1) El documento describe las construcciones geométricas que se pueden realizar utilizando solo una regla no graduada, un compás y un lápiz. 2) Explica las reglas básicas de estas construcciones y da ejemplos como trazar circunferencias y líneas rectas. 3) Discute cómo algunos polígonos regulares como el hexágono y el triángulo son construibles con estas herramientas.
1. El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con rectas y secciones cónicas en el plano. Incluye problemas para determinar ecuaciones de rectas a partir de puntos y pendientes dados, calcular distancias, y encontrar ecuaciones de circunferencias, parábolas y elipses.
2. Se piden determinar ecuaciones de rectas y secciones cónicas dadas diferentes condiciones como puntos, pendientes, tangencias, y focales.
3. También incluye verificar propiedades geométricas y relaciones entre
Este documento contiene un resumen de 10 problemas de geometría analítica resueltos. Los problemas incluyen hallar ecuaciones de rectas, determinar si rectas son paralelas o perpendiculares, encontrar puntos de intersección y distancias entre puntos y rectas. El profesor Erick Vásquez Llanos corrige los ejercicios de un alumno en la asignatura de matemáticas.
1) El documento explica la ecuación general de la circunferencia y cómo se puede obtener a partir de la definición geométrica de una circunferencia como el conjunto de puntos equidistantes a un punto central llamado centro.
2) Se resuelven varios ejercicios prácticos que implican hallar la ecuación de circunferencias dadas sus características como centro y radio, o que pasan por puntos determinados.
3) Finalmente, se analizan posiciones relativas entre circunferencias y rectas.
Problemas resueltos de geometria analitica planaCarlos Chaparro
Este documento presenta varios problemas de geometría analítica plana. El primer problema demuestra que cuatro puntos dados forman los vértices de un cuadrado. El segundo problema halla las coordenadas del tercer vértice de un triángulo equilátero. El tercer problema encuentra el punto en una recta que dista el doble de uno de los puntos dados que del otro.
Este documento presenta una lista de nombres de integrantes y un profesor. Luego, describe conceptos matemáticos como sistemas de coordenadas, transformaciones de ejes, traslación y rotación de ejes, y cómo estas técnicas pueden simplificar ecuaciones geométricas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la geometría analítica, incluyendo coordenadas cartesianas, distancia entre puntos, ecuaciones de rectas y secciones cónicas. Explica las propiedades de parábolas, elipses, circunferencias e hipérbolas, y proporciona sus ecuaciones en diferentes formas. También define conceptos clave como foco, directriz, excentricidad, vértice y latus rectum para cada sección cónica.
Este documento describe las rectas en R3, incluyendo su definición, ecuaciones y representaciones paramétricas. Explica que una recta se define por un punto y un vector director paralelo, y proporciona las fórmulas para encontrar las ecuaciones de una recta dados estos elementos o dados dos puntos. También incluye ejemplos y ejercicios para que el estudiante practique encontrar ecuaciones de rectas en R3.
Este documento presenta 32 problemas de geometría analítica que involucran conceptos como puntos, rectas, planos, volúmenes y distancias. Los problemas cubren temas como hallar ecuaciones de planos y rectas, determinar puntos de intersección, ángulos entre rectas, posiciones relativas, y calcular distancias y volúmenes. La mayoría de los problemas requieren múltiples pasos para resolverlos.
1. El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con rectas y secciones cónicas en el plano. Incluye problemas para determinar ecuaciones de rectas a partir de puntos y pendientes dados, calcular distancias, y encontrar ecuaciones de circunferencias, parábolas y elipses.
2. Se piden determinar ecuaciones de rectas y secciones cónicas dadas diferentes condiciones como puntos, pendientes, tangencias, y focales.
3. También incluye verificar propiedades geométricas y relaciones entre
Este documento contiene un resumen de 10 problemas de geometría analítica resueltos. Los problemas incluyen hallar ecuaciones de rectas, determinar si rectas son paralelas o perpendiculares, encontrar puntos de intersección y distancias entre puntos y rectas. El profesor Erick Vásquez Llanos corrige los ejercicios de un alumno en la asignatura de matemáticas.
1) El documento explica la ecuación general de la circunferencia y cómo se puede obtener a partir de la definición geométrica de una circunferencia como el conjunto de puntos equidistantes a un punto central llamado centro.
2) Se resuelven varios ejercicios prácticos que implican hallar la ecuación de circunferencias dadas sus características como centro y radio, o que pasan por puntos determinados.
3) Finalmente, se analizan posiciones relativas entre circunferencias y rectas.
Problemas resueltos de geometria analitica planaCarlos Chaparro
Este documento presenta varios problemas de geometría analítica plana. El primer problema demuestra que cuatro puntos dados forman los vértices de un cuadrado. El segundo problema halla las coordenadas del tercer vértice de un triángulo equilátero. El tercer problema encuentra el punto en una recta que dista el doble de uno de los puntos dados que del otro.
Este documento presenta una lista de nombres de integrantes y un profesor. Luego, describe conceptos matemáticos como sistemas de coordenadas, transformaciones de ejes, traslación y rotación de ejes, y cómo estas técnicas pueden simplificar ecuaciones geométricas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la geometría analítica, incluyendo coordenadas cartesianas, distancia entre puntos, ecuaciones de rectas y secciones cónicas. Explica las propiedades de parábolas, elipses, circunferencias e hipérbolas, y proporciona sus ecuaciones en diferentes formas. También define conceptos clave como foco, directriz, excentricidad, vértice y latus rectum para cada sección cónica.
Este documento describe las rectas en R3, incluyendo su definición, ecuaciones y representaciones paramétricas. Explica que una recta se define por un punto y un vector director paralelo, y proporciona las fórmulas para encontrar las ecuaciones de una recta dados estos elementos o dados dos puntos. También incluye ejemplos y ejercicios para que el estudiante practique encontrar ecuaciones de rectas en R3.
Este documento presenta 32 problemas de geometría analítica que involucran conceptos como puntos, rectas, planos, volúmenes y distancias. Los problemas cubren temas como hallar ecuaciones de planos y rectas, determinar puntos de intersección, ángulos entre rectas, posiciones relativas, y calcular distancias y volúmenes. La mayoría de los problemas requieren múltiples pasos para resolverlos.
El documento explica que la gráfica de una función lineal f(x)=ax+b es una recta. Define la pendiente de una recta como el número a. Explica cómo encontrar la ecuación de una recta que pase por un punto, dos puntos, o que sea paralela o perpendicular a otra recta dada.
El documento describe las ecuaciones de la circunferencia dependiendo de la ubicación de su centro en los ejes cartesianos. Presenta las ecuaciones generales de la circunferencia y cómo se simplifican cuando el centro está en el eje X positivo, eje Y positivo, eje X negativo, eje Y negativo o en el origen. También incluye un ejemplo de cómo encontrar la ecuación de una circunferencia dados dos puntos que definen su diámetro.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría analítica como circunferencias, rectas, puntos y transformaciones. Incluye fórmulas para calcular el área y longitud de circunferencias, ecuaciones de circunferencias, rectas y su posición relativa, así como traslaciones de circunferencias. También contiene ejercicios de selección única relacionados con estos temas.
Este documento presenta una serie de ejercicios de geometría analítica que involucran puntos, rectas y sus propiedades como simetría, punto medio, ecuaciones paramétricas e implícitas. Los ejercicios cubren temas como hallar puntos simétricos, puntos medios, ecuaciones de rectas, ángulos entre rectas, distancias y más.
El documento presenta conceptos matemáticos sobre rectas incluyendo la pendiente, ecuaciones de rectas dadas por dos puntos o por punto y pendiente, cálculo de distancias entre puntos y entre rectas paralelas, y ejercicios para determinar pendientes e intersecciones de ecuaciones de rectas.
Este documento contiene 38 problemas de geometría sobre circunferencias y polígonos regulares e irregulares. Los problemas cubren temas como ecuaciones de circunferencias, traslaciones de circunferencias, tangentes y secantes, perímetros y áreas de polígonos regulares e irregulares. El documento parece ser material didáctico para estudiantes de bachillerato que incluye ejercicios y problemas resueltos sobre conceptos básicos de geometría.
Imi sem 10 s2 planos paralelos y perpendiculares (1) (1)Ivan Nina
El documento trata sobre rectas y planos en R3. Explica cómo determinar si dos planos son paralelos u ortogonales basado en la orientación de sus vectores normales, y cómo calcular el ángulo entre dos planos. También cubre cómo encontrar la distancia entre un punto y un plano, y resolver problemas que involucran la intersección de planos y rectas.
El documento presenta conceptos sobre rectas y planos en R3. Explica cómo determinar si dos rectas son paralelas u ortogonales, y cómo calcular el ángulo entre ellas. También cubre la posición relativa de dos rectas y cómo identificar si se intersectan o se cruzan. El objetivo es que los estudiantes reconozcan estas propiedades al finalizar la unidad.
Resumen formulas en Matemática para bachillerato 2015 Danny GonzAlva
Este documento presenta información sobre elementos de la circunferencia, tipos de circunferencias, propiedades del círculo, fórmulas de polígonos, funciones trigonométricas y características de figuras sólidas. También resume conceptos clave de funciones como dominio, codominio, funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, y tipos de funciones como lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y su representación gráfica.
Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software LibreRobert Ipanaqué Chero
Este documento presenta un prefacio y contenido para un libro sobre la construcción de curvas definidas por ecuaciones y lugares geométricos. El prefacio introduce los dos problemas fundamentales que se abordan en el libro y explica que contiene ejercicios resueltos y propuestos para estudiantes universitarios. El contenido incluye capítulos sobre la construcción de curvas definidas por ecuaciones, el uso de software para dicha construcción, y ecuaciones de lugares geométricos.
Ejercicios resueltos ecuacion de la rectaMagiserio
Este documento contiene varios ejercicios resueltos sobre ecuaciones de rectas. Incluye problemas sobre hallar la ecuación de una recta a partir de dos puntos, clasificar triángulos, estudiar la posición relativa de rectas, encontrar vértices faltantes de figuras geométricas conocidos otros datos, y calcular ecuaciones y longitudes de diagonales de paralelogramos.
Este documento presenta 50 ítems de práctica para el examen de bachillerato en modalidad de colegios técnicos y académicos. Incluye ítems relacionados con conceptos geométricos como circunferencias, polígonos regulares, homotecias y simetrías, así como conceptos algebraicos como funciones cuadráticas, lineales y conjuntos numéricos. El documento fue elaborado por la Licda. Jéssica Abarca para apoyar la preparación de estudiantes.
Este documento presenta una guía de actividades sobre geometría analítica plana. Introduce conceptos como el plano cartesiano, distancia entre puntos, pendiente de un segmento, ecuaciones de rectas, y posiciones relativas de rectas. Incluye 26 problemas de práctica guiada y 4 problemas de práctica individual relacionados con estos temas.
Este documento describe las ecuaciones de segundo grado y cómo determinar el tipo de curva que representan en función de sus coeficientes. Explica que las cónicas son intersecciones de un cono de revolución con un plano, y que las ecuaciones de segundo grado representan elipses, parábolas e hipérbolas. Detalla cómo usar los coeficientes A, B y C, y el discriminante para identificar el tipo de curva en cada caso. Incluye ejemplos resueltos para ilustrar los conceptos.
Ejercicios de matematica1 ecuacion de la rectaantoniojesus96
Este documento contiene 47 ejercicios de álgebra sobre ecuaciones de rectas. Los ejercicios involucran hallar ecuaciones de rectas paralelas o perpendiculares a otras rectas dados puntos, determinar pendientes y coeficientes de posición de rectas dadas sus ecuaciones, y resolver problemas gráficos identificando ecuaciones de rectas representadas en gráficas. El documento proporciona las instrucciones para cada ejercicio de manera individual.
Este documento presenta la teoría y ejercicios sobre la ecuación de la recta. Explica que una recta puede definirse mediante un vector director o la ecuación punto-vector. A continuación, proporciona 10 ejercicios resueltos como ejemplos para hallar ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados, son paralelas o perpendiculares a otras rectas, o forman ángulos determinados.
El documento presenta conceptos sobre planos en R3. Explica que un plano puede generarse geométricamente por tres puntos no colineales o vectorialmente por dos vectores no paralelos. Luego describe las ecuaciones vectorial, paramétrica, normal y general de un plano, y presenta ejercicios para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta 12 ejercicios de geometría analítica que involucran puntos, rectas y sus ecuaciones en el plano cartesiano. Los ejercicios cubren temas como hallar puntos medios, simétricos y de intersección; determinar si puntos están alineados; y obtener ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados y son paralelas o perpendiculares a otras rectas o ejes.
1) El documento presenta 62 problemas de matemáticas relacionados con ecuaciones de rectas,
circunferencias, elipses e hipérbolas. Los problemas incluyen calcular ecuaciones, determinar
puntos y valores de parámetros, y estudiar posiciones relativas de figuras geométricas.
El documento describe un proyecto técnico para ampliar y mejorar el servicio de agua potable en las urbanizaciones de Ccarancalla y Ayapata, ubicadas en la provincia de Andahuaylas, departamento de Apurímac. El proyecto fue presentado en marzo de 2009 por la Municipalidad Provincial de Andahuaylas y busca brindar agua segura a las dos urbanizaciones.
La guía establece los procedimientos para la verificación de convenios suscritos por el Programa de Emergencia Social Productivo Construyendo Perú con Organismos Ejecutores. Se describen las actividades del Coordinador Técnico Externo, que incluyen revisar proyectos, programar el inicio de trabajos, participar en la entrega de terrenos, iniciar el cuaderno de obra, y verificar el cumplimiento de los convenios a través de visitas periódicas. También se definen los agentes involucrados como el Representante Legal, Respons
El documento explica que la gráfica de una función lineal f(x)=ax+b es una recta. Define la pendiente de una recta como el número a. Explica cómo encontrar la ecuación de una recta que pase por un punto, dos puntos, o que sea paralela o perpendicular a otra recta dada.
El documento describe las ecuaciones de la circunferencia dependiendo de la ubicación de su centro en los ejes cartesianos. Presenta las ecuaciones generales de la circunferencia y cómo se simplifican cuando el centro está en el eje X positivo, eje Y positivo, eje X negativo, eje Y negativo o en el origen. También incluye un ejemplo de cómo encontrar la ecuación de una circunferencia dados dos puntos que definen su diámetro.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría analítica como circunferencias, rectas, puntos y transformaciones. Incluye fórmulas para calcular el área y longitud de circunferencias, ecuaciones de circunferencias, rectas y su posición relativa, así como traslaciones de circunferencias. También contiene ejercicios de selección única relacionados con estos temas.
Este documento presenta una serie de ejercicios de geometría analítica que involucran puntos, rectas y sus propiedades como simetría, punto medio, ecuaciones paramétricas e implícitas. Los ejercicios cubren temas como hallar puntos simétricos, puntos medios, ecuaciones de rectas, ángulos entre rectas, distancias y más.
El documento presenta conceptos matemáticos sobre rectas incluyendo la pendiente, ecuaciones de rectas dadas por dos puntos o por punto y pendiente, cálculo de distancias entre puntos y entre rectas paralelas, y ejercicios para determinar pendientes e intersecciones de ecuaciones de rectas.
Este documento contiene 38 problemas de geometría sobre circunferencias y polígonos regulares e irregulares. Los problemas cubren temas como ecuaciones de circunferencias, traslaciones de circunferencias, tangentes y secantes, perímetros y áreas de polígonos regulares e irregulares. El documento parece ser material didáctico para estudiantes de bachillerato que incluye ejercicios y problemas resueltos sobre conceptos básicos de geometría.
Imi sem 10 s2 planos paralelos y perpendiculares (1) (1)Ivan Nina
El documento trata sobre rectas y planos en R3. Explica cómo determinar si dos planos son paralelos u ortogonales basado en la orientación de sus vectores normales, y cómo calcular el ángulo entre dos planos. También cubre cómo encontrar la distancia entre un punto y un plano, y resolver problemas que involucran la intersección de planos y rectas.
El documento presenta conceptos sobre rectas y planos en R3. Explica cómo determinar si dos rectas son paralelas u ortogonales, y cómo calcular el ángulo entre ellas. También cubre la posición relativa de dos rectas y cómo identificar si se intersectan o se cruzan. El objetivo es que los estudiantes reconozcan estas propiedades al finalizar la unidad.
Resumen formulas en Matemática para bachillerato 2015 Danny GonzAlva
Este documento presenta información sobre elementos de la circunferencia, tipos de circunferencias, propiedades del círculo, fórmulas de polígonos, funciones trigonométricas y características de figuras sólidas. También resume conceptos clave de funciones como dominio, codominio, funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, y tipos de funciones como lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y su representación gráfica.
Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software LibreRobert Ipanaqué Chero
Este documento presenta un prefacio y contenido para un libro sobre la construcción de curvas definidas por ecuaciones y lugares geométricos. El prefacio introduce los dos problemas fundamentales que se abordan en el libro y explica que contiene ejercicios resueltos y propuestos para estudiantes universitarios. El contenido incluye capítulos sobre la construcción de curvas definidas por ecuaciones, el uso de software para dicha construcción, y ecuaciones de lugares geométricos.
Ejercicios resueltos ecuacion de la rectaMagiserio
Este documento contiene varios ejercicios resueltos sobre ecuaciones de rectas. Incluye problemas sobre hallar la ecuación de una recta a partir de dos puntos, clasificar triángulos, estudiar la posición relativa de rectas, encontrar vértices faltantes de figuras geométricas conocidos otros datos, y calcular ecuaciones y longitudes de diagonales de paralelogramos.
Este documento presenta 50 ítems de práctica para el examen de bachillerato en modalidad de colegios técnicos y académicos. Incluye ítems relacionados con conceptos geométricos como circunferencias, polígonos regulares, homotecias y simetrías, así como conceptos algebraicos como funciones cuadráticas, lineales y conjuntos numéricos. El documento fue elaborado por la Licda. Jéssica Abarca para apoyar la preparación de estudiantes.
Este documento presenta una guía de actividades sobre geometría analítica plana. Introduce conceptos como el plano cartesiano, distancia entre puntos, pendiente de un segmento, ecuaciones de rectas, y posiciones relativas de rectas. Incluye 26 problemas de práctica guiada y 4 problemas de práctica individual relacionados con estos temas.
Este documento describe las ecuaciones de segundo grado y cómo determinar el tipo de curva que representan en función de sus coeficientes. Explica que las cónicas son intersecciones de un cono de revolución con un plano, y que las ecuaciones de segundo grado representan elipses, parábolas e hipérbolas. Detalla cómo usar los coeficientes A, B y C, y el discriminante para identificar el tipo de curva en cada caso. Incluye ejemplos resueltos para ilustrar los conceptos.
Ejercicios de matematica1 ecuacion de la rectaantoniojesus96
Este documento contiene 47 ejercicios de álgebra sobre ecuaciones de rectas. Los ejercicios involucran hallar ecuaciones de rectas paralelas o perpendiculares a otras rectas dados puntos, determinar pendientes y coeficientes de posición de rectas dadas sus ecuaciones, y resolver problemas gráficos identificando ecuaciones de rectas representadas en gráficas. El documento proporciona las instrucciones para cada ejercicio de manera individual.
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Este documento presenta 12 ejercicios de geometría analítica que involucran puntos, rectas y sus ecuaciones en el plano cartesiano. Los ejercicios cubren temas como hallar puntos medios, simétricos y de intersección; determinar si puntos están alineados; y obtener ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados y son paralelas o perpendiculares a otras rectas o ejes.
1) El documento presenta 62 problemas de matemáticas relacionados con ecuaciones de rectas,
circunferencias, elipses e hipérbolas. Los problemas incluyen calcular ecuaciones, determinar
puntos y valores de parámetros, y estudiar posiciones relativas de figuras geométricas.
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Este documento presenta información sobre un curso de Mecánica de Suelos I en la Universidad Alas Peruanas. Incluye la lista de alumnos matriculados, el tema cubierto (granulometría), y los resultados de un análisis granulométrico realizado en 3 muestras de suelo diferentes tomadas en la zona de estudio.
El documento describe las actividades de un levantamiento topográfico realizado para el estudio de una carretera en Huayrapata, Perú. Estas incluyen el mapeo geológico y geotécnico de la zona, la toma de muestras de suelos y rocas, y la delimitación del área de estudio contrastando con mapas y fotografías. Adicionalmente, se ubicaron canteras para obtener material de construcción y se realizaron mediciones topográficas para obtener las coordenadas y representación gráfica del
4 ppt factores de evaluacion para la contratacion de bienes y servicios 2015andahuylino
1. El documento establece varios criterios de evaluación para la adquisición de bienes y servicios, como plazo de entrega, garantía comercial, disponibilidad de servicios y repuestos, capacitación del personal, mejoras técnicas y experiencia del postor.
2. Se señalan algunos problemas con los criterios propuestos, como la exclusión de ofertas con plazos cortos de entrega, puntajes desproporcionados, falta de precisión en los requisitos, etc.
3. Se proveen ejemplos alternativos para
Este documento presenta las especificaciones técnicas para el proyecto de ampliación y mejoramiento del servicio de agua potable y alcantarillado en las vías principales de Nueva Esperanza y Moyabamba en el distrito de Chicmo, provincia de Andahuaylas. Describe los alcances del proyecto, las medidas de seguridad, la validez de los planos y especificaciones, y especifica las partidas a ejecutar incluyendo obras provisionales, preliminares, y la red de desagüe. El objetivo es garant
El documento contiene formatos estándar para diferentes actas relacionadas con proyectos de construcción financiados por el programa "Construyendo Perú" en Perú. El Formato OE-02 es un acta de entrega de terreno que describe la ubicación y características del terreno entregado al organismo ejecutor para la construcción de un proyecto. El Formato OE-09 es un acta de terminación de obra que declara la finalización de un proyecto de construcción. El Formato OE-10 es un acta de transferencia de obra que trans
Este documento presenta la constitución de una empresa de consultoría y construcción llamada Consultores y Constructores 3JR SAC. La empresa está formada por 4 socios ingenieros civiles y se dedicará a servicios de geotecnia, elaboración de proyectos, supervisión de obras e infraestructura, entre otros. La visión es ser reconocidos en el norte del Perú y obtener certificaciones de calidad. Se presentan estrategias como alianzas, descentralización y diversificación para lograr la visión. También se incluyen los organigramas
Este documento describe el criterio de constructibilidad para determinar qué figuras geométricas se pueden construir usando solo regla y compás. Explica que cualquier elemento que pueda expresarse como una combinación finita de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces cuadradas de elementos dados es constructible. Proporciona ejemplos de problemas de construcción y sus soluciones analíticas y geométricas.
Este documento describe las elipses y parábolas. Explica que una elipse es la intersección de un cono circular recto y un plano no paralelo a su base, y provee la ecuación general de una elipse. También explica que una parábola es la curva de puntos equidistantes de un foco y una recta directriz, y provee la ecuación general de una parábola. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar cómo determinar los elementos de estas cónicas a partir de sus ecuaciones.
Este documento trata sobre las cónicas elipse y parábola. Explica que una elipse es la intersección de un cono circular recto y un plano no paralelo a su base, mientras que una parábola es la intersección de un cono circular recto y un plano paralelo a un elemento del cono. Luego procede a derivar las ecuaciones de la elipse y la parábola, mostrando cómo calcular los elementos como focos, vértices y directriz. Finalmente, da ejemplos numéricos y explica cómo determinar todos
Este documento presenta información sobre la traslación y rotación de ejes en geometría analítica. Explica las fórmulas para trasladar y rotar ejes, y cómo esto puede simplificar ecuaciones de curvas. También incluye ejemplos resueltos de traslación y rotación de ejes.
Este documento presenta varios temas relacionados con vectores y la ley del triángulo. Explica que para tres puntos en un plano se pueden construir dos vectores que forman un triángulo, y que la suma de los vectores que conectan los vértices de un triángulo es cero. Luego, propone cinco ejercicios para practicar conceptos como la suma de vectores que forman polígonos y la construcción de triángulos y paralelogramos a partir de puntos medios.
El documento explica los conceptos básicos del plano cartesiano, incluyendo las coordenadas cartesianas (x,y), los ejes x e y, el origen, y cómo representar puntos en el plano. También describe cómo encontrar la ecuación de una recta dado un punto y la pendiente, o dados dos puntos, usando la fórmula de la pendiente y la ecuación principal de la recta.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de geometría analítica, incluyendo:
1) Las ecuaciones de la recta en diferentes formas (punto pendiente, dos puntos, pendiente y ordenada al origen).
2) La ecuación general de la circunferencia y cómo derivar la ecuación de un círculo dado tres puntos.
3) Cómo encontrar la ecuación de una recta tangente a un círculo en un punto dado.
Este documento contiene un índice con 10 ejercicios de geometría analítica resueltos, indicando la página de cada uno. El ejercicio 10 contiene 3 afirmaciones sobre vectores que deben justificarse si son verdaderas o falsas. El ejercicio 20 encuentra los vértices restantes de un cuadrado. El ejercicio 30 calcula las coordenadas de un vértice de un paralelogramo y su área, y la ecuación de un plano perpendicular a una recta.
El documento explica el uso de funciones cuadráticas para modelar diversos fenómenos físicos y situaciones de la vida real. Las funciones cuadráticas se representan mediante la ecuación y = ax2 + bx + c y pueden usarse para estudiar trayectorias, economía, ingeniería y biología. Se describen las características clave de las funciones cuadráticas como su concavidad, vértice, intersecciones con los ejes y eje de simetría. También se presentan ejemplos de cómo aplicar funciones cuadráticas para
El documento describe el plano coordenado y cómo se usa para relacionar la geometría y el álgebra. El plano coordenado permite trazar gráficas de ecuaciones algebraicas y ver la relación entre las variables. Se explica cómo cualquier punto en el plano puede identificarse mediante un par ordenado de números que indican su posición en los ejes x e y.
El documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones de rectas como la ecuación punto-pendiente, ecuación general, casos particulares de rectas paralelas y perpendiculares, ecuación de la recta que pasa por dos puntos, y cómo calcular la pendiente e inclinación de rectas dadas sus ecuaciones o puntos. También explica cómo determinar si puntos son colineales, hallar áreas de figuras geométricas relacionadas a rectas, y resolver problemas que involucran estas nociones.
1) El documento describe los dos problemas fundamentales de la geometría analítica: graficar una ecuación y encontrar la ecuación de un lugar geométrico.
2) Para graficar una ecuación, se analizan las intersecciones con los ejes, simetría y luego se grafican los puntos.
3) Para encontrar la ecuación de un lugar geométrico, se asume un punto genérico que cumple la condición geométrica y se expresa analíticamente para obtener la ecuación.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre el sistema de coordenadas rectangulares, incluyendo la distancia entre puntos, el punto medio de un segmento, la pendiente y ecuación de una recta, y cómo graficar una recta a partir de su ecuación. También introduce conceptos sobre ángulos entre rectas y rectas paralelas y perpendiculares. El documento contiene ejemplos y ejercicios para reforzar los conceptos presentados.
Este documento describe los procedimientos de traslación y rotación de ejes de coordenadas para transformar ecuaciones de curvas. Explica cómo trasladar los ejes paralelamente para simplificar ecuaciones y cómo rotar los ejes para eliminar términos. También describe cómo determinar la naturaleza de una curva (parábola, elipse, hipérbola) en función de los coeficientes de su ecuación y del discriminante.
Este documento presenta una clase modelo sobre geometría analítica de la línea recta. Explica conceptos como coordenadas de puntos, distancia entre puntos, pendiente, inclinación, ecuaciones de rectas y diferentes formas de representar la ecuación de una recta. Incluye ejemplos resueltos y problemas propuestos para que los estudiantes practiquen y apliquen los conceptos.
Este documento presenta la solución a varios ejercicios de geometría que involucran triángulos congruentes y similares, circunferencias, y figuras compuestas. En la primera parte, se resuelven ejercicios sobre triángulos congruentes y similares determinando valores y relaciones entre lados y ángulos. La segunda parte contiene ejercicios sobre circunferencias hallando ecuaciones, centros y radios. Finalmente, la tercera parte aborda el cálculo de perímetros y áreas de figuras compuestas.
El documento presenta los conceptos fundamentales del plano cartesiano y curvas como circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Explica que el plano cartesiano está formado por dos rectas perpendiculares llamadas ejes x e y que se cortan en el origen. Luego define las circunferencias como el lugar geométrico de puntos equidistantes de un centro, deduciendo su ecuación. Finalmente, introduce parábolas, elipses e hipérbolas a través de sus definiciones geométricas y
Unidad 6 solucion de triangulos oblicuangulos.matedivliss
Este documento presenta la unidad 6 sobre la solución de triángulos oblicuángulos. Introduce el tema y define un objetivo principal de que los estudiantes puedan resolver triángulos oblicuángulos utilizando los teoremas del seno y del coseno. Explica estos teoremas a través de demostraciones geométricas dividiendo triángulos oblicuángulos en triángulos rectángulos y aplicando el teorema de Pitágoras.
Este documento discute cómo enseñar las secciones cónicas (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola) desde un enfoque de resolución de problemas. Explica brevemente las características de cada una de las cónicas y cómo se pueden representar mediante ecuaciones. También incluye algunos ejemplos de preguntas de evaluación relacionadas con las secciones cónicas.
1. Construcciones con regla y comp´s
a
Juan Sabia
1
Introducci´n
o
La idea de esta clase es ver qu´ construcciones geom´tricas pueden hacerse con el uso de
e
e
una regla no graduada (sin marcas), de un comp´s, de un l´piz y una hoja. Esta forma de
a
a
construir figuras geom´tricas la heredamos de los griegos, que relacionaban la geometr´
e
ıa
con la perfecci´n y la religi´n. Todos estamos acostumbrados a que en el colegio primario
o
o
se ense˜e a trazar la bisectriz de un ´ngulo, la mediatriz de un segmento y a construir
n
a
tri´ngulos con regla y comp´s. La pregunta es qu´ otras construcciones se pueden hacer.
a
a
e
Los griegos ya tenan planteadas tres preguntas (que hoy se consideran cl´sicas):
a
• ¿Se puede trisecar un ´ngulo usando s´lo regla y comp´s?
a
o
a
• ¿Se puede duplicar un cubo usando s´lo regla y comp´s? (es decir, si tenemos un
o
a
modelo plano de seis cuadrados para construir un cubo de volumen v, ¿se puede
construir un modelo plano para construir un cubo de volumen 2v s´lo usando regla
o
y comp´s?)
a
• ¿Se puede cuadrar un c´
ırculo con regla y comp´s? (es decir, dado un c´
a
ırculo, ¿se
puede dibujar un cuadrado de su misma superficie usando s´lo regla y comp´s?)
o
a
Otra pregunta que puede formularse es:
• ¿Cu´les pol´
a
ıgonos regulares pueden construirse usando regla y comp´s?
a
Vamos a intentar dar respuesta a algunas de estas preguntas (otras se escapan al contenido
del curso).
2
Reglas y ejemplo
Lo primero que vamos a fijar son las reglas para dibujar con regla y comp´s. Partimos de
a
un conjunto dado de puntos en el plano. Las construcciones que pueden hacerse son:
• Se puede dibujar la recta que pasa por dos puntos dados.
• Se puede trazar la circunferencia que tiene centro en un punto dado y cuyo radio sea
la distancia entre dos puntos dados.
1
2. • Las intersecciones de rectas o circunferencias que se puedan dibujar se consideran
puntos que pueden usarse para seguir dibujando.
En general, para simplificar la cuesti´n, vamos a considerar que partimos de s´lo dos
o
o
puntos. Un punto se dir´ construible si se puede construir en un n´mero finito de pasos
a
u
a partir de estos dos puntos.
Ejemplo:
Marcamos primero los dos puntos A y B en el plano:
Podemos trazar la recta que une los dos puntos marcados, o cualquier circunferencia que
tenga por centro uno de los puntos y radio la distancia entre dos puntos marcados. Todas
las construcciones posibles ser´
ıan:
Con nuestra construcci´n aparecieron cuatro nuevos puntos (C, D, E y F) que podemos
o
usar para seguir dibujando:
2
3. Por ejemplo, podemos trazar la circunferencia con centro E y radio igual a la distancia
entre A y E, y obtenemos los puntos G y H:
De paso demostramos que algunos pol´
ıgonos regulares son construibles con regla y comp´s:
a
el hex´gono
a
y el tri´ngulo
a
y como sabemos bisecar ´ngulos, podemos construir cualquier pol´
a
ıgono regular que tenga
2n .3 lados para n natural.
Hay dos construcciones b´sicas que sabemos hacer con regla y comp´s que vamos a usar
a
a
y no vamos a detallar:
3
4. • Dados tres puntos A, B, y C, trazar la perpendicular por C a la recta que pasa por
A y B.
• Dados tres puntos A, B, y C, trazar la paralela por C a la recta que pasa por A y
B.
Dados A y B, podemos pensarlos como los puntos (0, 0) y (1, 0) del plano y, por las
construcciones b´sicas anteriores, podemos trazar los ejes cartesianos utilizando s´lamente
a
o
regla y comp´s.
a
3
Coordenadas
La noci´n de punto construible ahora significar´ “construible a √
o
a
partir del √ 0) y del
(0,
3
1
1
(1, 0)”. Por ejemplo, en la secci´n anterior, vimos que los puntos ( 2 , 2 ), (− 2 , 23 ), (−1, 0),
o
√
√
(− 1 , − 23 ) y ( 1 , − 23 ) (que, junto al (1, 0) son los v´rtices del hex´gono regular inscripto
e
a
2
2
en la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1) son construibles.
Lema: Un punto (x, y) es construible si y s´lo si los puntos (x, 0) e (y, 0) son construibles.
o
Demostraci´n:
o
⇒) Si el punto (x, y) es construible, proyect´ndolo sobre los ejes, obtenemos (x, 0) y (0, y).
a
Con el comp´s, a partir del (0, y) construimos el (y, 0).
a
⇐) Si (x, 0) e (y, 0) son construibles, utilizando el comp´s, podemos construir el (0, y).
a
Trazamos la recta paralela al eje de las abscisas que pasa por (0, y) y la recta paralela al
eje de las ordenadas que pasa por (x, 0). El punto de intersecci´n de estas dos rectas es el
o
(x, y).
Esta traducci´n a coordenadas puede ayudarnos a hacer algunos dibujos.
o
Ejemplo: Construcci´n del pent´gono regular.
o
a
Consideremos el pent´gono regular inscripto en la circunferencia de centro (0, 0) y raa
dio 1 con v´rtice en el (1, 0). Las coordenadas del v´rtice en el primer cuadrante son
e
e
2π
2π
(cos 5 , sin 5 ). Si lo pensamos como n´mero complejo, es el n´mero ξ = cos 2π + i sin 2π ,
u
u
5
5
que por la f´rmula de De Moivre, satisface ξ 5 = 1 (recordar que De Moivre dice que para
o
4
5. multiplicar complejos deben multiplicarse los m´dulos y sumarse los argumentos). Por lo
o
tanto tenemos que ξ es ra´ del polinomio
ız
X 5 − 1 = (X − 1)(X 4 + X 3 + X 2 + X + 1)
y como ξ = 1 resulta que satisface
ξ 4 + ξ 3 + ξ 2 + ξ + 1 = 0.
Sacando ξ 2 factor com´n, se tiene que
u
ξ 2 + ξ + 1 + ξ −1 + ξ −2 = (ξ + ξ −1 )2 + (ξ + ξ −1 ) − 1 = 0.
Pero
2π
2π
2π
2π
2π
+ i sin
+ cos
− i sin
= 2 cos ,
5
5
5
5
5
resulta ser la ra´ positiva del polinomio x2 + x − 1, y entonces es igual
ız
(ξ + ξ −1 ) = cos
con lo que 2 cos 2π
5
a
√
−1+ 5
.
2
Usemos esto para construir el pent´gono regular con regla y comp´s:
a
a
√
Primero construimos un segmento AC de longitud 5 usando Pit´goras, le restamos 1 y
a
lo ubicamos en el eje de las abscisas (´ste resulta el punto E):
e
Ahora, en dos pasos, dividimos el segmento AE en cuatro partes iguales, y el punto H
que aparece en el segundo dibujo es el (cos 2π , 0):
5
5
6. Ahora que ya tenemos el punto (cos 2π , 0) podemos construir un ´ngulo JAH de medida
a
5
2π
que es lo que necesitamos para construir el pent´gono regular (el punto J resulta ser
a
5
(cos 2π , sin 2π )):
5
5
Trasladando la medida del ´ngulo por la circunferencia obtenemos los puntos J, L, M y
a
K que con el (1, 0) son los v´rtices de un pent´gono regular.
e
a
Como antes, como sabemos bisecar ´ngulos, podemos construir cualquier pol´
a
ıgono regular
de 2n .5 lados para cualquier valor natural de n.
Como comentario, se sabe que
6
7. cos(
2π
1 1√
1
)=− +
17+
17
16 16
16
√
1
34 − 2 17+
8
√
17 + 3 17 −
√
√
34 − 2 17 − 2 34 + 2 17
por lo que la construcci´n del pol´
o
ıgono regular de 17 lados queda como inquietud para el
que tenga mucha paciencia (vamos a justificar por qu´ es posible construirlo un poco m´s
e
a
adelante).
4
De la geometr´ al ´lgebra
ıa
a
Los problemas planteados por los griegos no tuvieron respuesta por m´s de 2000 a˜os,
a
n
hasta que tuvieron una formulaci´n algebraica.
o
Definici´n: Un n´mero real se dice construible si es primera o segunda coordenada de
o
u
un punto construible a partir del (0, 0) y del (1, 0).
Ya vimos ejemplos de puntos construibles por lo tanto sus coordenadas son n´meros consu
√
3
1
truibles (por ejemplo, 2 , 2 ). Es f´cil ver a partir del lema anterior que un n´mero x
a
u
es construible si y s´lo si (x, 0) es un punto construible si y s´lo si (0, x) es un punto
o
o
construible.
La propiedad algebraica importante que cumplen los n´meros construibles es que forman
u
un cuerpo con las operaciones usuales de los n´meros reales:
u
Teorema: El conjunto C = {x ∈ R | x es un n´mero construible} es un cuerpo con las
u
√
operaciones usuales de los n´meros reales. Adem´s, si x > 0 es construible, entonces x
u
a
tambi´n es construible (es decir, C es un cuerpo cerrado para ra´ cuadradas de elementos
e
ıces
positivos).
Demostraci´n:
o
Para ver esto basta ver que C es cerrado para la suma y el producto, que es cerrado para
el opuesto aditivo y el inverso multiplicativo, que tiene al 0 y al 1 (ya que las propiedades
conmutativas, asociativas y distributivas se heredan de los n´meros reales).
u
• C es cerrado para la suma:
Supongamos que x e y est´n en C. Esto quiere decir que A = (x, 0) B = (y, 0)
a
son construibles. Pero trazando una circunferencia de radio |AO| con centro en B
tendremos el punto C = (x+y, 0) sobre el eje de las abscisas (la figura muestra como
hacerlo en el caso en que los dos sean positivos, pero es claro que se puede hacer en
cualquier caso):
7
8. • C es cerrado para el opuesto aditivo:
Si A = (x, 0) es construible, C = (−x, 0) es construible en un paso usando el comp´s:
a
• 0 ∈ C:
Trivial ya que el (0, 0) es construible.
• C es cerrado para el producto:
Si x e y son construibles, A = (x, 0) y B = (0, y) son construibles. Los ubicamos en
el plano. Unimos el punto B con el (1, 0) y trazamos la paralela a esta recta por A
obteniendo el punto C = (0, z) en el eje de las ordenadas:
Por semejanza de tri´ngulos, se tiene que
a
z es x.y
8
y
1
=
z
x
y por lo tanto, el n´mero construible
u
9. • C es cerrado para el inverso multiplicativo:
Sea x un n´mero construible no nulo, y sea A = (x, 0). Unimos A con el punto
u
(0, 1) y trazamos la paralela a esta recta por el (1, 0). Esta recta corta al eje de las
ordenadas en el punto D = (0, w).
De nuevo por semejanza de tri´ngulos,
a
w
1
1
= x , es decir w = x−1 es construible.
• 1 ∈ C:
Trivial ya que el (1, 0) es construible.
• C es cerrado para la ra´ cuadrada:
ız
Sea x un n´mero positivo construible. Entonces el punto A = (x, 0) es construible.
u
Tambi´n por los ´
e
ıtems anteriores podemos construir B = (x + 1, 0) y C = ( x+1 , 0).
2
Con centro en C trazamos la circunferencia de radio x+1 . Trazamos la recta per2
pendicular al eje de las abscisas que pasa por el punto E = (1, 0) y la intersecci´n
o
de esta recta con la circunferencia la llamamos F = (1, z). La construcci´n obtenida
o
es la siguiente:
Usando Pit´goras tenemos que:
a
|F E|2 + |EO|2 = |F O|2
9
|F E|2 + |EB|2 = |F B|2
10. y sumando ambas identidades y volviendo a usar Pitgoras (notar que el ´ngulo OF E
a
es recto) tenemos que
2|F E|2 + |EO|2 + |EB|2 = (|EO| + |EB|)2
con lo que
|F E|2 = |EO|.|EB|.
Usando que |EO| = 1 y que |EB| = x, tenemos
√
z 2 = x y por lo tanto z = x es un n´mero construible.
u
Observaciones:
• Como 1 es construible y el conjunto de construibles es un cuerpo, cualquier elemento de Q es construible (sumando, restando, multiplicando y dividiendo, que son
operaciones cerradas para los construibles).
• Cualquier ra´ cuadrada de un elemento positivo de Q es construible.
ız
• El n´mero cos( 2π ) antes mencionado es construible, ya que se obtiene a partir de
u
17
n´meros racionales y operaciones que son cerradas en C. Por lo tanto, el pol´
u
ıgono
regular de 17 lados es construible con regla y comp´s, y tambi´n los de 2n .17 lados,
a
e
para cualquier n natural.
• Un cuerpo ordenado que cumple que es cerrado para la ra´ cuadrada de sus elemenız
tos positivos se llama pitag´rico (por el hecho de que, si el cuerpo est´ incluido en
o
a
R, cualquier tri´ngulo rect´ngulo que uno pueda construir con catetos con medidas
a
a
en el cuerpo, la longitud de la hipotenusa tambi´n est´ en el cuerpo). Notar que
e
a
Q no es pitag´rico pero R y C s´ lo son. Vamos a ver que estos dos cuerpos son
o
ı
distintos (una posible demostraci´n para los que saben algo de cardinalidad se basa
o
en que C es numerable y R no lo es) con lo cual se prueba que hay n´meros reales
u
no costruibles con regla y comp´s.
a
5
Un poco de teor´ de cuerpos
ıa
Vamos a aprovechar que el conjunto C es un cuerpo para caracterizar de alguna forma los
n´meros construibles. Para eso, vamos a necesitar algunos resultados sobre cuerpos en
u
general. Todos los cuerpos con los que vamos a trabajar incluyen a Q y est´n incluidos en
a
R. Sus operaciones son la suma y el producto que heredan de los n´meros reales.
u
Definici´n Si K es un cuerpo, Q ⊆ K ⊆ R y α ∈ R, se define el cuerpo generado por α
o
sobre K y se nota K(α) al conjunto
K(α) =
f (α)
| f, g ∈ K[X], g(α) = 0 .
g(α)
10
11. Es decir, tomamos todas las fracciones racionales a coeficientes en K y las evaluamos en α
(siempre que el denominador no se anule en α). Este conjunto de n´meros reales resulta
u
ser un cuerpo con la suma y el producto usuales de R.
Ejemplo
√
Supongamos que el cuerpo K es el de los n´meros racionales y α = 2. Entonces cualquier
u
√
√
elemento de Q( 2) es un cociente de polinomios a coeficientes en Q evaluado en 2:
√
√
√
a0 + a1 2 + a2 ( 2)2 + · · · + an ( 2)n
√
√
√
b0 + b1 2 + b2 ( 2)2 + · · · + bm ( 2)m
√
pero teniendo en cuenta que ( 2)2 = 2, podemos reagrupar los t´rminos de potencia par
e
y de potencia impar y obtenemos que el elemento es de la forma
√
c0 + c1 2
√
d0 + d1 2
con c0 , c1 , d0 y d1 racionales. Como el denominador es no nulo, podemos racionalizar y
nos queda que
√
√
Q[ 2] = {a + b 2 | a, b ∈ Q}
(comparar con los anillos que trabajamos en la primera parte del curso).
La notaci´n K(α0 , α1 , . . . , αr ) significar´ K(α0 )(α1 )(. . . )(αr ), es decir, al cuerpo K primero
o
a
le agregamos α0 , al cuerpo obtenido le agregamos α1 y as´ sucesivamente.
ı
En la situaci´n que consideramos, si Q ⊆ K ⊆ E ⊆ R y K y E son cuerpos con las
o
operaciones que heredan de R, E puede considerarse un espacio vectorial sobre K (tenemos la suma de elementos de E, sabemos multiplicar elementos de E por elementos de
K y se cumplen todas las propiedades de espacio vectorial). A la dimensi´n de E como
o
K-espacio vectorial la notaremos dimK E para dejar claro sobre que cuerpo la estamos
considerando.
Una propiedad de las dimensiones que vamos a usar es que, en cierto sentido, son multiplicativas:
Proposici´n 1. Si K ⊆ E ⊆ F son tres cuerpos cuyas operaciones coinciden (es decir,
o
K y E heredan sus operaciones de F ) y dimK E y dimE F son finitas, entonces
dimK F = dimK E. dimE F.
Demostraci´n: Lo que vamos a hacer es construirnos una base de F como K-espacio
o
vectorial a partir de una base de F como E-espacio vectorial y de una base de E como
K-espacio vectorial.
Supongamos que B1 = {f1 , . . . , fn } es una base de F como E-espacio vectorial (con lo
cual, dimE F = n) y que B2 = {e1 , . . . , em } es una base de E como K-espacio vectorial
(con lo que dimK E = m). Veamos que el conjunto B = {fi .ej } 1≤i≤n resulta ser una base
1≤j≤m
11
12. (es decir, un sistema de generadores linealmente independiente) de F como K-espacio
vectorial y, como su cardinal es n.m, la proposici´n quedar´ probada.
o
ıa
Para esto vamos a ver primero que B es un sistema de generadores de F como K-espacio
vectorial:
Sea f ∈ F . Como B1 es base de F como E-espacio vectorial, en particular es un sistema de
generadores y, por lo tanto, existen elementos a1 , . . . , an en E tales que f = a1 .f1 + · · · +
an .fn . Como cada ai est´ en E (para 1 ≤ i ≤ n) y B2 es una base de E como K-espacio
a
vectorial (en particular es un sistema de generadores) para cada ai , existen ki1 , . . . , kim
tales que ai = ki1 e1 + · · · + kim em . Por lo tanto
n
m
f=
i=1
kij ej fi
j=1
que reagrupando y distribuyendo da
f=
kij .(ej .fi )
1≤i≤n
1≤j≤m
con lo que cualquier elemento f ∈ F se escribe como combinaci´n lineal de B con coefio
cientes en K y, por lo tanto B resulta un sistema de generadores de F como K-espacio
vectorial.
Ahora veamos que B es un conjunto linealmente independiente si tomamos coeficientes en
K:
Supongamos que tenemos una combinaci´n lineal de los elementos de B igualada a 0, es
o
decir,
e
1≤i≤n kij .(ej .fi ) = 0 con kij ∈ K. Reordenando los t´rminos y sacando factor
1≤j≤m
com´n, 1≤i≤n
u
e
1≤j≤m kij .ej .fi = 0. Como las sumas entre par´ntesis son elementos
en E y B1 es una base de F como E-espacio vectorial (en particular es un conjunto linealmente independiente), entonces los elementos 1≤j≤m kij .ej deben dar 0 para cualquier
´
ındice i. Pero ahora usamos que B2 es una base de E como K-espacio vectorial, y entonces
cualquier combinaci´n lineal de sus elementos a coeficientes en K igualada a 0 debe tener
o
coeficientes nulos, con lo que kij = 0 ∀i, j, que es lo que quer´
ıamos probar.
Un ultimo resultado de teor´ de cuerpos que vamos a demostrar antes de volver a las
´
ıa
construcciones con regla y comp´s es el siguiente:
a
Proposici´n 2. Sea K ⊆ R un cuerpo y sea α ∈ R un elemento que es ra´ de un
o
ız
polinomio m´nico irreducible f sobre K de grado n. Entonces dimK K(α) = n.
o
Demostraci´n: Para probar este resultado sobre dimensi´n vamos a ver que el conjunto
o
o
{1, α, α2 , . . . , αn−1 } es una base de K(α) como K-espacio vectorial.
Veamos primero que es un sistema de generadores: Si z ∈ K(α), resulta que existen
g(α)
polinomios g y h en K[X] tales que h(α) = 0 y z = h(α) .
12
13. Estudiemos un poco lo que pasa con el polinomio h: el m´ximo com´n divisor entre f y
a
u
h debe ser un divisor m´nico de f , que como es irreducible, sus unicos divisores m´nicos
o
´
o
son 1 y f . Si f dividiese a h, h(α) ser´ 0 (pues f (α) = 0) y esto es un absurdo. Luego el
ıa
m´ximo com´n divisor entre f y h es 1.
a
u
Usando el algoritmo de Euclides, 1 se escribe como combinaci´n lineal de f y h, es decir,
o
existen u, v ∈ K[X] tales que 1 = u(X).f (X) + v(X).h(X). Si evaluamos esta igualdad
en α, tenemos que 1 = v(α).h(α).
Por lo tanto, el elemento z que ten´
ıamos cumple
z=
g(α)
g(α).v(α)
=
= (g.v)(α),
h(α)
h(α).v(α)
es decir, es un polinomio a coeficientes en K[X] evaluado en α.
Tomemos ese polinomio y divid´moslo por f . Obtenemos un cociente q y un resto r, que
a
es el polinomio nulo o tiene grado menor o igual que n − 1 tales que
(g.v)(X) = f (X).q(X) + r(X)
y, si evaluamos esta identidad en α, obtenemos que
z = (g.v)(α) = r(α) = a0 .1 + a1 .α + a2 .(α)2 + · · · + an−1 .(α)n−1
con a0 , a1 , a2 . . . , an−1 ∈ K con lo que probamos que {1, α, α2 , . . . , αn−1 } es un conjunto
de generadores de K[α] como K-espacio vectorial.
Veamos ahora que este conjunto es linealmente independiente: Supongamos que
a0 .1 + a1 .α + a2 .(α)2 + · · · + an−1 .(α)n−1 = 0.
Entonces los polinomios f y p = a0 .1 + a1 .X + a2 .(X)2 + · · · + an−1 .(X)n−1 tienen a α
como ra´ com´n y, por lo tanto, α es ra´ del m´ximo com´n divisor entre f y p, que no
ız
u
ız
a
u
puede ser 1. Resulta entonces que este m´ximo com´n divisor es f , con lo cual f divide
a
u
a p y, por una cuesti´n de grado, esto s´lo puede pasar si p es el polinomio nulo. Esto
o
o
demuestra que a0 = a1 = a2 = · · · = an−1 = 0 y, entonces, el conjunto {1, α, α2 , . . . , αn−1 }
resulta ser lineamente independiente, y por lo tanto, es una base de K[α] como K-espacio
vectorial, como quer´
ıamos demostrar.
√
Ejemplo importante: Si tomamos K = Q y α = 3 2, resulta que α es ra´ del polinomio
ız
√
X 3 − 2, que es irreducible en Q[X] por Einsestein. Por lo tanto dimQ Q( 3 2) = 3.
6
Los cuerpos y las construcciones
El paso fundamental para relacionar el ´lgebra con las construcciones con regla y comp´s
a
a
es calcular las posibles dimensiones de los cuerpos que generan los n´meros construibles:
u
Teorema. Sean (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) puntos construibles a partir del (0, 0) y del
(0, 1) y sea (x, y) un punto construible en un paso a partir de ellos. Entonces
dimQ(x1 ,y1 ,x2 ,y2 ,...,xn ,yn ) Q(x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xn , yn )(x, y) ≤ 2.
13
14. Demostraci´n: El punto (x, y) se obtiene a partir de la intersecci´n de dos rectas, una
o
o
recta y una circunferencia o de dos circunferencias construibles a partir de los puntos
dados.
• Intesecci´n de dos rectas:
o
Esto quiere decir que el punto (x, y) es soluci´n de un sistema de ecuaciones
o
(yi − yj )(x − xj ) = (y − yj )(xi − xj )
(yk − y )(x − x ) = (y − y )(xk − x )
pero entonces, resolviendo el sistema mediante despejes, x e y se obtienen sumando,
restando, multiplicando y dividiendo elementos que ya est´n en el cuerpo, as´ que
a
ı
ellos ya est´n en Q(x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xn , yn ) y la dimensi´n que queremos calcular es
a
o
1 (recordar que la dimensi´n de un cuerpo sobre s´ mismo es 1 pues el conjunto {1}
o
ı
es una base).
• Intersecci´n de una recta y de una circunferencia:
o
Esto quiere decir que el punto (x, y) es soluci´n de un sistema de ecuaciones
o
(yi − yj )(x − xj ) = (y − yj )(xi − xj )
(y − y )2 + (x − x )2 = r2
donde r2 es un elemento de Q(x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xn , yn ) ya que es el cuadrado de la
distancia entre dos puntos (xh , yh ) y (xk , yk ). Despejamos una variable de la ecuaci´n
o
de la recta (la que se pueda) y la reemplazamos en la de la circunferencia. Tenemos
entonces que la otra variable satisface un polinomio de grado 2 con coeficientes en
Q(x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xn , yn ) y la variable despejada est´ en el cuerpo generado por la
a
otra sobre Q(x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xn , yn ). Luego, la dimensi´n que queremos calcular
o
es, por la Proposici´n 2, a lo sumo dos.
o
• Intersecci´n de dos circunferencias: reemplazando la ecuaci´n de una circunferencia
o
o
por la resta de las dos ecuaciones, tenemos la ecuaci´n de una circunferencia y la de
o
una recta, y entonces este caso se reduce al caso anterior.
Corolario 1. Sea (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) es una cadena de puntos construibles a
partir del (0, 0) y del (1, 0) tales que (x1 , y1 ) se construye en un paso a partir de ellos,
(x2 , y2 ) se construye en un paso a partir del (0, 0), el (1, 0) y el (x1 , y1 ) y as´ sucesivamente.
ı
Entonces dimQ Q(x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xn , yn ) es una potencia de 2.
Demostraci´n. Usando la Proposici´n 1 sobre la multiplicatividad de la dimensi´n,
o
o
o
tenemos que
dimQ Q(x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xn , yn ) =
= dimQ Q(x1 , y1 ). dimQ(x1 ,y1 ) Q(x1 , y1 , x2 , y2 ) . . . dimQ(x1 ,y1 ,...,xn−1 ,yn−1 ) Q(x1 , y1 , . . . , xn , yn )
14
15. y por el Teorema, cada uno de estos n´meros es 1 ´ 2, por lo que el producto es una
u
o
potencia de 2.
Corolario 2. Si x es un n´mero construible dimQ Q(x) es una potencia de 2.
u
Demostraci´n. Si x es un n´mero construible, (x, 0) es un punto construible en un
o
u
n´mero finito de pasos, por lo que existen puntos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ), todos consu
truibles en un paso a partir de los anteriores de forma tal que (x, 0) se construye en un
paso a partir de ellos. Luego, por el Corolario 1, dimQ Q(x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xn , yn , x) es una
potencia de 2. Ahora bien, usando nuevamente la multiplicatividad de la dimensi´n
o
dimQ Q(x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xn , yn , x) = dimQ Q(x). dimQ(x) Q(x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xn , yn , x)
por lo que dimQ Q(x) es un divisor de una potencia de 2 y, por lo tanto, es una potencia
de 2.
7
Algunas respuestas
• Resultado 1. El cubo no puede duplicarse con regla y comp´s.
a
Soluci´n: Si tenemos un cubo cuyos lados miden 1 (el segmento que une el (0, 0)
o
y el (1, 0), por ejemplo) y se pudiese duplicar su volumen, podr´
ıamos construir un
√
3
u
ıa
lado de longitud 2 y, por lo tanto, este n´mero ser´ construible. Sin embargo, ya
√
vimos que dimQ Q( 3 2) = 3 que no es una potencia de 2.
• Resultado 2. No se puede trisecar cualquier ´ngulo con regla y comp´s.
a
a
Soluci´n: Utilizando las f´rmulas del coseno y del seno de la suma, se prueba
o
o
f´cilmente que
a
cos(3α) = 4 cos3 (α) − 3 cos(α).
Reemplazando α = π , tenemos que
9
π
π
1
4 cos3 ( ) − 3 cos( ) − = 0,
9
9
2
es decir que el coseno del ´ngulo de π es ra´ del polinomio f (X) = X 3 − 3 X − 1 .
a
ız
9
4
8
Este polinomio es irreducible en Q[X] ya que tiene grado 3 y se puede ver que no
tiene ra´
ıces en Q usando Gauss con el polinomio 8.f . Si el ´ngulo de π (que ya
a
3
construimos cuando dibujamos el hex´gono regular) se pudiese trisecar, podr´
a
ıamos
dibujar el punto (cos( π ), sin( π )) y el n´mero cos( π ) ser´ construible, pero como es
u
ıa
9
9
9
ra´ de un polinomio irreducible de grado 3, resulta que dimQ Q(cos( π )) = 3 que no
ız
9
es una potencia de 2, lo que es un absurdo. Luego, el ´ngulo π no se puede trisecar.
a
3
(Notar que esto implica que no se puede construir un pol´
ıgono regular de 18 lados
con regla y comp´s.)
a
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16. • Resultado 3. No se puede cuadrar un c´
ırculo con regla y comp´s.
a
Soluci´n: Si se pudiese cuadrar un c´
o
ırculo de radio 1, tendr´
ıamos que poder cons√
truir un cuadrado con un lado de longitud π y, por lo tanto, π ser´ construible.
ıa
Si esto fuese cierto, dimQ Q(π) ser´ una potencia de 2. Sin embargo, Lindemann
ıa
prob´ en 1882 que dimQ Q(π) = ∞ o, lo que es lo mismo, que π es trascendente
o
(esta demostraci´n se escapa al contenido del curso).
o
• Resultado 4 El hept´gono regular no se puede construir con regla y comp´s.
a
a
Soluci´n: Vamos a proceder en forma similar a como lo hicimos con el pent´gono
o
a
regular.
Consideremos el n´mero complejo τ = cos( 2π ) + i sin( 2π ). Por el mismo razonau
7
7
miento que hicimos antes, tenemos que
τ 6 + τ 5 + τ 4 + τ 3 + τ 2 + τ + 1 = 0.
Sacando τ 3 factor com´n, tenemos que
u
0 = τ 3 + τ 2 + τ + 1 + τ −1 + τ −2 + τ −3 = (τ + τ −1 )3 + (τ + τ −1 )2 − 2(τ + τ −1 ) − 1,
ız
pero (τ + τ −1 ) = 2 cos( 2π ) resulta ser ra´ del polinomio X 3 + X 2 − 2X − 1, que
7
es irreducible en Q[X]. Luego, dimQ Q(2 cos( 2π )) = 3 que no es una potencia de 2.
7
Por lo tanto, el n´mero 2 cos( 2π ) no es construible con regla y comp´s y, entonces,
u
a
7
cos( 2π ) tampoco lo es, con lo que el hept´gono regular no es construible.
a
7
Comentario: Se sabe que un pol´
ıgono regular de n lados es construible con regla y comp´s
a
j .p . . . p , donde
si y s´lo si la descomposici´nn en factores primos de n es de la forma n = 2 1
o
o
r
k
j ∈ N0 y cada pi es un primo distinto de la forma 22 i + 1 (a estos primos se los llama
primos de Fermat). Una de las implicaciones de este teorema fue probada por Gauss y
la otra fue demostrada por Pierre Wantzel (este ultimo fue el primero en dar una prueba
´
rigurosa de la imposibilidad de trisecar un ´ngulo y de duplicar un cubo). La demostraci´n
a
o
de este teorema se escapa a los alcances del curso.
8
Como trisecar un ´ngulo con regla marcada y comp´s
a
a
Suponemos ahora que tenemos un comp´s y una regla con una medida fija marcada. No
a
interesa cu´nto mide el segmento marcado en la regla, sino que podamos usarlo como radio
a
de una circunferencia o que podamos hacerlo coincidir con dos puntos. Trisequemos ahora
un ´ngulo cualquiera.
a
Dado el ´ngulo CAB, dibujemos una circunferencia con centro en el v´rtice y radio igual
a
e
a la medida en la regla que llamaremos r = |AB|.
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17. Ahora, hacemos pasar la regla por C de forma tal que las marcas a distancia r se ubiquen
ı
una sobre la circunferencia y la otra sobre la recta AB (y as´ obtenemos los puntos E y
G, que est´n a distancia r).
a
Unimos los v´rtices A y E para obtener la figura de an´lisis.
e
a
Notar que los tri´ngulos AEG y EAC son is´sceles, ya que cada uno tiene dos lados que
a
o
miden r.
Consideremos ahora la siguiente identidad:
17
18. BAC + CAE + EAG = π.
Entonces
BAC + (π − 2(CEA)) + EAG = π
y luego
BAC − 2(CEA) + EAG = 0.
Pero CEA = 2(EAG), con lo que
BAC − 3EAG = 0
lo que demuestra que el ´ngulo EAG es exactamente un tercio del ´ngulo original BAC
a
a
(es decir, trisecamos el ´ngulo original usando comp´s y una regla con una medida fija
a
a
marcada).
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