Este documento presenta un resumen de tres oraciones o menos sobre el siguiente tema:
1) Se trata de un documento sobre el curso de Cálculo del profesor Cristian Guatemal en la Escuela Politécnica Nacional de Quito en el año 2018. Incluye capítulos sobre supremo e ínfimo de conjuntos, deberes, matrices y otros temas matemáticos.
El documento describe la teoría de los paraboloides, incluyendo su concepto, ecuaciones y características. Los paraboloides pueden ser elípticos o hiperbólicos dependiendo de si sus términos cuadráticos son positivos o negativos. Las secciones de un paraboloide elíptico con planos perpendiculares al eje son elipses, mientras que las secciones de un paraboloide hiperbólico con esos mismos planos son hipérbolas. El documento también incluye ejemplos
Resolviendo problemas de composicion de funciones en Algebra SuperiorGuzano Morado
Aquí presento los detalles de cómo entender y redactar las demostraciones de que si f y g son funciones inyectivas, también su composición es inyectiva. Y lo mismo para la suprayectividad.
Este documento define relaciones y funciones. Explica que una relación conecta conjuntos de objetos y debe cumplir condiciones como el orden para ser una función. Las funciones mapean cada elemento de un conjunto a otro de forma unívoca y se clasifican como inyectivas, suprayectivas o biyectivas dependiendo de la correspondencia entre conjuntos. También describe funciones algebraicas y trascendentes según su regla de correspondencia.
El documento presenta los conceptos básicos de las funciones, incluyendo el reconocimiento de funciones en diagramas, tablas de valores y gráficos, la clasificación de funciones como sobreyectivas, inyectivas y biyectivas, y los elementos característicos de una función como el dominio, codominio e imagen. Se proveen ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos.
Tema1 numeros reales y propiedades -algebraBrian Bastidas
Este documento presenta los números reales y sus propiedades. Explica que los números reales son la unión de los números racionales e irracionales. Los racionales pueden expresarse como fracciones y tienen parte decimal periódica, mientras que los irracionales tienen parte decimal infinita y no periódica. También cubre temas como expresiones racionales, polinomios, operaciones con números reales como adición, sustracción, multiplicación, división, exponentes y radicales.
Este documento presenta el currículum de Eduardo Espinoza Ramos, un matemático peruano graduado en Matemática Pura. Ha sido catedrático de las principales universidades de la capital y ha publicado varios libros y artículos sobre álgebra lineal. El documento incluye la portada y el prólogo de su libro sobre álgebra lineal, en el que explica los temas que serán tratados en cada capítulo.
Clasificacion de los conjuntos y subconjuntos como tambien las formas de resolver problemas, como se usan adecuadamente y las propiedades que conlleva estos temas.
El documento describe la teoría de los paraboloides, incluyendo su concepto, ecuaciones y características. Los paraboloides pueden ser elípticos o hiperbólicos dependiendo de si sus términos cuadráticos son positivos o negativos. Las secciones de un paraboloide elíptico con planos perpendiculares al eje son elipses, mientras que las secciones de un paraboloide hiperbólico con esos mismos planos son hipérbolas. El documento también incluye ejemplos
Resolviendo problemas de composicion de funciones en Algebra SuperiorGuzano Morado
Aquí presento los detalles de cómo entender y redactar las demostraciones de que si f y g son funciones inyectivas, también su composición es inyectiva. Y lo mismo para la suprayectividad.
Este documento define relaciones y funciones. Explica que una relación conecta conjuntos de objetos y debe cumplir condiciones como el orden para ser una función. Las funciones mapean cada elemento de un conjunto a otro de forma unívoca y se clasifican como inyectivas, suprayectivas o biyectivas dependiendo de la correspondencia entre conjuntos. También describe funciones algebraicas y trascendentes según su regla de correspondencia.
El documento presenta los conceptos básicos de las funciones, incluyendo el reconocimiento de funciones en diagramas, tablas de valores y gráficos, la clasificación de funciones como sobreyectivas, inyectivas y biyectivas, y los elementos característicos de una función como el dominio, codominio e imagen. Se proveen ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos.
Tema1 numeros reales y propiedades -algebraBrian Bastidas
Este documento presenta los números reales y sus propiedades. Explica que los números reales son la unión de los números racionales e irracionales. Los racionales pueden expresarse como fracciones y tienen parte decimal periódica, mientras que los irracionales tienen parte decimal infinita y no periódica. También cubre temas como expresiones racionales, polinomios, operaciones con números reales como adición, sustracción, multiplicación, división, exponentes y radicales.
Este documento presenta el currículum de Eduardo Espinoza Ramos, un matemático peruano graduado en Matemática Pura. Ha sido catedrático de las principales universidades de la capital y ha publicado varios libros y artículos sobre álgebra lineal. El documento incluye la portada y el prólogo de su libro sobre álgebra lineal, en el que explica los temas que serán tratados en cada capítulo.
Clasificacion de los conjuntos y subconjuntos como tambien las formas de resolver problemas, como se usan adecuadamente y las propiedades que conlleva estos temas.
El documento describe conceptos matemáticos relacionados con pares ordenados y el producto cartesiano. Explica que un par ordenado consiste en dos elementos denotados por (a, b) y se define formalmente como (a, b) = {{a}, {a, b}}. Luego, introduce el concepto de producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado por A × B, y provee ejemplos y propiedades de este concepto. Finalmente, presenta algunos ejercicios sobre estos temas.
El documento explica las integrales triples, que se usan para calcular volúmenes, masas y otros valores físicos. Define la integral triple y explica cómo calcularla mediante integrales iteradas o para encontrar el volumen de un sólido. Luego, presenta ejemplos resueltos de cálculo de volúmenes usando integrales triples.
Matriz asociada a una transformacion linealalgebra
Una transformación lineal f entre espacios vectoriales de dimensiones finitas n y m se puede asociar a una matriz A de dimensión m x n. La matriz representa la transformación y su rango es igual a la dimensión de la imagen de f. Cambiar la base de un vector equivale a multiplicar sus coordenadas por una matriz de cambio de base.
Este documento presenta una guía sobre integrales de superficie y sus aplicaciones. Incluye una breve introducción a superficies paramétricas, planos tangentes, áreas de superficies y diferentes tipos de integrales de superficie. Contiene ejemplos resueltos y propuestos, así como teoremas importantes como el de Stokes y el de Gauss. El autor ofrece esta guía para apoyar la enseñanza del cálculo vectorial en ingeniería.
El documento describe los operadores anuladores y su relación con las funciones diferenciables. Explica que un operador anula una función si al aplicarlo a la función da como resultado cero. Por ejemplo, el operador diferencial D anula a funciones constantes y x. También cubre la factorización de operadores diferenciales lineales y cómo determinar el operador que anula funciones específicas como una suma de funciones exponenciales y trigonométricas.
Este documento presenta aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo integrales dobles y triples. Discute aplicaciones geométricas como el cálculo del área de una figura plana y volúmenes de sólidos. También cubre aplicaciones físicas como el cálculo de masa, momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo del área de diferentes regiones usando integrales dobles.
Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado
El documento trata sobre las ondas y sus características. Explica que una onda es una perturbación que se propaga transportando energía pero no materia, y que en cualquier punto de su trayectoria hay una oscilación periódica alrededor de una posición de equilibrio. También clasifica las ondas según su medio de propagación, su dirección, su periodicidad y más.
Este documento describe tres casos para resolver ecuaciones de Cauchy-Euler. El primer caso trata de raíces reales distintas, donde las soluciones son x^m1 y x^m2. El segundo caso son raíces reales repetidas, donde la solución es x^m. El tercer caso son raíces complejas conjugadas, donde las soluciones son e^αxcosβx y e^αxcosβx. Se provee un ejemplo para cada caso.
Este documento presenta un resumen de los números complejos. Introduce los números complejos como soluciones a ecuaciones cuadráticas que involucran raíces cuadradas de números negativos. Explica que los números complejos pueden expresarse como la suma de una parte real y una parte imaginaria. Además, describe las operaciones básicas con números complejos como suma, resta, multiplicación y división. Finalmente, introduce otras formas de representar números complejos como la forma polar y la forma exponencial.
Clasificación de las ecuaciones diferencialesjesusamigable
Este documento clasifica las ecuaciones diferenciales en tres categorías: por tipo, por orden y por linealidad. Por tipo, divide las ecuaciones en ordinarias y parciales. Por orden, define el orden como la derivada más alta en la ecuación. Por linealidad, explica que una ecuación lineal es aquella donde la variable dependiente y sus derivadas aparecen solo al primer grado y los coeficientes dependen solo de la variable independiente.
Este documento presenta una introducción a los conjuntos. Define los conceptos básicos de conjunto, pertenencia, igualdad e inclusión de conjuntos. También introduce operaciones como la unión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos, y establece algunas de sus propiedades fundamentales. Finalmente, asume la existencia de un conjunto universo de referencia U.
Este documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica que los grafos se utilizan para modelar situaciones mediante una representación simplificada que considera solo las características relevantes. Define formal e informalmente los conceptos de vértices, aristas y grafos. Luego introduce otras definiciones como vértices adyacentes, grado de un vértice y representaciones matriciales de grafos. Finalmente, aborda conceptos como caminos, ciclos, grafos regulares e isomorfismos.
Una matriz es una tabla de números ordenados en filas y columnas. Existen diferentes tipos de matrices como triangulares, bandadas, simétricas y diagonales. Se pueden realizar operaciones como suma y multiplicación con matrices siempre y cuando tengan la misma dimensión.
1) El documento describe el cálculo del volumen de sólidos de revolución mediante el método del disco. 2) Explica cómo determinar el volumen sumando los volúmenes de cilindros circulares rectos de corta altura (discos) que forman el sólido al girar una región plana alrededor de un eje. 3) También cubre cómo calcular el volumen cuando la región gira alrededor de un eje paralelo al eje x pero distinto, así como el cálculo para sólidos huecos.
Este documento describe las integrales impropias, las cuales extienden el concepto de integral definida a funciones definidas en intervalos no acotados o no acotadas. Discute las integrales impropias de primera especie, donde el intervalo de integración es infinito pero la función está acotada, y las integrales impropias de segunda especie, donde la función no está acotada. También presenta criterios para determinar la convergencia de estas integrales impropias.
Este documento presenta información sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica ejemplos de funciones exponenciales con diferentes bases y cómo evaluarlas. Luego introduce la función exponencial natural y cómo evaluarla. Finalmente, cubre definiciones y propiedades de funciones logarítmicas, incluidas leyes de logarítmos y cómo usarlas para evaluar y combinar expresiones logarítmicas.
Este documento describe las ecuaciones de segundo grado y sus gráficas correspondientes a secciones cónicas. Explica que las ecuaciones de segundo grado en x e y tienen la forma general Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Luego presenta un teorema sobre cómo rotar los ejes de coordenadas para reescribir esta ecuación y un ejemplo de cómo encontrar la ecuación canónica de una cónica dada. Finalmente, introduce el concepto de discriminante y cómo se puede usar para clasificar las cónicas en elipses
Ecuaciones reducibles a variables separablesArkantos Flynn
Este documento presenta cómo reducir ecuaciones diferenciales a variables separables mediante sustituciones. Explica que si una ecuación diferencial tiene la forma dy/dx = f(x,y), entonces puede reducirse a variables separables haciendo la sustitución z = ax + by + c. Proporciona demostraciones y ejemplos para ilustrar el proceso de reducción y resolución de este tipo de ecuaciones diferenciales.
El documento presenta varios ejercicios sobre espacios vectoriales. En el primer ejercicio, se demuestra que el conjunto de todos los polinomios es un espacio vectorial. En el segundo ejercicio, se muestra que los elementos neutro y simétrico de un espacio vectorial son únicos. En el tercer ejercicio, se determina cuáles de varios subconjuntos de polinomios de grado 2 son subespacios de este espacio vectorial.
El documento describe conceptos matemáticos relacionados con pares ordenados y el producto cartesiano. Explica que un par ordenado consiste en dos elementos denotados por (a, b) y se define formalmente como (a, b) = {{a}, {a, b}}. Luego, introduce el concepto de producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado por A × B, y provee ejemplos y propiedades de este concepto. Finalmente, presenta algunos ejercicios sobre estos temas.
El documento explica las integrales triples, que se usan para calcular volúmenes, masas y otros valores físicos. Define la integral triple y explica cómo calcularla mediante integrales iteradas o para encontrar el volumen de un sólido. Luego, presenta ejemplos resueltos de cálculo de volúmenes usando integrales triples.
Matriz asociada a una transformacion linealalgebra
Una transformación lineal f entre espacios vectoriales de dimensiones finitas n y m se puede asociar a una matriz A de dimensión m x n. La matriz representa la transformación y su rango es igual a la dimensión de la imagen de f. Cambiar la base de un vector equivale a multiplicar sus coordenadas por una matriz de cambio de base.
Este documento presenta una guía sobre integrales de superficie y sus aplicaciones. Incluye una breve introducción a superficies paramétricas, planos tangentes, áreas de superficies y diferentes tipos de integrales de superficie. Contiene ejemplos resueltos y propuestos, así como teoremas importantes como el de Stokes y el de Gauss. El autor ofrece esta guía para apoyar la enseñanza del cálculo vectorial en ingeniería.
El documento describe los operadores anuladores y su relación con las funciones diferenciables. Explica que un operador anula una función si al aplicarlo a la función da como resultado cero. Por ejemplo, el operador diferencial D anula a funciones constantes y x. También cubre la factorización de operadores diferenciales lineales y cómo determinar el operador que anula funciones específicas como una suma de funciones exponenciales y trigonométricas.
Este documento presenta aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo integrales dobles y triples. Discute aplicaciones geométricas como el cálculo del área de una figura plana y volúmenes de sólidos. También cubre aplicaciones físicas como el cálculo de masa, momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo del área de diferentes regiones usando integrales dobles.
Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado
El documento trata sobre las ondas y sus características. Explica que una onda es una perturbación que se propaga transportando energía pero no materia, y que en cualquier punto de su trayectoria hay una oscilación periódica alrededor de una posición de equilibrio. También clasifica las ondas según su medio de propagación, su dirección, su periodicidad y más.
Este documento describe tres casos para resolver ecuaciones de Cauchy-Euler. El primer caso trata de raíces reales distintas, donde las soluciones son x^m1 y x^m2. El segundo caso son raíces reales repetidas, donde la solución es x^m. El tercer caso son raíces complejas conjugadas, donde las soluciones son e^αxcosβx y e^αxcosβx. Se provee un ejemplo para cada caso.
Este documento presenta un resumen de los números complejos. Introduce los números complejos como soluciones a ecuaciones cuadráticas que involucran raíces cuadradas de números negativos. Explica que los números complejos pueden expresarse como la suma de una parte real y una parte imaginaria. Además, describe las operaciones básicas con números complejos como suma, resta, multiplicación y división. Finalmente, introduce otras formas de representar números complejos como la forma polar y la forma exponencial.
Clasificación de las ecuaciones diferencialesjesusamigable
Este documento clasifica las ecuaciones diferenciales en tres categorías: por tipo, por orden y por linealidad. Por tipo, divide las ecuaciones en ordinarias y parciales. Por orden, define el orden como la derivada más alta en la ecuación. Por linealidad, explica que una ecuación lineal es aquella donde la variable dependiente y sus derivadas aparecen solo al primer grado y los coeficientes dependen solo de la variable independiente.
Este documento presenta una introducción a los conjuntos. Define los conceptos básicos de conjunto, pertenencia, igualdad e inclusión de conjuntos. También introduce operaciones como la unión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos, y establece algunas de sus propiedades fundamentales. Finalmente, asume la existencia de un conjunto universo de referencia U.
Este documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica que los grafos se utilizan para modelar situaciones mediante una representación simplificada que considera solo las características relevantes. Define formal e informalmente los conceptos de vértices, aristas y grafos. Luego introduce otras definiciones como vértices adyacentes, grado de un vértice y representaciones matriciales de grafos. Finalmente, aborda conceptos como caminos, ciclos, grafos regulares e isomorfismos.
Una matriz es una tabla de números ordenados en filas y columnas. Existen diferentes tipos de matrices como triangulares, bandadas, simétricas y diagonales. Se pueden realizar operaciones como suma y multiplicación con matrices siempre y cuando tengan la misma dimensión.
1) El documento describe el cálculo del volumen de sólidos de revolución mediante el método del disco. 2) Explica cómo determinar el volumen sumando los volúmenes de cilindros circulares rectos de corta altura (discos) que forman el sólido al girar una región plana alrededor de un eje. 3) También cubre cómo calcular el volumen cuando la región gira alrededor de un eje paralelo al eje x pero distinto, así como el cálculo para sólidos huecos.
Este documento describe las integrales impropias, las cuales extienden el concepto de integral definida a funciones definidas en intervalos no acotados o no acotadas. Discute las integrales impropias de primera especie, donde el intervalo de integración es infinito pero la función está acotada, y las integrales impropias de segunda especie, donde la función no está acotada. También presenta criterios para determinar la convergencia de estas integrales impropias.
Este documento presenta información sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica ejemplos de funciones exponenciales con diferentes bases y cómo evaluarlas. Luego introduce la función exponencial natural y cómo evaluarla. Finalmente, cubre definiciones y propiedades de funciones logarítmicas, incluidas leyes de logarítmos y cómo usarlas para evaluar y combinar expresiones logarítmicas.
Este documento describe las ecuaciones de segundo grado y sus gráficas correspondientes a secciones cónicas. Explica que las ecuaciones de segundo grado en x e y tienen la forma general Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Luego presenta un teorema sobre cómo rotar los ejes de coordenadas para reescribir esta ecuación y un ejemplo de cómo encontrar la ecuación canónica de una cónica dada. Finalmente, introduce el concepto de discriminante y cómo se puede usar para clasificar las cónicas en elipses
Ecuaciones reducibles a variables separablesArkantos Flynn
Este documento presenta cómo reducir ecuaciones diferenciales a variables separables mediante sustituciones. Explica que si una ecuación diferencial tiene la forma dy/dx = f(x,y), entonces puede reducirse a variables separables haciendo la sustitución z = ax + by + c. Proporciona demostraciones y ejemplos para ilustrar el proceso de reducción y resolución de este tipo de ecuaciones diferenciales.
El documento presenta varios ejercicios sobre espacios vectoriales. En el primer ejercicio, se demuestra que el conjunto de todos los polinomios es un espacio vectorial. En el segundo ejercicio, se muestra que los elementos neutro y simétrico de un espacio vectorial son únicos. En el tercer ejercicio, se determina cuáles de varios subconjuntos de polinomios de grado 2 son subespacios de este espacio vectorial.
El documento introduce conceptos básicos sobre anillos y polinomios. Define un anillo como un conjunto en el que se pueden realizar operaciones de suma, resta y multiplicación siguiendo ciertas propiedades. Un polinomio se define como una expresión de la forma anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 donde los coeficientes ai pertenecen a un anillo A. Se muestra que el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en A, denotado A[x], también forma un anillo. Finalmente, se introducen conceptos como
Sabemos que la notación de conjuntos no interviene el orden en el que se pres...Niikolas Serrato
El documento describe diferentes tipos de conjuntos ordenados y sucesiones. Explica que un conjunto ordenado asigna un número ordinal a sus elementos para definir su posición, mientras que una sucesión es una función cuyos dominios son subconjuntos de los enteros positivos. También define progresiones aritméticas como sucesiones donde cada término se obtiene sumando una razón constante al anterior.
El documento presenta un trabajo de grado sobre la teoría de distribuciones y su aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales parciales. Introduce conceptos como espacios de funciones diferenciables Ck, propiedades de distribuciones como soporte y orden, y operaciones con distribuciones como multiplicación, derivación y convolución. Finalmente, aplica esta teoría para resolver la ecuación de ondas en Rt × R3x.
Este documento trata sobre estadística descriptiva y probabilidad. Se divide en cuatro capítulos que cubren estos temas: el capítulo 1 describe estadísticos descriptivos como la media, mediana y moda; el capítulo 2 cubre la relación entre dos variables numéricas mediante la covarianza y correlación; el capítulo 3 explica conceptos básicos de probabilidad como reglas, espacio muestral y sucesos; y el capítulo 4 trata sobre encuestas y proporciones usando el modelo binomial. Cada capítulo incluye definiciones, fó
Este documento trata sobre la suma de cuadrados y funciones aritméticas. En la primera sección se discute la representación de números como suma de cuadrados y formas cuadráticas. La segunda sección cubre funciones generatrices, series de Lambert, el triple producto de Jacobi y otras funciones relacionadas con la suma de cuadrados. La tercera sección introduce métodos de trascendencia como el lema de Siegel y el teorema de Hermite-Lindemann.
Este documento presenta los contenidos y objetivos de la Unidad 1 de Matemática sobre conjuntos numéricos y funciones. La unidad cubre temas como números reales, intervalos, topología en R, clasificación de puntos, conjuntos abiertos y cerrados, funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, y composición de funciones. Al finalizar la unidad, los estudiantes deberán poder resolver ecuaciones e inecuaciones, clasificar puntos y conjuntos, trabajar con diferentes tipos de funciones y representarlas gráficamente.
Este documento presenta un trabajo de grado sobre la teoría de distribuciones y su aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales parciales. En primer lugar, introduce conceptos básicos sobre espacios de funciones diferenciables y distribuciones. Luego, aplica la teoría de distribuciones para estudiar la ecuación de ondas en el espacio-tiempo, resolviendo el problema de Cauchy asociado. Finalmente, incluye una bibliografía con referencias utilizadas.
Este documento describe conceptos fundamentales de ortogonalidad en álgebra lineal, incluyendo producto interior, norma de vectores, ortogonalidad, proyecciones ortogonales, problemas de mínimos cuadrados y el proceso de Gram-Schmidt para ortogonalizar bases. Explica cómo encontrar bases ortonormales y diagonalizar matrices simétricas mediante este proceso.
Este documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con el acotamiento de conjuntos, incluyendo cotas superiores e inferiores, máximos y mínimos, supremos e ínfimos. También introduce el axioma del supremo, el cual establece que todo conjunto no vacío y acotado superiormente posee un supremo. Finalmente, se presentan algunas aplicaciones de este axioma, como definir la parte entera de un número real y demostrar propiedades de los números reales.
Este documento presenta definiciones relacionadas con el acotamiento de conjuntos, incluyendo cotas superiores e inferiores, máximos y mínimos, supremos e ínfimos. También introduce el axioma del supremo, el cual establece que todo conjunto no vacío y acotado superiormente posee un supremo. Finalmente, aplica estas nociones para definir la parte entera de un número real y establecer propiedades de los conjuntos de números naturales y reales.
Este documento introduce los números reales de forma axiomática. Define las propiedades algebraicas como la adición, multiplicación, división y potencias que cumplen los números reales. También introduce las propiedades de orden, definiendo los números positivos y negativos. Finalmente, demuestra algunos teoremas como que la raíz cuadrada de 2 no es un número racional y que la suma de raíces cuadradas es irracional.
Este documento introduce definiciones y teoremas relacionados con el axioma del supremo en los números reales. Define conceptos como cota inferior, cota superior, conjunto acotado, ínfimo, supremo, mínimo y máximo. Presenta ejemplos y propiedades de estos conceptos. Finalmente, enuncia el axioma del supremo, que establece que todo subconjunto no vacío y acotado superiormente de los reales tiene un supremo.
El documento introduce definiciones fundamentales sobre conjuntos acotados y sus supremo e ínfimo en los reales. Explica que todo subconjunto no vacío y acotado superiormente de los reales tiene un supremo, lo que se conoce como el axioma del supremo. Este axioma garantiza la existencia de ínfimos e implica importantes teoremas como la densidad de los racionales. Finalmente, propone ejercicios sobre cálculo de supremo e ínfimo de conjuntos y propiedades de estas operaciones.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad. Define experimentos aleatorios, espacios muestrales y eventos. Explica las operaciones entre eventos como unión, intersección y complemento. Introduce las nociones de probabilidad condicional, variables aleatorias discretas y continuas, y desigualdad de Chebyshev.
Tabla de integrales (integrales trigonometricas)waltergomez627
Este documento presenta una tabla de integrales inmediatas y la fórmula de integración por partes, y proporciona ejemplos de su aplicación. También explica cómo calcular integrales de funciones racionales mediante la factorización del denominador en fracciones simples. Finalmente, resuelve un ejemplo aplicando estos métodos para calcular la integral 2x+1/(x5+x4−x−1)dx.
El documento define un espacio vectorial como un conjunto no vacío V en el que se han definido operaciones de suma y producto por escalar que satisfacen 10 axiomas. Se explica que los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores y que deben cumplir propiedades como la cerradura bajo suma y producto por escalar, la existencia de un elemento neutro para la suma y de inversos para cada vector. Además, se proveen ejemplos como el conjunto de polinomios de grado menor o igual a 2 para ilustrar la definición.
ESPERAMOS QUE ESTA INFOGRAFÍA SEA UNA HERRAMIENTA ÚTIL Y EDUCATIVA QUE INSPIRE A MÁS PERSONAS A ADENTRARSE EN EL APASIONANTE CAMPO DE LA INGENIERÍA CIVIŁ. ¡ACOMPAÑANOS EN ESTE VIAJE DE APRENDIZAJE Y DESCUBRIMIENTO
La energía radiante es una forma de energía que
se transmite en forma de ondas
electromagnéticas esta energía se propaga a
través del vacío y de ciertos medios materiales y
es fundamental en una variedad naturales y
tecnológicos
Equipo 4. Mezclado de Polímeros quimica de polimeros.pptxangiepalacios6170
Presentacion de mezclado de polimeros, de la materia de Quimica de Polímeros ultima unidad. Se describe la definición y los tipos de mezclado asi como los aditivos usados para mejorar las propiedades de las mezclas de polimeros
6. CAPÍTULO
1 Supremo e Ínfimo de Conjuntos
1.1. Conjunto Acotado
Axiomas de Cuerpo: Dan sentido a igualdades o ecuaciones.
2x +1 = 3 ⇒ x = 1, 1 ∈ N
5x = 7 ⇒ x = 7
5
, 7
5
∈ Q
Axiomas de Orden: Necesarios para resolver inecuaciones o desigualdades.
5x < −2 ⇒ x = −2
5
, −2
5
∈ Q
Axiomas de Completitud: Para poder diferenciar los números reales de los números racionales.
¿Existe x ∈ R, tal que x2
= 2?
¿Existe x ∈ R, tal que x2
= 1? Si. x = 1 ó x = −1
Los racionales Q satisfacen los axiomas de cuerpo y orden. Se dice que Q es un cuerpo ordenado.
Observación
Sucesión
Define y desarrolla los procesos de límites.
1
n n∈N∗
N = {0,1,2,3,...}
N∗
= {1,2,3,...}
1
n n∈N∗ = 1, 1
2
, 1
3
, 1
4
,...
l´ım
n→∞
1
n
= 0
Definición 1.1.1. Sea A⊆ R no vacío diremos que A es acotado superiormente (inferiormente) si
existe un M (m) ∈ R tal que para todo a ∈ A, se verifique que a ≤ M (a ≥ m). Es decir
(∃M (m) ∈ R)(∀ a ∈ A) a ≤ M (a ≥ m))
A M se lo conoce como cota superior de A.
A m se lo conoce como cota inferior de A.
Figura 1.1: Supremo e Ínfimo
Se dice que A es acotado, si A es acotado superior e inferiormente, de lo contrario A no es acotado.
1
7. 2 1.2. SUPREMO E ÍNFIMO
Observación
Cualquier real mayor a M es una cota superior para A. Cualquier real menor a m es una cota inferior
para A.
1.2. Supremo e Ínfimo
Definición 1.2.1. Sea A un conjunto no vacío de R. Se dice que u ∈ R es supremo de A (extremo
superior de A), si:
1. u es cota superior de A.
2. Para toda cota superior v de A, se tiene que u ≤ v.
El supremo es el menor de las cotas superiores.
Notación: u = sup(A)
Definición 1.2.2. Sea A un conjunto no vacío de R. Se dice que w ∈ R es ínfimo de A (extremo inferior
de A), si:
1. w es cota inferior de A.
2. Para toda cota inferior x de A, se tiene que w ≥ x.
El ínfimo es el mayor de las cotas inferiores.
Notación: w = in f (A)
Observación
Notar que tanto el supremo como el ínfimo de un conjunto A no necesariamente pertenecen al
conjunto A.
Ejemplo
A={x ∈ R / 1 ≤ x < 5}. Sea CI=conjunto de todas las cotas inferiores de A: (−∞, 1], entonces
in f (A) = 1 ∈ A y CS = conjunto de todas las cotas superior de A: (5,∞), entonces sup(A) = 5 ∈ A
Si sup(A) ∈ A, entonces se lo conoce como máximo de A y de denotará como máx(A).
Si in f (A) ∈ A, entonces se lo conoce como mínimo de A y de denotará como mín(A).
Si A =
R=R∪{+∞}∪{−∞} (reales extendidos)
sup ( ) = −∞
in f ( ) = +∞
(Demostración por vacuidad).
Theorem 1.2.1. Sea A⊆ R no vacío, entonces el sup A y el inf A si existen son únicos.
Demostración:
(Unicidad Supremo de A.)
Supongamos que u1 y u2 son el supremo de A, entonces:
u1 es cota superior de A,
u1 ≤ v ∀ v cota superior de A
y
8. CAPÍTULO 1. SUPREMO E ÍNFIMO DE CONJUNTOS 3
u2 es cota superior de A,
u2 ≤ v ∀ v cota superior de A
como u1 = sup(A), entonces: 1) u1 ≤ u2
y como u2 = sup(A), entonces: 2) u2 ≤ u1
Así por 1) y 2) u1 = u2
(Unicidad) Ínfimo de A).
Supongamos que w1 y w2 son el ínfimo de A, entonces
w1 es cota inferior de A,
w1 ≥ x ∀ x cota inferior de A
y
w2 es cota inferior de A,
w2 ≥ x ∀ x cota inferior de A
como w1=inf A, entonces 1) w1 ≥ w2
y como w2=inf A, entonces 2) w2 ≥ u1
Por 1) y 2) w1 = w2
Axioma 1. (Axioma de Completitud.) Todo conjunto de R no vacío y acotado superiormente tiene
supremo.
Proposition 1.2.2. (Caracterización del Supremo. ) Sea A ⊆ R no vacío y acotado superiormente.
u = sup(A) ⇔
1) u es cota superior de A
2) (∀ > 0)(∃ a ∈ A) talque u − < a
Demostración:
(⇒) Supongo que u = sup(A). Por demostrar:
1) u es cota superior de A
2) (∀ > 0)(∃ a ∈ A) u − < a
Es fácil ver que 1) está demostrado pues u es el supremo de A, y así es una cota superior.
Ahora para demostrar 2)
Sea > 0. Por demostrar que ∃ a ∈ A) u − < a
Vamos a seguir una demostración basada en reducción al absurdo
Por contradicción (negar la tesis). Supongamos u = sup(A) y (∃ > 0)(∀a ∈ A) u − ≥ a . Luego
a ≤ u − (∀a ∈ A) . De donde u − es cota superior de A, y como u es el supremo de A, entonces
u ≤ u − es decir 0 ≤ − , con lo cual ≤ 0 ⇒⇐ contradicción pues > 0
Por lo tanto (∀ > 0)(∃ a ∈ A) u − < a es verdadera.
(⇐) Supongamos que:
1) u es cota superior de A
2) (∀ > 0)(∃ a ∈ A) u − < a
Por demostrar que: u = sup A, es decir que
1) u es cota superior de A
9. 4 1.2. SUPREMO E ÍNFIMO
2) u ≤ v ∀ v cota superior de A
Es trivial demostrar 1)
Ahora, sea v cota superior de A. Por demostrar que: u ≤ v
Por reducción al absurdo, supongamos que:
1) u es cota superior de A
2) (∀ > 0)(∃ a ∈ A) u − < a
y que existe v cota superior de A tal que u > v
Notemos que u − v > 0, con ello, consideremos = u − v > 0. Así, existe a ∈ A tal que u − < a
Por lo tanto, v < a ⇒⇐ contradicción pues v es cota superior de A.
Por lo tanto u ≤ v, ∀ v cota superior de A
Proposition 1.2.3. (Caracterización de ínfimo.) Sea A⊆ R no vacío y acotado inferiormente.
u = in f (A) ⇔
1) w es cota inferior de A
2) (∀ > 0)(∃ a ∈ A) talque w + > a
La demostración se deja como ejercicio para el lector
Theorem 1.2.4. Todo conjunto no vacío de R acotado inferiormente posee ínfimo.
Demostración:
Sea A⊆ R no vacío acotado inferiormente, definimos B = −A ={−a,a ∈ A }
B = , pues A = , (axiomas de cuerpo aseguran la existencia de conjuntos). Por demostrar que B es
acotado superiormente.
En efecto, como A es acotado inferiormente, existe m ∈ R, tal que m ≤ a ∀ a ∈ A ⇒ −m ≥ −a ∀ a ∈ A ⇒
−m ≥ b ∀ b ∈ B
Por el axioma del supremo, B posee supremo, llamémoslo u = sup(B) ⇔ u = sup(−A).
Veamos que u = −in f (A) ⇔ −u = in f (A). Mostremos que:
1) -u es cota inferior de A.
Como u = sup(B), ∀ b ∈ B b ≤ u ⇔ ∀ a ∈ A −a ≤ u ⇔ ∀ a ∈ A a ≥ −u
Por lo tanto -u es cota inferior de A.
2) Sea > 0 Por demostrar que (∃ > 0)(∀ a ∈ A) −u + > a . Como u = sup(B), entonces ∃ b ∈ B, tal
que u − < b ⇔ −u + > −b =: a
Tomando −b =: a se sigue el resultado.
Por lo tanto −u = in f (A)
Observación
Todo conjunto no vacío de R acotado posee un único supremo y un único ínfimo.
sup(−A) = −in f (A)
10. CAPÍTULO 1. SUPREMO E ÍNFIMO DE CONJUNTOS 5
Theorem 1.2.5. El conjunto de los números enteros positivos no es acotado.
Demostración:
Por reducción al absurdo. Supongamos que Z+
está acotado superiormente.
Como 1 ∈ Z+
(conjunto inductivo), entonces Z+
= , por axioma del supremo, existe sup(Z+
), es decir,
∀ a ∈ Z+
, a ≤ sup(Z+
)
Conjunto Inductivo
Se dice que A⊆ R es inductivo si:
1) 1 ∈ A
2) Si x ∈ A, entonces x +1 ∈ A
Como Z+
es un conjunto inductivo, entonces a +1 ∈ Z+
, luego
(∀ > 0)(∃ n ∈ Z+
) sup(Z+
)− < n
Tomando = 1, sup(Z+
)−1 < n1, entonces sup(Z+
) < n1 +1 ∈ Z+
⇒⇐, pues contradice el hecho de
que sup(Z+
) es cota superior para Z+
Corolario 1.2.6. (∀x ∈ R) (∃n = nx) : x < n (nx significa que no depende de x)
Demostración:
Por reducción al absurdo. Supongamos que (∃x ∈ R) (∀n ∈ Z+
) x ≥ n ⇒⇐, pues, de lo contrario Z+
sería acotado superiormente.
Corolario 1.2.7. (Propiedad Arquimediana de R) (∀x > 0)(∀y ∈ R)(∃n = n(x, y) ∈ Z+
) nx > y
Demostración:
Sean x > 0 e y ∈ R Por demostrar que ∃n = n(x, y) ∈ Z+
tal que nx > y
Definimos z =
y
x
, z ∈ R (bien definido), y por el corolario anterior, existe n = n(z) tal que z < n,
entonces
y
x
< n ⇔ y < nx
Proposition 1.2.8. (Caracterización de Cota Superior) u es cota superior de S ⇔ ∀t ∈ R tal que
t > u ⇒ t ∉ S
Demostración:
(⇒) Sea u cota superior de S. Por demostrar que ∀t ∈ R tal que t > u ⇒ t ∉ S
1) Como u es cota superior de S, entonces a ≤ u ∀a ∈ S
2) Sea t > u. Por demostrar que t ∉ S
Por 1) y 2) a ≤ u < t ∀a ∈ S, así t > a ∀a ∈ S Así t ∉ S
(⇐) Supongamos que ∀t ∈ R tal que t > u ⇒ t ∉ S Por demostrar que u es cota superior de S, es
decir demostrar que ∀a ∈ S, a ≤ u
Por reducción al absurdo, supongamos que ∃a∗ ∈ S tal que a∗ > u
Ahora tomemos t =: a∗ > u, entonces a∗ ∈ S ⇒⇐ Pues a∗ ∈ S, así por lo tanto u es cota superior de S ⇔
∀t ∈ R tal que t > u ⇒ t ∉ S
11. CAPÍTULO
2 Deberes
2.1. Lista 1
1. Sea M ⊆ R no vacío acotado inferiormente. Muestre que el ínfimo de A es único
Demostración:
Supongamos que W1 y W2 son ínfimos de A, es decir
W1 = in f (A) ≡
W1 es cota inferior de A
W1 ≥ u,ucota inferior de A
W2 = in f (A) ≡
W2 es cota inferior de A
W2 ≥ v ,v cota inferior de A
luego, W2 es cota inferior de A, por tanto
W1 ≥ W2
pero W1 tambien es cota inferior de A
W2 ≥ W1
Así, por tricotomía se tiene que W1 = W2
2. Sea A ⊆ R no vacío y acotado inferiormente, demuestre que
w = in f (A) ⇔ 1 . w es cota suoerior de A
2 .(∀ε > 0)(∃aε ∈ A) : w +ε > aε
Demostración:
(⇒) Supongamos que
w = in f (A)
Se tiene que 1 es verdadero por la definición de ínfimo.
Para probar 2, razonemos por el absurdo, es decir, voy a suponer que
(∃ε > 0) (∀a ∈ A) | w +ε < a
luego, w +ε es una cota inferior de A, así
w > w +ε
lo cual es imposible pues ε > 0
(⇐) Supongamos que
(1) w es cota inferior de A
6
12. CAPÍTULO 2. DEBERES 7
(2) (∀ε > 0) (∃aε) | w +ε > aε
Voy a probar que
w = in f (A) ≡
3. w es cota inferior de A
4. w ≥ u,u cota inferior de A
Uno es trivial. Para probar dos, supongamos por contradicción que existe u que es cota inferior
de A tal que
w < u
entonces
−w +u > 0
Sea ε = −w +u tenemos que
w +(−w +u) > aε
aε < u
lo cual es imposible pues u es cota inferior de A.
3. Sea a un número primo. Muestre que no existe x ∈ Q tal que x2
= a.
Demostración:
Por contradicción supongamos que existe x ∈ Q tal que x2
= a, tenemos entonces que existen p y
q en Q con q = 0 tal que
x =
p
q
donde p y q son primos relativos, así
x2
=
p2
q2
como x2
= a se tiene
a =
p2
q2
⇔ p2
= aq2
(1)
es decir p2
es múltiplo de a. Notemos que p puede escribirse de manera única como producto de
sus factores primos, de manera que
p = f 1f 2f 3f 4f 5... ⇒ p2
= f 1f 1f 2f 2f 3f 3f 4f 4...
necesariamente uno de los factores de p2
es a, es decir
p2
= f 1f 1f 2f 2...aa...f n f n ⇒ p = f 1f 2...a...f n
luego, p es también múltiplo de a, por tanto puede escribirse como p = ak donde k es el producto
de los demás factores que no son a, así junto con (1)
(ak)2
= aq2
⇐⇒ ak2
= q2
en consecuencia, q2
es múltiplo de a, por lo que también q es múltiplo de a. Es decir hemos
llegado a demostrar que p y q son múltiplos de a, lo que contradice nuestra hipótesis de ser
primos relativos entre si.
13. 8 2.1. LISTA 1
4. Densidad de los números Irracionales: Sean x, y con x < y. Muestre que existe t ∈ I tal que
x < t < y
Demostración:
Sabemos de la densidad de Q en R que existen r,s en Q tal que
x < r < s < y ⇒ s −r > 0
Sea w > 0 con w ∈ I, se tiene
w
s −r
> 0
así por la propiedad arquimediana de los números reales, existe n ∈ N tal que
n >
w
s −r
entonces,
1
n
<
s −r
w
⇐⇒ s >
w
n
+r (1)
por otro lado, n y w son mayores a cero, luego
w
n
> 0 ⇒ r < r +
w
n
(2)
de (1) y (2)
r < r +
w
n
< s
⇒ x < r < r +
w
n
< s < y
⇒ x < r +
w
n
< y
Resta probar que r + w
n es un número irracional, para ello hay que probar que
w
n
∈ I
Pero esto es verdad ya que si suponemos que w
n
es un número racional, entonces w ∈ Z y n ∈ Z con
n = 0, lo cual es imposible pues w ∈ I. Además teniendo en cuenta que la suma de un número
racional y un irracional da como resultado un número irracional, entonces podemos concluír
r +
w
n
∈ I
5. Sean A,B ⊆ R no vacíos, se define C = A +B = {a +b : a ∈ A,b ∈ B}. Muestre que si A y B están
acotados inferiormente, entonces C está acotado inferiormente y
in f (C) = in f (A)+in f (B)
Demostración:
En primer lugar, C no es vacío pues A y B son distintos del vacío.
Por demostrar :
14. CAPÍTULO 2. DEBERES 9
(1) in f (A)+in f (B) es cota inferior de C
(2) (∀ε > 0)(∃c ∈ C) : in f (A)+in f (B)+ε > c
Como A y B son acotados, se tiene
a > in f (A) (∀a ∈ A) b > in f (B) (∀a ∈ A)
si sumanos ambas desigualdades
a +b > in f (A)+in f (B) (∀a ∈ A),(∀b ∈ B)
pero a +b ∈ C, entonces C es acotado inferiormente.
Aplicando la caracterización del supremo a los conjuntos A y B, tenemos
(∀ε > 0)(∃a ∈ A) : in f (A)+ε > a
y
(∀ε > 0)(∃b ∈ B) : in f (B)+ε > b
de donde,
in f (A)+in f (B)+2ε > a +b
sea ˜ε = 2ε obtenemos
in f (A)+in f (B)+ ˜ε > a +b
pero a+b pertenece a C.
6. Sean A,B ⊆ [0,+∞] no vacíos. Se define AB = {ab : a ∈ A,b ∈ B}. Muestre que si A y B están
acotados superiormente, entonces AB lo está también y
sup(AB) = sup(A)sup(B)
Demostración:
En primer lugar, AB no es vacío pues A y B son distintos del vacío.
Para mostrar sup(AB) = sup(A)sup(B) mostraré que
(1) sup(AB) ≤ sup(A)sup(B)
(2) sup(AB) ≥ sup(A)sup(B)
Como A y B están acotados superiormente,
0 ≤ a ≤ sup(A) (∀a ∈ A)
0 ≤ b ≤ sup(B) (∀b ∈ B)
además, al ambas desigualdades der mayores que cero, se tiene
0 ≤ ab ≤ sup(A)sup(B) (∀a ∈ A),(∀b ∈ B)
pero ab ∈ AB, así AB está acotado superiormente, luego
sup(AB) ≤ sup(A)sup(B)
15. 10 2.1. LISTA 1
Por otro lado,
sup(AB) ≥ ab
supongamos que a = 0 y que sup(B) = 0, entonces
sup(AB)
1
a
≥ b (∀b ∈ B)
es decir, sup(AB)(1
a
) es cota superior de B, luego
sup(B) ≤
sup(AB)
a
⇔ a <
sup(AB)
sup(B)
⇒ sup(A) ≤
sup(AB)
sup(B)
Por tanto,
sup(A)sup(B) ≤ sup(AB)
En el caso de que sup(B) = 0, entonces B = {0}, así,
sup(A)sup(B) ≤ sup(AB)
7. Usando la propiedad arquimediana de R muestre que si x, y,z ∈ R satisfacen que x ≤ z ≤ x+
y
n
para todo n ∈ N entonces z = x.
Demostración:
Supongamos que existen x, y,z ∈ R tal que
x ≤ z ≤ x +
y
n
(∀n ∈ N) (1)
y por contradicción supongamos también z = x, por tricotomía solo nos quedarían dos posibili-
dades
z > x ∨ z < x
Primer caso:
Supongamos que
z < x
Esto es falso pues contradice nuestra hipótesis.
Segundo caso:
Supongamos que z > x, entonces
z − x > 0
por la propiedad arquimediana de los números reales, existe m ∈ N tal que
m(z − x) > y ⇔ z >
y
m
+ x (2)
16. CAPÍTULO 2. DEBERES 11
ahora, de (1) tenemos
z ≤ x +
y
n
(∀n ∈ N)
en particular si n = m
z < x +
y
m
lo que contradice a (2).
Del primer y segundo caso concluímos que z = x.
8. Sean a > 0 y S ⊆ R no vacío y acotado. Muestre que sup(aS) = a · sup(S).
Demostracion:
Supongamos que S es acotado y a > 0, entonces
a · sup(S) ≥ as (∀s ∈ S)
es decir, a · sup(S) es cota superior de aS. (1)
Me resta mostrar que (∀ε > 0)(∃asε ∈ aS) : a · sup(S)−ε < a · sε, para ello, sea ε > 0, debido a que
S es acotado se tiene que existe sε ∈ S tal que
sup(S)−
ε
a
< sε
entonces,
a · sup(S)−
ε
a
· a < asε
⇔ a · sup(S)−ε < asε (2)
Por la caracterización del supremo, de (1) y (2) se tiene
sup(aS) = a · sup(S)
9. Sea S ⊆ R conjunto de números reales no negativos que está acotado por arriba y t := {x2
: x ∈
S}.
a) Muestre que si u = sup(S), entonces u2
= sup(T )
b) Dé un ejemplo que muestre que la conclusión puede ser falsa si se elimina la hipótesis de que
S es un conjunto de reales no negativos.
Demostracion:
Parte a)
Definamos el conjunto
S ·S := {x · x : x ∈ S}
notemos que S ·S = T , así por el ejercicio 6, tenemos que como S es acotado tiene supremo y
sup(S ·S) = sup(T ) = sup(S)sup(S)
Sea u = sup(S) se tiene que
sup(T ) = u2
17. 12 2.2. LISTA 2
Solución:
Parte b)
Sea A := {−1,−2}, es claro que A es diferente del vacío pues −1 ∈ A, y además
sup(A) = −1
Por otro lado, sea T := {t2
: t ∈ A}, es decir,
T = {1,4}
tenemos que
sup(T ) = 4
entonces sup(T ) = sup2
(A), ya que
4 = (−1)2
⇔ 4 = 1
10. Sea S ⊆ R no vacío. Muestre que
(u ∈ R es cota superior de S ) ⇔ (∀t ∈ R : t > u ⇒ t ∉ S)
Demostracion
⇒) Sea
(1) S ⊆ R no vacío
(2) u ∈ R es cota superior de S
por reducción al absurdo, supongamos que
((∀t ∈ R) : t > u)∧ t ∈ S (3)
como t ∈ S, entonces de (2) t ≤ u, lo que contradice a (3), así,
t ∉ S
(⇐) Sea
(1) S ⊆ R no vacío
(2) (∀t ∈ R : t > u ⇒ t ∉ S)
por contradicción supongamos que u no es cota superior de S, es decir, para todo u ∈ R existe
s ∈ S tal que
s > u (3)
así debido a (2)
s ∉ S
lo que contradice a (3).
Existe una caracterización similar para una cota inferior de S, si es así, enuncielo y demues-
trelo
No existe, pues este resultado es un corolario que se deriva de la caracterización de cotas superiores.
18. CAPÍTULO 2. DEBERES 13
2.2. Lista 2
1. Sean A y B dos conjuntos acotados de R
a) Muestre que A∪B es acotado y:
sup(A∪B) = max {sup(A); sup(B)}
inf(A∪B) = min {inf(A); inf(B)}
Solución:
Suponemos que si A y B están acotados ⇒ tienen supremo ⇒
∃sup(A) = µ
∃sup(B) = ν
Es decir que:
µ a ∀ a ∈ A y ν b ∀ b ∈ B
Además, por definición sabemos que A∪B={x : x ∈ A ∨ x ∈ B}. Entonces x µ ∨ x ν lo
que nos permite suponer que A∪B está acotado.
19. CAPÍTULO
3 Matrices
3.1. Definición
Érase una vez...
3.2. Tipos de matrices
Bla bla bla
3.2.1. subsección1
Ble ble ble
3.2.1.1. subsubsección1
Bli bli bli
párrafo1 Blo blo blo ncasa
cas
faff
afaf
afaf
afaf
afaf
caslldas d
adsd
dadad
asdad
jajsasas
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