Todas las operaciones se resuelven de izquierda a derecha. Si existen signos de agrupación, primero se efectúan todas las operaciones que se encuentran dentro de éstos. Si hay dos o más signos de agrupación, uno dentro de otro, se realizan las operaciones de adentro hacia afuera.

1. SEMESTRE ACADÉMICO 2014-II
“Firmes en nuestro compromiso de alcanzar nuestra
visión de ser competitivos e innovadores para tener
acreditación internacional y contribuir al desarrollo
sostenido.”
NÚMEROS REALES
ECUACIONES
PRIMER
y SEGUNDO GRADO
1
MATEMÁTICA BÁSICA

2. CONTENIDOS
Sistema de Números Reales
Propiedades de los R
Propiedades de igualdad Propiedades de Orden
Propiedades para la suma y multiplicación
Ejercicios
2
Ecuaciones
Ecuaciones de 1er. y 2do. grado.
Ejercicios

3. -2;
3
Sistema de Números Reales
El conjunto de los números Reales es el conjunto formado
por la unión del conjunto de los números Racionales con el
conjunto de los números Irracionales .Es decir :
R = Q U Q’
6
2
πZ
N
Q Q’

4. 4
 = ....-2;-1;0;1;2;3;....
 = 1;2;3;....
Zahlen = Número (alemán)
= / a,b y b 0
a
b
 
  
 
Quotient
Un número Irracional tiene una expresión
decimal infinita no periódica
2 1,41421356... 3,14159..... e = 2,718281... 
Un número es Racional si y solo si su expresión decimal es periódica

5. 5
NÚMEROS REALES
NÚMEROS
RACIONALES
NÚMEROS
IRRACIONALES
NÚMEROS
ENTEROS
ENTEROS
POSITIVOS CERO
ENTEROS
NEGATIVOS
NÚMEROS
NATURALES

6. 6
REGLA BÀSICA DE LOS SIGNOS
OPERACIÓN SIGNOS DE
NUMEROS
ACCIÓN SIGNO DEL
RESULTADO
ADICION
SUSTRACCIÓN
IGUALES
DIFERENTES
SUMAR
VALOR
ABSOLUTO
RESTAR
VALOR
ABSOLUTO
EL MISMO
EL SIGNO DEL
NÚMERO QUE
TIENE EL
MAYOR VALOR
ABSOLUTO
MULTIPLICACIÓ
N
IGUALES
MULTIPLICA
R
POSITIVO (+)
DIFERENTES NEGATIVO (-)
DIVISIÓN
IGUALES
DIVIDIR
POSITIVO (+)
DIFERENTES NEGATIVO(-)

7. 7
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Propiedades
DE
IGUALDAD
REFLEXIVA
SIMÉTRICA
TRANSITIVA
SUSTITUCIÓN
todo número a
a = a

si a = b b =a
ejemplo 2 = x x= 2


si a = b y b =c a = c
a + c =d
b + c =d
si a = b
Propiedades
DE ORDEN
TRANSITIVA
TRICOTOMIA
, y ca b 
, y ca b 
si a < b y b < c a < c
Al comparar a y b se cumple una
sola condición :
a < b ; a > b o a = b

8. 8
PROPIEDADES PARA LA SUMA Y MULTIPLICACIÓN
DE LOS NÚMEROS REALES
Cerradura
Conmutativa
Asociativa
Identidad
(a + b) 
a+b = b+a
( a+b ) + c = a+( b+c )
PROPIEDAD
DISTRIBUTIVA
Inverso
Por la Izquierda
a + 0 = a
SUMA
a + ( - a) = 0
MULTIPLICACIÓN
(a . b) 
( a . b ) . c = a .( b . c )
a. b = b. a
a . 1 = a
1
a . ( ) = 1 a 0
a

a .( b + c ) = a .b + a .c
( ) . .a b c a c b c  Por la derecha

9. 9
OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
Son aquellas operaciones básicas del álgebra y la
aritmética como la adición, sustracción, multiplicación,
división, potenciación y radicación.
ORDEN OPERATIVO
Las operaciones se realizan en el siguiente orden
1. Potenciación y radicación
2. Multiplicación y división
3. Adición y sustracción

10. 10
NOTA:
• Todas las operaciones se resuelven de
izquierda a derecha.
• Si existen signos de agrupación, primero se
efectúan todas las operaciones que se encuentran
dentro de éstos.
• Si hay dos o más signos de agrupación, uno
dentro de otro, se realizan las operaciones de adentro
hacia afuera.

11. 11
EJEMPLOS
1
3 +
1
3
1
1
5


1.-)
1 1 1 6
6 9 12 7
1
8
1
4
 
   
 

2.-)
2 1
2 2
5 10
+7
5 2




3.-)
  
  
2 3
67 4
10 10
+10
10 10


4.-)
3x22x21x2
1x2x3x
222
444
A





5.2.3
3.2.5.2.3
44
32222
5.-) 6.-)

12. ECUACIONES
Son igualdades de dos expresiones algebraicas.
Ejemplo: 4x + 7 = x - 5
SOLUCION DE UNA ECUACIÓN
Son todos los valores que satisfacen la igualdad, estos valores son
llamados raíces
ECUACIÓN NUMÉRICA
2X – 6 = 8
ECUACIÓN LITERAL
a x + b = 0
CLASIFICACIÓN
DE ACUERDO A SUS COEFICIENTES:

13. DE ACUERDO A SU FORMA
ECUACIÓN
RACIONAL
ENTERA
Los exponentes
de las variables
son números
naturales
4x 3 + 5x = 5
ECUACIÓN
RACIONAL
FRACCIONARIA
Si la variable está
en el denominador
ECUACIÓN
IRRACIONAL
Si la variable está
dentro del radical
6
2
31




xx
x
31  xx

14. DE ACUERDO AL GRADO DE LA INCÓGNITA
ECUACIÓN DE
PRIMER GRADO
El mayor exponente
de la incógnita es 1
4 x + 6 = 7
ECUACIÓN DE
SEGUNDO GRADO
El mayor exponente
de la incógnita es 2
X 2 + 6x - 8 = 0
ECUACIÓN DE N
GRADO
Ax n + b = 0
A x n + b = 0
DE ACUERDO A SUS SOLUCIONES
COMPATIBLES
(Admiten solución)
INCOMPATIBLES
(No admiten solución)
2x = 2x - 8DETERMINADAS
Soluciones únicas
x 2 - 1 = 0
INDETERMINADAS
Soluciones
indeterminadas
3x – ( x – 1 ) = 2x + 1

15. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE
Toda ecuación de primer grado tiene la forma:
a x + b = 0 ; Donde: x es la incógnita
a y b son coeficientes ( a, b Є R Λ a ≠ 0)
Término independiente
Término lineal

16. CONDICIÓN CLASE DE ECUACIÓN RAIZ
Compatible
Determinada
Única
Compatible
Determinada
Nula
Compatible
Indeterminada
Varias raíces
Incompatible o absurda No tiene solución
: 0 b 0 x = -
b
si a
a
   
0
: 0 b= 0 x = 0si a
a
   
: 0 b = 0 0x = 0si a   
: 0 b 0 0x = -bsi a    

17. PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1. Eliminar todos los signos de agrupación que aparezcan ,
comenzando por el más interno resolviendo las operaciones indicadas
2. Se reduce la ecuación al m.c.m. si es fraccionaria
3. Se reducen términos semejantes en cada miembro si hubieran

18. 4. Se agrupan términos lineales trasladándolos a un miembro
(generalmente al primero), y los términos independientes al otro
miembro de la ecuación para luego reducir nuevamente términos
semejantes
5. Despejamos la incógnita, obteniendo así la solución
6. Comprobamos si la solución satisface la ecuación propuesta, es decir si
se verifica la igualdad.

19. Ejemplo: Resolver las siguientes ecuaciones:
•
•
•
•
•

20. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado o cuadrática es de
la forma:
; donde:0
2
 cbxax Rcba y, 0a
Término cuadrático
Término lineal
Término independiente

21. 21
COMPLETAINCOMPLETA
ECUACIONESDESEGUNDOGRADO
2
2
2
2
2
2
Si c=0 ax +bx=0
Ejem: 2x -2x = 0
Si b = 0 ax +c=0
Ejem : 2x 4 0
Si c=b=0 ax =0
Ejem : 16x 0


 


2
2
0 ; 0 c 0
a 0
: 4 8 +4=0
Si a b
x bx c
Ejemplo x x
   
  


22. ECUACIONES COMPLETAS: Se puede resolver a
través de los siguientes métodos:
a) Factorización: se factoriza a través del aspa
simple.
Ejemplo:
Resolver:
Factorizando por aspa simple:
2x 3 3x
x -1 -2x
x
032 2
 xx
032 2
 xx

23. Los factores son:
Igualando cada factor a cero:
Resolviendo se obtiene:
El conjunto solución es:
1;
2
3
 xx
 1;.
2
3
SC
0)1)(32(  xx
01;032  xx

24. b) Completando cuadrados
24
2
2
2
1
4 1
4 4 3
( 2) 3
2 3
4 4
2 3
2 3
x x
x x
x
x
x
x
    
  
 
  
  
  
2
4 1 0x x  Resolver :
Sol:.
 2 3; 2 3CS     

25. Completando cuadrados
25
Resolver:
2
2 6 1 0x x  
Sol:.
   
2 2
2 1
2
2
2
3
1
3
2
2
2
3 0
1
3
2
3 11
( )
2 4
3 11
2 2
3 11
2
3 11
2
3 11 3 11
;
2 2
x x
x x
x
x
x
x
CS
  
  
 
  
 

 

     
  




26. c) Fórmula General:
Si una ecuación de segundo grado no puede
ser factorizada por el aspa simple, entonces
se emplea la fórmula general.
donde: a,b y c є R, son los coeficientes de la
ecuación, y a ≠ 0
2
4
2
b b ac
x
a
  


27. Ejemplo:
Resolver:
Los valores de a, b, y c son:
Luego: = = =
Entonces: y
El conjunto solución es:
0682 2
 xx
6,8,2  cba
)2(2
)6)(2(4)8()8( 2

x 4
48648 
4
168 
4
48 
4
48
1

x
4
48
2

x
1
2
3
1
 xx
 3;1. SC

28. Sus raíces son: Sus raíces son: Sus raíces son:
ECUACIÓN INCOMPLETA: las ecuaciones de segundo grado
pueden tomar formas incompletas de acuerdo al valor nulo
de sus coeficientes. Así tenemos:

29. Para su solución se pueden utilizar los métodos de factorización o
despejando la variable “x”, según lo requiera el caso. Ejemplos:

30. Sea la ecuación cuadrática , definimos su discriminante
por:
Entonces las raíces son:
el uso del discriminante nos permite conocer el número y tipo de raíces reales que se
pueden obtener de una ecuación de segundo grado sin necesidad de resolverla. Así
tenemos:

31. Ejemplos:
Hallar el discriminante de las siguientes y su respectivo conjunto solución:
Hallar el C.S. de esta ecuación, si:
y1
2
b D
x
a
 
 2
2
b D
x
a
 

1 2x x
 . .c s 
0D 

32. PROPIEDADES FORMA
Suma de raíces
PROPIEDADES FORMA
Producto de
raíces
1. Calcular la suma de las raíces: 1. Calcular el producto de las
raíces de:
PROPIEDADES DE LAS RAICES DE UNA ECUACIÓN
DE SEGUNDO GRADO:
Estas propiedades se utilizan, evitando resolver la ecuación:
Ejemplos:

33. FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN
DE SEGUNDO GRADO:
Consiste en calcular la suma “S” y el producto “P” de las
raíces, luego se reemplazan estos dos valores en la siguiente
formula:
Ejemplo 1: Formar una ecuación de segundo grado, considerando que sus
raíces son: -7 y 15.
Ó
2
x -Sx+P= 0
1 2 1 2 1 2Si: x 7 =15 S= x + x P= x . x
S= (-7)+(15) P=(-7)(15)
S= 8 P= -105
x    
2
1 2 1 2x - (x + x )x+ (x .x ) = 0

34. Recuerda la forma:
Ejemplo 2: Hallar las raíces de una ecuación de segundo
grado, considerando que la suma de estas es - 12 y su
producto 35.
2
x -Sx+P
Si : S= -12 P=35

35. 35
TRABAJO EN EQUIPO