Aquí presento los detalles de cómo entender y redactar las demostraciones de que si f y g son funciones inyectivas, también su composición es inyectiva. Y lo mismo para la suprayectividad.

1. Resolviendo problemas de
composición de funciones en
álgebra superior
Aquí expondré algunas demostraciones acerca
de composición de funciones; con la finalidad de
dar mayor claridad a este tipo de demostraciones.
Espero les agrade la presentación.
Por: Gato de Angora, profesor particular y estudiante de
matemáticas en la UNAM.
gatodeangora_78@hotmail.com
gatodeangora@ciencias.unam.mx
www.facebook.com/matematicasdelgato

2. Sean f: A-->B y g: B-->C
Vamos a demostrar que:
(1) Si f y g son inyectivas, su composición también
lo es.
(2) Si f y g son suprayectivas, su composición
también lo es.

3. (1) Si f y g son inyectivas entonces g ◦ f es inyectiva.
Debemos comenzar suponiendo que tenemos 2 funciones f y g inyectivas.
Luego ver que su composición también es inyectiva.
Veamos qué es lo que implican nuestras hipótesis.
Como f y g son inyectivas, tenemos que:
f ( x 1 )=f ( x 2 ) → x 1 =x 2
y además
g( perro)=g( gato) → perro=gato
Esto es solamente la definición de función inyectiva (lo de perro y gato solo es
para ver que esto vale para elementos cualquiera a los que se apliquen g).
Necesitamos demostrar que la composición de f con g es también inyectiva,
es decir:
g (f ( x 1 )) = g(f ( x 2 )) → x 1=x 2

4. Esto es nuestro “por demostrar”, osea a lo que queremos llegar. Y para demostrar
una implicación, sabemos que se debe suponer el antecedente. Así que
supongamos que
g (f ( x 1 )) = g(f ( x 2 ))
Y entonces necesitamos demostrar el consecuente:
Estamos suponiendo que
x 1 =x 2
g (f ( x 1 )) = g(f ( x 2 ))
y de aquí debemos sacar conclusiones. Pero observamos que esta expresión
significa que a 2 elementos se les aplica g y son iguales. Por la magia de la
hipótesis, como g es inyectiva, esto significa que (como si de perros y gatos se
tratase):
f ( x 1 )=f ( x 2 )
Pero nuevamente la magia de la hipótesis, si ya estamos diciendo que
f ( x 1 )=f ( x 2 )
entonces como f es inyectiva, se deduce que: x 1 =x 2
Pero todo este rollo de que x 1 =x 2 viene desde que hemos supuesto que
g (f ( x 1 )) = g(f ( x 2 ))
Y esto es justamente lo que queríamos demostrar, pues esto significa que f
compuesta con g es inyectiva.

5. Nuestra demostración queda algo como esto:
Demostrar que si f y g soninyectivas , entonces g ∘ f esinyectiva.
Dem.
Supongamos que f y g son inyectivas. Esto significa:
f ( x 1 )=f ( x 2 ) → x 1 =x 2
y
g ( y 1 )=g( y 2 ) → y 1= y 2
Supongamos que g( f ( x 1 ))=g (f ( x 2 )) para x 1 y x 2 en el dominio de A
Como g es inyectiva por hipótesis , se tiene que f ( x 1 )=f ( x 2 )
Pero como f es inyectiva por hipótesis , se tiene que x 1 =x 2
.⋅. g(f ( x 1 ))=g( f ( x 2 )) → x 1 =x 2
.⋅. g∘ f es inyectiva.

6. (2) Si f y g son suprayectivas entonces g ◦ f es suprayectiva.
Debemos suponer que f y g son funciones suprayectivas, y de
aquí poder demostrar que su composición tambien lo es.
Veamos lo que significan nuestras hipótesis.
Que f sea suprayectiva, significa que para cualquier elemento en
el codominio de f (en el conjunto B), existe un elemento en su
dominio (conjunto A) tal que quedan correspondidos. Dicho de otro
modo, todo elemento en B está en pareja con uno de A. Que g sea
suprayectiva, significa que todo elemento de C (codominio de g)
tiene una pareja en B (dominio de g).

7. Lo que debemos demostrar es que para todo elemento
en la imagen de g(f(x)) existe un elemento en el dominio
de A que le corresponda.
Entonces, como se debe probar para todo elemento “z”
en la imagen de g(f(x)), comenzamos diciendo:
Sea z∈C
Luego, como g es suprayectiva (por hipótesis) entonces
existe un “y” en B tal que g(y)=z. Pero para esta “y”
también existe una x tal que f(x)=y ya que f es
suprayectiva (por hipótesis). Por tanto ya podemos decir
que para toda z en C, existe una x en A tal que g(f(x))=z.

8. La demostración queda algo así:
Demostrar que si f y g son suprayectivas , g ∘ f también es suprayectiva.
Dem.
Sea z ∈C
Como g es suprayectiva , por hipótesis ;∃ y ∈B tal que g( y )= z
Pero para esta y , por ser f suprayectiva ( por hipótesis):
∃ x ∈ A tal que f ( x)= y
.⋅. ∀ z ∈C ∃ x ∈ A tal que g(f ( x))=z
.⋅. g ∘f es suprayectiva.

9. Y ya =D

10. Y ya =D