Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría. Define la circunferencia trigonométrica y las líneas trigonométricas como segmentos que representan los valores de las razones trigonométricas. Explica la variación periódica del seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Resuelve problemas aplicando estas definiciones y propiedades trigonométricas.
1) El documento presenta 22 problemas de álgebra que incluyen ecuaciones, reducciones, divisiones polinómicas y cálculo de restos y coeficientes. 2) Los problemas van desde encontrar si una ecuación es verdadera o falsa hasta hallar valores que satisfagan división polinómica y restos. 3) El documento proporciona una serie de ejercicios de álgebra para estudiantes de secundaria.
El documento explica cómo resolver triángulos oblicuángulos mediante el uso de teoremas trigonométricos. Se define la resolución de triángulos y se describen tres métodos principales: 1) el teorema de los senos para determinar lados a partir de senos de ángulos opuestos, 2) el teorema de los cosenos para calcular lados a partir de cosenos de ángulos y cuadrados de lados, y 3) el teorema de las proyecciones para expresar lados en términos de otros lados y cosenos
43 ejercicios de inecuaciones y sistemas de inecuacionesMarcelo Calderón
Este documento presenta 33 problemas de matemáticas relacionados con inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Los problemas cubren temas como determinar si una desigualdad es verdadera o falsa, encontrar conjuntos de solución de inecuaciones, resolver sistemas de inecuaciones gráficamente, y determinar si expresiones algebraicas son positivas o negativas basado en las condiciones dadas.
Este documento presenta una guía de 30 ejercicios sobre logaritmos y la función logarítmica. Los ejercicios cubren temas como propiedades de los logaritmos, expresiones logarítmicas equivalentes, gráficos de funciones logarítmicas y determinación de valores numéricos de expresiones logarítmicas dados ciertos datos. El objetivo es que los estudiantes practiquen y apliquen sus conocimientos sobre esta importante función matemática.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con funciones cuadráticas. Incluye representar gráficamente diferentes funciones cuadráticas, calcular los puntos de corte con el eje x, determinar los valores de los parámetros a, b y c para funciones cuadráticas dadas sus condiciones, hallar la ecuación de una parábola dada su vértice y un punto, y graficar funciones cuadráticas.
El documento presenta información sobre geometría y trigonometría. Se divide en dos partes principales: geometría plana y geometría del espacio. En la geometría plana se estudian figuras planas cuyos puntos están en un mismo plano, mientras que en la geometría del espacio se estudian figuras cuyos puntos no están en un mismo plano. Se definen conceptos básicos como puntos, rectas, ángulos y figuras geométricas.
El documento describe los ángulos trigonométricos, que se originan de la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice. Existen dos tipos de ángulos trigonométricos: positivos que giran en sentido antihorario y negativos que giran en sentido horario. Se proveen ejemplos y ejercicios de aplicación para identificar el sentido de rotación de los ángulos y calcular valores desconocidos.
Este documento presenta una serie de 17 problemas lógicos o rompecabezas con sus respectivas soluciones. Los problemas involucran conceptos como afirmaciones contradictorias, operaciones matemáticas, secuencias lógicas y arreglos geométricos. El objetivo es evaluar la capacidad de razonamiento lógico y resolución de problemas.
1) El documento presenta 22 problemas de álgebra que incluyen ecuaciones, reducciones, divisiones polinómicas y cálculo de restos y coeficientes. 2) Los problemas van desde encontrar si una ecuación es verdadera o falsa hasta hallar valores que satisfagan división polinómica y restos. 3) El documento proporciona una serie de ejercicios de álgebra para estudiantes de secundaria.
El documento explica cómo resolver triángulos oblicuángulos mediante el uso de teoremas trigonométricos. Se define la resolución de triángulos y se describen tres métodos principales: 1) el teorema de los senos para determinar lados a partir de senos de ángulos opuestos, 2) el teorema de los cosenos para calcular lados a partir de cosenos de ángulos y cuadrados de lados, y 3) el teorema de las proyecciones para expresar lados en términos de otros lados y cosenos
43 ejercicios de inecuaciones y sistemas de inecuacionesMarcelo Calderón
Este documento presenta 33 problemas de matemáticas relacionados con inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Los problemas cubren temas como determinar si una desigualdad es verdadera o falsa, encontrar conjuntos de solución de inecuaciones, resolver sistemas de inecuaciones gráficamente, y determinar si expresiones algebraicas son positivas o negativas basado en las condiciones dadas.
Este documento presenta una guía de 30 ejercicios sobre logaritmos y la función logarítmica. Los ejercicios cubren temas como propiedades de los logaritmos, expresiones logarítmicas equivalentes, gráficos de funciones logarítmicas y determinación de valores numéricos de expresiones logarítmicas dados ciertos datos. El objetivo es que los estudiantes practiquen y apliquen sus conocimientos sobre esta importante función matemática.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con funciones cuadráticas. Incluye representar gráficamente diferentes funciones cuadráticas, calcular los puntos de corte con el eje x, determinar los valores de los parámetros a, b y c para funciones cuadráticas dadas sus condiciones, hallar la ecuación de una parábola dada su vértice y un punto, y graficar funciones cuadráticas.
El documento presenta información sobre geometría y trigonometría. Se divide en dos partes principales: geometría plana y geometría del espacio. En la geometría plana se estudian figuras planas cuyos puntos están en un mismo plano, mientras que en la geometría del espacio se estudian figuras cuyos puntos no están en un mismo plano. Se definen conceptos básicos como puntos, rectas, ángulos y figuras geométricas.
El documento describe los ángulos trigonométricos, que se originan de la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice. Existen dos tipos de ángulos trigonométricos: positivos que giran en sentido antihorario y negativos que giran en sentido horario. Se proveen ejemplos y ejercicios de aplicación para identificar el sentido de rotación de los ángulos y calcular valores desconocidos.
Este documento presenta una serie de 17 problemas lógicos o rompecabezas con sus respectivas soluciones. Los problemas involucran conceptos como afirmaciones contradictorias, operaciones matemáticas, secuencias lógicas y arreglos geométricos. El objetivo es evaluar la capacidad de razonamiento lógico y resolución de problemas.
Este documento presenta una guía sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica que un sistema de ecuaciones consiste en dos ecuaciones con las mismas dos incógnitas. Presenta métodos para resolver sistemas tanto gráficamente como algebraicamente, como sustitución, igualación y reducción. También analiza las condiciones para que un sistema tenga solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. Por último, explica cómo los sistemas se pueden usar para resolver problemas con dos incógnitas.
1) El documento presenta definiciones y propiedades de ángulos en posición normal, ángulos cuadrantales y coterminales. 2) Incluye fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de ángulos especiales como cuadrantales y negativos. 3) Contiene 24 ejercicios resueltos sobre aplicación de conceptos de ángulos especiales.
El documento contiene 19 problemas de geometría que involucran figuras como rectángulos, triángulos, círculos y trapecios. Los problemas piden calcular perímetros, áreas y longitudes de lados y diagonales de las figuras dadas, y determinar cuál figura tiene el mayor área.
Este documento contiene 20 problemas de matemáticas relacionados con álgebra y exponentes. Cada problema presenta una expresión o ecuación algebraica, junto con las posibles respuestas. El documento parece ser una compilación de exámenes de admisión a universidades peruanas entre los años 1993 y 2011.
Este documento contiene 18 problemas de geometría relacionados con círculos, circunferencias, ángulos y puntos de tangencia. Los problemas incluyen calcular ángulos, longitudes de lados y relaciones entre elementos geométricos dados en diagramas y figuras. Se proporcionan las resoluciones detalladas para cada problema.
Este documento presenta ejercicios sobre factorización de polinomios. Se pide factorizar polinomios aplicando el factor común, diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto. También se pide hallar raíces de polinomios y expresar polinomios como producto de factores.
1) Este documento contiene 61 preguntas sobre operaciones con logaritmos. Las preguntas abarcan temas como propiedades de los logaritmos, conversiones entre expresiones logarítmicas y potencias, resolución de ecuaciones y desigualdades logarítmicas, y aplicaciones de los logaritmos como el pH.
2) Las preguntas van desde operaciones básicas con uno o dos logaritmos hasta expresiones más complejas que involucran múltiples logaritmos. También incluyen preguntas sobre aplicaciones como conversión
Este documento trata sobre la factorización de polinomios. Contiene varios ejercicios de factorización y preguntas sobre conceptos relacionados como el MCM y MCD de polinomios. Algunas de las preguntas incluyen factorizar polinomios específicos e indicar sumas de coeficientes o términos independientes de los factores. El documento provee una guía para practicar diferentes métodos de factorización de polinomios.
1) El documento presenta las leyes de exponentes y define potenciación, radicación y exponentes. 2) Explica las definiciones de exponente natural, exponente cero y exponente negativo para la potenciación. 3) También presenta teoremas como la multiplicación de bases iguales y la potencia de una potencia para las leyes de exponentes.
Este documento presenta las definiciones y fórmulas para calcular las razones trigonométricas de ángulos agudos en un triángulo rectángulo. Explica que las razones se definen como el cociente entre las longitudes de los lados del triángulo y uno de los ángulos agudos. Luego proporciona ejemplos resueltos de cálculos trigonométricos y ejercicios prácticos para que los estudiantes apliquen los conceptos.
Este documento describe diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo:
1) Usar un factor común monomio o polinomio.
2) Aplicar identidades como la diferencia de cuadrados o la suma/diferencia de cubos.
3) El método del aspa simple o el método de Ruffini para divisores binomios.
4) Agrupar términos para encontrar factores comunes.
Se proveen ejemplos resueltos para ilustrar cada método.
El documento presenta los axiomas y propiedades fundamentales de los números reales, incluyendo las operaciones básicas de adición, multiplicación, división y sustracción. También describe las propiedades de igualdad, orden y correspondencia geométrica en la recta real. Finalmente, resume teoremas clave para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
Este documento presenta varios problemas de trigonometría. 1) Resuelve una ecuación que involucra sen(2x) y determina que la respuesta es D. 2) Reduce un término que involucra tangente y coseno y determina que la respuesta es D. 3) Resuelve una ecuación que involucra sen(4x) y determina que la respuesta es B.
Este documento presenta 11 problemas de álgebra de ecuaciones de primer grado para resolver. Incluye ejercicios como resolver ecuaciones, dividir números en partes, y repartir cantidades entre personas. También incluye secciones de práctica con más problemas similares.
Este documento contiene 26 problemas de matemáticas que involucran operaciones con exponentes, raíces, simplificación de expresiones y resolución de ecuaciones. Los problemas van desde operaciones básicas hasta conceptos más avanzados como sucesiones y series.
1. Un ángulo es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayos que tienen el mismo origen pero no son alineados. Se clasifican los ángulos por su medida en agudos, rectos y obtusos.
2. Se definen conceptos como bisectriz, ángulos adyacentes, complementarios y suplementarios.
3. Se explican propiedades de ángulos comprendidos entre rectas paralelas como ángulos correspondientes, alternos internos y conjugados.
Este documento presenta 20 preguntas de geometría divididas en 3 niveles de dificultad: básico, intermedio y avanzado. Las preguntas involucran conceptos como triángulos, cuadriláteros, circunferencias, proporcionalidad de segmentos y relaciones métricas. Se pide calcular ángulos, longitudes y razones entre medidas geométricas.
Este documento presenta 20 problemas de trigonometría de diferentes niveles de dificultad. Los problemas incluyen cálculos de funciones trigonométricas, simplificación de expresiones trigonométricas, resolución de identidades trigonométricas y más. Las respuestas a los problemas van desde letras A hasta E.
El documento explica conceptos básicos de trigonometría como la circunferencia trigonométrica, el radián como unidad de medida de ángulos, la conversión entre grados y radianes, y la resolución de triángulos rectángulos mediante el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. También cubre conceptos como el área de polígonos regulares como el hexágono.
El documento describe la circunferencia trigonométrica y sus líneas trigonométricas. La circunferencia trigonométrica tiene cuatro puntos cardinales que representan las coordenadas (1,0), (0,1), (-1,0) y (0,-1). En la circunferencia, las cantidades son positivas hacia arriba y a la derecha, y negativas hacia abajo e izquierda. El documento también explica las relaciones entre las líneas trigonométricas coseno, seno y tangente usando símbolos como =, > y
Este documento presenta una guía sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica que un sistema de ecuaciones consiste en dos ecuaciones con las mismas dos incógnitas. Presenta métodos para resolver sistemas tanto gráficamente como algebraicamente, como sustitución, igualación y reducción. También analiza las condiciones para que un sistema tenga solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. Por último, explica cómo los sistemas se pueden usar para resolver problemas con dos incógnitas.
1) El documento presenta definiciones y propiedades de ángulos en posición normal, ángulos cuadrantales y coterminales. 2) Incluye fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de ángulos especiales como cuadrantales y negativos. 3) Contiene 24 ejercicios resueltos sobre aplicación de conceptos de ángulos especiales.
El documento contiene 19 problemas de geometría que involucran figuras como rectángulos, triángulos, círculos y trapecios. Los problemas piden calcular perímetros, áreas y longitudes de lados y diagonales de las figuras dadas, y determinar cuál figura tiene el mayor área.
Este documento contiene 20 problemas de matemáticas relacionados con álgebra y exponentes. Cada problema presenta una expresión o ecuación algebraica, junto con las posibles respuestas. El documento parece ser una compilación de exámenes de admisión a universidades peruanas entre los años 1993 y 2011.
Este documento contiene 18 problemas de geometría relacionados con círculos, circunferencias, ángulos y puntos de tangencia. Los problemas incluyen calcular ángulos, longitudes de lados y relaciones entre elementos geométricos dados en diagramas y figuras. Se proporcionan las resoluciones detalladas para cada problema.
Este documento presenta ejercicios sobre factorización de polinomios. Se pide factorizar polinomios aplicando el factor común, diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto. También se pide hallar raíces de polinomios y expresar polinomios como producto de factores.
1) Este documento contiene 61 preguntas sobre operaciones con logaritmos. Las preguntas abarcan temas como propiedades de los logaritmos, conversiones entre expresiones logarítmicas y potencias, resolución de ecuaciones y desigualdades logarítmicas, y aplicaciones de los logaritmos como el pH.
2) Las preguntas van desde operaciones básicas con uno o dos logaritmos hasta expresiones más complejas que involucran múltiples logaritmos. También incluyen preguntas sobre aplicaciones como conversión
Este documento trata sobre la factorización de polinomios. Contiene varios ejercicios de factorización y preguntas sobre conceptos relacionados como el MCM y MCD de polinomios. Algunas de las preguntas incluyen factorizar polinomios específicos e indicar sumas de coeficientes o términos independientes de los factores. El documento provee una guía para practicar diferentes métodos de factorización de polinomios.
1) El documento presenta las leyes de exponentes y define potenciación, radicación y exponentes. 2) Explica las definiciones de exponente natural, exponente cero y exponente negativo para la potenciación. 3) También presenta teoremas como la multiplicación de bases iguales y la potencia de una potencia para las leyes de exponentes.
Este documento presenta las definiciones y fórmulas para calcular las razones trigonométricas de ángulos agudos en un triángulo rectángulo. Explica que las razones se definen como el cociente entre las longitudes de los lados del triángulo y uno de los ángulos agudos. Luego proporciona ejemplos resueltos de cálculos trigonométricos y ejercicios prácticos para que los estudiantes apliquen los conceptos.
Este documento describe diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo:
1) Usar un factor común monomio o polinomio.
2) Aplicar identidades como la diferencia de cuadrados o la suma/diferencia de cubos.
3) El método del aspa simple o el método de Ruffini para divisores binomios.
4) Agrupar términos para encontrar factores comunes.
Se proveen ejemplos resueltos para ilustrar cada método.
El documento presenta los axiomas y propiedades fundamentales de los números reales, incluyendo las operaciones básicas de adición, multiplicación, división y sustracción. También describe las propiedades de igualdad, orden y correspondencia geométrica en la recta real. Finalmente, resume teoremas clave para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
Este documento presenta varios problemas de trigonometría. 1) Resuelve una ecuación que involucra sen(2x) y determina que la respuesta es D. 2) Reduce un término que involucra tangente y coseno y determina que la respuesta es D. 3) Resuelve una ecuación que involucra sen(4x) y determina que la respuesta es B.
Este documento presenta 11 problemas de álgebra de ecuaciones de primer grado para resolver. Incluye ejercicios como resolver ecuaciones, dividir números en partes, y repartir cantidades entre personas. También incluye secciones de práctica con más problemas similares.
Este documento contiene 26 problemas de matemáticas que involucran operaciones con exponentes, raíces, simplificación de expresiones y resolución de ecuaciones. Los problemas van desde operaciones básicas hasta conceptos más avanzados como sucesiones y series.
1. Un ángulo es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayos que tienen el mismo origen pero no son alineados. Se clasifican los ángulos por su medida en agudos, rectos y obtusos.
2. Se definen conceptos como bisectriz, ángulos adyacentes, complementarios y suplementarios.
3. Se explican propiedades de ángulos comprendidos entre rectas paralelas como ángulos correspondientes, alternos internos y conjugados.
Este documento presenta 20 preguntas de geometría divididas en 3 niveles de dificultad: básico, intermedio y avanzado. Las preguntas involucran conceptos como triángulos, cuadriláteros, circunferencias, proporcionalidad de segmentos y relaciones métricas. Se pide calcular ángulos, longitudes y razones entre medidas geométricas.
Este documento presenta 20 problemas de trigonometría de diferentes niveles de dificultad. Los problemas incluyen cálculos de funciones trigonométricas, simplificación de expresiones trigonométricas, resolución de identidades trigonométricas y más. Las respuestas a los problemas van desde letras A hasta E.
El documento explica conceptos básicos de trigonometría como la circunferencia trigonométrica, el radián como unidad de medida de ángulos, la conversión entre grados y radianes, y la resolución de triángulos rectángulos mediante el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. También cubre conceptos como el área de polígonos regulares como el hexágono.
El documento describe la circunferencia trigonométrica y sus líneas trigonométricas. La circunferencia trigonométrica tiene cuatro puntos cardinales que representan las coordenadas (1,0), (0,1), (-1,0) y (0,-1). En la circunferencia, las cantidades son positivas hacia arriba y a la derecha, y negativas hacia abajo e izquierda. El documento también explica las relaciones entre las líneas trigonométricas coseno, seno y tangente usando símbolos como =, > y
Este documento presenta 11 preguntas de opción múltiple sobre conceptos trigonométricos como seno, coseno, áreas y coordenadas de puntos en una circunferencia trigonométrica. Las preguntas involucran hallar medidas desconocidas, comparar funciones trigonométricas, calcular áreas de regiones sombreadas y determinar coordenadas de puntos en una gráfica dada.
1. El documento presenta 20 problemas de trigonometría que involucran cálculos con funciones trigonométricas como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Los problemas se enfocan en triángulos rectángulos y en determinar valores trigonométricos dados ciertos datos.
El resumen analiza 15 problemas relacionados con la trigonometría circular. Los problemas incluyen calcular valores, determinar veracidad de proposiciones, hallar áreas de regiones y calcular expresiones trigonométricas. El documento proporciona información relevante para comprender conceptos básicos de trigonometría circular.
El documento presenta información sobre las razones trigonométricas de ángulos notables. Explica que ciertos triángulos rectángulos tienen proporciones conocidas entre sus lados dependiendo de las medidas de sus ángulos agudos. Luego, muestra los triángulos notables de 45°, 30°-60° y algunos aproximados como 37°-53°. Finalmente, incluye ejercicios resueltos como ejemplos.
Este documento contiene las soluciones a varios ejercicios de trigonometría. Resuelve problemas relacionados con ángulos, senos, cosenos y tangentes. En cada ejercicio, calcula valores trigonométricos o reduce expresiones y ofrece la respuesta correcta.
O documento é uma ode poética à cidade de Macaé no Rio de Janeiro, elogiando suas belezas naturais como o mar, rio e sol, assim como sua história e povo, e expressando orgulho e amor pela terra natal.
This document lists the names Emperatriz Yamin, María Henriquez, and Jesús Anzola. It appears to be identifying three individuals for the topic or project titled "ESTRUCTURA DEL PROBLEMA".
O documento discute como a educação está mudando com a disseminação de novas tecnologias e como o conhecimento está se tornando mais distribuído através de redes. Aborda tópicos como o papel do professor, alunos usando o Google, MOOCs, habilidades necessárias no século 21 e novos dispositivos médicos efêmeros.
La canción "When You Look at Me" es una balada romántica en inglés y español interpretada por David Bisbal y Miley Cryus. Fue escrita y producida por John Shanks y Hillary Lindsay para los créditos finales de la película "La última canción". David Bisbal y Miley Cryus grabaron la canción y el videoclip por separado, con Bisbal grabando en los estudios Crescent Moon en Miami Beach.
O Dropbox é um serviço gratuito que permite armazenar e sincronizar arquivos entre dispositivos. Os arquivos salvos na pasta Dropbox são automaticamente atualizados em todos os computadores e celulares do usuário, permitindo acessar e editar os arquivos de qualquer lugar. O Dropbox oferece opções de compartilhamento e acesso aos arquivos pelo site.
Este documento presenta una investigación sobre los problemas que tienen los estudiantes de la Universidad Politécnica de San Luis Potosí para redactar sus informes de residencia antes de egresar. Revisa varios marcos teóricos y estudios previos sobre problemas de redacción en universitarios, incluyendo factores como comprensión lectora y capacitación docente. La investigación analizará cualitativamente las causas de estas dificultades en la redacción para proponer soluciones basadas en modelos y métodos efectivos documentados en otras universidades.
O documento explica o que são o Git e o Github. O Git é um sistema de controle de versão projetado para facilitar o trabalho em equipe permitindo que várias pessoas trabalhem juntas ou individualmente em um projeto. O Github é um serviço de hospedagem que usa o Git para armazenar e gerenciar versões de projetos de código aberto e privado. O documento fornece instruções básicas de instalação, configuração, uso de branches e conexão entre repositórios locais e remotos no Github.
Este documento establece lineamientos para el planeamiento y organización institucional del sistema formador de docentes en Argentina. Propone que cada jurisdicción realice un planeamiento estratégico regular del sistema considerando criterios federales. También define requisitos mínimos para el funcionamiento de los institutos de formación docente y condiciones que deben fortalecerse para mejorar la calidad de la formación.
Este resumo descreve os capítulos 12 e 14 do livro "Dom Casmurro" de Machado de Assis. O capítulo descreve Bento e Capitu observando um ao outro através de um muro de divisa e se apaixonando. Eles escrevem seus nomes no muro e se olham profundamente, sem palavras, apenas com o contato visual e de mãos.
Introducción a cómo realizar un análisis sintáctico en árbol. Dirigido a alumnos de la ESO y a cualquier alumno de cualquier nivel que tenga problemas con este procedimiento o con la discriminación de sintagmas. Dirigido a la oración simple.
Este documento describe la evolución de la tecnología médica a través de la historia y sus aplicaciones actuales. Se destacan descubrimientos clave como los rayos X en 1895 y el primer marcapasos en 1952. También se clasifican las tecnologías médicas en diagnóstico, prevención, terapia y administración. Se explican aplicaciones de microprocesadores como chips genéticos y prótesis oculares. Finalmente, se define la telemedicina y sus usos en práctica y educación médicas.
Mariano Dámaso Beraún fue un destacado científico peruano nacido en 1813 en Huanuco. Estudió en el Convictorio de San Carlos en Lima y se graduó de doctor en ciencias matemáticas en 1837. Enseñó física y matemáticas y descubrió un nuevo método para dividir un ángulo en tres partes llamado la Trisectriz de Beraún. Publicó numerosos trabajos científicos y ocupó cargos como rector, catedrático y diputado. Falleci
Federico Villarreal fue un destacado matemático, ingeniero, físico y políglota peruano que realizó importantes contribuciones a las matemáticas, la ingeniería y otras ciencias. A los 23 años descubrió el método para elevar polinomios a cualquier potencia. Fue decano de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos y rector de la misma universidad. Publicó cerca de 600 artículos científicos y fue un importante divulgador de la ciencia en el Perú.
François Viète fue un matemático y criptógrafo francés del siglo XVI. Trabajó como abogado y consejero privado para los reyes Enrique III y Enrique IV de Francia. Es conocido por haber introducido el uso de letras para representar cantidades desconocidas en las ecuaciones, sentando las bases del álgebra moderna. También descifró códigos secretos del enemigo y resolvió problemas matemáticos complejos.
Tales de Mileto fue un filósofo, matemático, astrónomo y político griego del siglo VI a.C. considerado el primer filósofo de la escuela jonia. Se le atribuyen descubrimientos en geometría y astronomía, aunque no se conservan sus escritos. Vivió y murió en la ciudad jonia de Mileto, donde tuvo como discípulo a Anaximandro. Se le considera el iniciador de la filosofía occidental al buscar explicaciones racionales a los fenómenos naturales en lugar de explic
Paolo Ruffini fue un matemático y médico italiano del siglo XVIII. Estudió en la Universidad de Módena y luego se convirtió en profesor allí. En 1799 publicó un libro donde demostró que las ecuaciones de quinto grado no pueden resolverse mediante raíces, anticipándose a su época. Aunque su trabajo fue ignorado inicialmente, hoy se le reconoce como pionero en el uso de la teoría de grupos y la demostración de la irresolubilidad de las ecuaciones de quinto grado.
Bernhard Riemann fue un matemático alemán del siglo XIX que realizó importantes contribuciones al análisis y la geometría diferencial. Formuló la hipótesis de Riemann, un problema sin resolver en teoría de números, e introdujo conceptos como la función zeta de Riemann, la integral de Riemann y la geometría de Riemann. Fue profesor de matemáticas en la Universidad de Göttingen y miembro de varias academias científicas.
Henri Poincaré fue un destacado matemático, físico y filósofo francés nacido en 1854. Realizó importantes contribuciones en diversas áreas como topología, teoría de grupos, mecánica celeste y relatividad. Entre sus logros se encuentran haber establecido el grupo fundamental de un espacio topológico y haber demostrado el carácter caótico del problema de los tres cuerpos, anticipando la teoría del caos. También realizó contribuciones fundamentales a la relatividad especial, como la formul
Pitágoras fue un importante matemático y filósofo griego del siglo VI a.C. que realizó contribuciones fundamentales al desarrollo de las matemáticas. Fundó una escuela en Crotona, Italia donde enseñaba que la realidad subyacente es matemática y que las matemáticas pueden usarse para la purificación espiritual. Se le atribuyen descubrimientos como el teorema de Pitágoras y la existencia de los números irracionales.
Blaise Pascal fue un polímata francés del siglo XVII conocido por sus contribuciones a las matemáticas, la física y la filosofía. Nació en Clermont-Ferrand en 1623 e inventó la primera calculadora mecánica, la Pascalina. También realizó investigaciones pioneras sobre la presión atmosférica y el vacío y desarrolló conceptos matemáticos como el triángulo de Pascal y la teoría de probabilidad. Tras una conversión religiosa en 1654, Pascal se dedicó a
Isaac Newton nació en 1643 en Inglaterra. Se convirtió en un destacado matemático y físico y descubrió las leyes del movimiento y la gravitación universal. Estudió en la Universidad de Cambridge donde fue profesor y desarrolló el cálculo infinitesimal y la óptica. En 1687 publicó sus Principia Mathematica que establecieron los fundamentos de la física moderna. Pasó los últimos años de su vida como director de la Casa de la Moneda en Londres y presidente de la Royal Society.
John von Neumann nació en 1903 en Hungría y murió en 1957 en Estados Unidos. Fue un matemático prodigio que hizo contribuciones fundamentales a las matemáticas, la teoría de juegos, la computación y el desarrollo de la bomba atómica. Von Neumann ayudó a diseñar las primeras computadoras digitales como el ENIAC y el EDVAC, y propuso la arquitectura de von Neumann que es la base de las computadoras modernas. También participó en el Proyecto Manhattan para desarrollar
Nikolái Lobachevski (1792-1856) fue un matemático ruso pionero en el desarrollo de la geometría no euclidiana. Enseñó en la Universidad de Kazán durante más de 30 años y fue rector entre 1827 y 1846. Formuló de manera independiente un sistema de geometría hiperbólica que rechazaba el quinto postulado de Euclides. Sus ideas sobre una geometría alternativa se adelantaron a su época y recibieron inicialmente críticas, pero posteriormente se reconocieron como una contrib
Gottfried Leibniz fue un filósofo, matemático y político alemán del siglo XVII. Realizó importantes contribuciones al cálculo infinitesimal, la lógica y otras áreas. Inicialmente su reputación decayó, pero luego fue reconocido como uno de los pensadores más influyentes de su época. Actualmente se le considera uno de los últimos genios universales y se le otorgan premios en su honor.
Adrien-Marie Legendre fue un destacado matemático francés nacido en 1752. Realizó importantes contribuciones en áreas como la geometría, la teoría de números, el álgebra abstracta y el análisis matemático. Escribió la popular obra Elementos de Geometría y desarrolló el método de los mínimos cuadrados. Fue miembro de prestigiosas academias como la Academia de Ciencias de Francia y la Royal Society. Legendre murió en París en 1833 tras una larga carrera dedic
Laplace fue un destacado astrónomo, matemático y físico francés que hizo importantes contribuciones a la astronomía y probabilidad. Formuló la hipótesis nebular sobre la formación del sistema solar y demostró la estabilidad del mismo. También sentó las bases de la teoría matemática de probabilidades y fue un firme defensor del determinismo científico. Fue miembro de numerosas academias científicas y ocupó cargos como ministro del Interior de Francia.
Joseph-Louis de Lagrange fue un destacado matemático francés nacido en Italia en 1736. Estudió en Turín y se convirtió en profesor de matemáticas a los 19 años, destacando por resolver problemas complejos. Más tarde trabajó en Berlín y París, donde hizo contribuciones fundamentales al cálculo variacional y la mecánica analítica. Publicó obras influyentes y enseñó en la École Polytechnique. Fue reconocido como el mayor matemático de su época.
Andréi Kolmogórov fue un destacado matemático ruso que realizó importantes contribuciones en teoría de la probabilidad y topología. Estructuró el sistema axiomático de la teoría de la probabilidad utilizando el lenguaje de la teoría de conjuntos. Recibió numerosos premios y honores de academias de ciencias de todo el mundo por su trabajo pionero. Fue miembro de la Academia Rusa de Ciencias y profesor en la Universidad Estatal de Moscú.
Johannes Kepler (1571-1630) fue un astrónomo y matemático alemán conocido por sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas. Estudió en la Universidad de Tubinga y trabajó como profesor de matemáticas y astrónomo imperial para Rodolfo II. Descubrió que los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, no en círculos, y formuló sus tres leyes fundamentales sobre el movimiento planetario.
Herón de Alejandría fue un matemático y astrónomo del siglo I a.C. que desarrolló fórmulas importantes como la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo a partir de sus lados. También inventó máquinas como la eolipila, un precursor de la turbina de vapor, y desarrolló un método para calcular raíces cuadradas. Escribió varios tratados sobre temas como mecánica, áreas, volúmenes y óptica.
1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
y
M
N
sen 1 sen
CEPUNS (+) (+)
A
x
Ciclo 2013-II sen sen
(-) -1 (-)
TRIGONOMETRÍA
P
Q
“Circunferencia Trigonométrica” Semana Nº 5
y
Definición
Se llama circunferencia trigonométrica a aquella M
circunferencia cuyo centro coincide con el origen del N
sistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del sen 1 sen
sistema. En el gráfico adjunto tenemos:
y
B (+) (+)
M A
x
(+) sen
sen
(-) -1 (-)
A' A
x
P
R=1 Q
(-)
Variación del seno de un arco:
B' N
Los arcos a ubicar en ella pueden estar expresados en IC IIC IIIC IVC
grados sexagesimales, en radianes o como números 3 3
0 2
reales, para ello se recomienda tener en cuenta: 2 2 2 2
y y sen 0 1 1 0 0 -1 -1 0
90º
2 0<sen<1 0<sen<1 -1<sen<0-1<sen<0
0 0º 2. L.T. coseno
180º y
x x
2 360º
cos
3 270º N cos
M
2 (-)
(+)
y
-1 A
1,57
x
0 1
3,14
x cos
6,28 cos Q
(-) (+)
P
4,71
Líneas trigonométricas Variación del coseno de un arco:
Son segmentos de medida positiva, negativa o nula; IC IIC IIIC IVC
que van a representar los valores numéricos de las
3 3
razones trigonométricas de un arco, ángulo o número 0 2
real, siempre que esté definido. 2 2 2 2
cos 1 0 0 -1 -1 0 0 1
1. L.T. seno 0<cos<1 -1<cos<0 -1<cos<0 0<cos<1
1
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3. L.T. tangente
Se observa que OR representa a la secante del arco
trigonométrico.
y T Línea Cosecante:
Y B(0;1)
M
N tan
tan
O A
x 0
rad
tan
Q tan tangente
P P
C.T. geométrica
T1 M
En el gráfico:
Se observa que OM representa a la cosecante del
4. L.T. Cotangente arco trigonométrico.
Tangente
Geométrica PROBLEMAS RESUELTOS
T
1. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de
c/u de las siguientes proposiciones
P (I) sen2 > sen1 > sen3 ( )
rad
(II) sen 6 > sen4 > sen5 ( )
0 (III) cos 6 cos1 cos5 ( )
(IV) cos 2 cos 4 cos3 ( )
A) FFVV B) VVFF C) VVFV
C.T. D) FVFV E) VFVF
En el gráfico: RESOLUCIÓN
Se observa que BT representa a la cotangente del 1,57
2
arco trigonométrico .
2
cos 2 1
Línea Secante: cos 1
sen 2
Y
sen 1
tangente
P geométrica
3 cos 3
sen 3 O
314 2 6,28
sen 6
sen 4
cos 6
rad 6
0
sen 5
A cos 4
4
cos 5
3 5
4,71
2
C.T.
En el gráfico: Según la C.T. las proposiciones serán:
2
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3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
(I) (V)
4 2x 1 1
(II) (V)
2x
2
(III) (F)
(IV) (F)
"x"
1
;2 RPTA.: C
2
RPTA.: C
4. Del gráfico mostrado calcule el área del
2. ¿Qué valores puede tomar “x” para que se cuadrilátero sombreado.
y
cumpla:
x 2 x 1 siendo un arco del
Sen
3 2
tercer cuadrante?
1 3 1 2 1
A) ; B) ; C) 1;
5 5 5 5 5 x
2 3
D) 0; E) 0;
5 5
RESOLUCIÓN
x 2 x 1 5x 1
Sen
3 2 6 A) 0,5 sen cos B) 0,5 sen cos
Como: III C 1 Sen 0 C) 0,5 cos sen D) 0,5 sen cos
5x 1 E) 0,5sen cos
1 0
6
6 <5x 1 > 0 RESOLUCIÓN
5 <5x < 1 S S1 S 2
1 Calculamos
1 < x <
5
x 1;
1
5
RPTA.: C
S1
3. Si: sen 1-2x " " IIIC ; Halle la
3 sen S2
variación de “x”
cos
1 1 1
A) ;2 B) 2; C) ;2
2 2 2
D) 2;2 E) 1;1
RESOLUCIÓN
1 1
Si: " " III C 1 sen 0 S1
2
(cos ) S2
2
(sen )
Como:
1 2x 1 2x S 0,5(sen cos )
sen 1 0
3 3 RPTA.: A
3 1 2x 0
3
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4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
5. Si 3 6. El siguiente gráfico es una circunferencia
; , de la circunferencia
4 trigonométrica. Calcule el área del triángulo
trigonométrica determina la variación de la EBF.
región sombreada. y
B
F
A
x
C.T.
E
A) 1 2 B) 2 C) 1 D) 1 2 E) 1 3
0; 0; ; ;
cos 2 cos sen
;
2 2 2 2 2 2
2 2 A) B) C)
RESOLUCIÓN 1
D) 2 sen E) sen
2
cos ;sen sen
RESOLUCIÓN
sen ; cos 1
Área EBF (2) cos
cos 2
Área EBF cos
B
cos F
1
S 1 sen cos
1
2
1
S ( sen cos ) E
2
S . 2 sen
1
4 RPTA.: A
2
3
Como: PROBLEMA DE CLASE
4
3 1) Ordene de forma creciente:
2
sen 1
2 4 4 2 4 sen1, sen2, sen3, sen4, sen5, sen7.
A) sen5, sen4, sen3, sen7, sen1, sen2.
1 2 2
. sen B) sen5, sen4, sen3, sen1, sen7, sen2.
2 2 4 2
C) sen5, sen4, sen3, sen1, sen2, sen7.
S
1 2
;
D) sen4, sen5, sen3, sen1, sen7, sen2.
2 2 E) sen4, sen5, sen3, sen7, sen1, sen2.
RPTA.: A
4
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5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2) En una circunferencia trigonométrica Y
mostrada, halle m2 +2mn +n2 + 2m +2n +1.
Si
m ABP
M
B
P X
(m , n)
x Q
A
P
5) Sabiendo que: 30º < < 120º; señale la
A) 2 B)3 C) 4 D)5 E) 6 extensión de: C = 4sen - 1
a)<1; 3] b)<1; 3> c)<1; 2 + 1> d)<1; 2 + 1] e)<2; 3>
3) En la circunferencia trigonométrica de la
figura, si m AB' A'P , 6) Si: x IV C y cos x 3a 1 Entre que
IIC, OP OM y PQ eje x. Se pide hallar el
4
límites está “a”
área de la región triangular OMQ, donde P
a) 1 b) 1;1 c) 1 d) 1 e) 1; 2
está más próximo a B que ha A’. ;1 ;1 ;1
3 2 4
B
P
7) En la circunferencia trigonométrica determinar
M el área de la superficie sombreada.
A’ A x Y
Q X
B’
1 1
sen (cos sen)
A) ½ B) 2 C) 2
1 1
sen (cos 2 sen 2 ) 1 1
D) 2 E) 2 (1 cos )(2 tg) (1 sen )(2 ctg)
A) 2 B) 2
1 1
4) En la circunferencia trigonométrica, halle el (1 cos )(2 tg) (1 cos )(2 tg)
C) 2 D) 2
punto medio del lado PQ
1
(1 sen )(2 ctg)
1 sec tg E) 2
A)
1 sec ;tg B)
2
;
2
1 sec tg 1 sec tg 8) En la circunferencia trigonométrica de la
; ;
C) 2 2
D) 4 2
figura mostrada, si AM ; entonces al
1 sec tg calcular (en u2) el área sombreada, se
;
E) 2 4 obtiene:
1 sen 1 cos 1 cos
A) 2 B) 2 C) 2
5
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6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
D) m 2 m 5 E) 5 m 5
1
sen cos 2 sen cos
D) 2 E)
y
12) En la circunferencia halle OM en términos de.
M
M
A x
o
9) En la circunferencia trigonométrica determinar sen sen 1 cos
MP. 1 cos
y A) 1 cos B) C) sen
P 1 cos 1 cos
D) sen E) 1 cos
x
13) Si: 2 tg 5 , determine los posibles
1 1 1 1
M ; ;
A) tg+ctgB)tg– ctgC) ctg– tg A) 6 3 B) 3 6
D) – (tg+ctg) E) – tg– ctg+1 1 1 1 1
; ;
C) 3 6 6 3
10) En la circunferencia trigonométrica
1 1 1 1 1 1
mostrada. Halle el área de la región 3 ; 2 1; 2 2 ; 3 3 ; 2
D) E)
sombreada.
14) En la figura M(x; y) es punto medio del
segmento QR , mABP . Halle: x+y
y
B
P
1 sen 1 1 sen 1 x
2 cos 2 sen A
A) B)
1 sen cos 1 sen cos R
Q M
2 cos 2 sen
C) D)
1 sen cos A) (sen+cos)/2 B) 2 cosC) 2 sen
1 cos D) – senE) – cos
E) ½
15) En la figura mostrada la circunferencia es
11) Si: 29 cos(x+y)=2m2 – 21 ; x, yR, determine trigonométrica, hallar el área de la región
la extensión de m para que la expresión dada
sea válida. sombreada
AP .
A) 5 m 2 B) 2 m 5
C) m 5 m 2
6
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7. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
y
2, 1 2,0
Q D) E)
5) En la circunferencia trigonométrica, se pide
A indicar el valor de OC DB , en función del
ángulo "α"
C
P R
D B
1
tg 1 sen
1
ctg 1 sen A
A) 2 B) 2
1 O
tg 1 sen tg 1 sen
C) D) 2
1
tg 1 cos a) Sec Tan b) Sec Tan
E) 2 1 Cos
c) Sen d) Sec Csc
PROBLEMA DE REPASO 1 Cos
e) Sen
1) Indicar verdadero (V) o falso (F) en cada uno
de las proposiciones siguientes: 6) En el círculo trigonométrico, calcular el área de
I. sen1>sen3 la región sombreada.
II. cos3>cos1
III.tg1 – tg3>1
A) VVV B) VFV C) VVF
D) FVV E) FFF O
2) Decir cual o cuales de las siguientes
proposiciones son falsas (F) o verdaderas (V).
1 (Sen Cos 1) 1 (Sen Cos 1)
I. sen(–3)<sen(–0,15)
a) 2 b) 2
II. |cos(–2)|>|cos(–1)|
1 (1 Sen Cos ) 1 (1 2Cos )
III.tg(–3)>tg(–2)
c) 2 d) 2
A) FFF B) VFF C) FVV
1 (1 2 Sen )
D) VVF E) VVV
e) 2
x 4
3) Si: , entonces al calcular la suma del 3 cos 1
C
máximo y mínimo valor de la expresión 7) Señale la variación de: cos 1 si: IVC
1 1
W cov .x ;2 ;1
8 3
, se obtiene: 2 2
a)<1; 2> b) c) d)<1; 3> e)<2; 3>
A) 1,5 B)2,5 C) 3 D)3,5 E) 4,5
8) Si II C y csc sen 2 determine la
x , 3
sen 1
4) Si: , determinar la variación
6senx 4 variación de “ csc 2 ”
H
de 3senx 4 . A) 9 B) 3 2 C) 3 3
;10 ; ;
2
2, 1
5 5 4 4
A)
2, 1
B)
2,1 C)
7
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8. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
D) 3 7 E) 9 12) Si: 2 sen 1 8 5cos ,
; ;4
5 5 4 halle: “ csc sec “
A) 2 B) 9 C) 1 D) 9 E) 1
9) En la circunferencia trigonométrica de la
figura mostrada, mAM = , determinar el
4 4 4 4
área de la región sombreada.
13) Halle los valores de cos x 30 ,
si x 0;30
A) 1 B) 3 C) 1 3
;1 ;1 ;
2 2 2 2
D) 3 1 E) 1;1
;
2 2
14) En la circunferencia trigonométrica de la
a) 0,51 sen cos b) 0,51 sen cos
figura mostrada; si mAB´P = , determinar el
c) 0,51 sen cos d) 0,51 sen cos área de la región sombreada.
e) 0,81 sen cos
10) En la circunferencia trigonométrica de la
figura mostrada, si mAp = , determinar la
suma de las áreas de las regiones BOP y PQA.
a) 0,5 b) 1 c) 2
tg 1 tg 1 tg 1
d) 0,5 e) 2
tg 1 tg 1
a) cos sen tg b) cos sen tg 15) Calcular BQ en el círculo trigonométrico
2 2 adjunto en función de "α"
c) cos sen Ctg d) cos sen Ctg B
2 2 Q
e) sen cos tg
” 135; 210 ,
O
11) Si se sabe que: “
ar la variación de: P 2.cos 1
A)
1;
2 B) 1 2 ; 0 C) 2; 1 a) 1 Sen b) 1 Sen
2
2(1 Sen ) 2(1 Sen ) 2(1 Cos )
c) d) e)
D) 1 2 ; 0 E) 1 2 ; 0
8
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