Control estadístico de la calidad en la industria

Carlos Viesca González 1
Control Estadístico de
Calidad
Carlos Viesca González

CAPÍTULO 1
Conceptos básicos y
variabilidad.

CALIDAD
(ISO 9000:2000)
 Grado en el que un conjunto de
características (rasgos diferenciadores)
inherentes (existen en algo, especialmente
como características permanentes) cumple
con los requisitos (necesidad o expectativa
establecida, generalmente implícita u
obligatoria).

Dimensiones de la calidad
(Garvin, 1987)
La calidad de un producto se puede evaluar de
varias formas:
n Desempeño. ¿Desempeñará el producto la
función para la cual fue creado?
n Confiabilidad. ¿Con qué frecuencia falla el
producto?
n Durabilidad. ¿Cuánto dura el producto?
n Disponibilidad del servicio. ¿Qué tan fácil es
reparar un producto?

1. Estética. ¿Cómo se ve el producto?
2. Características distintivas. ¿Qué más
hace el producto?
3. Calidad percibida. ¿Cuál es la reputación
de la compañía o de sus productos?
4. Conformancia o cumplimiento con los
estándares. ¿Está hecho el producto
conforme el diseñador lo pretendía?
Dimensiones de la calidad
(Garvin 1987)

Adecuación para el uso
 Calidad significa adecuación para
el uso.
• Calidad de diseño. Un producto o
servicio se produce con un grado o
nivel de calidad, el cual es
intencional.

 Calidad de conformancia. Qué tan
bien cumple un producto o servicio con
las especificaciones de diseño. Se ve
afectada por: el proceso de manufactura,
el entrenamiento y la supervisión, el
sistema de calidad, el grado al cual se
aplican los procedimientos del sistema de
calidad y la motivación de la fuerza de
trabajo, entre otros factores.
Adecuación para el uso

Algunas definiciones de
calidad
 Adecuación para el uso o para la función.
 El grado al cual un producto específico
satisface los deseos de un cliente en
particular.
 Proveer productos y servicios que cumplan
con las expectativas de los clientes a lo largo
de la vida del producto o servicio a un costo
que represente valor para el cliente.

 El grado al cual un producto es conforme
a las especificaciones del diseño.
 Las características o atributos que
distinguen a un artículo de otro.
 Conformancia con los requerimientos de
ingeniería aplicables, de acuerdo con las
especificaciones, dibujos y demás
documentos de ingeniería relacionados.
calidad

 Las definiciones anteriores no han sido
muy útiles por alguno o varios de los
siguientes aspectos:
b) Están basados en atributos y son de
naturaleza cualitativa.
c) Están basados en manufactura y no en
diseño (se ve la calidad hasta el final del
proceso de manufactura)
calidad

 No establecen claramente la relación
apropiada entre deseos, necesidades,
expectativas del cliente y la función
del producto. Un producto se puede
vender por un atributo pero perderá
mercado por su función, por su
calidad.
calidad

Función de pérdida de
Taguchi.
 La pérdida impartida a la sociedad
durante el uso de un producto es un
resultado de la variación funcional y de
los efectos dañinos derivados del uso
del mismo (efectos colaterales que no
están relacionados con la función del
producto).

Función de pérdida de
Taguchi.
Ejemplo de las agendas:
Pérdidas
($)
Longitud del corte del forro por agenda
21.7 22.3
Pérdidas
menores
Pérdidas
mayores
Para este ejemplo:
• Valor nominal u objetivo= 22 cm
• Especificaciones o tolerancias= 22 ± .3 cm
• Límite inferior de especificación (LIE) = 21.7 cm
• Límite superior de especificación (LSE) = 22.3 cm

Actualmente función de
pérdida
Pérdida
de
calidad
Características de calidad
Valor nominal
Se comporta de forma
exponencial en las pérdidas

Actualmente función de
pérdida
En algunos estudios empíricos se ha encontrado:
Pérdidas
($)
Valor nominal
Pérdida de calidad
Característica de calidad
Tendencia
• Actualmente la tendencia de control
de calidad es la reducción de
variabilidad

Variabilidad
(Devor, 1992)
 No existen dos productos exactamente
iguales.
 La falla de un producto para alcanzar
la función que se pretende, según el
cliente, puede surgir de alguna o de
las dos siguientes fuentes:
1. Falla para lograr el desempeño nominal
requerido por el diseño.
2. Variación excesiva alrededor del nivel de
desempeño nominal pretendido.

Variabilidad
 Las fuentes de variación son fuentes de
desperdicio e ineficiencias y por cada fuente
de variación identificada y removida se
experimentarán incrementos en calidad y
productividad.
 La variabilidad se puede describir en términos
estadísticos y aquí es dónde encaja el uso de
métodos estadísticos en el mejoramiento de
la calidad.

Mejoramiento de la
calidad (Montgomery, 1997)
 Reducción de la variabilidad en procesos y
productos. Excesiva variabilidad en el
desempeño de un proceso se traduce
frecuentemente en desperdicio.
 ¿Y en servicios? Reducción de
desperdicio.

Control estadístico de la Calidad
(Besterfield, 1995)
 Consiste en el acopio, análisis e
interpretación de datos para su uso en
el control de calidad. Dos elementos
importantes del CEC son el Control
Estadístico de Procesos (CEP) y el
Muestreo de Aceptación.

CAPÍTULO 2
Gráficas de Control

Gráficas de control
Característica
de
calidad
tiempo
x
σ
µ ˆ
3
ˆ +
x
σ
µ ˆ
3
ˆ −
µ̂
Límite superior de control (LSC)
Límite inferior de control (LIC)
Línea central (LC)
Dónde el tiempo representa la muestra o subgrupo

 Las gráficas de control nos muestran cómo se
compara una característica a través del tiempo.
 Si todos los puntos están dentro de los límites y
no siguen un patrón específico, se dice que el
proceso está bajo control o bajo control
estadístico.
 Los límites de control dependen del
comportamiento de los datos.

 Concepto de control estadístico de Shewhart:
 Se dice que un fenómeno está controlado cuando,
a través del uso de la experiencia pasada, se
puede predecir al menos dentro de ciertos límites
como se espera que varie el fenómeno en el
futuro.
 Si un proceso no está en estado controlado, la
productividad o el éxito económico no se
garantiza.

 Límites de especificación:
Límites de especificación: dependen
del diseño o del cliente.
 Límites de control:
Límites de control: los determina el
proceso.

Zonas de una gráfica de
control
 Zona A= media + 3σ= 99% de los datos
 Zona B= media + 2σ= 95% de los datos
 Zona C= media + σ = 68% de los datos

Ocho pruebas para verificar que una gráfica está bajo
control estadístico:
Prueba # 1:
Prueba # 1: un dato fuera del límite de control
Característica
de
calidad
tiempo
LSC
LIC
LC
A
B
C
C
B
A

Prueba # 2:
Prueba # 2:
Ocho puntos en forma consecutiva
por arriba o por debajo del
promedio
Característica
de
calidad
tiempo
LSC
LIC
LC
A
B
C
C
B
A
Prueba # 3:
Prueba # 3:
Cinco puntos consecutivos en
forma ascendente o descendente
Característica
de
calidad
tiempo
LSC
LIC
LC
A
B
C
C
B
A

Prueba # 4:
Prueba # 4:
Catorce puntos alternándose en
forma consecutiva arriba y abajo.
Prueba # 5:
Prueba # 5:
Dos o tres puntos en la zona A o
más allá
Característica
de
calidad
tiempo
LSC
LIC
LC
A
B
C
C
B
A
Característica
de
calidad
tiempo
LSC
LIC
LC
A
B
C
C
B
A

Prueba # 6:
Prueba # 6:
Cuatro de cinco puntos
consecutivos en la zona B o más
allá
Prueba # 7:
Prueba # 7:
Quince puntos consecutivos en la
zona C
Característica
de
calidad
tiempo
LSC
LIC
LC
A
B
C
C
B
A
Característica
de
calidad
tiempo
LSC
LIC
LC
A
B
C
C
B
A

Prueba # 8:
Prueba # 8:
Ocho puntos consecutivos que no caigan en la zona C
Característica
de
calidad
tiempo
LSC
LIC
LC
A
B
C
C
B
A

 Cuando una gráfica no está en control
estadístico, se puede deber a:
 Causas comunes de variación: fuentes de
variación dentro de un proceso que tienen una
distribución estable y repetible en el tiempo.
 Causas especiales de variación: factores que
causan variación y que no están actuando siempre
sobre el proceso.

Estadística de las gráficas
de control
 Prueba de hipótesis:
Ho: El proceso está bajo control vs
Ha: El proceso no está bajo control
 Error tipo I: Rechazar Ho cuando Ho es
verdadero. Se concluye que “el proceso no está
bajo control, cuando realmente si lo está”.
P(Error tipo I)= α

 Error tipo II: Aceptar Ho cuando Ho es
falsa. Se concluye que “el proceso está
bajo control, cuando realmente no lo está”.
P(Error tipo II)= β
 Para fines de cálculo de α y β, suponga
que el proceso no está bajo control si
hay un cambio en la media del mismo.
de control

 Fórmulas:
de control
x
x
x
Z
σ
µ
−
=
n
x
σ
σ =

de control
LSC
LIC
La media cambia
El error tipo II se obtiene con la nueva media

Curva característica de
operación
 Es una medida de de la bondad de una
gráfica de control para detectar cambios en
los parámetros de los procesos (µ, σ).
P(no
detectar
cambios)=β
Cambios en la media del proceso

ARL (Average run length)
 Denota el número de muestras que en
promedio se requieren para detectar
una señal fuera de control.
 Si el proceso está bajo control:
 Entre más grande sea el ARL es mejor, ya que no se
tienen muchas falsas alarmas.
α
1
=
ARL

 Si el proceso no está bajo control:
 Entre más pequeño sea el ARL necesito menos
muestras para calcular el error tipo II
ARL (Average run length)
β
−
=
1
1
ARL

Efectos de los límites de
control sobre α y β
a) si los límites de control son más anchos:
 α se reduce
 β se incrementa
b) si los límites de control son más angostos:
 α se incrementa
 β se reduce
c) si se toman muestras más grandes:
 α se reduce
 β se reduce

Tasa global de error tipo II
 Donde:
 K= # de reglas independientes usadas como
criterios para situaciones fuera de control.
 αi= P(error tipoI) con la regla
)
1
(
1
)
(
1
i
k
i
I
tipo
error
de
total
P
α
α
−
−
=
=
Π
=

Tipos de gráficas de
control
 Para valores continuos:
 Gráfica de medias y desviación estándar.
 Gráfica de medias y rangos.
 Gráfica de observaciones individuales y
rangos móviles.

Tipos de gráficas de
control
 Para valores discretos (atributos):
 Gráfica de proporción de artículos defectuosos (p)
 Gráfica de número de artículos defectuosos (np)
 Gráfica de número de defectos o disconformidades
(C)
 Gráfica de número de defectos por unidad (U)

Beneficios de las gráficas
de control
1. Son herramientas efectivas para entender la variación del
procesoy ayudan a lograr el control estadístico.
2. Si un proceso está en control estadístico su desempeño
es predecible y tanto el fabricante como el cliente pueden
confiar en niveles consistentes de calidad y en costos
estables para lograr la calidad.
3. Un proceso bajo control estadístico se puede mejorar a
través de la reducción de variación y el centrado en un
valor objetivo; esto reduce costos y mejora la
productividad.

1. Las gráficas de control proporcionan un lenguaje
común para comunicar información sobre el
desempeño de un proceso entre muy diversas
personas dentro y fuera de la empresa.
2. Las gráficas de control indican dónde está o
quien tiene la posible solución de un problema,
con lo cual se minimiza la confusión, frustración y
el costo de los esfuerzos mal dirigidos para la
solución de un problema.
Beneficios de las gráficas
de control

CAPÍTULO 2.1
Gráficas para variables
( )
S
x −
( )
R
x −

Gráfica de medias y
rangos
( )
R
x −

Gráficas de medias y
rangos
 El procedimiento es el mismo que en las
gráficas de medias y desviación
estándar.
 La forma de obtener los límites de
control y la línea central es la siguiente:

 Gráfica de rangos:
rangos
R
LC =
R
D
LSC 4
=
R
D
LSC 3
=

 Gráfica de medias: antes de calcular
los límites es necesario que esté bajo
control la gráfica de rangos.
rangos
x
LC =
R
A
x
LSC 2
+
=
R
A
x
LSC 2
−
=

 σ= se puede obtener a partir de los
datos recopilados, pero generalmente
se obtiene de la información
proporcionada por la gráfica de un
proceso bajo control.
rangos
2
ˆ
d
R
=
σ

Interpretación de gráfica
de rangos
 Esta gráfica se debe analizar primero, ya
que el comportamiento de los promedios y
de los rangos de los subgrupos depende
de la variabilidad estimada de las piezas.
 Se deben verificar las ocho pruebas
 Verificar que no haya tendencias

de medias
 Si la gráfica de rangos está bajo control, la dispersión
del proceso está estable y por lo tanto se puede
analizar la gráfica de los promedios; los límites de
control de esta gráfica se basan en la cantidad de
variación de los rangos. Con la gráfica de medias se
determina si el centro del proceso está cambiando
con el tiempo y si ese es el caso, entonces existen
causas especiales de variación que están
ocasionando esos problemas.

Gráfica de medias y
desviación estándar
( )
S
x −

n Defina cuál será la característica de la
Defina cuál será la característica de la
calidad:
calidad: Otorgar la máxima prioridad a
aquellas variables o características medibles y
expresables mediante números y que causen
problemas en producción o costos.
n Escoja el subgrupo racional:
Escoja el subgrupo racional: Los elementos
que conformen cada subgrupo deberán de
haberse producido básicamente dentro de las
mismas condiciones.
Procedimiento para
elaborar una gráfica x - S

1.
1. Recolectar los datos:
Recolectar los datos: Recoger información
de 25 subgrupos con más de 10 datos en cada
subgrupo. Regístrelos en una hoja de datos.
2.
2. Calcular los promedios para cada
Calcular los promedios para cada
subgrupo
subgrupo
3.
3. Calcular
Calcular :
: dividiendo el total de los
promedios de cada subgrupo por el número de
subgrupos.
Procedimiento para
=
x

n Calcular S
Calcular S:
: Calcular la desviación estándar
de cada subgrupo.
n Calcular :
Calcular : dividiendo el total de las S
de cada subgrupo por el número de
subgrupos.
Procedimiento para
1
)
(
1
2
−
−
=
∑
=
n
x
x
S
n
i
i
S

1.
1. Calcular las líneas de control:
Calcular las líneas de control:
Calcular cada una de las líneas de
control para la gráfica y la gráfica
S con las siguientes fórmulas:
Procedimiento para
x

 Gráfica S:
 Línea central:
 Límite superior de control:
 Límite inferior de control:
Nota importante: En estas gráficas de control la
desviación estándar se estima con la expresión
Procedimiento para
S
LC =
S
B
LSC 4
=
S
B
LIC 3
=
4
c
S

 Gráfica :
 Línea central:
 Límite superior de control:
 Límite inferior de control:
Procedimiento para
x
x
LC =
S
A
x
LSC 3
+
=
S
A
x
LIC 3
−
=

1.
1. Dibujar las líneas de control:
Dibujar las líneas de control: Preparar una hoja de papel
cuadriculado; dividirla en dos partes iguales para las dos
gráficas, colocando en la parte inferior la de desviaciones
estándar y en la parte superior la de medias; marcar cada eje
vertical de la izquierda con los valores de las media y de las
desviaciones estándar, según sea el caso, y el eje horizontal
con los números de los subgrupos. Dibuje una línea sólida
para la línea central y una línea punteada para los límites.
Procedimiento para

1.
1. Localizar los puntos:
Localizar los puntos: Registrar los valores
de la media y de la desviación estándar de
cada subgrupo, por partes, según el
número del subgrupo.
2.
2. Registrar los datos que puedan ser de
Registrar los datos que puedan ser de
utilidad:
utilidad: Escriba el tamaño del subgrupo
(n) en el extremo superior izquierdo de la
gráfica de medias.
Procedimiento para

Interpretación de gráfica S
 Primero se debe analizar esta gráfica, ya que
si no está bajo control estadístico los límites
de la gráfica de medias no tendrán sentido.
 En caso de que no este bajo control
estadístico, se deberán encontrar las causas
especiales de variación y eliminar los puntos
fuera de control y recalcular los límites.

de medias
 Después de haber revisado la gráfica S, es
cuando se interpreta la de medias.
 Nunca se deben relacionar los puntos en una
gráfica de medias con los límites de
especificación, ya que los puntos en la gráfica
son promedios y las especificaciones
corresponden a valores individuales, presentando
una variabilidad mayor que los subgrupos.

 Se deben verificar las ocho pruebas
 Verificar que no se presente ningún
patrón.
 Datos normales.
Para ambas gráficas

Límites de tolerancia
natural
 Estos límites se basan en observaciones
individuales.
σ̂
3
μ̂ +
=
(LSTN)
Tolerancia
de
Superior
Límite
σ̂
3
μ̂ −
=
(LITN)
Tolerancia
de
Inferior
Límite

Capacidad del proceso
 Cp
 Cpk

Índices de capacidad del
proceso
 Los índices de capacidad del proceso intentan en
un solo número si un proceso puede cumplir
consistentemente con los requerimientos
impuestos sobre un proceso por clientes internos
o externos.
 Estos índices no tienen unidades, lo cual permite
comparar dos procesos completamente
diferentes.

 La limitante principal de estos índices es
que no tienen significado si los datos
analizados provienen de un proceso
fuera de control y la razón es que la
capacidad del proceso es una predicción
y solo se puede predecir algo que es
estable.
proceso

 Para estimar la capacidad de un
proceso, es necesario que se cumplan
dos condiciones:
 Proceso bajo control estadístico
 Que los datos se distribuyan normalmente
proceso

 Generalmente se usan dos índices para
evaluar la capacidad del proceso para
producir dentro de especificaciones:
 Cp: índice de capacidad potencial del proceso. No
toma en cuenta la media observada del proceso.
 Cpk: índice de capacidad o habilidad real del
proceso. Si toma en cuenta la media observada en
el proceso.
proceso

 Antes de ver como calcular el Cp y el Cpk, es
necesario revisar algunos conceptos.
proceso
x
LIE LSE
σ
3
−
= x
LITN σ
3
+
= x
LSTN

 Dónde:
 LSTN = límite superior de tolerancia natural
 LITN = límite inferior de tolerancia natural
 LSE = límite superior de especificación
 LIE = límite inferior de especificación
proceso

 6σ se puede considerar como la dispersión
real del proceso.
 Puesto que ambos límites se disponen a una
distancia de la media ± 3σ respectivamente,
entonces la proporción de observaciones
entre ambos límites es del 99.73%
proceso

 La diferencia LSE – LIE se puede
considerar que es la dispersión permitida
del proceso.
 Si no se conoce la µ, la x doble barra es la
media estimada del proceso, la cual se
obtiene como la línea central de un gráfica
de medias.
proceso

 La σ es la desviación estándar del proceso, la
cual si no se conoce, se estima de la gráfica de
control de la variabilidad del proceso.
proceso







=
4
2
c
S
d
R
S
( )
S
x −
( )
R
x −

Límites de especificación o
tolerancias
 Son característicos de una parte o
artículo determinado.
 Están basados en consideraciones
funcionales.
 Están relacionados con una medición de
una sola parte.

Límites de control de una
gráfica de control
 Son característicos de un proceso determinado.
 Están basados en la media y en la variabilidad de un
proceso.
 Dependen de los parámetros de muestreo, como
tamaño de muestra y el riesgo alfa.
 Se usan para identificar la presencia o ausencia de
causas especiales de variación en el proceso.

Cálculo del Cp
σ̂
6
LIE
LSE
Cp
−
=

Interpretación del Cp
 Antes de hacer algo sobre ese punto,
cerciorese de que el proceso esté bajo
control estadístico, si es así, entonces:
1. Cp > 1; el proceso es potencialmente
capaz de producir dentro de los límites de
especificación y genera un porcentaje de
defectuosos menor del .27%

1. Cp = 1; el proceso es apenas capaz, la
proporción de defectuosos es .27%. Los
límites de especificación son iguales a los
límites de tolerancia natural.
2. Cp < 1; el proceso no es potencialmente
capaz, la proporción de defectuosos es
mayor a 27 en 10, 000.
Interpretación del Cp

Nivel de habilidad de un
proceso
Nivel de habilidad
Nivel de habilidad % producto fuera de
% producto fuera de
especificaciones
especificaciones
± 3σ 2700 ppm
± 4σ 64 ppm
± 5σ 6 partes en 10 millones
± 6σ Menos de 1 parte en 10
millones
* Considerando un proceso centrado y media fija

Cálculo del Cpk
 Es un índice o medida del desempeño real del proceso
que toma en cuenta la media del mismo. Un proceso
con su media centrada puede tener un Cp de 2,
mientras que otro proceso con su media cercana al LSE
también puede tener un Cp de 2, siempre que su
disposición sea la misma. Si se compara el desempeño
de ambos proceso con base en el Cpk, los resultados
serían muy diferentes.

Cálculo del Cpk





 −
−
=
σ
µ
σ
µ
ˆ
3
ˆ
,
ˆ
3
ˆ LIE
LSE
mínimo
Cpk

Interpretación del Cpk
1. Cpk > 1.33; el proceso es capaz y es
comúnmente usado como una meta
para muchas compañías.
2. 1 < Cpk < 1.33; el proceso es
marginalmente capaz.
3. Cpk < 1; el proceso no es capaz

Gráfica de observaciones
individuales y rangos
móviles
( )
Rm
x −

 Se usa para procesos lentos que
conducen a bajas tasas de producción o
cuando es muy costoso tomar muestras
grandes o bien, en procesos
automatizados.
individuales y rangos móviles

 Gráfica de rangos móviles: está
gráfica no tiene interpretación, debido a
la forma en que se obtienen los rangos.
R
LC =
R
D
LSC 4
=
R
D
LIC 3
=

 Gráfica de observaciones individuales: para
ser interpretada necesita estar bajo control.
Gráficas de observaciones
x
LC =
2
3
d
R
x
LSC +
=
2
3
d
R
x
LIC −
=

CAPÍTULO 2.2
Gráficas para atributos:
 p, np
 C, U

Gráficas para atributos
 Algunas características de calidad
recolectadas como datos de atributos
sólo toman dos valores:
 Conforme, no conforme
 Pasa, no pasa
 Presencia, ausencia de algo

 Tales disconformidades o defectos se
observan frecuentemente de manera visual
y ocasionan que un producto o una parte de
un producto sea considerado como
defectuoso.
 En estos casos, la calidad se evalúa por
atributos.
Gráficas para atributos

Importancia
 Se pueden aplicar tanto en procesos técnicos
como administrativos.
 En muchas ocasiones se dipone de datos que
son de atributos y no se requiere incurrir en
gastos adicionales.
 Si no existe información disponible, se
recolecta rápidamente y a un bajo costo.

 Muchos reportes, resúmenes que maneja la
administración son atributos y se pueden
aprovechar más si se analizan como gráficas de
control.
 El uso de las gráficas de control de atributos en
medidas de calidad globales claves,
frecuentemente puede indicar a áreas específicas
del proceso que pueden requerir un análisis más
detallado.
Importancia

Definiciones importantes
 Defecto:
Defecto: falla o no conformidad que ocasiona que
un artículo no satisfaga los requerimientos
especificados.
 Artículo defectuoso:
Artículo defectuoso: artículo que tiene uno o
más defectos.
 Fracción defectuosa:
Fracción defectuosa: es la razón del número de
artículos defectuoso en la muestra (d), respecto al
total de los artículos de la muestra (n)

Gráfica para la proporción
de piezas defectuosas
Gráfica p

 La gráfica p, miden la proporción de piezas
disconformes en un grupo de artículos que
se inspeccionan.
 Esto puede aplicar a una muestra de 100
piezas.
 Las muestras pueden constantes o
variables.

p
LC =
n
p
p
p
LSC
)
1
(
3
−
+
=
n
p
p
p
LIC
)
1
(
3
−
−
=
Para muestras constantes:

Para muestras variables:
∑
∑
=
=
i
i
n
d
p
LC
n
p
p
p
LSC
)
1
(
3
−
+
=
n
p
p
p
LIC
)
1
(
3
−
−
=

Interpretación
 Para interpretar la gráfica p, se hace de la misma
manera que las otras gráficas, se debe:
 Verificar que los puntos no excedan los límites de
control.
 Los puntos se deben distribuir aleatoriamente dentro
de los límites de control.
 No deben mostrar tendencias
 Los puntos debe apareceren orden aleatorio en el
tiempo.

Gráfica para el número de
piezas defectuosas
Gráfica np

 En algunas ocasiones es conveniente hacer
una gráfica de control, en la que se grafique
el número de defectuosos en la muestra en
lugar de la proporción de defectuosos. Para
hacer esto se requiere que el tamaño de la
muestra sea constante.
 En esencia proporciona la misma información
que una gráfica p.
piezas defectuosas

 Para muchas personas este tipo de gráficas es
más fácil de interpretar que la p. La desventaja
que presenta la gráfica np es que no es fácil
manejar e interpretar el número de dectuosos si
se desconoce el tamaño de la muestra.
 Tanto la gráfica p y np, tienen fundamento en la
distribución binomial, la interpretación es la
misma que la gráfica p.
piezas defectuosas

p
n
LC =
)
1
(
3 p
p
n
p
n
LSC −
+
=
)
1
(
3 p
p
n
p
n
LIC −
−
=
piezas defectuosas

Gráfica para proporciones
y piezas defectuosas
 Cuando se tienen diferentes tamaños
de muestras se debe usar una gráfica
de proporciones adecuada al caso.

Gráfica de número de
defectos en la muestra
Gráfica C

 Es posible desarrollar gráficas de control ya
sea para el número total de no
conformidades en una unidad o el número
promedio de no conformidades por unidad.
Estas gráficas de control usualmente asumen
que la ocurrencia de una no conformidad en
una muestra es bien modelada por una
distribución Poisson.

 Para poder realizar esta gráfica se
requiere que el tamaño de la
muestra sea constante.

k)
1,2,...,
(i
i
muestra
la
en
defectos
de
#
ci =
=
Si
c
k
c
LC i
=
=
∑
c
c
LSC 3
+
=
c
c
LIC 3
−
=

defectos por unidad
Gráfica U

 Esta gráfica se basa en el número promedio de no
conformidades por unidad inspeccionada. Si encontramos
x cantidad de no conformidades en la muestra de n
unidades inspeccionadas, entonces podemos obtener el
número promedio de no conformidades por unidad
inspeccionada de la siguiente manera:
defectos por unidad
n
x
u =

 Se utiliza para unidades de longitud, área,
volumen, etc.
 n puede ser constante o variable.
 Con n variable:
 n promedio
 Límites para cada n
 Límites para ciertas n
 Límites estandarizados
defectos por unidad

la muestra
tamaño de
n
#defectos
c
,k
,
i
dónde:
n
c
u
i
i
i
i
i
=
=
=
=

2
1
u
LC = i
n
u
u
LSC 3
+
=
i
n
u
u
LIC 3
−
=
defectos por unidad

CAPÍTULO 2.3
Gráficas CUSUM y EWMA

Gráfica CUSUM
 La gráfica CUSUM, se usa para
detectar pequeños cambios en la
media del proceso.

Gráfica CUSUM
( )
objetivo
valor
individual
n
observació
u
muestra
una
de
media
x
donde
x
C
o
j
i
j
o
j
i
=
=
−
= ∑
=
µ
µ
.
:
1

Construcción de una
gráfica CUSUM
 Proceso tabular:
 Se basa en los cálculos de los CUSUM
unilaterales, superior e inferior:
( )
{ }
( )
{ }
−
−
−
+
−
+
+
−
−
=
+
+
−
=
1
1
,
0
max
,
0
max
i
i
o
i
i
o
i
i
C
x
k
C
C
k
x
C
µ
µ

 El procedimiento se inicia haciendo:
gráfica CUSUM
0
=
= −
+
o
o C
C
 K es un valor de referencia o de holgura y
frecuentemente se determina como:
2
1 o
k
µ
µ −
=

 El proceso está fuera de control si C+
o
C-
exceden el valor de H, un valor
razonable para H es .5σ.
 Para esta gráfica no se realizan las 8
pruebas, ya que los datos dependen
unos de otros.
gráfica CUSUM

 Cuando el ajuste que se debe hacer en el
proceso tiene por objetivo hacer que la media
regrese al valor objetivo puede ser útil
estimar la media actual del proceso.
gráfica CUSUM







>
−
−
>
+
+
=
−
+
+
+
+
+
H
C
si
N
C
k
H
C
si
N
C
k
i
i
i
o
i
i
i
o
,
,
ˆ
µ
µ
µ

Gráfica EWMA
 La gráfica EWMA, constituye una buena
alternativa a las gráficas de control de
Shewart para el caso en que interesa detectar
pequeños cambios en la media del proceso.
 Se usa típicamente para muestras de tamaño
1, aun cuando se puede usar con tamaños de
muestra mayores.

 La gráfica EWMA para la media del proceso
La gráfica EWMA para la media del proceso:
:
 Un promedio móvil exponencialmente ponderado se
define de la siguiente forma:
 donde:
 0< λ ≤1 es una constante
 El valor de inicio (que se requiere con la primera muestra
cuando i = 1) es el objetivo del proceso, con lo cual z0
= µ0
 En ocasiones z0
= promedio de los datos preliminares
Gráfica EWMA
1
)
1
( −
−
+
= i
i
i z
x
z λ
λ

 Los límites de control para una gráfica
EWMA están dados por las siguientes
expresiones:
Gráfica EWMA
[ ]
[ ]
i
i
L
LIC
LC
L
LSC
2
0
0
2
0
)
1
(
1
2
)
1
(
1
2
λ
λ
λ
σ
µ
µ
λ
λ
λ
σ
µ
−
−
−
−
=
=
−
−
−
+
=

 Dónde:
 L es la anchura de los límites de control, el
múltiplo de sigma. Es común tomar L = 3,
proporciona buenos resultados sobre todo
cuando lambda es grande.
 En general, cuanto más pequeños sean los
cambios que se desea detectar, más
pequeños serán los valores de lambda.
Gráfica EWMA

 La gráfica se elabora colocando en el eje
horizontal el número de la muestra i
(tiempo) y en el eje vertical el valor de la z
que le corresponde.
Gráfica EWMA

CAPÍTULO 3
Muestreo para aceptación de
lotes

Muestreo para aceptación
de lotes
 Objetivos:
1. Comprender y aplicar los conceptos básicos
del muestreo de aceptación.
2. Identificar y diferenciar los sistemas de
muestreo de aceptación para atributos,
particularmente el MIL - STD - 105E.
3. Comprender el funcionamiento de un sistema
de muestreo de aceptación para variables.

 Introducción:
 El muestreo para aceptación es un campo importante del
control estadístico de la calidad, es otra herramienta
para evaluar la calidad de un producto.
 Los fundamentos de muestreo para aceptación se
desarrollaron en 1925 a 1927 en los Laboratorios Bell;
después sólo se aplica esporádicamente y no es sino
hasta la Segunda Guerra Mundial cuando se incorpora en
los estándares militares de calidad. A partir de ese
momento se difunde el uso masivo del muestreo de
aceptación, el cual se aplica hasta la fecha.
de lotes

 Conceptos generales:
 Aspectos importantes en el muestreo:
 El propósito del muestreo de aceptación es juzgar lotes,
no estimar su calidad.
 Los planes de muestreo para aceptación no proporcionan
alguna forma directa de control de calidad, sólo admite o
descarta lotes.
 El uso más eficiente del muestreo para aceptación no es
“inyectar calidad al producto mediante la inspección”,
sino más bien como una herramienta de verificación para
asegurar que la producción o salida de un proceso está
conforme a los requisitos.
de lotes

 Enfoques para juzgar un lote:
 Aceptarlo sin inspección: Útil en casos en
que el proceso del proveedor es tan adecuado
(relación de capacidad de proceso de 3 ó 4)
que casi nunca genera artículos defectuosos, o
en los que no existe una justificación
económica para juzgar artículos defectuosos.
de lotes

 Efectuar una inspección al 100%: esto es
inspeccionar cada artículo en el lote, quitar todas
las unidades defectuosas encontradas (se pueden
devolver al proveedor, retrabajarlas, cambiarlas por
artículos conformes o rechazarlas). Se usa cuando
el componente es muy crítico y dejar pasar un
artículo defectuoso daría como resultado un costo
inaceptablemente alto de una falla en etapas
sucesivas, o cuando la capacidad del proceso del
abastecedor es inadecuada para satisfacer las
especificaciones.
de lotes

 Utilizar el muestreo para aceptación: Es
muy probablemente útil cuando:
2. La prueba es destructiva
3. Es muy alto el costo de una inspección al
100%
4. una inspección al 1005 no es
tecnológicamente factible, o cuando se
necesitaría tanto tiempo que la planeación de
la producción se vería seriamente afectada.
de lotes

1. Hay que inspeccionar muchos artículos y la tasa de
errores de inspección es lo suficientemente alta
como para que una inspección al 100% pudiera
dejar pasar un mayor porcentaje de artículos
defectuosos que un plan de muestreo.
2. El proveedor tiene un excelente historial de calidad,
y se desea alguna reducción en la inspección al
100%, pero la relación de capacidad de su proceso
es lo suficientemente baja como para que la no
inspección no sea una buena alternativa.
3. Existen riesgos potencialmente serios respecto a la
posibilidad legal por el producto, y aunque es
satisfactorio el proceso del abastecedor, se requiere
aplicar un proceso de vigilancia continua.
de lotes

 Ventajas del muestreo por aceptación:
 Es menos costoso, pues requiere menor inspección.
 Menor daño del producto, al haber menor manejo del
mismo.
 Menos inspectores y por lo tanto menos capacitación.
 Reducción de los errores de inspección.
 Puede aplicarse en el caso de pruebas destructivas.
 El rechazo de lotes completos, en lugar de la simple
devolución de los artículos defectuosos, constituye una
motivación más fuerte para que el proveedor mejore la
calidad de sus productos.
de lotes

 Desventajas del muestreo para
aceptación:
 Existe el riesgo de aceptar lotes “malos” y
rechazar lotes “buenos”.
 Hay que agregar planeación y
documentación.
 Generalmente la muestra proporciona
menor información acerca del producto
de lotes

 ¿Porqué es válido el muestreo?
 Una pieza da rápida información sobre la calidad de las
piezas de un lote. Pero además, de la muestra se
pueden obtener conclusiones acerca de lo bien o mal
que se desarrolló un proceso en el momento de extraer
una muestra (aplicación en gráficas de control). Así,
el proceso puede hablar del producto. El muestreo de
aceptación también es válido para las piezas no
inspeccionadas obtenidas del mismo proceso que las
inspeccionadas.
de lotes

 Razones para usar muestreo de aceptación:
 No se puede asumir que el proceso sea estable, ni es
siempre posible que a la larga lo sea.
 En operaciones que se realizan bajo trabajo intensivo, las
causas asignables no siempre se pueden conocer.
 Aún cuando se puedan conocer las causas asignables,
existen procesos que no se pueden parar y ajustar de
inmediato.
 Es común una gran variación entre operadores y el manejo
de las gráficas de control para cada operador no es tan
sencillo.
de lotes

 Formación de lotes:
 El muestreo por aceptación puede desarrollarse en
una base de lote por lote o en un flujo continuo
de productos, aunque los planes de muestreo más
comúnmente usados se basan en muestreo por
lotes.
 Entre los diferentes tipos de lotes que se pueden
formar (de manufactura, de embarque, etc.), los
lotes de inspección son los que se utilizan en
muestreo de aceptación.
de lotes

 Frecuentemente los lotes de inspección se
constituyen por la forma en que el producto se
maneja o se embarca; en otras ocasiones se
puede influir en el tamaño y en la forma en que
se constituyen estos lotes, en cuyo caso se
deben aplicar los siguientes dos principios:
 Es deseable que haya homogeneidad dentro del lote.
 Si los lotes son homogéneos, son mejores lotes
grandes que pequeños.
de lotes

 Si se tienen lotes grandes, los tamaños de
muestra también serán grandes y se
obtendrá una determinación más confiable
de la aceptabilidad del lote, siempre que el
lote en cuestión sea homogéneo.
de lotes

 Muestreo aleatorio:
 Las tablas de muestreo publicadas suponen que
las muestras se obtienen al azar, esto es, que
cada una de las unidades de producto no
inspeccionadas tienen la misma probabilidad de
ser la siguiente seleccionada para la muestra.
Para realizar un muestreo aleatorio, se requiere
numerar las piezas de un lote y seleccionar
números aleatorios que indiquen cuáles unidades
serán seleccionadas.
de lotes

 Selección de números aleatorios:
 Usando una tabla de números aleatorios
 A través de una calculadora que incluye esta
opción
 Un recipiente de bolas o papeles numerados
El método de selección influye en los resultados del
muestreo, buscándose obtener una “muestra
representativa” de un lote.
de lotes

 Sesgo del muestreo:
 Tomar una muestra de la misma localización
dentro de cajas, estantes, etc.
 Echar un vistazo al producto y seleccionar sólo
aquellas piezas defectuosas o no defectuosas.
 Ignorar las partes del lote difíciles de
muestrear.
de lotes

 Clasificación de los planes de
muestreo:
n Planes por atributos: Un lote se acepta o se
rechaza según el número de defectuosos que se
presentan en el mismo.
2. Planes por variables: Un lote se acepta o se
rechaza según el valor de la media (por
ejemplo) de la característica de calidad en la
muestra; la media se compara con un valor
admitido que define el plan.
de lotes

 Errores de inspección:
 En la implantación de un muestreo de
aceptación se supone que el inspector
sigue el plan de muestreo que debe aplicar
y que la inspección se hace sin errores.
Planes de muestreo de
aceptación por atributos

 Terminología:
 Defecto: Alejamiento de una característica de la
calidad del nivel o estado deseado que se
presenta con gravedad suficiente para dar un
producto que no satisface los requisitos de
utilización normales o razonablemente previstos.
 Disconformidad: Alejamiento de una
característica de la calidad del nivel deseado, que
se presenta con gravedad suficiente para dar un
producto o servicio que no cumple con los
requisitos de la especificación.

 Clasificación de los defectos
según su gravedad:
1. El muestreo sea distinto para cada clase
de defecto (tamaños de muestra).
2. Sea común el plan de muestreo. pero que
el número de defectos permitidos sea
diferente para cada clase, según su
gravedad.

 Tipos de planes de muestreo de
aceptación por atributos:
 Planes de muestreo simple
 Planes de muestreo doble:

 Curva Característica de Operación (Curva CO):
 Gráfica en la que se muestra la probabilidad de que el
plan de muestreo acepte el lote en función de la fracción
defectuosa de un lote, con base en la cual se observa
cómo reaccionará el plan a cualquier nivel de
disconformes en el lote.
 Con la curva CO para un plan de muestreo (determinado
por el valor de n y de c) se puede evaluar si este
proporciona un buen grado de control sobre la calidad
del lote; de no ser así entonces se busca otro plan que
corresponda con las necesidades del usuario.

 Probabilidad de aceptar un lote:
 Para calcular la probabilidad de aceptar un lote (Pa),
primero se debe definir qué tipo de plan de muestreo
se aplicará. Así tenemos planes de muestreo tipo A
(planes que seleccionan piezas de lotes simples de
tamaño N y que se basan en el modelo
Hipergeométrico) y planes tipo B (planes para
seleccionar piezas de una serie de lotes, se extraen
muestras aleatorias de tamaño n de una población
infinita, y que están fundamentados en el modelo
probabilístico Binomial).

 Riesgos y parámetros de muestreo:
 Riesgo del vendedor o del productor se
conoce como riesgo alfa y es la probabilidad de que
un “buen” lote (de lata calidad) sea rechazado por
el plan de muestreo. Se fija en 0.01, 0.05 ó 0.10.
 Riesgo del comprador (empresa o quién usará
un producto). También llamado riesgo beta. Es la
probabilidad de que un lote “malo” o de baja
calidad sea aceptado por el plan de muestreo.

 Planes, esquemas y sistemas de muestreo:
 Plan de muestreo: Plan específico que establece el
tamaño o tamaños de muestra a utilizar y el
correspondiente criterio de aceptación o no aceptación.
 Esquema de muestreo: Conjunto específico de
procedimientos que, habitualmente, consisten en
planes de muestreo para aceptación en los que se
establecen los tamaños de los lotes, los tamaños de las
muestras y los criterios de aceptación, o el alcance de
la inspección y muestreo al 100%.

 Sistema de muestreo:
 Con el uso de un sistema de muestreo se evita el
trabajo de calcular la curva CO para diferentes
valores de n y c y seleccionar el que cumpla con
los riesgos del comprador y del vendedor
preestablecidos.
 Los sistemas de muestreo incluyen las curvas
CO, con base en las cuales se selecciona el plan
de muestreo que proporcione el nivel de
protección que el usuario desea.

 Medidas de desempeño:
 Nivel de Calidad Aceptable (NCA o AQL).
 El porcentaje de Defectuosos Tolerados en el
Lote (PDTL o LTPD).
 El límite de Calidad Media de Salida (LCMS o
AOQL), y
 La inspección Total Promedio (ITP o ATI).

 El Nivel de Calidad Aceptable:
 El AQL es el nivel de calidad o porcentaje de
defectuosos que, para los fines de inspección, es
el límite de una medida satisfactoria del proceso.
El promedio del proceso es el porcentaje promedio
de defectuosos o número promedio de
defectuosos por 100 unidades de producto
enviado por el proveedor para la inspección
original.

 La inspección original es la primera inspección de
una cantidad particular de un producto. El AQL es
un valor designado del porcentaje de defectuosos,
para el cual los lotes serán aceptados la mayor
parte de las veces por el procedimiento de
muestreo utilizado. El AQL especifica un valor del
nivel de calidad del productor.

 Porcentaje de unidades defectuosas
toleradas en el lote (PDTL):
 El LTPD es un valor numérico específico para
el nivel de calidad del consumidor;
generalmente se refiere a un punto en la
curva CO en el cual el Pa es 0.10 y la mayoría
de los sistemas basados en el PDTL se basan
en ese valor de Pa.

 El Límite de Calidad Media de
Salida (LCMS o AOQL):
 Se aplica sólo al muestreo en el que a los
lotes rechazados se les hace una
inspección al 100% para sustituir los
artículos defectuosos encontrados por
piezas buenas, que es lo que se denomina
inspección rectificadora.

 La inspección Total Promedio (ITP
o ATI):
 Se puede graficar la ITP esperada para
cualquier nivel de calidad de un lote (p)
contra el valor de p y usar esta gráfica
para determinar los costos asociados a la
inspección rectificadora.

 El sistema de muestreo MIL - STD - 105E:
 El manejo de normas publicadas como ésta (entre las
más comunes también está la ANSI/ASQC Z1.4),
presenta la ventaja de que facilita la negociación
entre vendedor y comprador. Es el más conocido de
los planes de muestreo que utilizan como índice de
calidad el NCA; proporciona una gran seguridad en la
aceptación de los lotes cuando la proporción de
defectuosos es menor o igual al NCA.

 Tipos de inspección:
 La MIL . STD - 105E incluye planes para
muestreo de aceptación simple, doble y
múltiple basados en el AQL.
 Los AQL contenidos en los planes varían
de 0.01% hasta 10% (para el conteo de
disconformes) y de arriba del 10% hasta
1000% (para el conteo de disconformes en
100 unidades).

 Dado un AQL el sistema proporciona varios
planes de muestreo con el fin de motivar al
proveedor en función de la calidad del
producto que envía; así, es posible aplicar
tres tipos de inspección para cada uno de
los tres tipos de muestreo señalados líneas
arriba: normal, estricta y reducida.

 La inspección normal se utiliza al inicio del proceso de
inspección y continúa aplicándose durante el tiempo que el
vendedor esté produciendo aparentemente piezas con el NCA o
mejores.
 La inspección estricta se aplica cuando hay evidencia de
que la calidad del producto se ha deteriorado, lo cual forzará al
productor a enviar productos que sean tan buenos o mejores
que el NCA.
 Si la historia reciente de la calidad de un producto ha sido
excepcionalmente buena, se puede adoptar la inspección
reducida, con lo cual se obtiene una reducción de costos de
inspección al revisarse una muestra más pequeña.

 Reglas para el cambio de tipos de
inspección:
 De normal a estricta. Si se realiza una inspección
normal, se establece la inspección estricta cuando
dos de cinco lotes consecutivos se han rechazado
en la inspección original.
 De estricta a normal. Cuando se ha estado
aplicando una inspección estricta, la inspección
normal se establece si se han presentado cinco
lotes aceptables consecutivos en la inspección
original.

 De normal a reducida. Se puede pasar
de la aplicación de una inspección normal
a una reducida si se satisfacen las
siguientes cuatro condiciones:
1. A los diez lotes anteriores se les ha aplicado
inspección normal y ninguno ha sido
rechazado en la inspección original.

1. El número total de defectuosos en las
muestras de los diez lotes anteriores es
menor o igual al número límite.
2. Si la autoridad responsable lo aprueba.
3. Si la producción está en fase estable.

 De reducida a normal. Se puede pasar
de la inspección reducida a la normal si
ocurre alguna de las siguientes
situaciones en la inspección original:
1. Se rechaza un lote.
2. Se acepta un lote al que se aplicó inspección
reducida, pero el número de defectuosos
encontrado es mayor que el número de
aceptación y menor que el número de
rechazo.

1. La producción ha venido a menos o ha
sido irregular.
2. Otras condiciones que propicien el
establecimiento de la inspección
normal.

 Los niveles de inspección:
 En la MIL - STD - 105E, el tamaño de
muestra se determina con base en el
tamaño del lote, el tipo de inspección y el
nivel de inspección; existen tres niveles de
inspección generales para cada uno de los
tipos ya mencionados anteriormente: el I,
el II y el III.

 Al nivel II le corresponde una inspección
normal y es el que generalmente se usa. El
nivel I se usa cuando se permite una menor
discriminación en el proceso de muestreo y
requiere cerca de la mitad de la cantidad a
inspeccionar del nivel II.

 El nivel III se adopta cuando se requiere
una mayor discriminación y usualmente
requiere dos veces la cantidad a
inspeccionar del nivel II.
 El nivel de inspección se establece en un
contrato o por la autoridad responsable.

 Los niveles especiales S-1, S-2, S-3 y S-4 se
usan cuando se requiere tamaños de muestra
pequeños (se involucran pruebas destructivas o
muy caras) y pueden o deben tolerarse
grandes riesgos en el muestreo (menor poder
discriminatorio).

 Operación del sistema de
muestreo MIL - STD - 105E:
1. Seleccionar los planes apropiados de las
tablas publicadas en el estándar.
2. Usar las reglas de cambio del nivel de
inspección, cuando la calidad del lote
cambia.

 Procedimiento para el uso estándar:
1. Determinar el NCA aceptable (basado en un
acuerdo entre el productor y el cliente)
2. Decidir el nivel de inspección a usar.
3. Determinar el tamaño del lote.
4. Usar la tabla de Letras de Código del Tamaño
de Muestra para seleccionar la letra código
apropiada (anexo).

1. Decidir el tipo de procedimiento de muestreo:
simple, doble o múltiple.
2. Usar la tabla correspondiente al procedimiento
de muestreo seleccionado y al nivel de
inspección para encontrar el tamaño de muestra
y los números de rechazo y aceptación para el
plan.
3. Empiece usando el plan seleccionado y lleve un
registro de las aceptaciones y rechazos para que
pueda aplicar las reglas de cambio.

CAPÍTULO 4
Confiabilidad

Confiabilidad
 Se basa en la distribución normal,
exponencial y weibull.
Tasa
de
falla
tiempo
Etapa de madurez

Confiabilidad
 La confiabilidad se define como la probabilidad
de que un producto desempeñe la función para
la cual fue elaborado , bajo condiciones dadas
y durante un periodo de tiempo
determinado.
 La confiabilidad es un aspecto de la calidad que
específicamente considera el comportamiento de
la calidad a lo largo del tiempo.

Confiabilidad
 Sistema en serie:
Sistema en serie: todos los
componentes están relacionados de
manera que el sistema deja de
funcionar si alguno de sus componentes
falla.
i
n
i
o R
R
1
=
Π
=

 Sistema en paralelo:
Sistema en paralelo: todos sus
componentes están relacionados de
manera que el sistema deja de
funcionar si todos sus componentes
fallan.
Confiabilidad
( )
i
n
i
o R
R −
Π
−
=
=
1
1
1

 Ejemplo:
Confiabilidad
A
B
RA= .90
RB= .95
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
995
.
95
.
90
.
95
.
90
.
=
−
+
=
∩
−
∪ B
A
P
B
A
P
Entonces la confiabilidad del sistema es:

Distribución del tiempo de
falla
1. Los artículos de mala
calidad son eliminados.
2. Periodo de vida útil.
3. Etapa de reemplazo.
Tasa
de
falla
tiempo
2.- Etapa de
madurez
1.- periodo
inicial
3.- envejecimiento

Tiempo entre fallas
 t=
t= variable aleatoria que representa el
tiempo de vida del producto, tiempo entre
fallas de un producto.
 f(t)=
f(t)= función de probabilidad o función de
densidad.
∫∞
−
=
≥
0
1
)
(
0
)
(
dt
t
f
t
f

 F(t)=
F(t)= función de probabilidad o densidad
acumulada (probabilidad de que un producto
falle hasta antes del tiempo t)
Tiempo entre fallas
( ) ∫∞
−
=
<
=
t
dt
t
f
t
T
P
t
F )
(
)
(

 Confiabilidad (R(t))=
Confiabilidad (R(t))= confiabilidad de que
un producto no falle antes del tiempo t.
Tiempo entre fallas
∫
∞
=
>
=
−
=
t
dt
t
f
t
T
P
t
f
t
R )
(
)
(
)
(
1
)
(
f(t) tiene una varianza y una media.

Tiempo entre fallas
 Media:
Media: puede ser el tiempo media
hasta que el producto falla (MTTF) es
decir, que no se puede reparar.

 Tiempo medio entre fallas (MTBF):
Tiempo medio entre fallas (MTBF):
se aplica para productos que se puedan
reparar, es el tiempo medio entre fallas.
Tiempo entre fallas
∫
∞
∞
−
=
=
= dt
t
f
t
MTBF
o
MTTF
t
E ))
(
(
)
(
µ

 Tasa de fallas:
Tasa de fallas:
Tiempo entre fallas
)
(
1
)
(
)
(
z
F
t
f
t
Z
−
=
=

Funciones de probabilidad
 Exponencial:
Exponencial:
 Cuando la tasa de fallas es constante, la
función de probabilidad que describe la
vida de un producto es exponencial.
0
;
1
)
( >
=
=
−
−
t
e
e
t
f
t
t µ
λ
µ
λ

exponencial
 λ
λ=
= número de fallas por ud. de tiempo.
 µ
µ=
= tiempo medio por fallas (MTBF) o
tiempo medio para fallas.
λ
λ
µ
µ
λ
=
=
=
⇒
=
)
(
1
1
t
z
fallas
de
tasa

 Esta distribución es útil para representar la
tasa de fallas en la etapa de madurez en la
gráfica similar a la tina de baño.
exponencial

exponencial
λ
f(t)
tiempo
1
R(t)
tiempo
)
(
)
(
1
)
( t
T
P
t
F
t
R >
=
−
=

exponencial
Tasa de fallas
Z(t)
tiempo
[ ]
[ ] dad
confiabili
e
e
dt
e
t
T
P
t
R
falla
prob
e
e
t
T
P
t
F
e
dt
e
dt
t
f
t
T
P
t
t
t
t
t
t
t
t t
t
t
∫
∫ ∫
∞
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
=
=
>
=
−
=
−
−
=
≤
=





−
=
=
=
≤
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
1
1
)
(
)
(
.
1
1
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
0
0 0

 Normal:
Normal:
 Esta distribución puede representar situaciones en
las cuales no se presentan fallas durante un
periodo de tiempo, y repentinamente muchas o
todas las pzas. comienzan a fallar, alrededor de
cierto tiempo que coincide con la media µ.

 Como la tasa de fallas tiene un
comportamiento creciente, la distribución
puede modelar algunas situaciones en el
periodo de envejecimiento.
normal

normal
f(t)
tiempo
f(t)
tiempo
0
,
0
,
0
;
2
)
(
2
)
(
5
.
>
>
>
=
−
−
σ
µ
π
σ
σ
µ
t
e
t
f
t

normal
Z(t)
tiempo
Tasa de fallas
σ
µ
−
=
−
=
t
z
z
f
t
R ;
)
(
1
)
(

 Weibull:
 Esta distribución es la más utilizada en
estudios de confiabilidad, ya que puede
modelar casi cualquier situación ya sea en
periodos con tasa creciente, constante o
decreciente.

 La tasa de falla es:
weibull
o
m
t
t
m
o
t
t
e
t
t
m
t
f
o
≥





 −
=





 −
−
−
,
)
(
)
(
1
θ
θ
θ
1
)
(
−





 −
=
m
o
t
t
m
t
Z
θ
θ

 Confiabilidad:
weibull
m
t
t o
e
t
R





 −
−
= θ
)
(
)
(
 La media es:
)
1
(
)
(
)
(
1
1
−
Γ
=
Γ
=
Γ






+
Γ
+
=
=
=
v
v
v
v
de
gamma
función
v
m
t
MTBF
MTTF o θ
µ

 Los parámetros de la distribución son:
 m:
m: representa la forma de la distribución
 θ
θ:
: representa la magnitud de la media
 t
to
o:
: es un parámetro de posición
 La combinación apropiada de valores de los tres,
es lo que facilita su uso en diversas condiciones.
weibull

weibull
f(t)
θ 2θ
m =.5
m =1
m =2
m =4

weibull
m =.5
m =1
m =2
m =4
R(t)
θ 2θ

weibull
m =.5
m =1
m =2
m =4
Z(t)
θ 2θ

 Para m<0 la tasa de falla es decreciente y para
m>0 creciente.
 Con m=1 la tasa de falla es constante y la
distribución weibull es identica a la exponencial.
 El efecto del parámetro to es desplazar la función
hacia la derecha, ya que se supone que no
ocurren fallas para un periodo t<to
weibull

Modelo exponencial en
confiabilidad
 Confiabilidad del sistema en serie:
Confiabilidad del sistema en serie:
∑
∑
=
=








−
−
=
=
∑
=
Π
= =
n
i
i
n
i
i
s
t
t
MTBF
e
e
t
R
n
i
i
1
1
1
)
( 1
λ
λ
λ
λ
λ

Modelo exponencial en
confiabilidad
 Confiabilidad del sistema en paralelo:
Confiabilidad del sistema en paralelo:
( )
( )






+
+
+
+
=
−
−
=
∨
−
Π
−
=
−
−
=
n
MTBF
e
t
R
entonces
igual
es
toda
si
e
t
R
n
t
p
i
i
t
n
i
p
i
1
3
1
2
1
1
1
1
1
)
(
:
1
1
)
(
1


λ
λ
λ
λ
λ

Pruebas de vida
fallas observadas
 En base a fallas observadas se selecciona de un
lote una muestra aleatoria de n pzas y es
sometida a pruebas bajo condiciones
ambientales determinadas, observándose los
tiempos de falla de los componentes individuales,
los tiempos de falla observados son:
r
t
t
t
t ≤
≤
≤
≤ 
3
2
1

 Si el tamaño de la muestra es n, la vida
acumulada por las uds probadas hasta la falla
r, sera Tr. Si en la prueba se reemplazan los
elementos que fallan, entonces:
r
r nt
T =
Pruebas de vida
fallas observadas

 Si las piezas que fallan no se reemplazan,
entonces:
Pruebas de vida
fallas observadas
( ) r
r
i
i
r t
r
n
t
T ∑
=
−
+
=
1
 Para ambos casos, el estimador de vida
normal será:
r
Tr
=
µ̂

 Un intervalo de confianza para vida media, se
puede encontrar ya que el estadístico 2Tr/µ
tiene una distribución ji – cuadrada con 2r
grados de libertad.
Pruebas de vida
fallas observadas
2
2
,
2
1
2
2
,
2
2
2
r
r
r
r T
T
α
α χ
µ
χ −
<
<

 En base al tiempo transcurrido, otro
porcedimiento de prueba de vida
consiste en suspender la prueba
después de transcurrido cierto tiempo
fijo T y considerar el número de fallas
observadas k como una variable
aleatoria.
Pruebas de vida
tiempo transcurrido

 En el caso de que la prueba se realice
con reemplazo, entonces:
Pruebas de vida
tiempo transcurrido
nT
Tk =

 Si las pruebas se realizan sin
reemplazo, entonces:
Pruebas de vida
tiempo transcurrido
∑
=
−
+
=
k
i
i
k T
k
n
t
T
1
)
(

 El estimador y el intervalo de confianza
para la vida media será:
Pruebas de vida
tiempo transcurrido
2
)
1
(
2
,
2
1
2
)
1
(
2
,
2
2
2
ˆ
+
−
+
<
<
=
k
k
k
k
k
T
T
k
T
α
α χ
µ
χ
µ

Modelo Weibull en
confiabilidad
 Confiabilidad en componentes:
Confiabilidad en componentes:
γ
α
γ
α
β
β
α
γ
β
≥





 −
=





 −
−
t
e
t
t
f ,
)
(
1
1

 En relación a la expresión vista
anteriormente:
Modelo Weibull en
confiabilidad
( ) ( )
β
β
β
α
β
α
α
β
β
α
γ
θ
α
β
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
)
(
1
)
(
−
−
−
=
=
=








+
Γ
=
=
−
=
=
=
=
t
t
t
o
t
R
t
f
t
r
t
Z
MTBF
e
t
R
e
t
F
t
m

Función gamma
 Resultados conocidos:
0
;
)
(
0
1
≥
=
Γ −
−
∫ x
dx
e
x
k x
k
α
( )
( ) ( )
( ) entero
n
para
n
n
k
k
k
k
;
)!
1
(
1
;
1
)
1
(
2
1
1
)
1
(
−
=
Γ
>
−
Γ
−
=
Γ
=
Γ
=
Γ
π

 Si α=1 y β=3.5, la tasa de falla
aumenta y la distribución weibull es útil
para modelar la vida de productos en la
etapa de envejecimiento. También en
este caso la distribución weibull se
aproxima a la distribución normal.
Función weibull

 Si α=1 y β=.5, la tasa de fallas decrece
y la distribución es útil para modelar el
tiempo de vida de los componentes en
la etapa inicial o depuración.
Función weibull

 Si α=0 y β=1, entonces la distribución
weibull se convierte en la exponencial.
Función weibull
µ
α
α
α
=
=
−
;
1
)
(
t
e
t
f

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