Control ii clase 1

2013 UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.

SISTEMAS
AUTOMÁTICOS
DE
CONTROL II
Primera Edición
Material de clase
Universidad Santiago de Cali

Msc. JAVIER ALONSO MURILLO MURILLO

UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
CONTROLES II

1. INTRODUCCION

En el curso de SISTEMAS AUTOMATICOS DE CONTROL I, usted vio
como el control automático ha desempeñado una función vital en el
avance de la ingeniería y la ciencia. Además de su extrema
importancia en los sistemas de vehículos espaciales, de guiado de
misiles, robóticos y similares; el control automático se ha vuelto
una parte importante e integral de los procesos modernos
industriales y de manufactura. Por ejemplo, el control automático
es esencial en el control numérico de las máquinas herramienta de
las industrias de manufactura, en el diseño de sistemas de pilotos
automáticos en la industria aeroespacial, y en el diseño de
automóviles y camiones en la industria automotriz. También es
esencial en las operaciones industriales como el control de presión,
temperatura, humedad, viscosidad y flujo en las industrias de
proceso.

Para entender todos estos procesos se enfatizó inicialmente en
reconocer los componentes de un sistema de control:

COMPONENTES DE UN SISTEMA DE CONTROL

 Regulador. Es el elemento más importante.
 Transductor o captador. Transforma una magnitud o señal de
entrada en otra de salida.

CONTROLES II

 Comparador o detector de error. Proporciona la diferencia
entre la señal de salida deseada y la obtenida realmente.
 Accionador o actuador. Actúa sobre el proceso según la señal
de mando que reciba del regulador.

El regulador constituye el elemento fundamental de un sistema,
pues determina el comportamiento del bucle, ya que condiciona la
acción del elemento actuador en función del error obtenido. La
forma en que el regulador genera la señal de control se denomina
acción de control. Las estudiamos a continuación.

Acción proporcional.

El tratamiento consiste en una amplificación de la señal de error. En
este tipo de control el elemento final se modifica de manera
proporcional al error: si el error es pequeño, el controlador dará
origen a un pequeño cambio en la salida; si es grande, el cambio en
la salida también será elevado.

La función de transferencia de este regulador es una constante:
G(s) = Kp

Acción integral.

El regulador suministra una acción de control cuyo valor es
proporcional a la integral de la señal de error. En este tipo de
control la acción varía según la desviación de la señal de salida y el
tiempo durante el que esta desviación se mantiene.

La función de transferencia del regulador de acción integral es:
G(s) = Ki / s

CONTROLES II

Acción diferencial.

La acción diferencial es de tipo anticipativo, detecta si va a existir
una sobreoscilación excesiva, proporcionando la acción de control
adecuada para evitarla antes de que tenga lugar.

Las acciones de control se pueden presentar combinadas de la
forma siguiente:

- Acción proporcional y diferencial: controlador PD.
- Acción proporcional e integral: controlador PI.
- Acción proporcional integral y diferencial: controlador PID.

ACCIONES DE CONTROL

En el mismo curso se vio todo lo relacionado a los
TRANSDUCTORES y CAPTADORES.

TRANSDUCTORES Y CAPTADORES

CONTROLES II

El transductor tiene la misión de transformar una magnitud de
entrada en otra de salida que sea más fácil de procesar.

El captador tiene la misión de captar una determinada información
del sistema, para realimentarla.

A pesar de su diferente utilidad, la naturaleza de ambos dispositivos
es la misma; de hecho su única diferencia está en el lugar en que
se colocan en el sistema.

Actualmente se suele utilizar el ordenador como elemento de
control, pues permite realizar funciones de control mucho más
complejas que los reguladores convencionales y es aquí donde
damos inicio a nuestro curso de SISTEMAS AUTOMATICOS DE
CONTROL II.

2. REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS USANDO
VARIABLES DE ESTADO

2.1. MODELOS MATEMÁTICOS
Los modelos matemáticos pueden adoptar muchas formas distintas.
Dependiendo del sistema del que se trate y las circunstancias
específicas, un modelo matemático puede ser más conveniente que
otro. Por ejemplo, en problemas de control óptimo, es provechoso
usar representaciones en el espacio de estados. En cambio, para los
análisis de la respuesta transitoria o de la respuesta en frecuencia
de sistemas lineales con una entrada y una salida invariante en el
tiempo, la representación mediante la función de transferencia

CONTROLES II

puede ser más conveniente que cualquier otra. Una vez obtenido un
modelo matemático de un sistema, se usan diversos recursos
analíticos, así como computadoras.

MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS

Para el ejemplo consideremos el sistema mecánico que aparece en
la figura. Se supone que el sistema es lineal. La fuerza externa F es
la entrada del sistema y el desplazamiento x de la masa es la
salida. Este sistema tiene una sola entrada y una sola salida.
Trataremos de encontrar las ecuaciones en el espacio de estados y
construiremos su diagrama de bloques.

Aplicando la segunda ley de Newton tenemos:

 F  m. a
F  Fk  Fb  m. a

F  kx  bv  m. a  F  m. a  kx  bv

d2x dx
Pero sabemos que a  2
y v por lo tanto:
dt dt

d2x dx
F m 2
 b  kx
dt dt

CONTROLES II

Otra forma de escribir la expresión es F  mx  bx  kx
 

El sistema es de segundo orden, lo cual significa que tiene dos
integradores.

Con este modelo es que podemos hacer control.

También podemos encontrar su función de transferencia en el
dominio de la frecuencia así:

F ( s)  ms 2 x( s)  bsx( s)  kx( s)

F ( s)  (ms 2  bs  k ) x( s)

x( s ) 1
 2
F ( s) ms  bs  k

Construimos ahora los respectivos diagramas de bloques así:

Las variables de estado son x y x es decir posición y velocidad. Las

variables de estado son variables que conocidas las condiciones

CONTROLES II

iniciales del sistema dan idea del comportamiento del sistema.
x
Estas variables se pueden escribir así   .

x

El orden del sistema es el número de variables de estado.

Cualquier ecuación de orden n puede escribirse como n ecuaciones
de orden 1.

x1  x
Sea
x2  x


x1  x 2
  kx bx F

Tenemos entonces que pero  
x   con lo que
x 2  
 x m m m

tendríamos:

x1  x2

 kx bx F

x2 
  
m m m

Estas ecuaciones se pueden escribir en forma matricial.

Re pre sen tacion en var iables de estado
  
 x1  
 0 1  x   0 
 x     k b   x    1 . F
1

 2   m m  2   m 
   
 x1 
y  1 0 
 x2 

Se dice que un sistema viene representado en variables de estado
x  Ax  BF

cuando se escribe en la forma .
y  Cx  DF

Donde x es el vector de estado, F es la entrada, y es la salida y A,
B, C y D son matrices.

CONTROLES II

El polinomio sI  A Se denomina polinomio característico del

sistema y su solución origina los polos del sistema. I es la matriz
idéntica.

2.2 TRANSFORMACION DE MODELOS
MATEMATICOS CON MATLAB
Matlab es bastante útil para transformar el modelo de función de
transferencia al espacio de estados y viceversa. Comenzaremos con
el análisis de la función de transferencia al espacio de estados.

Sea la función de transferencia en lazo cerrado:

Y ( s) num

U ( s) den

Donde num y den son los polinomios del numerador y el
denominador respectivamente.

Una vez que se tiene esta expresión de la función de transferencia,
la instrucción en matlab es

[A, B, C, D]=tf2ss(num, den)

Con esta instrucción matlab calculará La representación en el
espacio de estados. La representación en variables de estado de un
sistema no es única. Existen infinitas soluciones.

EJEMPLO 1:

Considere la función de transferencia

CONTROLES II

Y ( s) s s
  3
 
U ( s) s  10 s  4s  16 s  14s  56s  160
2 2

Hay muchas representaciones posibles en el espacio de estados
para el sistema. Una representación posible en el espacio de
estados es

 x1   0
 1 0   x1   0 
x    0
 0 1   x 2    1 u
 2     
 x3   160  56  14  x3   14
       

 x1 
y  1 0 0 x 2   0u
 
 x3 
 

Otra posible representación en el espacio de estados es

 x1   14  56  160  x1  1

x    1
 0 0   x 2   0  u
 2     
 x3   0
    1 0   x 3  0 
   

 x1 
y  0 1 0 x 2   0u
 
 x3 
 

Veamos cómo se hace con Matlab

>>num=[0 0 1 0]
>>den=[1 14 56 160]
>>[A, B, C, D]=tf2ss(num,den)

Matlab también puede trasformar del espacio de estados a función
de transferencia. Para obtener la función de transferencia a partir

CONTROLES II

de las ecuaciones en el espacio de estados se utiliza la siguiente
instrucción:

[num, den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)

La instrucción iu se debe especificar para sistemas con más de una
entrada. Si el sistema tiene solamente una entrada, la instrucción
iu no es necesaria.

EJEMPLO 2:

Obtenga la función de transferencia para el sistema:

 x1   0
 1 0   x1   0 
x    0
 0 1   x 2    25 u
 2     
 x3   5  25  5  x3   120
      

 x1 
y  1 0 0 x 2   0u
 
 x3 
 

Con Matlab haríamos:

>>A=[0 1 0; 0 0 1;-5 -25 -5]
>>B=[0; 25; -120]
>>C=[1 0 0]
>>D=[0]
>>[num, den]=ss2tf(A,B,C,D)

CONTROLES II

EJERCICIOS:

1. Considere el sistema representado en el siguiente diagrama de
bloques:

a. Asigne variables y obtenga la representación en variables de
estado.
b. Obtenga la función de transferencia en el dominio de la
frecuencia.
c. Analice la estabilidad del sistema.

2. Escriba la ecuación de estados para los sistemas mostrados a
continuación:

3. Considere el sistema dado por

 x1   1
 2   x1  1
 x    3  4  x   2.F
 2    2   
x 
y  0 1 1 
 x2 

CONTROLES II

a. Con las variables indicadas, obtenga la representación en
variables de estado.
frecuencia.

4. Las ecuaciones linealizadas de un satélite en órbita ecuatorial
x  Ax  BU

circular son dadas por donde:
y  cx

0 1 0 0 0
3 0 0 2  1
A  B    C  1 0 0 0
0 0 0 1 0
   
0 2 3 0 0

Las variables de estado son:

x1 : Distancia desde el centro de la tierra.

x 2 : Rata de cambio de x1

x 3 : Desplazamiento angular en el plano ecuatorial

x 4 : Rata de cambio de x 3

a. Con las variables indicadas, obtenga la representación en
frecuencia.

CONTROLES II

5. Considere el sistema de la figura:

a. Utilizando las variables indicadas, obtenga la representación en las
frecuencia.
c. Determine los autovalores del sistema.
d. Analice la estabilidad del sistema.

Control ii clase 1

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a Control ii clase 1

Similar a Control ii clase 1 (20)

Más de Javier Murillo- matematicas

Más de Javier Murillo- matematicas (20)

Control ii clase 1