El documento habla sobre la introducción a las derivadas en matemáticas de primero de bachillerato. Explica la tasa de variación media y cómo se puede usar para calcular la pendiente de una curva en diferentes intervalos. También menciona algunas aplicaciones de las derivadas en física, óptica y geometría.

1. MATEMATICAS
1º Bachillerato
MaTEX
r=A+lu
Proyecto A
d
B
s=B+mv
Derivadas SOCIALES
MaTEX
Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a
Derivadas
Directorio
Tabla de Contenido
Inicio Art´
ıculo
c 2004 gonzaleof@unican.es Doc Doc
31 de mayo de 2004 Versin 1.00
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2. MATEMATICAS
1º Bachillerato
Tabla de Contenido A
r=A+lu
1. Introducci´no d
1.1. Tasa de variaci´n media
o B
s=B+mv
• Interpretaci´n geom´trica
o e SOCIALES
1.2. Tasa de variaci´n instant´nea
o a
1.3. El problema de la tangente MaTEX
2. Derivada en un punto
2.1. Derivadas laterales
Derivadas
3. Reglas b´sicas
a
• Derivada de una constante • Derivada de la potencia
4. Reglas de Derivaci´n o
• Regla de la suma • Regla del producto • Regla del cociente
• Regla de la cadena
5. Derivadas de las funciones trascendentes
5.1. Derivadas Trigonom´tricase
5.2. Derivadas Exponenciales
5.3. Derivadas Logar´ ıtmicas
5.4. Derivadas de Arcos trigonom´tricos
e
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests
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3. MATEMATICAS
Secci´n 1: Introducci´n
o o 3 1º Bachillerato
r=A+lu
1. Introducci´n
o A
Los cient´
ıficos de los ultimos a˜os del siglo XVII dedicaron gran parte de
´ n d
su tiempo y energ´ a resolver el problema de la tangente que tiene relaci´n
ıa o B
s=B+mv
en cuestiones como las siguientes: SOCIALES
En ´ptica, el ´ngulo con el que un rayo de luz incide en una superficie
o a
de una lente est´ definida en t´rminos de la tangente a la superficie.
a e MaTEX
En f´
ısica, la direcci´n de un cuerpo en movimiento en un punto de su
o
recorrido es la de la tangente en ese punto.
Derivadas
En geometr´ al ´ngulo entre dos curvas que intersecan es el ´ngulo
ıa, a a
entre las tangentes en el punto de intersecci´n.
o
¿C´mo encontraremos la ecuaci´n de la tangente? Usaremos el m´todo
o o e
ya desarrollado por Fermat en 1629.
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4. MATEMATICAS
Secci´n 1: Introducci´n
o o 4 1º Bachillerato
r=A+lu
1.1. Tasa de variaci´n media
o A
La siguiente tabla da el precio en euros1 de un producto en 8 a˜os sucesivos
n d
precio 10 18 24 28 30 30 28 24 B
s=B+mv
a˜o
n 0 1 2 3 4 5 6 7 SOCIALES
Si llamamos P (x) a la funci´n precio y x designa los a˜os, podemos pre-
o n
guntar cu´l es la variaci´n o incremento del precio en el intervalo [0, 1], y ´sta
a o e
MaTEX
ser´
ıa
∆P = P (1) − P (0) = 18 − 10 = 8 euros
Derivadas
la variaci´n o incremento del precio en el intervalo [1, 3], y ´sta ser´
o e ıa
∆P = P (3) − P (1) = 28 − 18 = 10 euros
Ahora bien, la tasa de variaci´n media es el incremento por unidad de tiempo.
o
La tasa de variaci´n media del precio en el intervalo [0, 1] es
o
P (1) − P (0) 18 − 10
T.V.M. = = = 8 euros/a˜o
n
1−0 1
La tasa de variaci´n media del precio en el intervalo [1, 3] es
o
P (3) − P (1) 28 − 18
T.V.M. = = = 5 euros/a˜o
n
3−1 2
1
Hemos cambiado los n´meros para que sean m´s c´modos de usar
u a o
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5. MATEMATICAS
Secci´n 1: Introducci´n
o o 5 1º Bachillerato
r=A+lu
La tasa de variaci´n media del precio en el intervalo [3, 7], es
o A
P (7) − P (3) 24 − 28 d
T.V.M. = = = −1 euros/a˜o
n
7−3 4 B
s=B+mv
que indica que el precio ha disminuido a raz´n de un euro por a˜o.
o n SOCIALES
De esta forma definimos de la tasa de variaci´n media para una funci´n f (x)
o o
en un intervalo [x, x + h] como MaTEX
Derivadas
Tasa de Variaci´n Media
o
f (x + h) − f (x)
T.V.M. =
h
En el intervalo [x, x + h] la TVM representa gr´ficamente la pendiente del
a
segmento que va desde el punto (x, f (x)) al punto (x+h, f (x+h)). En gr´fico
a
siguiente se muestra como var´ gr´ficamente la TVM en distintos intervalos.
ıa a
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6. MATEMATICAS
Secci´n 1: Introducci´n
o o 6 1º Bachillerato
r=A+lu
• Interpretaci´n geom´trica
o e A
d
En [1, 3] P (x)
30 P (5) B
s=B+mv
P (3) − P (1) P (3) SOCIALES
T.V.M. = 27
3−1
28 − 18
=
2
= 5 euros/a˜o
n 24 P (7)
MaTEX
21
En [1, 5]
Derivadas
18 P (1)
P (5) − P (1)
T.V.M. =
5−1 15
30 − 18
= = 3 euros/a˜o
n 12
4
En [1, 7] 9
P (7) − P (1) 6
T.V.M. =
7−1 3
24 − 18
= = 1 euros/a˜o
n
6 1 2 3 4 5 6 7
a˜os
n
La T.V.M. representa la pendiente del segmento que une los puntos de la cur-
va.
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7. MATEMATICAS
Secci´n 1: Introducci´n
o o 7 1º Bachillerato
r=A+lu
1.2. Tasa de variaci´n instant´nea
o a A
Como el intervalo [x, x + h] var´ con h, si hacemos h cada vez m´s
ıa a d
peque˜o, es decir hacemos tender h a 0, obtenemos la TVI, Tasa de variaci´n
n o B
s=B+mv
instant´nea.
a SOCIALES
Tasa de Variaci´n instant´nea
o a
MaTEX
f (x + h) − f (x)
Derivadas
T.V.I.(x) = lim
h→0 h
La expresi´n anterior es muy importante en matem´ticas y se relaciona
o a
con el c´lculo de la recta tangente a una funci´n, como mostraremos a con-
a o
tinuaci´n.
o
En el ejemplo anterior de los precios la TVI significa la raz´n de cambio
o
del precio en un instante de tiempo.
Gr´ficamente indica la pendiente de la tangente a la funci´n en el punto
a o
(x, f (x)).
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8. MATEMATICAS
Secci´n 1: Introducci´n
o o 8 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 1.1. Si P (x) es precio de un producto y x designa los a˜os, siendo
n A
P (x) = −x2 + 9 x + 10 d
B
hallar la T V I en el a˜o x = 1 y en el a˜o x = 7
n n s=B+mv
SOCIALES
Soluci´n: El precio en el a˜o x = 1 es P (1) = 18 y la T V I es
o n
T V I(1) = lim
h→0
P (1 + h) − P (1)
h
MaTEX
−(1 + h)2 + 9(1 + h) + 10 − 18
= lim
Derivadas
h→0 h
−h2 + 7h
= lim = lim (−h + 7) = 7
h→0 h h→0
es decir, en x = 1 el precio est´ aumentando a raz´n de T V I(1) = 7 euros/a˜o
a o n
P (7 + h) − P (7)
T V I(7) = lim
h→0 h
−(7 + h)2 + 9(7 + h) + 10 − 24
= lim
h→0 h
−h2 − 5h
= lim = lim (−h − 5) = −5
h→0 h h→0
es decir, en x = 7 el precio est´ disminuyendo a raz´n de T V I(7) = −5
a o
euros/a˜o
n
Doc Doc
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9. MATEMATICAS
Secci´n 1: Introducci´n
o o 9 1º Bachillerato
r=A+lu
1.3. El problema de la tangente A
Dada una funci´n y = f (x) y un punto A(a, f (a)) del grafo de la funci´n
o o d
se trata de determinar la pendiente de la recta tangente al grafo de la funci´n
o B
s=B+mv
en el punto A. Consideremos la recta secante desde A a B. Siendo los puntos SOCIALES
A(a, f (a)) y B(a + h, f (a + h)),
B MaTEX
la secante AB tiene pendiente
f f (a + h) − f (a)
Derivadas
m= = Df
h h
A medida que h → 0, B → A, y f(a) A
definimos la pendiente de la tan-
gente mtan como
f (a + h) − f (a) a a+h
mtan = lim
h→0 h
Esta pendiente la escribiremos como f (a) quedando la ecuaci´n de la tan-
o
gente de la forma
y − f (a) = f (a)(x − a) (1)
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10. MATEMATICAS
Secci´n 1: Introducci´n
o o 10 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 1.2. Hallar en x = 2 la tangente a la curva f (x) = x2 . A
Soluci´n: El punto de la curva en x = 2 =⇒ f (2) = 22 = 4, A(2, 4). La
o d
pendiente de la tangente es B
s=B+mv
f (2 + h) − f (2) (2 + h)2 − 4 SOCIALES
f (2) = lim = lim
h→0 h h→0 h
= lim
4 + 4h + h2 − 4
= lim (4 + h) = 4 MaTEX
h→0 h h→0
Siendo la recta tangente
Derivadas
y − 4 = 4(x − 2)
1
Ejemplo 1.3. Hallar en x = 1 la tangente a la curva f (x) = .
x
1
Soluci´n: El punto de la curva en x = 1 =⇒ f (1) =
o = 1, A(1, 1). La
1
pendiente de la tangente es
1
f (1 + h) − f (1) −1
f (1) = lim = lim 1+h
h→0 h h→0 h
−h −1
= lim = lim = −1
h→0 (1 + h) h h→0 1 + h
Siendo la recta tangente
y − 1 = −(x − 1) Doc Doc
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11. MATEMATICAS
Secci´n 2: Derivada en un punto
o 11 1º Bachillerato
r=A+lu
2. Derivada en un punto A
Sea f una funci´n, definimos la derivada en x = a, f (a) como
o d
B
s=B+mv
f (a + h) − f (a) SOCIALES
f (a) = lim (2)
h→0 h
MaTEX
2.1. Derivadas laterales
Definici´n 2.1 Sea f una funci´n y a ∈ Dom(f )
o o
Derivadas
1. Definimos la derivada por la izquierda de f en a cuando
f (a + h) − f (a)
f (a− ) = lim− existe (3)
h→0 h
2. Definimos la derivada por la derecha de f en a cuando
f (a + h) − f (a)
f (a+ ) = lim+ existe (4)
h→0 h
Teorema 2.1. Sea f una funci´n definida en un intervalo abierto conteniendo
o
a x, entonces f (x) existe si y solo si existen las derivadas laterales f (x− ) y
f (x+ ) y son iguales. En este caso
f (x) = f (x− ) = f (x+ )
Soluci´n: Se deduce de la propia definici´n de l´
o o ımite, ya que para que un Doc Doc
l´
ımite exista deben existir los l´
ımites laterales y ser iguales.
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12. MATEMATICAS
Secci´n 2: Derivada en un punto
o 12 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 2.1. ¿Es derivable f (x) = |x| en x = 0 ?. A
−x ≤ 0
Soluci´n: Siendo f (x) = |x| =
o d
x >0 B
s=B+mv
y = |x| SOCIALES
f (0 + h) − f (0)
f (0− ) = lim =
h→0− h
= lim−
−h
= −1
MaTEX
h→0 h
f (0 + h) − f (0)
Derivadas
f (0+ ) = lim+ =
h→0 h
h
= lim =1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
h→0 + h
Como f (0− ) = f (0+ ) la funci´n no es
o
derivable en x = 0
Test. La funci´n f (x) = x − |1 − x| es derivable en x = 1.
o
(a) Si (b) No
Doc Doc
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13. MATEMATICAS
Secci´n 3: Reglas b´sicas
o a 13 1º Bachillerato
r=A+lu
3. Reglas b´sicas
a A
• Derivada de una constante d
Teorema 3.1. Sea f una funci´n constante f (x) = c ∀x ∈ R, siendo c un
o B
s=B+mv
n´mero real, entonces
u SOCIALES
f (x) = 0 ∀x ∈ R
• Derivada de la potencia
MaTEX
Teorema 3.2. (Regla de la potencia) Consideremos la funci´n f (x) = xn ,
o
Derivadas
para alg´n n´mero natural n ∈ N . Entonces
u u
f (x) = nxn−1 x∈R (5)
Nota al Teorema. La regla anterior se extiende y funciona cuando el ex-
ponente es cualquier n´ mero real.
u
Ejemplo 3.1. Hallar las derivadas de
f (x) = x6 g(x) = x−5 h(x) = x5/3
Soluci´n:
o
5 2/3
f (x) = 6x5 g (x) = −5x−6 h (x) = x
3
Ejercicio 1. Calcular las derivadas. √ √
5 Doc Doc
a) f (x) = 2x13 b) f (x) = x3 c) f (x) = x7
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14. MATEMATICAS
Secci´n 4: Reglas de Derivaci´n
o o 14 1º Bachillerato
r=A+lu
4. Reglas de Derivaci´n
o A
• Regla de la suma d
B
Teorema 4.1. (Derivada de la suma) Sean las funciones u = f (x) y v = g(x). s=B+mv
SOCIALES
Entonces
[f (x) + g(x)] = f (x) + g (x) (6)
MaTEX
[u + v] = u + v (7)
Derivadas
Ejemplo 4.1. Hallar las derivadas de
f (x) = x3 + x4 g(x) = x2 − x−3
Soluci´n:
o
f (x) = 3x2 + 4x3 g (x) = 2x + 3x−4
Ejercicio 2. Calcular las derivadas.
a) f (x) = 3 x2 − 5 x−3 b) f (x) = x2 − 3, x5
√
c) f (x) = x10 + x−10
3
d ) f (x) = x − x5
√ √
e) f (x) = x8 + x8,003 f ) f (x) = x3 + 5 x
Doc Doc
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15. MATEMATICAS
Secci´n 4: Reglas de Derivaci´n
o o 15 1º Bachillerato
r=A+lu
• Regla del producto A
Teorema 4.2. (Derivada del producto) Sean las funciones u = f (x) y v = d
g(x). Entonces B
s=B+mv
[f (x)g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x) (8) SOCIALES
[u · v] = u · v + u · v (9) MaTEX
Ejemplo 4.2. Hallar la derivada del producto
Derivadas
f (x) = (x3 + x4 )(x2 − x−3 )
Soluci´n:
o
f (x) = (3x2 + 4x3 ) · (x2 − x−3 ) + (x3 + x4 ) · (2x + 3x−4 )
Ejercicio 3. Calcular las derivadas.
a) f (x) = (x2 + 10)(1 − x2 ) b) f (x) = (x + x2 + 1) · (1 + x)
c) f (x) = (x10 + 1)(1 − x) d ) f (x) = (x2 − 2x) · (1 − x2 )
√ √
e) f (x) = (x2 + x3 ) · (3 + x) f ) f (x) = ( x3 + x) · (x − 5 x) Doc Doc
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16. MATEMATICAS
Secci´n 4: Reglas de Derivaci´n
o o 16 1º Bachillerato
r=A+lu
• Regla del cociente A
Teorema 4.3. (Derivada del cociente) Sean u = f (x) y v = g(x) d
B
f (x) f (x)g(x) − f (x)g (x) s=B+mv
= (10) SOCIALES
g(x) g(x)2
u u ·v−u·v MaTEX
= (11)
v v2
Derivadas
x3 + x4
Ejemplo 4.3. Hallar la derivada del cociente f (x) =
x2 − x−3
Soluci´n:
o
(3x2 + 4x3 )(x2 − x−3 ) − (x3 + x4 )(2x + 3x−4 )
f (x) =
(x2 − x−3 )2
Ejercicio 4. Calcular las derivadas.
1 x2 + 1
a) f (x) = b) f (x) =
x x
x10 + 1 x2 + x
c) f (x) = d ) f (x) =
1−x x+3
Doc Doc
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17. MATEMATICAS
Secci´n 4: Reglas de Derivaci´n
o o 17 1º Bachillerato
r=A+lu
• Regla de la cadena A
Teorema 4.4. (Regla de la cadena) Sea las funciones y = f (u) y u = g(x). d
Supongamos que g es derivable en x y f es derivable en u, entonces la funci´n
o B
s=B+mv
compuesta f ◦ g es derivable en x y su derivada es SOCIALES
(f ◦ g) (x) = f (g(x)) g (x) (12)
MaTEX
Ejemplo 4.4. Hallar las derivadas de
Derivadas
f (x) = (2x + x2 + 5)3 g(x) = (2 − x12 )6
Soluci´n:
o
f (x) = 3(2x + x2 + 5)2 (2 + 2 x)
g (x) = 6(2 − x12 )5 (−12 x11 )
Ejercicio 5. Calcular las derivadas.
a) f (x) = (1 + 2 x)3 b) f (x) = (x + x2 )3
c) f (x) = (x10 + 1)2 d ) f (x) = (2x3 + x)3
e) f (x) = x2 (2x3 + x)3 f ) f (x) = (1 − x2 )3 (5 + x)5
Doc Doc
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18. MATEMATICAS
Secci´n 5: Derivadas de las funciones trascendentes
o 18 1º Bachillerato
r=A+lu
5. Derivadas de las funciones trascendentes A
5.1. Derivadas Trigonom´tricas
e d
B
Teorema 5.1. Las derivadas trigonom´tricas elementales son:
e s=B+mv
SOCIALES
1
(sen x) = cos x (cos x) = − sen x (tan x) = (13)
cos2 x MaTEX
Derivadas
Ejemplo 5.1. Hallar las derivadas de
f (x) = sen 6x g(x) = cos(1 + x2 ) h(x) = tan x3
Soluci´n: Del teorema y aplicando la regla de la cadena se tiene
o
3x2
f (x) = 6 cos 6x g (x) = −2x sen(1 + x2 ) h (x) =
cos2 x3
Ejercicio 6. Calcular las derivadas.
a) f (x) = sen(3x + 1) b) f (x) = sen(x3 + 1)
x
c) f (x) = sen3 (x2 + 1) d ) f (x) = cos( )
1−x
e) f (x) = tan(1 + 2x2 + x3 ) f ) f (x) = sec(1 − x2 ) Doc Doc
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19. MATEMATICAS
Secci´n 5: Derivadas de las funciones trascendentes
o 19 1º Bachillerato
r=A+lu
5.2. Derivadas Exponenciales A
Teorema 5.2. Las derivadas de la funci´n exponencial son:
o d
B
(ex ) = ex (ax ) = ax ln a (a > 1) (14)
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Ejemplo 5.2. Hallar las derivadas de
Derivadas
2
f (x) = e6x g(x) = e1+x h(x) = 6sen x
Soluci´n: Del teorema y aplicando la regla de la cadena se tiene
o
2
f (x) = 6 e6x g (x) = 2x e1+x h (x) = 6sen x ln 6 cos x
Ejercicio 7. Calcular las derivadas.
2
a) f (x) = e−5x+4x b) f (x) = ex sen x
2
c) f (x) = e1−sen x
d ) f (x) = 2tan 3x
x2 +3x
3
e) f (x) = f ) f (x) = asen x+cos x
5 Doc Doc
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20. MATEMATICAS
Secci´n 5: Derivadas de las funciones trascendentes
o 20 1º Bachillerato
r=A+lu
5.3. Derivadas Logar´
ıtmicas A
Teorema 5.3. Las derivadas de la funci´n logar´
o ıtmica son: d
B
1 1 s=B+mv
(ln x) = (loga x) = (a > 1) (15) SOCIALES
x x ln a
MaTEX
Derivadas
Ejemplo 5.3. Hallar las derivadas de
f (x) = ln(5x − x2 ) g(x) = ln(5 − sen x) h(x) = log3 (x2 + ex )
Soluci´n: Del teorema y aplicando la regla de la cadena se tiene
o
5 − 2x − cos x 1 2x + ex
f (x) = 2
g (x) = h (x) =
5x − x 5 − sen x ln 3 x2 + ex
Ejercicio 8. Calcular las derivadas.
√
a) f (x) = ln(x + x + 1) b) f (x) = ln(x2 + sen x)
c) f (x) = ln(x2 sen x) d ) f (x) = ln2 (1 + ex )
1
e) f (x) = ln2 (1 + ln x) f ) f (x) = log5 ( ) Doc Doc
1 + sen x
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21. MATEMATICAS
Secci´n 5: Derivadas de las funciones trascendentes
o 21 1º Bachillerato
r=A+lu
5.4. Derivadas de Arcos trigonom´tricos
e A
Teorema 8. Las derivadas de los arcos trigonom´tricos son:
e d
1 B
a) (arc sen x) = √ s=B+mv
1 − x2 SOCIALES
−1
b) (arc cos x) = √
1 − x2 MaTEX
1
c) (arctan x) =
1 + x2
Derivadas
Ejemplo 5.4. Hallar las derivadas de
f (x) = arc sen 6x g(x) = arctan x3
Soluci´n:
o
6 3x2
f (x) = g (x) =
1 − (6x)2 1 + (x3 )2
Ejercicio 9. Calcular las derivadas.
a) f (x) = arc sen(ln x + x) b) f (x) = arc cos(1 − x)
c) f (x) = arctan(sen x) d ) f (x) = arctan(ln x)
Ejercicio 10. Calcular las derivadas. Doc Doc
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22. MATEMATICAS
Secci´n 5: Derivadas de las funciones trascendentes
o 22 1º Bachillerato
r=A+lu
a) f (x) = ln2 (1 + cos x)3 b) f (x) = sen x(1 + cos x)3 A
c) f (x) = e1−sen x d ) f (x) = 8x−ln x d
B
s=B+mv
Ejercicio 11. Calcular las derivadas. SOCIALES
√ 1 + tan x
a) f (x) = ln(1 − x)2 b) f (x) = ln
1 − tan x MaTEX
Ejercicio 12. Calcular las derivadas.
Derivadas
a) f (x) = x2 · arctan x−1/2 b) f (x) = xx
Ejercicio 13. Calcular las derivadas.
√
a) f (x) = (tan x)sen x b) f (x) = ex · x
x
Doc Doc
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23. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 23 1º Bachillerato
r=A+lu
Soluciones a los Ejercicios A
Ejercicio 1. d
a) Si f (x) = 2x13 , B
s=B+mv
f (x) = 26 x12 SOCIALES
√
3/2
b) f (x) = x3 = x . Luego
3 1/2
MaTEX
f (x) = x
2
√
Derivadas
5
c) f (x) = x7 = x7/5 . Luego
7 2/5
f (x) = x
5
Ejercicio 1
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24. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 24 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 2. A
d
a) Si f (x) = 3 x2 − 5 x−3 , B
s=B+mv
f (x) = 6 x + 15 x−4 SOCIALES
b) Siendo f (x) = x2 − 3 x5 ,
f (x) = 2 x − 15 x4
MaTEX
c) Si f (x) = x10 + x−10 ,
Derivadas
f (x) = 10 x9 − 10 x−11
√
3
d ) Siendo f (x) = x − x5 ,
5
f (x) = 1 − x2/3
3
e) Siendo f (x) = x8 + x8,003 ,
f (x) = 8x7 + 8,003x7,003
√ √
f ) Siendo f (x) = x3 + 5 x,
3 1
f (x) = x1/2 + x−4/5
2 5
Ejercicio 2 Doc Doc
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25. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 25 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 3. A
a) Si f (x) = (x2 + 10)(1 − x2 ), d
f (x) = (2 x) · (1 − x2 ) + (x2 + 10) · (−2 x) B
s=B+mv
SOCIALES
b) Siendo f (x) = (x + x2 + 1) · (1 + x),
f (x) = (1 + 2 x) · (−2 x) + (x + x2 + 1) · (−2) MaTEX
10
c) Si f (x) = (x + 1)(1 − x),
Derivadas
f (x) = (10x9 ) · (1 − x) + (x10 + 1) · (−1)
d ) Siendo f (x) = (x2 − 2x) · (1 − x2 ),
f (x) = (2x − 2) · (1 − x2 ) + (x2 − 2x) · (−2x)
e) Siendo f (x) = (x2 + x3 ) · (3 + x),
f (x) = (2x + 3x2 ) · (3 + x) + (x2 + x3 ) · (1)
√ √
f ) Siendo f (x) = ( x3 + x) · (x − 5 x).
3 √ √ 1
f (x) = ( x1/2 + 1) · (x − 5 x) + ( x3 + x) · (1 − x−4/5 )
2 5
Ejercicio 3
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26. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 26 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 4. A
1
a) Si f (x) = , d
x B
(0)(x) − (1) 1 s=B+mv
f (x) = =− 2 SOCIALES
x2 x
x2 + 1
b) Si f (x) =
x
, MaTEX
2 2
(2x)(x) − (x + 1)(1) x −1
f (x) = =
Derivadas
x 2 x2
x10 + 1
c) Si f (x) = ,
1−x
(10x9 )(1 − x) − (x10 + 1)(−1)
f (x) =
(1 − x)2
x2 + x
d ) Siendo f (x) = ,
x+3
(2x + 1)(x + 3) − (x2 + x)(1)
f (x) =
(x + 3)2
Ejercicio 4
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27. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 27 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 5. A
a) Si f (x) = (1 + 2 x)3 , d
f (x) = 3(1 + 2 x)2 (2) B
s=B+mv
SOCIALES
b) Siendo f (x) = (x + x2 )3 ,
f (x) = 3(x + x2 )2 (1 + 2 x) MaTEX
10 2
c) Si f (x) = (x + 1) ,
Derivadas
f (x) = 2(x10 + 1)(10 x9 )
d ) Siendo f (x) = (2x3 + x)3 ,
f (x) = 3(2x3 + x)2 (6x2 + 1)
e) Si f (x) = f (x) = x2 (2x3 + x)3 ,
f (x) = 2x(2x3 + x)3 + x2 3 (2x3 + x)2 (6x2 + 1)
f ) Siendo f (x) = (1 − x2 )3 (5 + x)5 ,
f (x) = 3(1 − x2 )2 (−2x)(5 + x)5 + (1 − x2 )3 5 (5 + x)4
Ejercicio 5
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28. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 28 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 6. A
a) Si f (x) = sen(3x + 1). d
f (x) = 3 cos(3x + 1) B
s=B+mv
SOCIALES
b) Si f (x) = sen(x3 + 1).
f (x) = 3x2 cos(x3 + 1)
MaTEX
c) Si f (x) = sen3 (x2 + 1). Luego
f (x) = 3 sen2 (x2 + 1) cos(x2 + 1) (2x)
Derivadas
x
d ) Si f (x) = cos( ).
1−x
x 1
f (x) = − sen( )
1 − x (1 − x)2
e) Si f (x) = tan(1 + 2x2 + x3 ),
1
f (x) = (4x + 3x2 )
cos2 (1 + 2x2 + x3 )
1
f ) Si f (x) = sec(1 − x2 ) =
cos(1 − x2 )
− sen(1 − x2 ) (−2x)
f (x) =
cos2 (1 − x2 )
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Ejercicio 6
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29. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 29 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 7. A
2
a) Si f (x) = e−5x+4x . d
−5x+4x2 B
f (x) = e (−5 + 8x) s=B+mv
SOCIALES
x sen x
b) Si f (x) = e .
f (x) = ex sen x (sen x + x cos x) MaTEX
2
c) Si f (x) = e1−sen x
. Luego
Derivadas
2
f (x) = e1−sen x
(−2 sen x cos x)
d ) Si f (x) = 2tan 3x .
3
f (x) = 2tan 3x ln 2
cos2 3x
x2 +3x
3
e) Si f (x) = ,
5
x2 +3x
3 3
f (x) = (2x + 3) ln
5 5
f ) Si f (x) = asen x+cos x
f (x) = asen x+cos x ln a (cos x − sen x)
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Ejercicio 7
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30. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 30 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 8. A
√
a) Si f (x) = ln(x + x + 1). d
1 1 B
f (x) = √ (1 + √ ) s=B+mv
x+ x+1 2 x SOCIALES
1
b) Si f (x) = ln(x2 + sen x) f (x) = 2
x + sen x
(2x + cos x)
MaTEX
c) Si f (x) = ln(x2 sen x).
1
Derivadas
f (x) = 2 (2x sen x + x2 cos x)
x sen x
d ) Si f (x) = ln2 (1 + ln x).
1
f (x) = 2 ln(1 + ex ) ex
1 + ex
e) Si f (x) = ln2 (1 + ln x).
1 1
f (x) = 2 ln(1 + ln x)
1 + ln x x
1
f ) Si f (x) = log5 ( ).
1 + sen x
1 1 − cos x 1 cos x
f (x) = 1 =−
ln 5 1+sen x (1 + sen x)2 ln 5 1 + sen x
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Ejercicio 8
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31. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 31 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 9. A
a) Si f (x) = arc sen(ln x + x). d
1 1 B
f (x) = ( + 1) s=B+mv
1 − (ln x + x)2 x SOCIALES
b) Si f (x) = arc cos(1 − x).
−1
MaTEX
f (x) = (−1)
1 − (1 − x)2
Derivadas
c) Si f (x) = arctan(sen x).
1
f (x) = cos x
1 + (sen x)2
d ) Si f (x) = arctan(ln x).
1 1
f (x) = 2 x
1 + (ln x)
Ejercicio 9
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32. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 32 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 10. A
a) Si f (x) = ln2 (1 + cos x)3 . d
3 1 B
f (x) = 2 ln(1 + cos x) 3(1 + cos x)2 (− sen x) s=B+mv
(1 + cos x)3 SOCIALES
sen x
= −6 ln(1 + cos x)3
(1 + cos x) MaTEX
3
b) Si f (x) = sen x(1 + cos x) .
Derivadas
f (x) = cos x(1 + cos x)3 + sen x 3(1 + cos x)2 (− sen x)
c) Si f (x) = e1−sen x .
f (x) = −e1−sen x cos x
d ) Si f (x) = 8x−ln x .
1
f (x) = 8x−ln x · ln 8 · (1 − )
x
Ejercicio 10
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33. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 33 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 11. A
√
a) Si f (x) = ln(1 − x)2 . d
1 √ −1 B
f (x) = √
2(1 − x) √ s=B+mv
x)2
(1 − 2 x SOCIALES
1
= −√ √
x(1 − x) MaTEX
1 + tan x
b) Si f (x) = ln .
Derivadas
1 − tan x
1 1
f (x) = · ·
1 + tan x 1 + tan x
2
1 − tan x 1 − tan x
sec2 x(1 − tan x) + (1 + tan x) sec2 x
·
(1 − tan x)2
1 − tan x 2 sec2 x
= ·
2(1 + tan x) (1 − tan x)2
sec2 x
=
(1 + tan x)(1 − tan x)
Ejercicio 11
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34. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 34 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 12. A
a) Si f (x) = x2 · arctan x−1/2 . d
1 1 −1 −3/2 B
f (x) = 2x · arctan √ + x2 · 1 2 · 2 x
s=B+mv
x 1 + ( √x ) SOCIALES
√
1 1 x
= 2x · arctan √ − 1
x 2 1 + ( √x )2 MaTEX
b) Si f (x) = xx . Aplicando logaritmos
Derivadas
ln f (x) = x ln x
f (x) 1
= ln x + x ·
f (x) x
f (x) = (ln x + 1) · xx
Ejercicio 12
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35. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 35 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 13. A
a) Si f (x) = (tan x)sen x . Aplicando logaritmos d
ln f (x) = sen x ln tan x B
s=B+mv
SOCIALES
f (x) sec2 x
= cos x ln tan x + sen x
f (x) tan x
f (x) 1
MaTEX
= cos x ln tan x +
f (x) cos x
Derivadas
1
f (x) = (cos x ln tan x + ) · (tan x)sen x
cos x
√
b) Si f (x) = ex · x x. Aplicando logaritmos
1
ln f (x) = x + ln x
x
f (x) 1 1 1
= 1 − 2 ln x +
f (x) x x x
f (x) ln x 1
=1− 2 + 2
f (x) x x
ln x 1 √
f (x) = (1 − 2 + 2 ) · ex · x x
x x
Ejercicio 13
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36. MATEMATICAS
Soluciones a los Tests 36 1º Bachillerato
r=A+lu
Soluciones a los Tests A
2x − 1 ≤ 1
Soluci´n al Test: Siendo f (x) = x − |1 − x| =
o d
1 >1 B
s=B+mv
f (1 + h) − f (1) SOCIALES
f (1− ) = lim =
h→0− h
= lim−
2(1 + h) − 1 − 1
=2
MaTEX
h→0 h
f (1 + h) − f (1)
Derivadas
f (1+ ) = lim+ =
h→0 h
1−1
= lim+ =0
h→0 h
Como f (1− ) = f (1+ ) la funci´n no es derivable en x = 1.
o Final del Test
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37. MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A
´
Indice alfab´tico
e d
derivada, 11 B
s=B+mv
de una constante, 13 SOCIALES
de una potencia, 13
en un punto, 11
laterales, 11 MaTEX
derivadas
arcos trigonom´tricos, 21
e
Derivadas
exponenciales, 19
logar´
ıtmicas, 20
trigonom´tricas, 18
e
ecuaci´n de la tangente, 9
o
El problema de la tangente, 9
regla, 14
de la cadena, 17
de la suma, 14
del cociente, 16
del producto, 15
Tasa de variaci´n instant´nea, 7
o a Doc Doc
Tasa de variaci´n media, 4
o
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37