1) El documento presenta un estudio socioepistemológico sobre el desarrollo de la tangente como objeto escolar en la tesis doctoral de Luis Arturo Serna Martínez. 2) El estudio analiza problemas actuales en la enseñanza del cálculo diferencial como la énfasis en algoritmos y lo algebraico. 3) El documento también incluye un esquema general de los capítulos de la tesis que abarcarán el estado actual de la investigación, marco teórico, metodología y diseño experimental.

1. Programa de Doctorado en Matemática
Educativa
Tema de la tesis:
Estudio socioepistemológico del desarrollo de la
tangente como objeto escolar
Directores:
Apolo Castañeda Alonso
Gisela Montiel Espinoza
Alumno: Luis Arturo Serna Martínez

2. Esquema General de la presentación:
Capítulo 1.
Evidencia de que existe una problemática en el estudio del Cálculo
Diferencial, lo cual se ve reflejado en nuestro objeto de estudio.
Estado
Actual Capítulo 2.
de la Estado del Arte (Falta por concluir)
investigación
Esquema General de lo que se va a tratar en la tesis doctoral

3. Basada en Lo algebraico
Algoritmo
Algunas problemáticas
presentes en el estudio
del Cálculo Diferencial
La derivada
Los profesores
Libros de texto

4. Como un Se presenta el tema de
procedimiento más manera rigurosa
formal
Organización de los Por la falta de un claro
contenidos esta entendimiento o falta de
Enseñanza influenciada por la tiempo se recurre a el
del Cálculo estructura formal del uso de los algoritmos
Diferencial, b Análisis Matemático
asada en (Dolores, 2007) Se aprende de manera
algoritmos mecánica
Serie de pasos
a seguir lo
cual no es
garantía de Lo algorítmico sirve:
que los Para legitimar al profesor
alumnos La clase no entre en crisis
construyan Disminuir los índices de
Como lo más reprobación.
conocimiento
sencillo a utilizar Efecto Jourdain.
(Brosseau, 1986)
Se convierte en una
costumbre didáctica.

5. Lo algebraico se utiliza:
Uso de estrategias, técnicas y reglas para
manipular expresiones algebraicas.
No se hace uso de ella para:
a) Interpretar correctamente expresiones
algebraicas
b) Hacer generalizaciones.
c) Construcción de modelos para interpretar
fenómenos

6. Uso de algoritmos de Método de los IV
naturaleza algebraica pasos.
Se aprende a derivar Reglas de derivación.
mecánicamente. No se atiende a los
Derivada En problemas en donde procesos variacionales.
se debe utilizar No se le da tanta
Algoritmos derivada, no se identifica importancia a construir
el uso de la la derivada a partir de
Estrategias de misma, regularmente no la razón de cambio
manipulación se le relaciona con otras
algebraica. ciencias.
Familia de rectas secantes
cuyo límite deviene en la
Se minimiza el recta tangente.
significado geométrico de Recta tangente como algo
la derivada estático.
Toca a la curva sólo en la
región cercana a la zona
de contacto.
Sólo se utiliza el enfoque
de manera
momentánea, sin volver a
tocar el punto

7. Reconocido y validado
Medio de Organizar contenidos
transmisión Preparar exámenes, guías
de , formularios, actividades
conocimientos didácticas.
Que los alumnos estudien
Libro de
texto de
Cálculo
Contribuyen a Alumnos.
Diferencial formar las ideas
Profesores.
Discurso que de Cálculo que la
manejan sociedad se forma.
Secuenciación y Noosfera.
enfoque

8. Los profesores, tienen
un papel protagónico
El modelo de
Sus concepciones
enseñanza

9. No se le relaciona con ciencias y/o problemas
de variación
Sistema lógico y
Mayor peso al contexto matemático
coherente
El conocimiento Se aprende a decir que
es algo ya hecho y es la derivada.
acabado Sólo se resuelven
problemas del libro
Sus
concepciones y Mecanizar destrezas Derivar, encontrar límites, máximos y
creencias básicas mínimos, etc.
También se obtienen mayores
calificaciones
Alumnos dependientes
Profesor como
No hay uso de la argumentación, reflexión y
autoridad
análisis
Falta de conocimiento de la
relación de matemáticas
con otras ciencias

10. Transmitir habilidades por
repetición de ejercicios
Algoritmos
El modelo de
enseñanza
Definición, ej Tiempos escolares
emplo, ejemp
lo similar por
parte de los No saber identificar elementos
estudiantes conceptuales para resolver problemas
Elementos conceptuales pasan a 2do
término
El profesor como autoridad

11. Basada en Lo algebraico
Algoritmo
Problemática
en Cálculo
La derivada
Los profesores
Libros de texto

12. Matemáticas y
razonamiento
complejo
Capacidad para
analizar, razonar
y transmitir Enfoque es Analiza el
ideas Utilizar su operacional e cambio que
metacognición intuitivo sufren las
cantidades
Plantar , resolver e
interpretar
problemas
Dejar la No justificar
memorización rigurosamente la
Contextos fundamentación
lógico axiomática
Personal, profesional, p Pensar, crítica y
ublicas y científicas reflexivamente

13. PROGRAMA DE PENSAMIENTO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
Los números reales y funciones
Los números reales.
Clasificación de las funciones.
Gráfica de funciones.
Operaciones con funciones
Límites y continuidad.
Límites de una función.
Continuidad de una función.
La derivada.
La derivada.
Teoremas de derive
Derive de funciones.
Derivada de funciones trascendentes.
Aplicaciones de la derivada.
Teoremas de aplicación de derive
Aplicación de la derivada.
Aplicaciones físicas de la derivada

14. Algunas ideas con respecto al programa
Empleo de un lenguaje no congruente con la estructura del
programa
No hay una referencia explícita de cómo lograr los objetivos
planteados.
En los problemas planteados no se da una orientación
metodológica de cómo implementarlos, o como construir los
conceptos a partir de la resolución de problemas.
Se da un tratamiento a la tangente similar a el dado en otros
programas , el cual consiste en explicar que una familia de rectas
secantes tiene como límite a la recta tangente, además se asume
que el estudiante entiende que la recta tangente es variable al
explicar problemas sobre máximos y mínimos.
Se recomiendan textos de matemática educativa, sin embargo no
se ven plasmadas las ideas de estos textos en el programa.

15. Tratamiento de la recta tangente en un libro de
texto
(Swokowski, 1982, pp. 51-52)

16. (Swokowski, 1982, pp. 51-52)

17. Tres referentes como antecedentes
 1.La presentación habitual de la derivada se
apoya en la concepción de que la tangente
es el resultado de un proceso al límite de
una familia de rectas secantes, y la
explicación de ello ha sido identificada
como de gran dificultad didáctica.
Cantoral (2000)

18. Tres referentes como antecedentes
 1.La presentación habitual de la derivada se
apoya en la concepción de que la tangente
es el resultado de un proceso al límite de
una familia de rectas secantes, y la
explicación de ello ha sido identificada
como de gran dificultad didáctica.
Cantoral (2000)

19. Los estudiantes de Cálculo conservan la idea de
la antigua Grecia sobre la tangente.
Se le da a la tangente un tratamiento global y no
local
Recta
tangente
al círculo Se dificulta tratar a la
tangente
dinámicamente y no
estáticamente como en
la geometría clásica

20. 2. Ruptura Álgebra/análisis
 Reconstrucción que tiene que hacer el estudiante
de la idea de tangente entendida esta como en la
antigua Grecia y la tangente con la idea de que la
tangente tiene dirección común con una curva.
 Esta situación parece ser transparente ya que no se
le da ningún tratamiento didáctico
Artigue (1998)

21. 3.Variación de la recta Tangente
 No existe una liga definida en los textos de cómo
ver la pendiente como número y como variable.
Martínez (2005)
Granville

22. La Socioepistemología
Conocimiento situado: Se toma en cuenta el momento histórico, los
escenarios socioculturales, las circunstancias y las problemáticas
que le dieron origen
Se centra la atención en la práctica que le da origen a el
conocimiento matemático.
Son por lo tanto, las circunstancias, los escenarios y los medios los
que hacen que emerja el conocimiento matemático.
Consideramos que estos enfoques nos ayudarán a encontrar y/o
identificar los fenómenos, las circunstancias y las herramientas
asociadas al nacimiento de la tangente variacional.

23. Algunos aportes tomados de Serna (2007)
Sabiendo trazar tangentes a las curvas y hallar las
áreas comprendidas por ellas, es posible adentrarse
a la geometría con el mundo real y – sin inventar
hipótesis – medir tiempos y espacios, masas y
velocidades, hasta llegar a la ecuación
fundamental.
Notas de A. Escohotado, Principios matemáticos, Isaac Newton, 1713

24. •Definen a la tangente a partir de encontrar a la
subtangente.
•Utilizan un solo eje, el horizontal.
•Utilizan una figura similar a la siguiente

25. Cada uno de los autores considera su propia
terminología, para definir las partes importantes de la
gráfica, sin embargo en términos generales se utiliza
esa figura.
•Se utilizan triángulos semejantes
•Se utiliza la idea de “dejar fluir” dejar avanzar ya que el
análisis que realizan los autores es a partir del punto de
contacto de la tangente con la curva y a partir de ahí
hacia la derecha al avanzar un poco sobre la curva se
hace el análisis.
•En la proximidad del punto de tangencia la tangente y
la curva son parecidas ya que la curva tiende a parecer
una línea recta en una región muy pequeña.

26. En nuestro proyecto de investigación pretendemos hacer un estudio
más detallado que nos permita percatarnos de cómo nacen la idea de
tangente variable y como es que contribuye los contextos
socioculturales en la construcción de la noción de
tangente, consideramos que es la mecánica quien da un fuerte
impulso en la creación de tal noción, al hacer este estudio creemos
que se podrán rescatar elementos importantes que se han perdido en
el transcurso del tiempo y que pueden servir en la creación de
secuencias de aprendizaje que permitan a los estudiantes construir
la noción tangente variable en un contexto variacional.
Consideramos también que los productos de nuestra investigación
contribuirán al rediseño del discurso matemático escolar.

27. Capítulo I
Problemática del estudio del Cálculo Diferencial
Enseñanza basada en Algoritmo
Como un procedimiento más formal
Ecología del saber
Algebraico
El uso de las reglas algebraicas
Derivada
Dificultad en problemas de aplicación.
Minimizar el significado geométrico de la derivada.
Libros de texto
Los Profesores
El Profesor sus concepciones y creencias
El modelo de enseñanza
Estado Actual de la Recta Tangente en la escuela
Programa de Estudio de Pensamiento del Cálculo Diferencial
Tratamiento de la recta tangente en un libro de texto
Entrevista a Profesores

28. Capítulo II Estado del Arte
Justificación del estudio
2.2 Socioepistemología
2.3 La caracterización de la tangente en algunas
investigaciones
2.4 Discurso Matemático Escolar
2. 5 La física como un elemento contextual en
donde nace el CD
2.6 La evolución de la tangente a derivada
2.7 Algunos aportes retomados de la investigación
llevada a cabo en Serna (2007)
2.8 Con respecto a nuestro objeto de estudio

29. Capítulo III
3.1 Planteamiento del problema de investigación
3.1.1 Fenómeno Didáctico
3.1.2 Pertinencia y justificación
3.1.3 Resignificación
3.1.4 Los objetivos de la investigación
3.1.5 Hipótesis
Capítulo IV
Marco Teórico
4.1 Socioepistemología.
4.2 Pensamiento y Lenguaje Variacional
4.3 Discurso Matemático Escolar
4.4 Resignificación

30. Capítulo V
Metodología
5.1 Obtención de datos
5.2 Análisis e interpretación de datos
5.3 Validación de datos
Capítulo VI
Revisión de obras históricas
6.1 Contexto
6.2 Praediciere
6.3 Análisis en particular de las obras

31. Capítulo VII
Diseño experimental
Secuencia Didáctica
Capítulo VIII
8.1 Análisis de la secuencia
Capítulo IX
Conclusiones

32. Bibliografía:
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¡Muchas gracias por su atención!