El documento explica los conceptos matemáticos de curvatura en diferentes objetos geométricos como curvas planas, superficies y espacios. Define la curvatura extrínseca e intrínseca y cómo se calcula la curvatura para curvas, superficies y espacios de diferentes dimensiones usando conceptos como el tensor de curvatura de Riemann. También explora cómo la curvatura se relaciona con conceptos físicos como la gravedad según la teoría de la relatividad general.

1. Objetivo3Introducción4Marco teórico5 a 10Conclusión11Bibliografía11<br />La curvatura se refiere a un concepto métrico de objetos matemáticos o geométricos. Por extensión también se usa el término para referirse a un número u objeto matemático que caracteriza la forma y magnitud de la curvatura.<br />En matemáticas, curvatura refiere a cual es quiera de un número de conceptos libremente relacionados en diversas áreas de la geometría. Intuitivo, la curvatura es la cantidad por la cual un objeto geométrico se desvía de ser plano, pero esto se define de diversas maneras dependiendo del contexto. Hay una distinción dominante en medio curvatura extrínseca, que se define para los objetos encajó en otro espacio (generalmente un espacio euclidiano) de una manera que se relaciona con el radio de curvatura de los círculos que tocan el objeto, y curvatura intrínseca, que se define en cada punto en un múltiple diferenciado. Este artículo se ocupa sobre todo del primer concepto.<br />El ejemplo primordial de la curvatura extrínseca es el de a círculo, que tiene curvatura igual a lo contrario de su radio por todas partes. Círculos más pequeños se doblan más agudamente, y por lo tanto tienen curvatura más alta. La curvatura de a curva lisa se define como la curvatura de su círculo osculating en cada punto.<br />En un plano, ésta es a escalar cantidad, pero en tres o más dimensiones es descrito por a vector de la curvatura eso considera la dirección de la curva tan bien como su agudeza. La curvatura de objetos más complejos (por ejemplo superficies o aún curvado n- dimensional espacios) es descrito por objetos más complejos de álgebra linear, por ejemplo el general Tensor de la curvatura de Riemann.<br />El resto de este artículo discute, de una perspectiva matemática, algunos ejemplos geométricos de la curvatura: la curvatura de una curva encajada en un plano y la curvatura de una superficie en espacio euclidiano. Vea los acoplamientos abajo para la lectura adicional.<br /> <br />Una dimensión en dos dimensiones: Curvatura de curvas planas<br />Para a curva plana C, la definición matemática de la curvatura utiliza a representación paramétrica de C con respecto al parametrization de la longitud del arco. Puede ser computado dado cualesquiera parametrization regular por un fórmula más complicado dado abajo. Dejado γ(s) sea a curva paramétrica regular, donde s es longitud del arco, o parámetro natural. Esto determina el vector de la tangente de la unidad T, el vector normal de la unidad N, curvatura κ(s), curvatura firmada k(s) y radio de curvatura en cada punto:<br />La curvatura de a línea recta es idénticamente cero. La curvatura de a círculo del radio R es constante, es decir. No depende del punto y es igual a recíproco del radio:<br />Así para un círculo, el radio de curvatura es simplemente su radio. Las líneas rectas y los círculos son las únicas curvas planas que curvatura es constante. Dado cualquier curva C y un punto P en él donde está diferente a cero la curvatura, hay un círculo único que aproxima lo más de cerca posible la curva cerca P, círculo osculating en P. El radio del círculo osculating es el radio de curvatura de C a este punto.<br />El significado de la curvatura<br />Suponga que una partícula se mueve en el plano con velocidad de la unidad. Entonces la trayectoria de la partícula remontará hacia fuera una curva C en el plano. Por otra parte, tomando el tiempo como el parámetro, esto proporciona un parametrization natural para C. La dirección instanteneous del movimiento es dada por el vector de la tangente de la unidad T y las medidas de la curvatura cómo rápidamente este vector rota. Si una curva guarda cerca de la misma dirección, el vector de la tangente de la unidad cambia muy poco y la curvatura es pequeña; donde la curva experimenta una vuelta apretada, la curvatura es grande.<br />La magnitud de curvatura en los puntos en curvas físicas se puede medir adentro diopters (dioptre también deletreado) - éste está la convención adentro la óptica. Un diopter tiene la dimensión <br />Expresiones locales<br />Para una curva plana dada paramétrico como c (t) = (x (t), y (t)), la curvatura es<br />Para el caso menos general de una curva plana dada explícitamente como y = f(x) la curvatura es<br />Esta cantidad es común adentro física y ingeniería; por ejemplo, en ecuaciones de flexión en vigas, el 1D vibración de una secuencia tensa, de aproximaciones al flujo fluido alrededor de superficies (en aeronáutica), y de las condiciones de límite superficiales libres en ondas del océano. En tales usos, la asunción casi siempre se hace eso cuesta es pequeño comparado con la unidad, de modo que la aproximación: puede ser utilizado. Esta aproximación rinde una ecuación linear directa que describe el fenómeno, que seguiría habiendo de otra manera insuperable.<br />Si una curva se define en coordenadas polares como r (θ), entonces su curvatura está con respecto a donde aquí la prima refiere a la diferenciación θ.<br />Ejemplo: Considere parábola y = x2. Podemos parametrize la curva simplemente como c (t) = (t, t2) = (x, y), El substituir<br />Una dimensión en tres dimensiones: Curvatura de las curvas del espacio<br />Vea Fórmulas de Frenet-Serret para un tratamiento más completo de la curvatura y el concepto relacionado de torsión. <br />Para una curva paramétrico definida del espacio su curvatura está: A dada función r (t) con valores adentro R3, la curvatura en un valor dado de t es donde y corresponda a los primeros y segundos derivados de r (t), respectivamente.<br />Dos dimensiones: Curvatura de superficies<br />En contraste con las curvas, que no tienen curvatura intrínseca, pero tenga curvatura extrínseca (hacen solamente una curvatura dar encajar), superficies tienen curvatura intrínseca, independiente de encajar.<br />Para una superficie de dos dimensiones encajada adentro R3, considere la intersección de la superficie con contener del plano vector normal y uno de vectores de la tangente en un punto particular. Esta intersección es una curva plana y tiene una curvatura. Éste es curvatura normal, y varía con la opción del vector de la tangente. Los valores máximos y mínimos de la curvatura normal en un punto se llaman curvaturas principales, k1 y k2, y las direcciones de los vectores correspondientes de la tangente se llaman direcciones principales.<br />Aquí adoptamos a convención que una curvatura está tomada para ser positivo si la curva da vuelta en la misma dirección que normal elegido el de la superficie, si no negativa.<br />Curvatura Gaussian, nombrado después Gauss de Carl Friedrich, es igual al producto de las curvaturas principales, k1k2. Tiene la dimensión de 1/length2 y es positivo para esferas, negativo para la uno-hoja hyperboloids y cero para los planos. Se determina si es una superficie localmente convexo (cuando es positivo) o localmente ensille (cuando es negativo).<br />La definición antedicha de la curvatura Gaussian es extrínseco en que utiliza la superficie el encajar en R3, vectores normales, planos externos etc. La curvatura Gaussian es sin embargo de hecho intrínseco la característica de la superficie, significándolo no depende del detalle el encajar de la superficie; intuitivo, esto significa que las hormigas que vivían en la superficie podrían determinar la curvatura Gaussian. Formalmente, la curvatura Gaussian depende solamente de Riemannian métrico de la superficie. Esto es Gauss'celebró Theorema Egregium, que él encontró mientras que estaba tratado a exámenes y a cartografía geográficos.<br />Una definición intrínseca de la curvatura Gaussian en un punto P es lo que sigue: imagine una hormiga a la cual se ate P con un hilo de rosca corto de la longitud r. Él funciona alrededor P mientras que el hilo de rosca se estira y mide totalmente la longitud C (r) de un viaje completo alrededor P. Si la superficie fuera plana, él encontraría C (r) = 2πr. En superficies curvadas, el fórmula para C (r) sea diferente, y la curvatura Gaussian K en el punto P puede ser computado como<br />Integral de la curvatura Gaussian sobre la superficie entera se relaciona de cerca con la superficie Característica de Euler; vea Teorema del Gauss-Capo.<br />El análogo discreto de la curvatura, correspondiendo a la curvatura que es concentrada en un punto y particularmente útil para poliedros, es defecto (angular); el análogo para Teorema del Gauss-Capo es Teorema de Descartes en defecto angular total.<br />Porque la curvatura se puede definir sin referencia a un espacio que encaja, no es necesario que un superficial esté encajado en un espacio dimensional más alto para ser curvado. Una superficie de dos dimensiones intrínseco tan curvada es un ejemplo simple de a Múltiple de Riemannian.<br />Curvatura mala es igual a la suma de las curvaturas principales, k1+k2, sobre 2. Tiene la dimensión de 1/length. La curvatura mala se relaciona de cerca con la primera variación de área superficial, particularmente a superficie mínima por ejemplo a película del jabón, tiene curvatura mala cero y a burbuja del jabón tiene curvatura mala constante. Desemejante de curvatura del gauss, la curvatura mala es extrínseca y depende de encajar, por ejemplo, de la a cilindro y un plano está localmente isométrico pero la curvatura mala de un plano es cero mientras que la de un cilindro es distinta a cero.<br />Tres dimensiones: Curvatura del espacio<br />Por la extensión de la discusión anterior, un espacio de tres o más dimensiones pueden ser curvados intrínseco; la descripción matemática completa se describe en curvatura de los múltiples de Riemannian. Una vez más el espacio curvado se puede o no se puede concebir como siendo encajado en un espacio alto-dimensional. En jerga reciente de la física, el espacio que encaja se conoce como bulto y el espacio encajado como a p- brane donde p es el número de dimensiones; así una superficie (membrana) es un brane 2; el espacio normal es 3 un brane etc.<br />Después del descubrimiento de la definición intrínseca de la curvatura, con la cual está conectado de cerca Geometría no-Euclidiana, muchos matemáticos y científicos preguntaron si el espacio físico ordinario pudo ser curvado, aunque el éxito de la geometría euclidiana hasta ese tiempo significó que el radio de curvatura debe ser astronómico grande. En la teoría de relatividad general, que describe gravedad y cosmology, la idea se generaliza levemente a la “curvatura de espacio-tiempoquot;
; en teoría de la relatividad el espacio-tiempo es a pseudo-Riemannian múltiple. Una vez se define un coordenada del tiempo, el espacio tridimensional que corresponde a un rato particular es generalmente un múltiple curvado de Riemannian; pero desde coordenada del tiempo la opción es en gran parte arbitraria, él es la curvatura subyacente del espacio-tiempo que es físicamente significativa.<br />Aunque un espacio arbitrario-curvado es muy complejo describir, la curvatura de un espacio que está localmente isotrópico y homogéneo es descrito por una sola curvatura Gaussian, en cuanto a una superficie; éstas son matemáticamente condiciones fuertes, pero corresponden a las asunciones físicas razonables (todos los puntos y todas las direcciones son indistinguibles). Una curvatura positiva corresponde al radio cuadrado inverso de curvatura; un ejemplo es una esfera o hypersphere. Un ejemplo del espacio negativamente curvado es geometría hiperbólica. Un espacio o un espacio-tiempo sin curvatura (formalmente, con la curvatura cero) se llama plano. Por ejemplo, Espacio euclidiano es un ejemplo de un espacio plano, y Espacio de Minkowski es un ejemplo de un espacio-tiempo plano. Hay otros ejemplos de geometries planos en ambos ajustes, aunque. A toro o a cilindro al poder ambas se dé métrica plana, pero diferencia en su topología. Otras topologías son también posibles para el espacio curvado. Vea también forma del universo.<br />La curvatura de una curva en el plano, en un punto de la curva, mide la rapidez con la que la curva abandona la tangente en ese punto.<br />¿Cómo medimos la curvatura? Por un lado, una recta no tiene curvatura, luego su curvatura es cero, por otro lado, una recta podemos imaginarla como una circunferencia de radio infinito, entonces la curvatura podemos medirla por el inverso del radio de curvatura (1 / R)<br />El radio de curvatura de una circunferencia, es el radio de la circunferencia. Para el caso de una curva cualquiera, el radio de curvatura en un punto, es el radio de la circunferencia que pasa por ese punto y otros dos infinitamente próximos (por tres puntos sólo pasa una circunferencia). En general, el radio de curvatura varía en cada punto de la curva. <br />http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Curvature<br />