Este documento presenta conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo la noción de conjunto, notación de conjuntos, determinación de conjuntos, relación de pertenencia, conjuntos especiales como el conjunto vacío y universal, diagramas conjuntistas, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad y disyunción, y clases de conjuntos como finitos e infinitos.

1. Teoría de Conjuntos Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza

4. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO a) Por extensión o en forma tabular Ejemplo.- Determinar, por extensión, el conjunto A cuyos elementos son los números naturales impares menores que 9. Determinar un conjunto es listar o indicar , sin ambigüedades, los términos o condiciones mediante los cuales un elemento dado es o no integrante de dicho conjunto. Un conjunto se determina por extensión cuando se listan, o enumeran, uno a uno sus elementos, o se da una fórmula que define la secuencia de éstos. A =  1; 3; 5; 7; 9  Rpta:

5. b) Por comprensión o en forma constructiva Ejemplo.- A =  x | x es un dígito impar menor que 9  Un conjunto se determina por comprensión cuando se enuncia a sus elementos por medio de una propiedad o cualidad común a ellos y que le es válida únicamente a éstos. Un conjunto por comprensión se denota así: A = { x | x tiene cierta propiedad} que se lee: « A es el conjunto de todos los elementos x tal que x tiene cierta propiedad» El símbolo | (barra vertical) se lee: «tal que» y el símbolo « x » se llama variable .

6. Llamamos relación de pertenencia a la correspondencia que existe entre un objeto, llamado elemento , y un conjunto, de modo que el primero forma parte del segundo. Si un objeto « x » es elemento de un conjunto A , es decir, si A tiene a « x » como uno de sus elementos, se escribe: x  A , que se lee: « x pertenece a A », o « x está en A » Si por el contrario, un objeto « x » no es elemento de un conjunto A , es decir, si A no tiene a « x » entre sus elementos, se escribe: x  A Obsérvese que la relación de pertenencia va de un objeto a otro, donde el segundo es necesariamente un conjunto y el primero puede o no ser un conjunto. Ejemplo.- Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = { a; { b; c }} , entonces se puede afirmar que: 1  A ; 2  A ; 3  A ; a  B ; { b; c }  B RELACIÓN DE PERTENENCIA Asimismo podemos afirmar que: a  A ; 2  B.

7. CONJUNTOS ESPECIALES CONJUNTO VACÍO Ejemplo 2 : A = { x   | x < 5  x > 10 } Representación: se denota comúnmente como:  o { }. A =  El conjunto vacío es el conjunto que no tiene elementos. Ejemplo 1.- Sea A un conjunto cuyos elementos son los campeonatos mundiales de fútbol ganados por el Perú durante el siglo XX. Como Perú no ganó ningún campeonato en dicho periodo, este conjunto no tiene ningún elemento, luego: A = { } , o , A =  CONJUNTO UNITARIO Ejemplo: B = { x   | 3 x  1 = 14 } Es el conjunto que posee un único elemento. B = { 5 }

8. CONJUNTOS ESPECIALES CONJUNTO UNIVERSAL Ejemplo.- Sean los siguientes conjuntos: A = {1; 3; 5; 7; 9} y B = {0; 2; 4; 6; 8} Un conjunto universal o referencial se elige de manera arbitraria de acuerdo a la situación particular que se esté estudiando. En el ejemplo anterior se ha supuesto que solo existen los conjuntos A y B . Dados el conjunto A o más conjuntos, el conjunto universal o de referencia de A , denotado por  , es otro conjunto cuyos elementos son todos los elementos de los conjuntos dados. Construir el conjunto universal de los conjuntos A y B . Rpta:  = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

12. Ejemplo 1.- Sean los conjuntos P = {1; 3; 5} y Q = {1; 2; 3; 4; 5} Como todo elemento de P también pertenece a Q concluimos que P es subconjunto de Q y se denota: P  Q Ejemplo 2.- ¿ Es el conjunto R = {2; 3; 4} un subconjunto del conjunto S = {4; 3; 2}? En efecto, todo elemento de R : 2; 3 ó 4, también pertenece a S .  R  S Obsérvese que, en este ejemplo, también podemos decir que S está incluido en R . Rpta. SÍ

13. Se establece que A es subconjunto propio de B , denotado por A  B , si todo elemento de A es elemento de B , y existe al menos un elemento de B que no le pertenece a A . La condición de existencia: «al menos un elemento de B no le pertenece a A » significa que el conjunto B no está incluido en A . Ejemplo.- ¿Es el conjuntos: M = {1; 2; 3} un subconjunto propio de N = {0; 1; 2; 3}? Se puede reconocer que todos los elementos de M son también los elementos de N , pero N tiene al menos un elemento, el 0, que no le pertenece al conjunto M . Luego M es subconjunto propio de N , lo cual denotaremos así: M  N y N  M o M  N B. Subconjunto Propio Rpta. SÍ

14. En adelante, al referirnos a subconjunto y subconjunto propio, emplearemos la misma notación:  , en el entendido que se reconoce, desde ahora, la diferencia entre ellos. Propiedades de la Inclusión de Conjuntos 1ro. Todo conjunto está incluido en si mismo.  A se cumple que: A  A 2do. El conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto e inclusive en él mismo.  A se cumple que:   A Obsérvese que si A =  , entonces se cumple que:  . OJO

15. Dos conjuntos A y B se llaman iguales , denotado como A = B , si cada elemento de A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A . Simbólicamente: A = B  A  B y B  A Igualdad de Conjuntos Dos conjuntos A y B se llaman comparables si se cumple que uno de los conjuntos es subconjunto del otro. Simbólicamente: A  B o B  A Conjuntos Comparables Dos conjuntos A y B se llaman disjuntos si se cumple que ninguno de los conjuntos es subconjunto del otro. Simbólicamente: A  B o B  A Conjuntos Disjuntos

16. Si una misma letra, número u objeto aparece más de una vez en cualquier lista de los elementos de un conjunto será considerado como solamente una letra, un número o un objeto, respectivamente. Ejemplo .- D = { a, b, a, a } En este ejemplo, la letra « a » aparece tres veces en la lista de los elementos del conjunto D . Para nuestro propósito el conjunto D tiene solamente dos elementos diferentes. Por lo tanto: D = { a, b } OJO

17. Ejemplo 1.- Sean los conjuntos: D = { a, b, a, a } y E = { a, b } . Se observa que cada elemento del conjunto D está en el conjunto E y cada elemento del conjunto E está en el conjunto D , por lo tanto: D = E A = {x | (x  3)(x  4)(x  5) = 0} B = {x  N | 2 < x < 6} ?  A = B Ejemplo 2.- ¿Son A y B dos conjuntos iguales: Ejemplo 3.- ¿ Son o no comparables los conjuntos: A = { a, b } y B = { a, b, c } ? Porque uno de ellos, en este caso A, es un subconjunto del otro, B . Rpta. SÍ A = {3; 4; 5} B = {3; 4; 5}

18. Ejemplo 4.- ¿Son disjuntos los conjuntos: A = { a, b, c } y B = {1; 2; 3; 4}? Ejemplo 5.- ¿Son disjuntos los conjuntos: R = { a, b, c } y S = { c, d, e, f }? Rpta: SÍ Se observa que ningún elemento de A está en B y ninguno de B está en A :  A y B son conjuntos disjuntos. Puesto que « c » está en R y en S concluimos que R y S no son disjuntos. Rpta: NO

19. CONCLUSIÓN: Si A y B son dos conjuntos entonces solo es posible que sean: Observación: Como todo conjunto está contenido en sí mismo, se dice que dos conjuntos iguales también son conjuntos comparables A  B A  B A = B  5  2  7 CONJUNTOS COMPARABLES A B  5  2  7 CONJUNTOS IGUALES A B  5  2  7 CONJUNTOS DISJUNTOS A B Conjuntos No Disjuntos Conjuntos No Comparables

21. Cardinal de un conjunto El cardinal de un conjunto A , denotado como n ( A ), es el número natural que indica la cantidad de elementos diferentes que tiene dicho conjunto. Ejemplo 1.- Sea el conjunto A = { a, b, c, d, e, f }, entonces su cardinal n ( A ) se obtiene así: a) A = { } Puesto que A es un conjunto que no presenta elementos, es decir, es un conjunto vacío, se propone que: n ( A ) = 0. En adelante se aplicará: n (  ) = 0 Ejemplo 2.- Determinar el cardinal de los siguientes conjuntos:

22. b) B = { x   | 3 < x < 5} Sabiendo que el símbolo < significa «menor que», concluimos que 4 es el único número natural que verifica la condición dada, luego: B = {4}, y por consiguiente: n ( B ) = 1. c) C = {  } En este caso el conjunto C tiene un elemento, este elemento es el conjunto vacío, por consiguiente se trata de un conjunto unitario y se cumple que: n ( C ) = 1 d) D = { x | x es un miembro del equipo de fútbol profesional que está jugando en cancha} Dado que un equipo de fútbol profesional, jugando en cancha, está constituido de 11 jugadores, se concluye que: n ( D ) = 11.

25. Ejemplo 2.- Dado: A = {1; 2; 3} mediante combinaciones determinar todos los subconjuntos de A . – Conjunto sin elementos = 1:  – Conjuntos de 1 elemento = 3: {1}, {2}, {3} – Conjuntos de 2 elementos = 3: {1; 2}, {2; 3}, {1; 3} – Conjunto de 3 elementos = 1: {1; 2; 3} A partir de los subconjuntos de A se puede construir el conjunto potencia de A : Obsérvese que n(A) = 3 y n[P(A)] = 8, cumpliéndose que: 8 = 2 3 Asimismo 7 son los subconjuntos propios y 1 es el conjunto propio. 7 = 2 3 - 1 ; 8 = 7 + 1

26. En general, si n ( A ) es el cardinal del conjunto A , entonces el cardinal del conjunto potencia de A, denotado como n [ P ( A )], y el número de subconjuntos propios de A, denotado como s A , están dados por:

27. CONJUNTOS NUMÉRICOS Números Naturales (  )  ={0; 1;2;3;4;5;....} Números Enteros (  )  ={...;-2;-1;0;1;2;....} Números Racionales (  )  ={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....} Números Irracionales (  )  ={...; ;....} Números Reales (  )  ={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....} Números Complejos (  )  ={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}

28. CONJUNTOS NUMÉRICOS      

29. CONJUNTOS NUMÉRICOS EJEMPLOS: Expresar por extensión los siguientes conjuntos: A ) B ) C ) D ) E ) P={3} Q={-3;3} F = { } RESPUESTAS