El documento describe cómo aplicar el cálculo de derivadas para resolver problemas de optimización en economía. Explica las funciones de ingreso, costo y utilidad de una empresa, y cómo encontrar los puntos críticos y máximos/mínimos locales mediante el uso de derivadas de primer y segundo orden. Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar cómo maximizar la utilidad de una empresa al encontrar la producción óptima.

1. Aplicación de la derivada
en la Economía
Un problema de optimización de la utilidad
en la producción de un articulo en una
empresa

2. Habilidades
• Saber aplicar la primera derivada para obtener
puntos críticos y de la segunda derivada para
obtener los puntos máximos y mínimos locales de
una función en cuestión.
Objetivo
• Resolver problemas de optimización en la
economía de una empresa.

3. La Derivada
Definición 1 :Dada una función f, se llama
derivada de f en el punto a ( donde a
pertenece al dominio de f) , al valor
denotada como f ’(a); se define como:
f a h f a
f ' a lim
h 0 h
Observación respecto a la definición:
1. La derivada de una función depende del
límite.
2. Si existe f ’(a); se dirá que f es derivable en
a.
3. Si f es derivable en a, entonces f es
continua en a.

4. Punto critico de una función
Definición 2 : Un punto crítico de una función f
es un número “c” en el dominio de f tal que
f ’(c) = 0 o f ’(c) no existe.
Criterio de la segunda derivada
Sea f una función continua en un entorno
de c.
(i) Si c es un punto critico y f “ (c) < 0,
entonces f tiene un máximo local en c.
(ii) Si c es un punto critico y f “ (c) > 0,
entonces f tiene un mínimo local en c.

5. :
Función Ingreso
Cuando una empresa pone en venta un producto a p
(unidades monetarias); el ingreso obtenido por la
producción de “x” unidades es:
Pero con frecuencia , el precio depende del número de
unidades producidas de manera lineal:
de forma que lo anterior se convierte en :
Esta última es un ejemplo de “Función Ingreso”.

6. Función Costo
, denotara la “Función Costo” de producir “x”
unidades de un producto o articulo
En general una función “Costo típica ”consiste en
C(x)=costos variables + costos fijos
Así por ejemplo:
Las constantes 600 y 950 son los costos fijos (rentas ,primas de
seguro).
Función Utilidad
La “Función Utilidad” para una empresa de
producción se define como:

7. “Una empresa naturalmente le interesa en
maximizar sus
utilidades en la producción de un articulo”

8. Aplicación
En una empresa se determina que en la
producción de “ x ” unidades de un
artículo, sus funciones de ingreso y de
costo esta dado por las siguientes
funciones cuadráticas :
Encontrar la utilidad máxima en la
producción.

9. Solución : (maximización de la utilidad)
La utilidad para x≥ 0 es:
Aplicando la derivada primera y segunda se
obtiene:
Haciendo , se puede ver que para x=97
es un punto critico y que
Así que con el criterio de la segunda derivada
implica
es un máximo .

10. Interpretación Económica
 Esto significa que para 97 artículos
producidos, se obtendrá la máxima utilidad
o ganancia de 46545 (unidades monetarias
) para la empresa.

11. Maximización de la función Utilidad
>> x=-100:.01:200;
>> y=-5.*x.^2+970.*x-500;
>> plot(x , y)

12. BIBLIOGRAFÍA
“Cálculo de una variable” James Stewart.
Pág. 85-87 ; 277-280
“Economía para la toma de decisiones”
Héctor Viscencio Brambila. Pág. 81 - 85

13. “GRACIAS POR SU ATENCIÓN”

14.  Una ejecutiva de una aerolínea ha calculado
que el costo de vuelo por pasajeros desde
Perú hasta Chile es . El ingreso
total para ese número de pasajeros es
. Ella tiene normalmente
reservaciones para 220 pasajeros por vuelo.
Determine si ella debería vender más o
menos pasajes para maximizar el beneficio
(utilidad) .

15.  Un pedazo de alambre de 20 cm de largo
se corta en dos partes; una parte se dobla
para formar un cuadrado y con la otra se
forma una circunferencia. ¿Dónde se
deberá hacer el corte para que la suma de
las áreas del cuadrado y del círculo sea
un mínimo?

16. Con el primer segmento se construye el
cuadrado cuyo lado medirá x/4, con el resto
se construye la circunferencia en que el radio
medirá: 2π r = L – x .
Las áreas, por lo tanto, medirán:
Acuadrado = y Acírculo =
El área total será: Atotal = +

17. La primera derivada del área total respecto de x,
resulta:
Igualando a 0 y despejando el valor de x, queda:
La segunda derivada del área total respecto de x
queda:
lo que nos indica que es positiva x, en
consecuencia, el valor del área es un mínimo.
Reemplazando en x el valor de la longitud del
alambre: 20 cm x = 11,2 cm.