Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos matemáticos como determinación de conjuntos, subconjuntos, intersección y unión. Incluye ejemplos y problemas resueltos sobre conjuntos finitos e infinitos, diagramas de Venn y cardinalidad de conjuntos potencia.

1. Lic. Julia Anavel Pintado Córdova Conjuntos MATEMATICA.1ero

2. Pertenencia Subconjuntos

3. CONJUNTO Reunión o agrupación de elementos, objetos que tienen una característica en común, están representados dentro de cualquier figura geométrica cerrada.

4. Determinación de Conjuntos Un conjunto se determina por extensión y comprensión. Por Extensión : Por Comprensión: Se nombran los elementos uno a uno. Se define por una característica común de sus elementos. A={a, e, i, o, u} A={x/x es una vocal} B={12;13;14;15} B={x/x E N Ʌ 11< x < 16}

5. 2 E A 6 E B 4 Ɇ A 7 E C 3 E A 2 Ɇ C 6 E C 5 E B 4 E B 3 E B 7 Ɇ A 7 Ɇ B

6. x / x E N, 15 < x < 16 Vacio: No tiene elementos:{} o Ø Unitario: Un elemento Finito: Se puede contar sus elementos. Infinito: No se puede contar sus elementos. Universal: Contiene a todos los demás conjuntos .

7. N C M O Ȼ N M Ȼ O N Ȼ O O C M M Ȼ N Un conjunto es subconjunto cuando todos sus elementos están dentro de otro mayor.

8. La intersección son los elementos que se repiten en ambos conjuntos. Se denota A ∩ B . La unión e es la reunión de los elementos de ambos conjuntos. Se denota A U B .

9. CONJUNTOS

10. P1 . Determina por extensión el siguiente conjunto: P={x / x E N, es impar y 2 < x ≤ 11} SOLUCIÓN Observamos que el conjunto p esta formado por números impares mayores que 2 y menores o iguales que 11. Entonces el conjunto P es. P={3;5;7;9;11 }

11. P2. Determina por extensión el siguiente conjunto: L= {a + b / a e N Y 3 ≤ a < 5} SOLUCIÓN Observamos que los valores que puede tomar “a” son 3 y 4. Re emplazamos estos valores en la expresión a+1 y hallamos los elementos de L: 3+1= 4 y 4+1=5 Entonces: L={4; 5 }

12. P3. Determina por comprensión utilizando la notación conjuntista y grafica el siguiente conjunto: M= {28; 29; 30;…;35 Observamos que el conjunto M esta formado por los números naturales mayores que 27 y menores que 36. Entonces el conjunto M lo podemos definir mediante la notación conjuntista así: M={x/x E N, 27 < x < 36} SOLUCIÓN .28 .29 .30 .31 .32 .33 .34 .35 M

13. P4. Representa gráficamente utilizando diagramas de Veen y determina por extensión y comprensión. a) el conjunto T de los múltiplos de 10 mayores que 31 y menores que 64. b) El conjunto R de los múltiplos de 3 mayores que 15 y menores que 34. SOLUCIÓN .40 .50 .60 .18 .21 .27 .30 .24 .33 T R T= {x/x E N, 39 < X < 64 Ʌ x es múltiplo de 10} T={40; 50; 60} R= {x/x E N, 16 < X < 34 Ʌ x es múltiplo de 3} T={40; 50; 24; 27; 30; 33}

14. P5. La profesora pregunta a Jorge¿ A qué clase de conjunto pertenecen los ovnis o platillos voladores, si nunca los ha visto, ni se sabe a ciencia cierta que existen . SOLUCIÓN como no se sabe a ciencia cierta que existen entonces será un conjunto vacio y se denota de la siguiente manera: {} o Ø.

15. P6. Si C={x/x E N, 20<x<25}, D= { /x E N, 22<x<27}. Graficar y Hallar C – D , D – C. SOLUCIÓN C – D: D - C: C - D= {21; 22} D - C= {25; 26} C={21; 22; 23; 24} D={23; 24; 25; 26} C={21; 22; 23; 24} D={23; 24; 25; 26}

16. P7. Si C= {21; 22; 23; 24} y D= {23; 24; 25; 26} Hallar C D: SOLUCIÓN C={21; 22; 23; 24} C={23; 24; 25; 26} C D= (C - D) U (D- C) D C= {21, 22; 25; 26} C - D= {21; 22} D - C= {25; 26} Entonces:

17. P8. De 48 estudiantes de una aula a 40 le gusta Razonamiento Matemático, a 15 les gusta Razonamiento Matemático y Razonamiento Verbal. ¿A cuantos alumnos les gusta solo Razonamiento Matemático y a cuantos les gusta solamente Razonamiento Verbal? ¿A cuantos les gusta razonamiento Verbal? SOLUCIÓN U=48 RM:40 RM y RV=15 a)¿ A cuantos les gusta solo RM? 40 - 15 = 25 les gusta sólo RM. b)¿ A cuantos les gusta solo RV? 25 + 15 + x = 48 40 + x = 48 x = 48 - 40 x = 8 les gusta sólo RV. c)¿ A cuantos les gusta RV? 15 + 8 = 23 les gusta RV.

18. P9. De los 31 días del mes de julio José salió con María 18 días y con Rosa salió 20 días ¿Cuántos días salió José con las dos? SOLUCIÓN U= 31 M= 18 R= 20 18 - x + x + 20 – x = 31 38-x= 31 38-31= x x= 7 José salió con las dos 7 días. 18 - x 20 - x x M R U=31

19. P11. En una encuesta aplicada a 100 jóvenes se obtuvieron los siguientes resultados, 62 practican fútbol , 52 practican vóley, 48 juegan básquet, y 12 practican los 3 deportes. Si además se sabe que 27 practican vóley y fútbol, 22 practican vóley y básquet y 25 practican fútbol y básquet ¿Cuántos practican sólo un deporte? SOLUCIÓN U=100 V F B Si 12 practican los 3 deportes, entonces practican sólo 2 deportes: Vóley y fútbol: 27 – 12 = 15 Vóley y básquet: 22 – 12 = 10 Fútbol y básquet: 25 – 12 = 13 Observamos y deducimos que juegan : Sólo fútbol: 62-(15+12+13)=22 Sólo básquet: 48-(13+10+12)=13 Practican solo un deporte: 22+15+13= 50 jóvenes. Todas las secciones suman 100. U=100 F,V y B=12 F=62 V y F=27 V=52 V y B=22 B=48 F y B=25

20. CONJUNTOS

21. PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE CONJUNTOS(1) 1. Determina por extensión los siguientes conjuntos: A = {x / x E N y 0 < x < 10} B = {x / x E N, es impar y x < 11} D = {x / x E N 1 ≤ x ≤ 25} E = {x / x E N, x = 5° Ʌ x < 30} F = {2 + 1 / x E N Ʌ 5 < X < 9} 2. Determina por comprensión los siguientes conjuntos: M = {1; 3; 5; 7; 9; 11} N = {2, 4; 6; 8…} O = {1; 2; 4; 8; 16} P = {10; 20; 30; 40; 50} R = {primavera, verano, otoño, invierno}

22. PROBLEMAS PROPUESTOS (2) 3. Representa mediante un diagrama de Venn los siguientes conjuntos : a) H = {x / x E N y 10 < x < 20} b) I = {x / x E N y 12 ≤ x ≤ 16} c) J = {x / x E N, múltiplos de 3 y x < 14} d) L = {x / x es número impar entre 13 y 21} e) K = {x / x E N, divisores de 48} 4. Observa el diagrama y responde y representa simbólicamente : .36 .49 .64 .16 .25 D

23. PROBLEMAS PROPUESTOS (3) 5 . Observa el diagrama y responde: a) ¿Cuáles son los elementos del conjunto R? b) ¿Cuáles son los elementos del conjunto S? c) ¿Cuáles son los elementos del conjunto T? d) ¿Cuáles son los elementos que pertenecen a R y T?

24. PROBLEMAS PROPUESTOS (4 ) 6. Observa el diagrama anterior y completa con E o Ɇ. a) 3 ___T f) 11 ___ T b) 2 ___ R g) 3 ___ R c) 1 ___ S h) 5 ___ T d) 3 ___ S i) 1 ___ T e) 12 ___ T j) 4 ___ S 7. Clasifica cada uno de los conjuntos en: finito, infinito, vacio, unitario. a) A={a, b, c, d…z} b) B={x/x E N y 8 < x < 9} c) G={x/x E N, es par y 150 < x < 154} d) H={3,6;9,12… } e) R={x/x E N y x es múltiplo de 5}

25. PROBLEMAS PROPUESTOS (5) 8. Si X={1;2 ;3; 4; 5; 6}, Y={2;4,6} y Z={x/x E N, 1 ≤ x ≤ 6} Indica cuales de los siguientes enunciados son verdaderos (V) y cuales son falsos (F). a) 5 E X ( ) d) Y Ȼ Z ( ) b) Y C X ( ) e) Ø C X ( ) c) 3 E Y ( ) f) X = Z ( ) 9. Halla el número de elementos de los conjuntos A, B, C, D, E y F, si: card P(A) = 64 card P(D) = 32 card P(B) = 512 card P(E) = 16 card P(C) = 4 card P(F) = 8

26. PROBLEMAS PROPUESTOS (6) 10. ¿ Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de B, si B = {x/x E N, 7 ≤ x < 12? 11. ¿Qué pares de conjuntos son iguales? A = {x / x E N Ʌ 1 ≤ X ≤ 4} E = {2; 3; 4} B = {x / x E N Ʌ 3 < X < 4} F = {1; 2; 3; 4} C = {x / x E N Ʌ 1 < X < 4} G= { } D = {x / x E N Ʌ 1 < X ≤ 4} H= {2; 3} 12.Halla el valor de x para que estos conjuntos sean unitarios. M = {7; x} O = {3x - 1; 14} N = {2x; 10} Z = {x/2 – 1; 9} L = {x+4; 12} P = {2x/3; 6}

27. PROBLEMAS PROPUESTOS (7) 13. Considera los conjuntos: A = {x / x E N Ʌ 17 ≤ x < 25} B = {x / x E N Ʌ x < 10} a) Completa el diagrama b) Si el conjunto referencial es N escribe por extensión: c B c (AUB) c (A∩B)

28. PROBLEMAS PROPUESTOS (8) 14. Las regiones sombreadas representan: a) (L B ∩ N) U (M U L) / (O ∩ S) U (R ∩ S) b) (M ∩ N) U (M ∩ L) / (S U (O ∩ R) c) (M - N) U (N - M) / (R - O) U (O ∩ S) d) (M U N) - L / (O U R) ∩ S 15. Dados los conjuntos A={2;4;6;8;10},B={6; 8; 9}. Hallar A B.

29. PROBLEMAS PROPUESTOS (9) 16. Si A ∩ B = {3; 5} A = {1; 3; 5; 7} Escribe tres posibles conjuntos B que satisfagan la intersección. 17. Si M={1; 2; 3; 4; 5} N={2; 4; 6; 8} y Q={1; 2; 3; 7; 8; 9}. Resuelve gráficamente, comprueba y responde. a)¿M U N = N U M? b)¿Es (M U N) ∩ Q = (M ∩ Q) U (N ∩ Q)? 18. En un salón de 40 alumnos se observó que 25 aprobaron matemáticas, 15 aprobaron lenguaje y 10 no aprobaron ninguno de los dos cursos. ¿Cuántos aprobaron los dos cursos ? 19. En una encuesta a 25 niños, 15 prefieren ver dibujos animados , 6 prefieren ver dibujos y salir a jugar. ¿Cuántos niños sólo prefieren jugar?

30. PROBLEMAS PROPUESTOS (10) 20. De 100 personas que leen por lo menos dos de tres revistas: A,B,C; se observa que 40 leen las revistas y A y B, 50 leen B y C y 60 leen A y C ¿Cuántas personas leen las tres revistas? 21. En una sección de 45 alumnos , 24 juegan fútbol, de los cuales 12 sólo juegan fútbol, 23 juegan básquet y 8 sólo básquet; 19 juegan vóley y 5 sólo vóley . Además 5 juegan fútbol , básquet y vóley, y 9 juegan fútbol y básquet. a) ¿Cuántos juegan fútbol y vóley? b) ¿Cuántos juegan básquet y vóley? c) ¿Cuántos juegan fútbol y no básquet ? d) ¿Cuántos juegan vóley y no básquet? Nunca digas no puedo, con practica y esfuerzo todo se puede lograr .