Este documento introduce definiciones y teoremas relacionados con el axioma del supremo en los números reales. Define conceptos como cota inferior, cota superior, conjunto acotado, ínfimo, supremo, mínimo y máximo. Presenta ejemplos y propiedades de estos conceptos. Finalmente, enuncia el axioma del supremo, que establece que todo subconjunto no vacío y acotado superiormente de los reales tiene un supremo.

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0.1 Axioma del supremo
El conjunto de los números racionales cumple con la propiedades de cuerpo
y de orden que se cumplen en , sin embargo en tal conjunto no podemos dar
respuesta a la existencia de un número para el cual se cumpla
x2 = 2
es por eso que necesitamos dar otro axioma en , antes debemos introducir
algunas definiciones.
Sea S ⊆ , definimos:
Definición 0.1.1 Se dice que un número real a es cota inferior de S si a ≤ s
para todo s ∈ S. Si existe alguna cota inferior para S diremos “S está acotado
inferiormente”.
Definición 0.1.2 Se dice que un número real b es cota superior de S si b ≥ s
para todo s ∈ S. Si existe alguna cota superior para S diremos “S está acotado
superiormente”.
Definición 0.1.3 Si S es acotado superior e inferiormente diremos que es un con-
junto acotado.
Ejemplo 0.1.4 Sea S = ]−1, 3[ ∪ [4, 5] entonces a = −2 es cota inferior para S. En
efecto, si s ∈ S entonces −1 < s < 3 ∨ 4 ≤ s ≤ 5 se sigue −2 ≤ s sea cual sea el
s ∈ S. Similarmente a = −1.5, a = −3, a = −1 son cotas inferiores de S. a = 7/2
no es cota inferior de S pues existe un elemento de S (por ejemplo s = 1) que es
estrictamente menor que a .
Al encontrar una cota inferior, de inmediato podemos decir que el conjunto
es acotado inferiormente, note también que si a es una cota inferior de un con-
junto S entonces todo j ≤ a también será cota inferior.
Ejemplo 0.1.5 Sea A = x ∈ : x = n para algún n ∈
1
= 1, 2 , 3 , ... . b = 2 es
1 1
una cota superior para A pues si n ∈ entonces n ≥ 1 de donde obtenemos
1 ≥ 1/n para cada n ∈ , se sigue que cualquier elemento del conjunto es menor
que 1 y así menor que 2. 1 también es cota superior. Ningún número menor que
1 es cota superior, ya que 1 ∈ A.
Al encontrar una cota superior, de inmediato podemos decir que el con-
junto es acotado superiormente, note también que si b es una cota superior de
un conjunto S entonces todo b con b ≤ b también será cota superior.
Definición 0.1.6 Un número real m se dice mínimo de un conjunto S si m ∈ S y
m ≤ s para todo s ∈ S. Se escribe entonces m = min (S).
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Definición 0.1.7 Un número real M se dice máximo de un conjunto S si M ∈ S
y M ≥ s para todo s ∈ S. Se escribe entonces M = max (S).
Ejemplo 0.1.8 Sea A = [0, 1] entonces m = 0 es un mímino, pues 0 ∈ A y para
cada x ∈ A se tiene 0 ≤ x . Note que a = −1 es cota inferior pero no es el mínimo
porque no esta en el conjunto. En este mismo ejemplo M = 1 es máximo de A,
1 ∈ A y para cada x ∈ A se cumple x ≤ 1.
Ejemplo 0.1.9 Sea A = [−1, 5[ entonces m = −1 es un mímino, pues −1 ∈ A
y para cada x ∈ A se tiene −1 ≤ x . Este conjunto no tiene máximo, note que
5 ∈ A pero se cumple x < 5 para cada elemento en el conjunto, es decir 5 es cota
superior pero no esta en el conjunto, ningún número mayor que 5 puede ser el
maximo al no estar en el conjunto, si −1 < b < 5 entonces el elemento b +5 ∈ A
2
y b < b +5 luego b no es máximo. Claramente si b ≤ −1 no puede ser el máximo
2
basta tomar 2 ∈ A para tener una contradicción.
Si el máximo existe entonces es único: Si M 1 y M 2 son dos máximos del
conjunto S entonces se sumple que M 1 ∈ S y M 2 ∈ S pero al ser M 1 un máximo
en particular se cumple para cada s ∈ S, s ≤ M 1 en particular para s = M 2 se
tiene
M2 ≤ M1
similarmente, al ser M 2 un máximo se cumple
M1 ≤ M2
de ambos se obtiene M 1 = M 2 .
Definición 0.1.10 Un número real a se dice infimo de un conjunto S si es la
mayor de las cotas inferiores de S. Es decir, si a ≤ s para todo s ∈ S y cada a > a
no es cota inferior de S, verificándose que a > s para algún s ∈ S . En este caso
se escribe a = inf (S).
Definición 0.1.11 Un número real b se dice Supremo de un conjunto S si es la
menor de las cotas superiores de S. Es decir, si s ≤ b para todo s ∈ S y cada b < b
no es cota superior de S, verificándose que b < s para algún s ∈ S. En este caso
se escribe a = supS.
Ejemplo 0.1.12 Si A = ]1, 2[ entonces el conjunto de las cotas inferiores de A es
]−∞, 1] (cualquier elemento de este conjunto es una cota inferior) se ve que la
mayor de todas ellas es x = 1 luego 1 = inf A. El conjunto de las cotas superiores
de A es [2, ∞[ luego la menor de las cotas superiores es 2 se sigue que 2 = sup A.
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Ejemplo 0.1.13 Si B = [−1, 3[ entonces el conjunto de las cotas inferiores de A
es ]−∞, −1] (cualquier elemento de este conjunto es una cota inferior, incluso el
−1) se ve que la mayor de todas ellas es x = −1 luego −1 = inf A. El conjunto de
las cotas superiores de A es [3, ∞[ luego la menor de las cotas superiores es 3 se
sigue que 3 = sup A.
• El supremo no necesariamente esta en el conjunto, es decir, no necesari-
amente es el máximo del conjunto.
• El ínfimo no necesariamente esta en el conjunto, es decir, no es necesari-
amente el mínimo del conjunto.
• Si existe un máximo el será el supremo del conjunto
• Si existe el mínimo el será el ínfimo del conjunto.
Proposición 0.1.14 Sea A un conjunto no vacío de entonces
inf A ≤ sup A
Demostración: Si a ∈ A entonces a ≤ sup A pues sup A es cota superior,
además inf A ≤ a pues inf A es cota inferior.
Proposición 0.1.15 Si A ⊆ B y A = entonces
inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B
Demostración: Note que si x ∈ A entonces x ∈ B se sigue que para cada
x ∈A
inf B ≤ x ≤ sup B
(inf B es cota inferior de B y sup B es cota superior), se sigue que inf B es cota
inferior de A y sup B es cota superior de A. Como inf A es la mayor de las cotas
inferiores de A se sigue
inf B ≤ inf A
y como sup A es la menor de las cotas superiores
sup A ≤ sup B
pero por la propiedad anterior
inf A ≤ sup A
juntando las desigualdades obtenemos
inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B
Ya estamos en condiciones de dar el axioma que caracteriza a :
Axioma del supremo: Todo subconjunto de no vacío y acotado superior-
mente tiene un supremo. (el supremo es un número real)
Este axioma implica lo siguiente:
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Proposición 0.1.16 Todo subconjunto de no vacío y acotado inferiormente
tiene un ínfimo. (el ínfimo es un número real)
Demostración: Sea A un conjunto no vacío y acotado inferiormente, defi-
namos −A = {−a : a ∈ A} entonces −A es no vacío y acotado superiormente
(note que si l era cota inferior de A entonces l ≤ a para cada a ∈ A eso implica
−l ≥ −a para cada a ∈ A, se sigue −l es cota superior de −A). Por el axioma
del supremo existeel supremo de −A y denotemoslo por sup (−A), este número
cumple con ser la menor de las cotas superiores de −A se sigue que para cada
−a ∈ −A se cumple
−a ≤ sup (−A)
entonces, para cada a ∈ A se tiene
a ≥ − sup (−A)
mostremos que en realidad
inf A = − sup (−A)
ya sabemos que − sup (−A) es cota inferior, si j > − sup (−A) entonces −j <
sup (−A), de la definición de supremo se sigue que debe existir un elmento
−a ∈ −A tal que
−j < −a < sup (−A)
se sigue que
j > a > − sup (−A)
luego cualquier número mayor que − sup (−A) no es cota inferior de A , se sigue
que − sup (−A) es la mayor cota inferior, es decir el ínfimo, de donde obtenemos
inf A = − sup (−A)
Como es de esperar, este axioma tiene importantes concecuencias entre las
cuales podemos nombrar las siguientes:
Teorema 0.1.17 El conjunto de los naturales no es acotado superiormente en .
Demostración. Supongamos que esta acotado superiormente en , como es
no vacío, por el axioma del supremo existiría un real
K = sup
ahora bien, K − 1 no es cota superior pues K es la menor de las cotas inferiores,
se sigue que existe un n ∈ tal que K −1 < n se sigue sumando a ambos lados de
la igualdad que K < n + 1 pero n + 1 es un natural, entonces K no puede ser el
supremo, esto es una contradicción que viene de suponer acotado, se sigue que
no puede ser acotado en .
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Teorema 0.1.18 Para cada x > 0 existe un n ∈ tal que 0 < 1/n < x .
Demostración. Suponga que existiera un x > 0 tal que para cada n ∈
1
x≤
n
entonces se cumpliría
n ≤ x −1
para todos los naturales, es decir, estaría acotado en lo que sabemos no puede
ser.
Teorema 0.1.19 Para cada x ∈ existe un k ∈ tal que k ≤ x < k + 1 (este
entero es llamado la parte entera de x y generalmente se denota por [x ])
Teorema 0.1.20 Si x ,y son dos reales con x < y entonces existe un racional P =
n/m tal que
x <p <y
(esta propiedad es llamada densidad de los racionales en , nos dice en todo
intervalo no degenerado de la recta real existen racionales)
El axioma del supremo puede ser utilizado para garantizar la existencia de
raíces de reales. Sea b ∈ + entonces
n
b = sup {x ∈ : 0 ≤ x ∧xn ≤ b}
0.1.1 Ejercicios propuestos
1. Determinar supremo e infimo de los siguientes conjuntos (si es que exis-
ten)
(a) x∈ : x2 < 3
(b) x∈ : x 2 − x + 1 > −2
(c) {0.3, 0.33, 0.333, ...}
(d) {−1/n : n ∈ }
2. Sean A, B subconjuntos de no vacíos y acotados superiormente. Defina
el conjunto
A B = {a b ∈ : a ∈ A ∧ b ∈ B }
demostrar que en general
sup (A B ) = sup A sup B
pero que si A y B contienen solo reales positivos entonces si se cumple la
igualdad. Muestre también que si sup A < 0 y sup B < 0 entonces
inf (A B ) = sup A sup B
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3. Sean A, B subconjuntos de no vacíos y acotados superiormente. Defina
el conjunto
A + B = {a + b ∈ : a ∈ A ∧ b ∈ B }
demostrar que
sup (A + B ) = sup A + sup B
¿Qué pasa con los ínfimos?
4. Sean A, B subconjuntos de no vacíos y acotados. Decidir cuales de las
siguientes propiedades son verdaderas y demostrarlas y encontrar con-
traejemplos para las falsas.
(a) sup (A ∩ B ) ≤ inf sup A, sup B
(b) sup (A ∩ B ) = inf sup A, sup B
(c) sup (A ∪ B ) ≥ sup sup A, sup B
(d) sup (A ∪ B ) = sup sup A, sup B
5. Sean A, B subconjuntos de no vacíos y acotados. ¿Es verdad que sup A =
sup B y inf A = inf B implican A = B ?
6. Utilizando el último teorema y la irracionalidad de 2 muestre que si
x , y ∈ y x < y entonces existe un irracional ξ tal que
x <ξ<y
x y
Ind.: Con el teorema insertar un racional r entre 2
y 2
, mostrar que
r 2 es irracional.
7. S es un conjunto acotado si y solo si existe un número real J > 0 tal que
S ⊆ [− J , J ].
8. Muestre que si el mínimo existe es único.
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