Este documento presenta la teoría y ejercicios sobre la ecuación de la recta. Explica que una recta puede definirse mediante un vector director o la ecuación punto-vector. A continuación, proporciona 10 ejercicios resueltos como ejemplos para hallar ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados, son paralelas o perpendiculares a otras rectas, o forman ángulos determinados.

1. Ec uac i ó n de l a rec t a que pas a po r do s punt o s
 Te oría
 Eje rcicios
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Sean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) que determina una recta r. Un vector
director de la recta es:
Cuyas componentes son:
Sustituyendo estos valores en la forma continua:
Ejemplos:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5)

2. 1 Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que
pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).
2 De un paralelogramo ABC D conocemos A(1, 3), B(5, 1), C (−2, 0).
Halla las coordenadas del vértice D.
3 C lasificar el triángulo determinado por los pu ntos: A(6, 0), B(3, 0)
y C (6, 3).
4 Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y
− 7 = 0.
5 Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:
1 2x + 3y − 4 =0
2 x − 2y + 1= 0
3 3x − 2y − 9 = 0
4 4x + 6y − 8 = 0
5 2x − 4y − 6 = 0
6 2x + 3y + 9 = 0
6 Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1, 5), y es paralela
a la recta s ≡ 2x + y + 2 = 0.
7 Se tiene el cuadrilátero ABC D cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4),
C (−3, 2) y D(−1, −2). C omprueba que es un paralelogramo y
determina su centro.
8 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es
paralela a la recta que une los puntos (4, 1)) y (−2, 2).
9 Los puntos A(−1, 3) y B(3, −3), son vértices de un triángulo
isósceles ABC que tiene su vértice C en la rec ta 2x − 4y + 3 = 0
siendo AC y BC los lados iguales. C alcular las coordenadas del vértice
C .

3. 10 La recta r ≡ 3x + ny − 7 = 0 pasa por el punto A(3, 2) y es
paralela a la recta s ≡ mx + 2y − 13 = 0. C alcula m y n.
11 Dado el triángulo ABC , de coordenadas A( 0, 0), B(4, 0) y C (4,
4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C .
12 De un paralelogramo se conoce un vértice, A(8, 0), y el punto de
corte de las dos diagonales, Q(6, 2). También sabemos que otro
vértice se encuentra en el origen de c oordenadas. C alcular:
1 Los otros vértices.
2 Las ecuaciones de las diagonales.
3 La longitud de las diagonales.
Solucione s
Ejercicio 1 resuelto
Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por
los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).

4. De un paralelogramo ABC D conocemos A(1, 3), B(5, 1), C (−2, 0). Halla las
coordenadas del vértice D.
C lasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3,0) y C (6, 3).

5. Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y − 7 = 0.
studiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:
1 2x + 3y − 4 =0
2 x − 2y + 1= 0
3 3x − 2y − 9 = 0
4 4x + 6y − 8 = 0
5 2x − 4y − 6 = 0
6 2x + 3y + 9 = 0

6. Las re ctas 1 y 4 son coincide nte s , porque todos sus coeficientes son
proporcionales:
Las re ctas 2 y 5 y las 1 y 6 son parale las re spe ctiv ame nte , ya que
existe proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y, pero no en el
término independiente.
Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1, 5), y es paralela a la
recta s ≡ 2x + y + 2 = 0.
Se tiene el cuadrilátero ABC D cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C (−3, 2)
y D(−1, −2). C omprueba que es un paralelogramo y determina su centro.

8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es paralela a
la recta que une los puntos (4, 1)) y (−2, 2).
Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC
que tiene su vértice C en la recta 2x − 4y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados
iguales. C alcular las coordenadas del vértice C .

9. La recta r ≡ 3x + ny − 7 = 0 pasa por el punto A(3, 2) y es paralela a la
recta s ≡ mx + 2y − 13 = 0. C alcula m y n.
Ejercicio 11 resuelto
Dado el triángulo ABC , de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C (4, 4); calcula la
ecuación de la mediana que pasa por el vértice C .

10. Ejercicio 12 resuelto
De un paralelogramo se conoce un vértice, A(8, 0), y el punto de corte de
las dos diagonales, Q(6, 2). También sabemos que otro vértice se encuentra
en el origen de coordenadas. C alcular:
1 Los otros vértices.
2 Las ecuaciones de las diagonales.

11. 3 La longitud de las diagonales.
1 C alcula la distancia del punto P(2, −1) a la recta r de ecuación 3x
+ 4y = 0.
2 Hallar la distancia entre r ≡ 3x − 4y + 4 = 0 y s ≡ 9x − 12y − 4 =
0.
3 C alcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus
vectores directores son: = (−2, 1) y = (2, −3).
4 C alcula el ángulo que forman las rectas r ≡ x + 3y − 2 = 0 y s ≡
2x − 3y + 5 = 0.
5 Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r ≡ x + 2y + 3 = 0,
que pasen por el punto A(3, 5).
6 Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2,
5) y B(4, −7).
7 Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que
determinan las rectas r ≡ 3x − 4y + 5 = 0 y s ≡ 6x + 8y + 1 = 0.

12. 8 C alcular la ecuación de la recta perpendicular a r ≡ 8x − y − 1 = 0
y pasa por el punto P(−3, 2).
9 Una recta de ecuación r ≡ x + 2y − 9 = 0 es mediatriz de un
segmento AB cuyo extremo A tiene por coordenadas (2, 1). Hallar las
coordenadas del otro extremo.
10 Halla el punto simétrico A', del punto A (3, 2), respecto de la
recta r ≡ 2x + y − 12 = 0.
11 Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuacione s:
1
2
12 Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones:
1
2
13 Dadas las rectas r ≡ 3x + y − 1 = 0 y s ≡ 2x + my − 8 = 0,
determinar m para que formen un ángulo de 45°.
14 Una recta es paralela a la que tiene por ecuación r ≡ 5x + 8y −
12 = 0, y dista 6 unidades del origen. ¿C uál es su ecuación?
15 Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r ≡ 5x −
7y + 12 = 0 y dista 4 unidades del origen. ¿C uál es su ecuación?
16 Se tiene el cuadrilátero ABC D cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4),
C (−3, 2) y D(−1, −2). C alcular su área.
17 Dado el triángulo A(−1, −1), B(7, 5), C (2, 7); calcular las
ecuaciones de las alturas y determinar el ortocentro del triángulo.
18 C alcular las bisectrices de los ángulos determinados por la rectas:

13. Ejercicio 1 resuelto
C alcula la distancia del punto P(2, −1) a la recta r de ecuación 3x + 4 y =
0.
Ejercicio 2 resuelto
Hallar la distancia entre r ≡ 3x − 4y + 4 = 0 y s ≡ 9x − 12y − 4 = 0.
C alcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores
directores son: = (−2, 1) y =(2, −3).
Ejercicio 4 resuelto
C alcula el ángulo que forman las rectas r≡ x + 3y − 2 = 0 y s≡ 2x − 3y + 5
= 0.

14. Ejercicio 5 resuelto
Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r ≡ x + 2y + 3 = 0, que
pasen por el punto A(3, 5).

15. Ejercicio 6 resuelto
Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2, 5) y B(4,
−7).
Ejercicio 7 resuelto
Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las
rectas r ≡ 3x − 4y + 5 = 0 y s ≡ 6x + 8y + 1 = 0.

16. Ejercicio 8 resuelto
C alcular la ecuación de la recta perpendicular a r ≡ 8x − y − 1 = 0 y pasa
por el punto P(−3, 2).
Ejercicio 9 resuelto
Una recta de ecuación r ≡ x + 2y − 9 = 0 es mediatriz de un segmento AB
cuyo extremo A tiene por coordenadas (2, 1). Hallar las coordenadas del
otro extremo.

17. Ejercicio 10 resuelto
Halla el punto simétrico A', del punto A (3, 2), respecto de la recta r ≡ 2x +
y − 12 = 0.

18. Ejercicio 11 resuelto
Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones:
1
2

19. Ejercicio 12 resuelto
Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones:
1
2
Ejercicio 13 resuelto
Dadas las rectas r ≡ 3x + y − 1 = 0 y s ≡ 2 x + my − 8 = 0, determinar m
para que formen un ángulo de 45°.

20. Ejercicio 14 resuelto
Una recta es paralela a la que tiene por ecuación r ≡ 5x + 8y − 12 = 0, y
dista 6 unidades del origen. ¿C uál es su ecuación?
Ejercicio 15 resuelto
Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r ≡ 5x − 7y + 12 = 0
y dista 4 unidades del origen. ¿C uál es su ecuación?
Ejercicio 16 resuelto
Se tiene el cuadrilátero ABC D cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C (−3, 2)
y D(−1, −2). C alcular su área.

21. Ejercicio 17 resuelto
Dado el triángulo A(−1, −1), B(7, 5), C (2, 7); calcular las ecuaciones de las
alturas y determinar el ortocentro del triángulo.

23. Ejercicio 18 resuelto
C alcular las bisectrices de los ángulos determinados por la rectas:
Ec uac i ó n de l a c i rc unf erenc i a
 Te oría
 Eje rcicios
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24. Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro.
Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:
Si desarrollamos:
y realizamos estos cambios:
Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:
Donde el centro es:

25. y el radio cumple la relación:
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Ecuación reducida de la circunferencia
Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la
ecuación queda reducida a:
Ejemplos
1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.
2. Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el
radio.

26. 3. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3),
C(1, 3).
Si sustituimos x e y en la ecuación por las
coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:
Ej erc i c i o s de l a ec uac i ó n de l a c i rc unf erenc i a
 Te oría
 Eje rcicios
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 Problemas
 Soluciones
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1 Determina las coordenadas del centro y del radio de las
circunferencias:
1
2
3
4 4x2 + 4y2 − 4x − 8y − 11 = 0
2 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro
en (2 , −3) y es tangente al eje de abscisas.

27. 3 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro
en (−1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.
4 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro
en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1
= 0, y su radio es igual a 5.
5 Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la
ecuación , y que pasa por el
punto (−3,4).
6 Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al
triángulo de vértices:A(0, 0), B(3, 1), C(5, 7).
7 Los extremos del diámetro de una circunferencia son los
puntos A(−5, 3) y B(3, 1). ¿Cuál es la ecuación de esta
circunferencia?
8 Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la
circunferencia que sea tangente a
la recta 3x − 4y + 7 = 0.
9 Estudiar la posición relativa de la circunferencia x2 + y2 − 4x
+ 2y − 20 = 0 con las rectas:
1 x + 7y − 20 = 0
2 3x + 4y − 27 = 0
3 x + y − 10 = 0
Ejercicio 1 resuelto
Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:
1

28. 2
3
4 4x 2
+ 4y 2
− 4x − 8y − 11 = 0

29. Ejercicio 2 resuelto
C alcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2, −3) y es
tangente al eje de abscisas.
Ejercicio 3 resuelto
C alcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (−1, 4) y es
tangente al eje de ordenadas.

30. Ejercicio 4 resuelto
C alcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de
intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual
a 5.

31. Ejercicio 5 resuelto
Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la
ecuación , y que pasa por el punto (−3, 4).
Por ser concéntricas tienen el mismo centro.

32. Ejercicio 6 resuelto
Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de
vértices:A(0, 0), B(3, 1), C (5, 7).
Ejercicio 7 resuelto
Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(−5, 3) y
B(3, 1). ¿C uál es la ecuación de esta circunferencia?

33. Ejercicio 8 resuelto
Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la
circunferencia que sea tangente a la recta 3x −
4y + 7 = 0.

34. Ejercicio 9 resuelto
Estudiar la posición relativa de la circunferencia x 2
+ y2
− 4x + 2y − 20 = 0
con las rectas:
1 x + 7y − 20 = 0

35. 2 3x + 4y − 27 = 0
3 x + y − 10 = 0

36. EJERCCIOSS
1 Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el
punto C (3, 1) y es tangente a la recta: 3x − 4y + 5 = 0.
2 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
A(2, 1) y B(−2, 3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0 .
3 C alcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0,
−3), cuyo radio es y cuyo centro se halla en la bisectriz del
primer y tercer cuadrantes.
Ejercicio 1 resuelto
Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C (3,
1) y es tangente a la recta: 3x − 4y + 5 = 0.

37. Ejercicio 2 resuelto
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 1) y
B(−2, 3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.
Ejercicio 3 resuelto
C alcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0, −3), cuyo
radio es y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer
cuadrantes.

38. C ó ni c as
 Te oría
 Eje rcicios

39. Ir a...
Elementos de las cónicas:
Superficie: Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación
de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo
oblicuo.
Generatriz: La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
Vértice: El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
Hojas: Las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie
cónica de revolución.
Sección: Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un
plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el
ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β),
pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.
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40. Elipse
La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un
plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el
mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.
α < β <90º
La elipse es una curva cerrada.
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Circunferencia
La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.
β = 90º

41. La circunferencia es un caso particular de elipse.
Parábola
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La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por
un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
α = β
La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.
Hipérbola

42. La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por
un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y
generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.
α > β
La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de
dos ramas separadas.