Presentación de Ricardo Menares
Instituto de Matemática, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Charla en la Escuela de Arquitectura, PUCV, Marzo 2012
Presentación de Ricardo Menares
Instituto de Matemática, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Charla en la Escuela de Arquitectura, PUCV, Marzo 2012
La función SI en Excel es parte del grupo de funciones Lógicas y nos permite evaluar una condición para determinar si es falsa o verdadera. La función SI es de gran ayuda para tomar decisiones en base al resultado obtenido en la prueba lógica.
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Emplear de forma adecuada las herramientas de dibujo de selección y edición de dibujos como Grupos, Corregir errores, Borrar, Mover, Ordenar, Copiar Objetos.
Emplear de forma adecuada las herramientas de dibujo de puntos, marcar divisiones, Graduar divisiones, Sombreado, Degradado, Regiones y Contornos en AutoCAD.
Este es el módulo del curso de Lógica Matemática de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia, creado por el ingeniero Georffrey Acevedo Gonzalez.
Publicado en: armandolopezsierra.wordpress.com
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁClaude LaCombe
Recuerdo perfectamente la primera vez que oí hablar de las imágenes subliminales de los Testigos de Jehová. Fue en los primeros años del foro de religión “Yahoo respuestas” (que, por cierto, desapareció definitivamente el 30 de junio de 2021). El tema del debate era el “arte religioso”. Todos compartíamos nuestros puntos de vista sobre cuadros como “La Mona Lisa” o el arte apocalíptico de los adventistas, cuando repentinamente uno de los participantes dijo que en las publicaciones de los Testigos de Jehová se ocultaban imágenes subliminales demoniacas.
Lo que pasó después se halla plasmado en la presente obra.
1. MATEMATICAS
1º Bachillerato
MaTEX
r=A+lu
Proyecto A
d
Razones B
s=B+mv
CIENCIAS
Trigonom´tricas II
e MaTEX
Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a
metr´ II
Trigono-
ıa
Directorio
Tabla de Contenido
Inicio Art´
ıculo
c
2004 javier.gonzalez@unican.es Doc Doc
D.L.:SA-1415-2004 ISBN: 84-688-8267-4
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2. MATEMATICAS
1º Bachillerato
Tabla de Contenido A
r=A+lu
1. Razones trigonom´tricas de ..
e d
1.1. Suma de ´ngulos
a B
s=B+mv
1.2. Diferencia de ´ngulos
a CIENCIAS
1.3. El ´ngulo doble
a
´
1.4. Angulo mitad MaTEX
2. Ecuaciones trigonom´tricas
e
3. Ampliaci´no
3.1. Suma y diferencia de senos
metr´ II
Trigono-
3.2. Suma y diferencia de cosenos
3.3. Ejercicios
ıa
Soluciones a los Ejercicios
Doc Doc
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3. MATEMATICAS
Secci´n 1: Razones trigonom´tricas de ..
o e 3 1º Bachillerato
1. Razones trigonom´tricas de ..
e
r=A+lu
A
1.1. Suma de ´ngulos
a d
Se trata de calcular las razones de (α + β) en funci´n de las razones de α
o B
s=B+mv
y β. CIENCIAS
En la figura se tiene que
OA = cos β AB = sen β B M
MaTEX
Se tiene as´ que
ı,
metr´ II
Trigono-
sen(α + β) =P B = N M
=N A + AM
ıa
=OA sen α + AB cos α
= sen α cos β + cos α sen β A
β
cos(α + β) =OP = ON − P N α
=ON − BM
0 P N
=OA cos α − AB sen α
= cos β cos α − sen β sen α
Doc Doc
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4. MATEMATICAS
Secci´n 1: Razones trigonom´tricas de ..
o e 4 1º Bachillerato
Para calcular la tan(α + β) realizamos el cociente del seno entre el coseno
r=A+lu
A
sen(α + β)
tan(α + β) =
d
cos(α + β) B
s=B+mv
sen α cos β + cos α sen β CIENCIAS
=
cos α cos β − sen α sen β
=(dividiendo por cos α cos β) MaTEX
tan α + tan β
=
1 − tan α tan β
metr´ II
Trigono-
Razones de la suma de ´ngulos
a
ıa
sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β
cos(α + β) = cos β cos α − sen β sen α
(1)
tan α + tan β
tan(α + β) =
1 − tan α tan β
Doc Doc
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5. MATEMATICAS
Secci´n 1: Razones trigonom´tricas de ..
o e 5 1º Bachillerato
Ejemplo 1.1. A partir de 30o y 45o obtener el valor exacto de sen 75o ,cos 75o
r=A+lu
A
y tan 75o .
d
Soluci´n:
o B
s=B+mv
sen 75o = sen(30 + 45) = sen 30 cos 45 + cos 30 sen 45 CIENCIAS
√ √ √
1 2 3 2
= ·
2 2√ 2
√
+ ·
2 MaTEX
2+ 6
=
4
metr´ II
Trigono-
cos 75o = cos(30 + 45) = cos 30 cos 45 − sen 30 sen 45
√ √ √
3 2 1 2
ıa
= · − ·
√2 2
√ 2 2
6− 2
=
4
tan 30 + tan 45
tan 75o = tan(30 + 45) =
1 − tan 30 tan 45
√ √
(1/ 3) + 1 1+ 3
= √ =√
1 − (1/ 3) 3−1
Doc Doc
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6. MATEMATICAS
Secci´n 1: Razones trigonom´tricas de ..
o e 6 1º Bachillerato
1.2. Diferencia de ´ngulos
a
r=A+lu
A
Utilizando las razones de los ´ngulos opuestos y utilizando las f´rmulas
a o d
para la suma de ´ngulos se obtiene:
a B
s=B+mv
CIENCIAS
sen(α − β) = sen[α + (−β)]
= sen α cos(−β) + cos α sen(−β) MaTEX
= sen α cos β − cos α sen β
cos(α − β) = cos[α + (−β)]
metr´ II
Trigono-
= cos α cos(−β) − sen α sen(−β)
ıa
= cos α cos β + sen α sen β
tan(α − β) = tan[α + (−β)]
tan α + tan(−β)
=
1 − tan α tan(−β)
tan α − tan β
=
1 + tan α tan β
Doc Doc
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7. MATEMATICAS
Secci´n 1: Razones trigonom´tricas de ..
o e 7 1º Bachillerato
La diferencia de ´ngulos
a
r=A+lu
A
d
sen(α − β) = sen α cos β − cos α sen β B
s=B+mv
cos(α − β) = cos β cos α + sen β sen α CIENCIAS
(2)
tan α − tan β
tan(α − β) =
1 + tan α tan β MaTEX
Ejemplo 1.2. A partir de 30o y 45o hallar sen 15o y cos 15o .
Soluci´n:
o
metr´ II
Trigono-
sen 15o = sen(45 − 30) = sen 45 cos 30 − cos 45 sen 30
√ √ √
ıa
2 3 2 1
= −
√2 2√ 2 2
6− 2
=
4
cos 15o = cos(45 − 30) = cos 45 cos 30 + sen 30 sen 45
√ √ √
2 3 1 2
= +
√ 2√ 2 2
2
6+ 2
=
4
Doc Doc
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8. MATEMATICAS
Secci´n 1: Razones trigonom´tricas de ..
o e 8 1º Bachillerato
1.3. El ´ngulo doble
a
r=A+lu
A
A partir de las razones de la suma obtenemos: d
sen(2 α) = sen[α + α] = sen α cos α + cos α sen α B
s=B+mv
CIENCIAS
=2 sen α cos α
cos(2 α) = cos[α + α] = cos α cos α − sen α sen α MaTEX
= cos α − sen α
2 2
tan α + tan α
metr´ II
tan(2 α) = tan[α + α] =
Trigono-
1 − tan α tan α
2 tan α
ıa
=
1 − tan2 α
Razones del ´ngulo doble
a
sen(2 α) = 2 sen α cos α
cos(2 α) = cos2 α − sen2 α
(3)
2 tan α
tan(2 α) = Doc Doc
1 − tan2 α
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9. MATEMATICAS
Secci´n 1: Razones trigonom´tricas de ..
o e 9 1º Bachillerato
Ejemplo 1.3. A partir de las razones de 60o hallar sen 120o y cos 120o .
r=A+lu
A
Soluci´n:
o d
sen 120o = sen(2 · 60) =2 sen 60 cos 60 B
s=B+mv
√ √ CIENCIAS
3 1 3
=2 · =
2 2 2
cos 120o = cos(2 · 60) = cos2 60 − sen2 60 MaTEX
1 3 1
= − =−
4 4 2
metr´ II
Trigono-
1
Ejemplo 1.4. Si α est´ en el tercer cuadrante y cos α = − , obtener el valor
a
ıa
2
de sen 2 α y cos 2 α .
Soluci´n: Primero calculamos sen α
o
√
1 2 3 3
sen α = 1 − cos α = 1 − ( ) = =⇒ sen α = −
2 2
2 4 2
√ √
3 1 3
sen 2 α =2 sen α cos α = 2 · · =
2 2 2
1 3 1
cos 2 α = cos2 α − sen2 α = − = −
4 4 2
Doc Doc
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10. MATEMATICAS
Secci´n 1: Razones trigonom´tricas de ..
o e 10 1º Bachillerato
´
1.4. Angulo mitad A
r=A+lu
A partir del coseno del ´ngulo doble se tiene
a d
α α α B
cos 2 ( ) = cos2 − sen2 (4) s=B+mv
2 2 2 CIENCIAS
α
cos α = 1 − 2 sen2 (5)
2
α
cos α = 2 cos2 − 1 (6)
MaTEX
2
Despejando en las dos ultimas expresiones obtenemos las razones del seno y
coseno para el ´ngulo mitad
a
metr´ II
Trigono-
α 1 − cos α
sen2 = (7)
ıa
2 2
α 1 + cos α
cos2
= (8)
2 2
Dividiendo las dos expresiones anteriores
α 1 − cos α
tan2 = (9)
2 1 + cos α
Doc Doc
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11. MATEMATICAS
Secci´n 1: Razones trigonom´tricas de ..
o e 11 1º Bachillerato
Ejemplo 1.5. Con el ´ngulo mitad obtener el valor exacto de sen 15o ,
a
r=A+lu
A
cos 15o y tan 15o .
d
Soluci´n:
o B
√ √
s=B+mv
1 − cos 30 1 − 23 2− 3
CIENCIAS
sen 15 =
2 o
= =⇒ sen 15 =
o
2 2 4
√ √
MaTEX
1 + cos 30 1 + 23 2+ 3
cos 15 =
2 o
= =⇒ cos 15o =
2 2 4
metr´ II
Trigono-
√ √
1 − cos 30 1 − 23 2− 3
tan 15 =
2 o
= √ =⇒ tan 15 =
o
√
1 + cos 30
ıa
1 + 23 2+ 3
1
Ejercicio 1. Si α est´ en el tercer cuadrante y cos α = − , obtener el valor
a
5
α α α
de sen , cos y tan .
2 2 2
Doc Doc
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12. MATEMATICAS
Secci´n 2: Ecuaciones trigonom´tricas
o e 12 1º Bachillerato
2. Ecuaciones trigonom´tricas
e
r=A+lu
A
Llamamos ecuaci´n trigonom´trica a una ecuaci´n con razones trigonom´tri-
o e o e d
cas, donde se pretende calcular el ´ngulo inc´gnita α. No hay un m´todo
a o e B
s=B+mv
general de resoluci´n pero podemos indicar algunas pautas de resoluci´n,
o o CIENCIAS
como:
Sacar factor com´n cuando el t´rmino independiente es cero.
u e MaTEX
Procurar que todas las razones tengan el mismo angulo.
´
Y procurar obtener la misma raz´n trigonom´trica
o e
metr´ II
Trigono-
ıa
Doc Doc
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13. MATEMATICAS
Secci´n 2: Ecuaciones trigonom´tricas
o e 13 1º Bachillerato
1 r=A+lu
Ejemplo 2.1. Resolver la ecuaci´n cos α =
o A
2
1 d
Soluci´n: Conocemos que cos 60o =
o .
2
B
s=B+mv
Dibujamos un aspa como el de la figura a partir de 60o y obtenemos las CIENCIAS
soluciones entre 0 y 360.
A estas soluciones se le a˜aden un m´ltiplo cualquiera de vueltas con la
o
n
u
u
expresi´n 360o k, siendo k un n´mero entero.
MaTEX
y
1 α = 60o + 360o k
cos α = =⇒ π−α α = 60
metr´ II
Trigono-
2 α = 300o + 360o k
ıa
α = π + 2kπ
3
=⇒
α = 5π
+ 2kπ 0 x
3
π+α 2π − α
Las soluciones las puedes expresar en grados o en radianes
Doc Doc
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14. MATEMATICAS
Secci´n 2: Ecuaciones trigonom´tricas
o e 14 1º Bachillerato
√
Ejemplo 2.2. Resolver la ecuaci´n tan α = − 3
o
r=A+lu
A
√
Soluci´n: Conocemos que tan 60o = 3.
o d
Dibujamos un aspa como el de la figura a partir de 60o y obtenemos las solu- B
ciones entre 0 y 360.
s=B+mv
CIENCIAS
y
tan α = −
√
3 =⇒
α
α
= 120o + 360o k
= 300o + 360o k
π−α α = 60 MaTEX
α 2π
= + 2 kπ
metr´ II
Trigono-
3
=⇒
α 5π 0 x
= + 2kπ
ıa
3
π+α 2π − α
En este caso como entre dos soluciones consecutivas hay 180o , todas las solu-
ciones se pueden expresar de la forma
2π
α= + kπ
3
Doc Doc
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15. MATEMATICAS
Secci´n 2: Ecuaciones trigonom´tricas
o e 15 1º Bachillerato
√
2
r=A+lu
Ejemplo 2.3. Resolver la ecuaci´n cos α = −
o
A
√ 2 d
2
Soluci´n: Conocemos que cos 45o =
o . B
2
s=B+mv
Dibujamos un aspa como el de la figura a partir de 45o y obtenemos las solu-
CIENCIAS
ciones entre 0 y 360 donde el coseno es negativo
√
MaTEX
y
2 α = 135 + 360 k o o
cos α = − =⇒
2 α = 225o + 360o k π−α α = 45
metr´ II
Trigono-
α = 3 π + 2 kπ
4
ıa
=⇒
α = 5π 0 x
+ 2kπ
4
π+α 2π − α
Doc Doc
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16. MATEMATICAS
Secci´n 2: Ecuaciones trigonom´tricas
o e 16 1º Bachillerato
Ejercicio 2. Resolver las ecuaciones trigonom´tricas:
e
r=A+lu
A
√
1 3 1
a) sen α = b) sen 2α = c) cos 3α = d
2 2 2 B
s=B+mv
Ejercicio 3. Resolver las ecuaciones trigonom´tricas:
e CIENCIAS
1 α 1
a) cos 2α = − b) tan = 1 c) cot(α − π) = − √
2 4 3 MaTEX
Ejercicio 4. Resolver las ecuaciones trigonom´tricas:
e
√
a) sec 2 α = 2 b) sen x = 3 cos x c) sen(2 α − 135o ) = 0
metr´ II
Trigono-
Ejercicio 5. Resolver las ecuaciones trigonom´tricas:
e
2 α
√
a) tan 3 α = −1 b) cosec =1 c) 2 cos 2 α = 3
ıa
4
Ejercicio 6. Resolver las ecuaciones trigonom´tricas:
e
(a) sen 2α = sen α (b) cos 2α = cos α
(c) sen α = cos α (d) cos α = cot α
√
(e) tan α = 2 sen α (f) sen α + 3 cos α = 0
(g) 2 sen(α − 30 ) = −1
o
(h) sen 2α cosec α = tan α + sec α Doc Doc
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17. MATEMATICAS
Secci´n 2: Ecuaciones trigonom´tricas
o e 17 1º Bachillerato
Ejercicio 7. Resolver las ecuaciones trigonom´tricas:
e
r=A+lu
A
d
(a) 2 − sen x = cos2 x + 7 sen2 x B
s=B+mv
CIENCIAS
(b) 2 sen2 x + 3 cos x = 0
MaTEX
(c) sen x + cos x = 1
metr´ II
Trigono-
(d) sen2 x + cos x + 1 = 0
ıa
√
(e) sen x + cos x = 2
(f) sen 2x − 2 sen 4x = 0
(g) 2 sen(α − 30o ) = −1
(h) sen 2α cosec α = tan α + sec α
Doc Doc
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18. MATEMATICAS
Secci´n 3: Ampliaci´n
o o 18 1º Bachillerato
3. Ampliaci´n
o
r=A+lu
A
3.1. Suma y diferencia de senos d
Del seno de la suma y diferencia de ´ngulos :
a B
s=B+mv
CIENCIAS
sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β
sen(α − β) = sen α cos β − cos α sen β
MaTEX
Si sumamos y restamos las dos identidades obtenemos
sen(α + β) + sen(α − β) = 2 sen α cos β
(10)
metr´ II
Trigono-
sen(α + β) − sen(α − β) = 2 cos α sen β
ıa
Si llamamos A = α + β y B = α − β las anteriores identidades son:
A+B A−B
sen A + sen B = 2 sen cos
2 2 (11)
A+B A−B
sen A − sen B = 2 cos sen
2 2
Doc Doc
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19. MATEMATICAS
Secci´n 3: Ampliaci´n
o o 19 1º Bachillerato
3.2. Suma y diferencia de cosenos
r=A+lu
A
Del seno de la suma y diferencia de ´ngulos :
a d
B
cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β s=B+mv
CIENCIAS
cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β
Si sumamos y restamos las dos identidades obtenemos MaTEX
cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β
(12)
cos(α + β) − cos(α − β) = −2 sen α sen β
metr´ II
Trigono-
Si llamamos A = α + β y B = α − β las anteriores identidades son:
ıa
A+B A−B
cos A + cos B = 2 cos cos
2 2 (13)
A+B A−B
cos A − cos B = −2 sen sen
2 2
Doc Doc
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20. MATEMATICAS
Secci´n 3: Ampliaci´n
o o 20 1º Bachillerato
Ejemplo 3.1. Convertir en productos las expresiones.
r=A+lu
A
a) sen 3x + sen x b) sen 3x − sen x d
c) cos 3x + cos x d ) cos 3x − cos x B
s=B+mv
CIENCIAS
e) cos 4x + cos 2x f ) cos 4x − cos 2x
g) cos 4x + cos 2y h) sen 2x + sen 2y MaTEX
Soluci´n:
o
a) sen 3x + sen x = 2 sen 2x cos x
metr´ II
Trigono-
b) sen 3x − sen x = 2 cos 2x sen x
c) cos 3x + cos x = 2 cos 2x cos x
ıa
d ) cos 3x − cos x = −2 sen 2x sen x
e) cos 4x + cos 2x = 2 cos 3x cos x
f ) cos 4x − cos 2x = −2 sen 3x sen x
g) cos 4x + cos 2y = 2 cos(2x + y) cos(2x − y)
h) sen 2x + sen 2y = 2 sen(x + y) cos(x − y)
Doc Doc
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21. MATEMATICAS
Secci´n 3: Ampliaci´n
o o 21 1º Bachillerato
3.3. Ejercicios
r=A+lu
A
Ejercicio 8. Simplificar las siguientes expresiones:
d
1 − cos 2 α 1 + cos 2 α
B
s=B+mv
(a) (b)
cos2 α cos2 α
CIENCIAS
1 − cos 2 α cos 2 α
(c)
sen2 α
(d)
cos α − sen α MaTEX
Ejercicio 9. Simplificar las siguientes expresiones:
(a) sen(45 + β) + cos(45 + β)
metr´ II
Trigono-
(b) sen(30 + β) + cos(60 + β)
(c) sen(30 + x) + sen(30 − x)
ıa
(d) cos(30 + x) − cos(30 − x)
Ejercicio 10. Demostrar la siguiente identidad:
sen 3x cos 3x
− =2
sen x cos x
2
Ejercicio 11. Si tan 2α = y α es del 3o cuadrante, hallar tan α
3
Ejercicio 12. ¿Existe alg´n ´ngulo menor de 360o cuya tangente sea igual
u a
a su cotangente?
Doc Doc
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22. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 22 1º Bachillerato
Soluciones a los Ejercicios
r=A+lu
A
Ejercicio 1. Si α est´ en el tercer cuadrante, α/2 est´ en el segundo cuadrante
a a d
1 − cos α 1+ 1 3
B
2 α α s=B+mv
sen = = 5
=⇒ sen = CIENCIAS
2 2 2 2 5
cos2 =
α 1 + cos α
=
1− 15 α
=⇒ cos = −
2 MaTEX
2 2 2 2 5
sen 15 3
tan 15o = =−
metr´ II
Trigono-
cos 15 2
Ejercicio 1
ıa
Doc Doc
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27. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 27 1º Bachillerato
Ejercicio 6(a)
r=A+lu
A
Utilizamos el seno del ´ngulo doble y sacamos factor com´n:
a u
d
sen 2α = sen α B
s=B+mv
2 sen α cos α = sen α CIENCIAS
2 sen α cos α − sen α =0
sen α (2 cos α − 1) =0 MaTEX
α = 0 + kπ
sen α = 0
1 =⇒ π 5π
cos α =
metr´ II
Trigono-
α =
+ 2kπ + 2kπ
2 3 3
ıa
Doc Doc
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28. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 28 1º Bachillerato
Ejercicio 6(b)
r=A+lu
A
Utilizamos el coseno del ´ngulo doble, pasando todo a cosenos y resolvemos
a
d
la ecuaci´n:
o B
s=B+mv
cos 2α = cos α CIENCIAS
cos α − sen2 α = cos α
2
cos2 α − (1 − cos2 α) = cos α MaTEX
2 cos2 α − cos α − 1 =0
α = 0 + 2kπ
cos α =1
metr´ II
Trigono-
1 =⇒ 2π 4π
cos α = − α
= + 2kπ + 2kπ
2 3 3
ıa
Doc Doc
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29. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 29 1º Bachillerato
Ejercicio 6(c)
r=A+lu
A
Expresamos el coseno en funci´n del seno, elevamos al cuadrado y resolvemos
o
d
la ecuaci´n:
o B
s=B+mv
sen α = cos α CIENCIAS
sen α = 1 − sen2 α
sen2 α =1 − sen2 α
MaTEX
2 sen2 α =1
√
1 2
metr´ II
Trigono-
sen α = ± √ = ±
2 2
√
3π
ıa
2 α = π
sen α =
+ 2kπ + 2kπ
2 4 4
√ =⇒
sen α =−
2 α = 5π + 2kπ
7π
+ 2kπ
2 4 4
Las que no tienen recuadro son del segundo y cuarto cuadrante que no
cumplen la ecuaci´n inicial. Esto suele ocurrir cuando se eleva al cuadrado o
o
hay denominadores
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30. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 30 1º Bachillerato
Ejercicio 6(d)
r=A+lu
A
Utilizamos la definici´n de la cotangente, operamos y sacamos factor com´n:
o u
d
cos α = cot α B
s=B+mv
cos α
cos α =
CIENCIAS
sen α
cos α sen α = cos α MaTEX
cos α sen α − cos α =0
cos α(sen α − 1) =0
metr´ II
Trigono-
α π
cos α = 0
= +k π
=⇒ 2
sen α = 1 π
ıa
α
= +2k π
2
La primera soluci´n incluye a la segunda, luego
o
π
α= +k π
2
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31. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 31 1º Bachillerato
Ejercicio 6(e)
r=A+lu
A
Utilizamos la definici´n de la tangente, operamos y sacamos factor com´n:
o u
d
tan α =2 sen α B
s=B+mv
sen α
=2 sen α
CIENCIAS
cos α
sen α =2 sen α cos α MaTEX
sen α (1 − 2 cos α) =0
α = 0+k π
sen α = 0
metr´ II
1 =⇒
Trigono-
π 5π
cos α = α =
+2k π +2k π
2 3 3
ıa
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32. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 32 1º Bachillerato
Ejercicio 6(f )
r=A+lu
A
Expresamos el coseno en funci´n del seno, elevamos al cuadrado y resolvemos
o
d
la ecuaci´n:
o
√ B
s=B+mv
sen α + 3 cos α =0 CIENCIAS
√
sen α + 3 1 − sen2 α =0
√
3 1 − sen2 α = − sen α
MaTEX
3 (1 − sen2 α) = sen2 α
4 sen2 α =3
metr´ II
Trigono-
√
3
sen α = ±
ıa
2
√
3
α = π + 2k π 2π
sen α
=
+ 2k π
2 3 3
√ =⇒
sen α 3
α = 4π 5π
=−
+ 2k π + 2k π
2 3 3
Las que no tienen recuadro no cumplen la ecuaci´n inicial.
o
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34. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 34 1º Bachillerato
Ejercicio 6(h)
r=A+lu
A
sen 2α cosec α = tan α + sec α d
sen α 1 B
2 sen α cos α cosec α = + s=B+mv
cos α cos α CIENCIAS
sen α + 1
2 cos α =
cos α MaTEX
2 cos2 α = sen α + 1
2 (1 − sen2 α) = sen α + 1
metr´ II
Trigono-
2 sen2 α + sen α − 1 =0
1
π 5π
ıa
α =+ 2kπ + 2kπ
sen α = 5 6
2 =⇒
sen α = −1
α 3π
= + 2kπ
2
Las que no tienen recuadro no verifican la ecuaci´n inicial.
o
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35. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 35 1º Bachillerato
Ejercicio 7(a)
r=A+lu
A
2 − sen x = cos2 x + 7 sen2 x d
2 − sen x =1 + 6 sen2 x B
s=B+mv
sen x = 1
CIENCIAS
6 sen x + sen x − 1 =0 =⇒ 3
2
sen x = − 1
MaTEX
2
1 1
sen x = con la calculadora x = arc sen 19,47o
3 3
metr´ II
Trigono-
x = 19,47 + 2 kπ
o
ıa
x = 160,53o + 2 kπ
x = 7π + 2 kπ
1
6
sen x = − =⇒
2 x = 11π + 2 kπ
6
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36. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 36 1º Bachillerato
Ejercicio 7(b)
r=A+lu
A
2 sen2 x + 3 cos x =0 d
2 (1 − cos2 x) + 3 cos x =0 B
s=B+mv
CIENCIAS
cos x=2
2 cos x − 3 cos x − 2 =0 =⇒
2
1
cos x = −
2 MaTEX
cos x = 2 no tiene soluci´n pues −1 ≤ cos x ≤ 1
o
x = 2π + 2 kπ
metr´ II
Trigono-
1 3
cos x = − =⇒
2 x = 4π + 2 kπ
ıa
3
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37. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 37 1º Bachillerato
Ejercicio 7(c)
r=A+lu
A
sen x + cos x =1 d
(sen x − 1)2 = cos2 x B
s=B+mv
CIENCIAS
sen2 x − 2 sen x + 1 = cos2 x
2 sen2 x − 2 sen x =0
MaTEX
sen x = 1
2 sen x(sen x − 1) =0 =⇒
sen x = 0
metr´ II
Trigono-
π
sen x = 1 =⇒ x = + 2 kπ
2
ıa
x = 0 + 2 kπ
sen x = 0 =⇒
x = π + 2 kπ
La que no tiene recuadro no cumple la ecuaci´n inicial. Comprobarlo.
o
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38. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 38 1º Bachillerato
Ejercicio 7(d)
r=A+lu
A
sen2 x + cos x + 1 =0 d
1 − cos2 x + cos x + 1 =0 B
s=B+mv
CIENCIAS
cos x = 2
cos x − cos x − 2 =0 =⇒
2
cos x = −1
cos x = 2 no tiene soluci´n pues −1 ≤ cos x ≤ 1
o
MaTEX
cos x = −1 =⇒ x = π + 2 kπ
metr´ II
Trigono-
ıa
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39. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 39 1º Bachillerato
Ejercicio 7(e)
r=A+lu
A
√
sen x + cos x = 2 d
√
(sen x − 2)2 = cos2 x
B
s=B+mv
√ CIENCIAS
sen2 x − 2 2 sen x + 2 = cos2 x
√
√
2 sen x − 2 2 sen x + 1 =0 =⇒
2
sen x =
2 MaTEX
2
√ x = π + 2 kπ
2 4
metr´ II
Trigono-
sen x = =⇒
2 x = 3π + 2 kπ
4
ıa
La que no tiene recuadro no cumple la ecuaci´n inicial. Comprobarlo.
o
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40. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 40 1º Bachillerato
Ejercicio 7(f )
r=A+lu
A
sen 2x − 2 sen 4x =0 d
sen 2x − 4 sen 2x cos 2x =0 B
s=B+mv
CIENCIAS
sen 2x =0
sen 2x(1 − 2 cos 2x) =0 =⇒ 1
cos 2x =
2
MaTEX
kπ
sen 2x = 0 =⇒ x = 0+
2
metr´ II
Trigono-
π x = π + kπ
2x = + 2 kπ
ıa
1 3 6
cos 2x = =⇒ =⇒
2 2x = 5π + 2 kπ
x = 5π
3 + kπ
6
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