función discontinua

3.8 Tipos de Discontinuidad
Discontinuidad evitable
Si una función tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑓(𝑎) ≠ 𝐿
| 𝐷𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑣𝑖𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
o no existe
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
∄𝑓(𝑎)
| 𝐷𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑣𝑖𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
Se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función, en ese punto, el valor del límite:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑓(𝑎) = 𝐿
| 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎
Discontinuidad
Evitable Esencial
De primera especie De segunda especie
De salto finito
especie
De salto infinito
especie
Asintótica
Puede ser Puede ser
Se clasifican en Se clasifican en
Se dividen en

Discontinuidad esencial
Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas
de las siguientes situaciones:
- Existen los límites laterales pero no coinciden.
- Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos.
- No existe alguno de los límites laterales o ambos.
Discontinuidad de primera especie
En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:
– De salto finito
Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son
iguales:
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿−
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿+
𝐿−
≠ 𝐿+
} 𝐷𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜
A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene
dado por: -De salto infinito: Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto
si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito: como en el caso de que el
límite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = ±∞
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿
} 𝐷𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜
Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.
- Discontinuidad asintótica
Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos:
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = ±∞
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = ±∞
} 𝐷𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡ó𝑡𝑖𝑐𝑎
A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica,
siendo x= a la asíntota.
Discontinuidad de segunda especie
Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los
límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una
discontinuidad de segunda especie en ese punto.

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