Semana 5

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
y
 M
N
sen 1 sen 

CEPUNS (+) (+)
A
x

Ciclo 2013-II sen sen
(-) -1 (-)

TRIGONOMETRÍA 
P
 Q

“Circunferencia Trigonométrica” Semana Nº 5
y
Definición
Se llama circunferencia trigonométrica a aquella  M
circunferencia cuyo centro coincide con el origen del N
sistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del sen 1 sen 
sistema. En el gráfico adjunto tenemos:
y
B (+) (+)
M A
x
(+) sen
sen
(-) -1 (-)
A'  A
 x

P
R=1  Q
(-)
Variación del seno de un arco:

B' N
Los arcos a ubicar en ella pueden estar expresados en IC IIC IIIC IVC
grados sexagesimales, en radianes o como números    3 3
 0  2
reales, para ello se recomienda tener en cuenta: 2 2 2 2
y  y sen 0 1 1 0 0 -1 -1 0
90º
2 0<sen<1 0<sen<1 -1<sen<0-1<sen<0
0 0º 2. L.T. coseno
 180º y
x x
2 360º

cos
3 270º N cos
M
2 (-) 
(+)
y
-1 A
1,57
x
0 1
3,14
x cos
6,28 cos Q
 (-) (+)
P 
4,71

Líneas trigonométricas Variación del coseno de un arco:
Son segmentos de medida positiva, negativa o nula; IC IIC IIIC IVC
que van a representar los valores numéricos de las
   3 3
razones trigonométricas de un arco, ángulo o número  0  2
real, siempre que esté definido. 2 2 2 2
cos 1 0 0 -1 -1 0 0 1
1. L.T. seno 0<cos<1 -1<cos<0 -1<cos<0 0<cos<1

1
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo

Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.

3. L.T. tangente 
Se observa que OR representa a la secante del arco
trigonométrico.

y T Línea Cosecante:
Y B(0;1)
 M
N tan

tan

O A
x 0
 rad

tan

Q tan  tangente
P P
C.T. geométrica

T1 M
En el gráfico:

Se observa que OM representa a la cosecante del
4. L.T. Cotangente arco trigonométrico.
Tangente
Geométrica PROBLEMAS RESUELTOS
T
1. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de
 c/u de las siguientes proposiciones
P (I) sen2 > sen1 > sen3 ( )
 rad
(II) sen 6 > sen4 > sen5 ( )
0 (III) cos 6  cos1  cos5 ( )
(IV) cos 2  cos 4  cos3 ( )
A) FFVV B) VVFF C) VVFV
C.T. D) FVFV E) VFVF
En el gráfico: RESOLUCIÓN
 
Se observa que BT representa a la cotangente del  1,57
2
arco trigonométrico .
2
cos 2 1
Línea Secante: cos 1
sen 2

Y
sen 1

tangente
P geométrica
3 cos 3
sen 3 O
   314 2  6,28
sen 6
sen 4

cos 6
 rad 6

0
sen 5

A cos 4
4

cos 5

3 5
 4,71
2
C.T.
En el gráfico: Según la C.T. las proposiciones serán:

2

(I)  (V)
 4  2x  1 1
(II)  (V)
2x
2
(III)  (F)
(IV)  (F)
 "x" 
1
;2 RPTA.: C
2
RPTA.: C

4. Del gráfico mostrado calcule el área del
2. ¿Qué valores puede tomar “x” para que se cuadrilátero sombreado.
y
cumpla:
x  2 x  1 siendo  un arco del
Sen   
3 2
tercer cuadrante?
1 3 1 2 1
A) ; B) ; C) 1;
5 5 5 5 5 x

2 3 
D) 0; E) 0;
5 5
RESOLUCIÓN
x  2 x  1 5x  1
Sen    
3 2 6 A) 0,5  sen   cos  B) 0,5  sen   cos 
Como:   III C  1  Sen   0 C) 0,5  cos   sen   D) 0,5  sen   cos 
5x  1 E) 0,5sen  cos 
1  0
6
6 <5x  1 > 0 RESOLUCIÓN
5 <5x < 1 S  S1  S 2
1 Calculamos
1 < x <
5
 x   1;
1
5
RPTA.: C
S1
3. Si: sen   1-2x  "  "  IIIC ; Halle la
3 sen  S2
variación de “x”
  cos 
1 1 1
A)  ;2 B)  2; C) ;2
2 2 2
D) 2;2 E) 1;1
RESOLUCIÓN
1 1
Si: " "  III C   1  sen   0 S1 
2
(cos ) S2 
2
(sen )

Como:
1  2x 1  2x S  0,5(sen   cos )
sen    1  0
3 3 RPTA.: A
 3  1  2x  0
3


5. Si   3 6. El siguiente gráfico es una circunferencia
;  , de la circunferencia
4 trigonométrica. Calcule el área del triángulo
trigonométrica determina la variación de la EBF.
región sombreada. y

B
F

 A
x

C.T.
E

A) 1 2 B) 2 C) 1 D)  1 2 E) 1 3
0; 0;  ; ;
cos  2 cos  sen
;
2 2 2 2 2 2

2 2 A) B) C)
RESOLUCIÓN 1
D) 2 sen E) sen 
2
 cos ;sen   sen 
RESOLUCIÓN
 sen  ;  cos   1
Área EBF  (2) cos 
cos  2
Área EBF  cos 
B


cos  F
1


S  1 sen   cos  
1
2
1
S  ( sen  cos  ) E
2
S  . 2 sen   
1
4 RPTA.: A
2
3
Como:    PROBLEMA DE CLASE
4
  3   1) Ordene de forma creciente:
   2
 sen     1
2 4 4 2  4 sen1, sen2, sen3, sen4, sen5, sen7.
A) sen5, sen4, sen3, sen7, sen1, sen2.
1 2   2
 . sen     B) sen5, sen4, sen3, sen1, sen7, sen2.
2 2  4 2
C) sen5, sen4, sen3, sen1, sen2, sen7.
 S
1 2
;
D) sen4, sen5, sen3, sen1, sen7, sen2.
2 2 E) sen4, sen5, sen3, sen7, sen1, sen2.

RPTA.: A

4

2) En una circunferencia trigonométrica Y
mostrada, halle m2 +2mn +n2 + 2m +2n +1.
Si
 
m ABP  
M
B
P  X
(m , n)

x Q
A

P

5) Sabiendo que: 30º < < 120º; señale la
A) 2 B)3 C) 4 D)5 E) 6 extensión de: C = 4sen - 1
a)<1; 3] b)<1; 3> c)<1; 2 + 1> d)<1; 2 + 1] e)<2; 3>
3) En la circunferencia trigonométrica de la
figura, si m AB' A'P   , 6) Si: x  IV C y cos x  3a  1 Entre que
 IIC, OP  OM y PQ  eje x. Se pide hallar el
4
límites está “a”
área de la región triangular OMQ, donde P
a) 1 b)  1;1 c) 1 d) 1 e)  1; 2
está más próximo a B que ha A’.  ;1  ;1  ;1
3 2 4
B
P

7) En la circunferencia trigonométrica determinar
M el área de la superficie sombreada.
A’ A x Y

Q X
B’
1 1
sen  (cos   sen)
A) ½ B) 2 C) 2 
1 1
 sen    (cos 2   sen 2 ) 1 1
D) 2 E) 2 (1  cos )(2  tg) (1  sen )(2  ctg)
A) 2 B) 2
1 1
4) En la circunferencia trigonométrica, halle el (1  cos )(2  tg) (1  cos )(2  tg)
C) 2 D) 2
punto medio del lado PQ
1
(1  sen )(2  ctg)
 1  sec  tg  E) 2
A)
1  sec ;tg B)

 2
;
2 


 1  sec  tg   1  sec  tg  8) En la circunferencia trigonométrica de la
 ;   ; 
C)  2 2 
D)  4 2 
figura mostrada, si AM   ; entonces al
 1  sec  tg  calcular (en u2) el área sombreada, se
 ; 
E)  2 4  obtiene:
1  sen  1  cos  1  cos 
A) 2 B) 2 C) 2

5


D) m  2  m  5 E) 5  m  5
1
 sen   cos   2  sen   cos  
D) 2 E)
y
12) En la circunferencia halle OM en términos de.
M

M
A x 
o

9) En la circunferencia trigonométrica determinar sen sen 1  cos 
MP. 1  cos 
y A) 1  cos  B) C) sen 
P 1  cos  1  cos 
D) sen E) 1  cos 
x

13) Si: 2  tg  5 , determine los posibles


 1 1   1 1 
M  ;   ; 
A) tg+ctgB)tg– ctgC) ctg– tg A)  6 3  B)  3 6

D) – (tg+ctg) E) – tg– ctg+1  1 1   1 1 
 ;  ; 
C)  3 6  6 3
10) En la circunferencia trigonométrica
1 1  1 1  1 1 
mostrada. Halle el área de la región  3 ; 2   1; 2   2 ; 3    3 ; 2 
D)   E)
   
sombreada.

14) En la figura M(x; y) es punto medio del

segmento QR ,   mABP . Halle: x+y
y

B
P

1  sen   1  1  sen   1  x
   
2  cos   2  sen   A
A) B)
1  sen   cos   1  sen   cos   R
    Q M
2 cos   2 sen  
C) D)
 1  sen   cos   A) (sen+cos)/2 B) 2 cosC) 2 sen
 
1  cos  D) – senE) – cos
E) ½  

15) En la figura mostrada la circunferencia es
11) Si: 29 cos(x+y)=2m2 – 21 ;  x, yR, determine trigonométrica, hallar el área de la región
la extensión de m para que la expresión dada
sea válida. sombreada
 AP   .
A) 5  m  2 B) 2  m  5
C) m  5  m  2

6

y
2, 1 2,0
Q D)  E) 

5) En la circunferencia trigonométrica, se pide
A indicar el valor de OC  DB , en función del
ángulo "α"
C
P R
D B
1
tg 1  sen
1
ctg 1  sen   A
A) 2 B) 2 
1 O
tg 1  sen tg 1  sen
C) D) 2
1
tg 1  cos  a) Sec  Tan b) Sec  Tan
E) 2 1  Cos 
c) Sen  d) Sec   Csc
PROBLEMA DE REPASO 1  Cos 
e) Sen 
1) Indicar verdadero (V) o falso (F) en cada uno
de las proposiciones siguientes: 6) En el círculo trigonométrico, calcular el área de
I. sen1>sen3 la región sombreada.
II. cos3>cos1
III.tg1 – tg3>1
A) VVV B) VFV C) VVF 
D) FVV E) FFF O

2) Decir cual o cuales de las siguientes
proposiciones son falsas (F) o verdaderas (V).
1 (Sen   Cos   1) 1 (Sen   Cos   1)
I. sen(–3)<sen(–0,15)
a) 2 b) 2
II. |cos(–2)|>|cos(–1)|
1 (1  Sen Cos ) 1 (1  2Cos )
III.tg(–3)>tg(–2)
c) 2 d) 2
A) FFF B) VFF C) FVV
1 (1  2 Sen )
D) VVF E) VVV
e) 2

x 4
3) Si: , entonces al calcular la suma del 3 cos   1
C
máximo y mínimo valor de la expresión 7) Señale la variación de: cos   1 si: IVC
  1 1
W  cov  .x   ;2 ;1
8 3
, se obtiene: 2 2
a)<1; 2> b) c) d)<1; 3> e)<2; 3>
A) 1,5 B)2,5 C) 3 D)3,5 E) 4,5
8) Si   II C y csc  sen  2 determine la
x  ,   3
 sen  1
4) Si: , determinar la variación
6senx  4 variación de “ csc 2  ”
H
de 3senx  4 . A) 9 B) 3 2 C) 3 3
;10 ; ;
2
2, 1
5 5 4 4
A)
2, 1
B)
2,1 C)

7


D) 3 7 E) 9 12) Si: 2  sen   1  8  5cos  ,
; ;4
5 5 4 halle: “ csc   sec  “

A) 2 B) 9 C) 1 D) 9 E) 1
9) En la circunferencia trigonométrica de la  
figura mostrada, mAM = , determinar el
4 4 4 4
área de la región sombreada.
13) Halle los valores de cos  x  30 ,
si x  0;30

A) 1 B) 3 C) 1 3
;1 ;1 ;
2 2 2 2
D) 3 1 E)  1;1
;
2 2

a) 0,51  sen  cos   b) 0,51  sen  cos  
figura mostrada; si mAB´P = , determinar el
c) 0,51  sen  cos   d) 0,51  sen  cos   área de la región sombreada.
e) 0,81  sen  cos  

figura mostrada, si mAp = , determinar la
suma de las áreas de las regiones BOP y PQA.

a) 0,5 b) 1 c) 2
tg  1 tg  1 tg  1
d) 0,5 e) 2
tg  1 tg  1

a) cos   sen  tg b) cos   sen  tg 15) Calcular BQ en el círculo trigonométrico
2 2 adjunto en función de "α"
c) cos   sen  Ctg d) cos   sen  Ctg B
2 2 Q
e) sen  cos   tg

”  135; 210 ,
O
11) Si se sabe que: “ 

ar la variación de: P  2.cos   1
A) 
 1; 
2 B) 1  2 ; 0 C)   2;  1 a) 1  Sen  b) 1  Sen 

 2
2(1  Sen ) 2(1  Sen ) 2(1  Cos )
c) d) e)

D) 1 2 ; 0 E) 1 2 ; 0

8

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