1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA.
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA.
UNIVERSIDAD YACAMBÚ.
Bastidas Laura. ACP-133-00562
Teixeira Nelson. ACP-133-00729
2. Se pueden resolver aplicando un límite notable o una identidad
trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones.
Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones
algebraicas como multiplicar y dividir por un número, factorizar, multiplicar
por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites.
RECORDEMOS
𝜋 rad= 180°
TEOREMA
1) lim
𝑥→0
sen 𝑥
𝑥
= 1
2) lim
𝑥→0
1−cos 𝑥
𝑥
= 0
3. 1) E f(a) Que el punto x = a tenga imagen.
2) E lim
𝑥→𝑎
f(x) Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3) f(x)= lim
𝑥→𝑎
f(x) Que la imagen del punto coincida con el límite
de la función en el punto.
Se dice que una función f(x) es continua en un punto
x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
Si al menos una de las condiciones se deja de
cumplir, entonces la función no es continua.
4. Una asíntota, es una recta que se encuentra asociada a la gráfica de algunas
curvas y que se comporta como un límite hacia el cual la gráfica se aproxima
indefinidamente, pero nunca lo toca y mucho menos lo salta.
En general, la recta puede tener
cualquier orientación, sin embargo,
practicaremos las siguientes. Son rectas verticales asociadas a
la función, se encuentran presentes
únicamente en funciones racionales
de la forma 𝑓(𝑥)=
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
(al igual
que las horizontales), y su resultado
siempre debe ser +∞ ó -∞.
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Se determinan haciendo que la
variable independiente “x” tienda al
infinito, lo que trae como
consecuencia, que la función tienda a
un valor determinado fijo, al que
nunca va a llegar y mucho menos
sobrepasar.
8. 4) Hallar a y b sabiendo que la siguiente función es continua en -2
𝑓 𝑥
=
𝑥3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2
𝑘𝑥2
− 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 > −2
Como la función es continua en -2, entonces es continua por la derecha
y por la izquierda de -2
f es continua por la derecha de -2, entonces:
𝑓 −2 = lim
𝑥→−2
+ 𝑓(x)
lim
𝑥→−2
+ 𝑘𝑥2 − 2𝑥(−2)3
=
−8 = 𝑘 −2 2
− 2 −2
−8 = 4𝑘 + 4
4𝑘 = −8 − 4
4𝑘 = −12
𝑘 =
−12
4
Resolvemos.
𝑘 = −3
9. 5) Hallar las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de la ecuación
𝑥𝑦2-𝑦2-4x-8= 0
Resolvemos.
“Despejamos y”
𝑥𝑦2
-𝑦2
-4x-8=0
⟹ 𝑥𝑦2
-𝑦2
= 4𝑥 + 8
⟹ 𝑦2(𝑥 − 1) = 4𝑥 + 8
𝑦2 =
4𝑥 + 8
𝑥 − 1
𝑦 = ±
4𝑥+8
𝑥−1
La gráfica de la función es la unión
de las funciones:
𝑓(𝑥)=
4𝑥+8
𝑥−1
y 𝑔(𝑥)= −
4𝑥+8
𝑥−1
𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 y 𝐷𝑜𝑚𝑔 𝑥 son iguales:
4𝑥+8
𝑥−1
≥ 0 ⟹
4(𝑥+2)
𝑥−1
≥ 0
⟹
𝑥+2
𝑥−1
≥ 0
Raíces del numerador: x+2= 0 ⟹ 𝑥 = −2
Raíces del denominador: x-1= 0 ⟹ 𝑥 = 1
+ + + - - - + + +
−∞ +∞−𝟐 𝟏
X= -3 ⟹
−3+2
−3−1
=
−1
−4
= +
X= 0 ⟹
0+2
0−1
=
2
−1
= -
X= 2 ⟹
2+2
2−1
=
4
1
= +
10. 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 = 𝐷𝑜𝑚𝑔 𝑥 = (−∞, -2] U (1, +∞)
Asíntotas verticales (A.V)
El posible punto que origina A.V es x= 1
Como la función no esta definida en los puntos próximos y a la derecha de 1, entonces
sólo calculamos los límites a la derecha de ambas funciones.
lim
𝑥→1
+ 4𝑥 + 8 = 4.1 + 8 = 12 > 0 y lim
lim
𝑥→1
+ 𝑥 − 1 = 1 − 1
lim
𝑥→1
+f(x) = lim
𝑥→1
+
4𝑥 + 8
𝑥 − 1
Por otro lado lim
𝑥→1
+ g(x)= lim
𝑥→1
+
− f(x) = −∞
Entonces x= 1 es una Asíntota vertical.
= 0 positivamente, entonces:
= lim
𝑥→1
+
4𝑥+8
𝑥−1
=
2
0
= +∞
Asíntotas horizontales (A.H)
lim
𝑋→±∞
f x = lim
𝑋→±∞
4𝑥+8
𝑥−1
= lim
𝑋→±∞
4𝑥+8
𝑥
𝑥−1
𝑥
14. 7) Hallar a y b para que la función dada sea continua en su dominio
𝑓 𝑥 =
−2, 𝑠𝑖 𝑥 < −1
𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 3
2, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
Resolvemos.
Como la función es continua en su dominio, tenemos:
𝑎) lim
𝑥→−1
𝑓 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 ⇔ lim
𝑥→−1
+ 𝑓 𝑥 lim
𝑥→−1
− f(x)
lim
𝑥→−1
+ (ax+b)= lim
𝑥→−1
− (-2)
𝑎 −1 + 𝑏 = −2
−𝑎 + 𝑏 = −2
𝑏) lim
𝑥→3
𝑓 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 ⇔ lim
𝑥→3
+ f(x)= lim
𝑥→3
− f(x)
lim
𝑥→3
+ 2= lim
𝑥→3
− (ax+b)
2= a(3+b)
1
3a+b=2 2
Formamos un sistema de
ecuaciones con 1 y 2
3
1
−𝑎 + 𝑏 = −2
3𝑎 + 𝑏 = 2
⇒
−3𝑎 + 3𝑏 = −6
3𝑎 + 𝑏 = 2
4b= -4
b=
−4
4
⇒ 𝑏 = −1
15. Sustituyendo b=1 en ecuación 2
3a+b= 2
3a+(-1)=2
3a-1=2
3a=2+1
3a=3
3a=
3
3
a=1
Los valores son; a=1 y b=-1
16. No permitas que nadie diga que eres
incapaz de hacer algo. Si tienes un sueño,
debes conservarlo. Si quieres algo, sal a
buscarlo, y punto. ¿Sabes?, las personas
que no logran conseguir sus sueños suelen
decirle a los demás que tampoco podrán
cumplir los suyos. Con dedicación, todo se
puede.
Esperamos habernos dado a entender, y servirles de ayuda, gracias.