Este documento presenta conceptos básicos sobre variables aleatorias discretas. En 3 oraciones: Introduce variables aleatorias discretas como funciones que asignan valores numéricos a resultados de experimentos aleatorios. Explica que la función de probabilidad asigna a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad de que tome ese valor, de modo que la suma de las probabilidades sea 1. Presenta ejemplos como lanzar monedas para ilustrar variables aleatorias y sus funciones de probabilidad.

1. MATEMATICAS
2º Bachillerato
MaTEX
r=A+lu
Proyecto A
d
B
s=B+mv
Variables Aleatorias SOCIALES
MaTEX
Aleatorias
Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a
Variables
Directorio
• Tabla de Contenido
• Inicio Art´
ıculo
Tabla N(0,1)
c 2004 gonzaleof@unican.es Doc Doc
8 de Junio de 2004 Versi´n 1
o
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2. MATEMATICAS
2º Bachillerato
Tabla de Contenido A
r=A+lu
1. Variable Aleatoria Discreta d
1.1. Funci´n de Probabilidad
o B
s=B+mv
1.2. Funci´n de Distribuci´n
o o SOCIALES
1.3. Media o esperanza de una variable aleatoria
1.4. Varianza y desviaci´n t´
o ıpica de una variable aleatoria MaTEX
1.5. Ejercicios
Aleatorias
2. La Distribuci´n Binomial
o
Variables
• Experiencias binomiales • N´meros combinatorios
u
2.1. Distribuci´n Binomial
o
2.2. Ejercicios
3. Variable Aleatoria Continua
3.1. Funci´n de Distribuci´n
o o
4. La Distribuci´n Normal
o
4.1. La normal N (0; 1)
• Manejo de la tabla • Tipificar una variable normal
4.2. Ejercicios
Tabla N(0,1)
5. Aproximaci´n de la distribuci´n binomial por la normal
o o
5.1. Ejercicios
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests Doc Doc
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3. MATEMATICAS
Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o 3 2º Bachillerato
r=A+lu
1. Variable Aleatoria Discreta A
Definici´n 1.1 Una variable aleatoria discreta X es una funci´n que asigna
o o d
valores num´ricos a los sucesos elementales de un espacio muestral
e B
s=B+mv
X : Ω −→ R SOCIALES
ωi −→ xi
Ejemplo 1.1. Lanzamos dos monedas y definimos la variable aleatoria X,
MaTEX
Aleatorias
n´mero de caras obtenidas. Siendo C obtener cara y X obtener cruz, como
u
el espacio muestral es Ω = {CC, CX, XC, XX} entonces se tiene
Variables
X : Ω −→ R
CC → 2
CX → 1
XC → 1
XX → 0
Ejemplo 1.2. Lanzamos una moneda, si sacamos cara C recibimos 1 euro y
si sacamos cruz X pagamos 1 euro. ¿ C´mo es la variable aleatoria X que
o
mide la ganancia?.
Tabla N(0,1)
El espacio muestral es Ω = {C, X} entonces se tiene
X : Ω −→ R
C → 1
X → −1 Doc Doc
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4. MATEMATICAS
Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o 4 2º Bachillerato
r=A+lu
1.1. Funci´n de Probabilidad
o A
Definici´n 1.2 Es la aplicaci´n que asigna a cada valor de la variable aleato-
o o d
ria discreta X la probabilidad de que la variable tome dicho valor B
s=B+mv
px : X −→ [0, 1] SOCIALES
xi −→ P (X = xi )
Ejemplo 1.3. Lanzamos dos monedas y definimos la variable aleatoria X,
MaTEX
Aleatorias
n´mero de caras obtenidas. Siendo C obtener cara y X obtener cruz. La
u
funci´n de probabilidad de X es
o
Variables
1
px (2) = P (X = 2) = P (“CC ) =
4
2
px (1) = P (X = 1) = P (“CX, XC ) =
4
1
px (0) = P (X = 0) = P (“XX ) =
4
Es habitual expresar la funci´n de probabilidad en una tabla de la forma
o
xi 0 1 2
1 2 1
px (xi ) Tabla N(0,1)
4 4 4
Observa que se tiene que cumplir
n
px (xi ) = 1 (1) Doc Doc
i=1
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5. MATEMATICAS
Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o 5 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 1.4. Lanzamos una moneda, si sacamos cara C recibimos 1 euro y A
si sacamos crus X pagamos 1 euro. Describir la funci´n de probabilidad de
o
d
la variable aleatoria X que mide la ganancia. B
xi 1 −1 s=B+mv
SOCIALES
px (xi ) 1/2 1/2
Ejemplo 1.5. La funci´n de probabilidad de la variable aleatoria X viene
o
MaTEX
Aleatorias
dada por la tabla.
Variables
xi −2 −1 0 1 2
px (xi ) 0.08 0.32 0.05 a 0.32
Hallar el valor de a, P (X = 1), P (X ≥ 1) y P (X ≤ −1).
Soluci´n:
o
n
• Como px (xi ) = 1 ⇒ 0.08 + 0.32 + 0.05 + a + 0.32 = 1; a = 0.23
i=1
• P (X = 1) = px (1) = a = 0.23
• P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) = 0.23 + 0.32 = 0.55 Tabla N(0,1)
• P (X ≤ −1) = P (X = −2) + P (X = −1) = 0.08 + 0.32 = 0.4
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6. MATEMATICAS
Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o 6 2º Bachillerato
r=A+lu
1.2. Funci´n de Distribuci´n
o o A
Definici´n 1.3 Es la aplicaci´n FX (xi ) que asigna a cada valor xi de la
o o d
variable aleatoria discreta X la probabilidad de que la variable tome valores B
s=B+mv
menores o iguales que xi SOCIALES
FX (xi ) = P (X ≤ xi ) (2)
MaTEX
Ejemplo 1.6. La funci´n de probabilidad de la variable aleatoria X viene
o
Aleatorias
dada por la tabla.
Variables
xi 0 1 2 3
px (xi ) 0.1 0.2 0.4 0.3
Hallar la funci´n de distribuci´n de X.
o o
Soluci´n: De la definici´n (1.3) se tiene
o o
FX (0) = P (X ≤ 0) = px (0) = 0.1
FX (1) = P (X ≤ 1) = px (0) + px (1) = 0.3
FX (2) = P (X ≤ 2) = px (0) + px (1) + px (2) = 0.7
FX (3) = P (X ≤ 1) = px (0) + px (1) + px (2) + px (3) = 1
Tabla N(0,1)
xi 0 1 2 3
Fx (xi ) 0.1 0.3 0.7 1
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7. MATEMATICAS
Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o 7 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 1.7. La funci´n de probabilidad de la variable aleatoria X viene
o A
dada por la tabla.
d
xi 0 1 2 3 B
s=B+mv
px (xi ) 0.2 0.3 0.1 0.5 SOCIALES
Representar la funci´n de probabilidad y la funci´n de distribuci´n de X
o o o MaTEX
Soluci´n: Juntamos en una tabla la funci´n de probabilidad y la funci´n de
o o o
Aleatorias
distribuci´n de X
o
Variables
xi 0 1 2 3
px (xi ) 0.2 0.3 0.1 0.4
FX (xi ) 0.2 0.5 0.6 1
p(x) F(x)
1 1
0.6 0.6
0.5 0.5
0.4 0.4
0.3 0.3 Tabla N(0,1)
0.2 0.2
0.1 0.1
0 1 2 3 X 0 1 2 3 X
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8. MATEMATICAS
Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o 8 2º Bachillerato
r=A+lu
1.3. Media o esperanza de una variable aleatoria A
Definici´n 1.4 Se llama media o esperanza de una variable aleatoria X y
o d
se representa por µ al valor B
s=B+mv
n SOCIALES
µ = x1 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + · · · xn · p(xn ) = xi · p(xi ) (3)
i=1 MaTEX
Aleatorias
Ejemplo 1.8. Lanzamos dos monedas. Si salen dos caras recibimos 3 eu-
Variables
ros, si sale una cara recibimos 1 euro y si no sale ninguna cara pagamos 5
euros.¿Cu´l es la ganancia media del juego?
a
Soluci´n: Hallamos la funci´n de probabilidad de la ganancia X en euros:
o o
xi 3 1 −5
px (xi ) 1/4 1/2 1/4
La ganancia media del juego es la media o esperanza de X
µ =x1 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + x3 · p(x3 )
1 1 1
=3 · + 1 · − 5 · = 0
4 2 4 Tabla N(0,1)
Cuando en un juego la ganancia esperada µ = 0 se llama juego justo. Si
µ > 0 es un juego con ventaja y si µ < 0 es un juego en desventaja.
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9. MATEMATICAS
Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o 9 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 1.9. Hallar la media de la variable aleatoria X, dada por la funci´n
o A
de probabilidad.
d
xi 0 1 2 3 B
s=B+mv
px (xi ) 0.1 0.2 0.4 0.3 SOCIALES
Soluci´n: De la definici´n (1.4) se tiene
o o
MaTEX
µ =x1 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + x3 · p(x3 ) + x4 · p(x4 )
Aleatorias
=0 · 0.1 + 1 · 0.2 + 2 · 0.4 + 3 · 0.3 = 1.9
Variables
Ejemplo 1.10. Hallar la media de la variable aleatoria X, dada por la
funci´n de probabilidad.
o
xi 0 1 2 3
px (xi ) 0.3 0.2 0.1 0.4
Soluci´n: De la definici´n (1.4) se tiene
o o
µ =x1 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + x3 · p(x3 ) + x4 · p(x4 )
Tabla N(0,1)
=0 · 0.3 + 1 · 0.2 + 2 · 0.1 + 3 · 0.4 = 1.6
Doc Doc
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10. MATEMATICAS
Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o 10 2º Bachillerato
r=A+lu
1.4. Varianza y desviaci´n t´
o ıpica de una variable aleatoria A
Definici´n 1.5 Se llama varianza de una variable aleatoria X y se repre-
o d
senta por σ 2 al valor B
s=B+mv
n SOCIALES
σ 2 = x2 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + · · · x2 · p(xn ) − µ2 = x2 · p(xi ) − µ2 (4)
1 2 n
i=1
i
MaTEX
Aleatorias
A partir de la varianza se define la desviaci´n t´
o ıpica σ como la ra´ cuadrada
ız
de la varianza.
Variables
Ejemplo 1.11. Hallar la varianza y la desviaci´n t´
o ıpica de la variable aleato-
ria X, dada por la funci´n de probabilidad.
o
xi 0 1 2 3
px (xi ) 0.1 0.2 0.4 0.3
Soluci´n: Primero se calcula la media µ
o
µ =0 · 0.1 + 1 · 0.2 + 2 · 0.4 + 3 · 0.3 = 1.9
De la definici´n (1.5) se tiene
o
σ 2 =x2 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + · · · x2 · p(xn ) − µ2
1 2 n
Tabla N(0,1)
=02 · 0.1 + 12 · 0.2 + 22 · 0.4 + 32 · 0.3 − 1.92 = 0.89
√
σ = 0.89 = 0.94
Doc Doc
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11. MATEMATICAS
Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o 11 2º Bachillerato
r=A+lu
1.5. Ejercicios A
Ejercicio 1. La funci´n de probabilidad de una variable aleatoria discreta
o d
X es. B
s=B+mv
xi 0 1 2 3 4 SOCIALES
px (xi ) 0.1 a b c 0.2
MaTEX
Sabiendo que P (X ≤ 2) = 0.75 y que P (X ≥ 2) = 0.75, halla su esperanza
Aleatorias
matem´tica y su desviaci´n t´
a o ıpica.
Variables
Ejercicio 2. Una persona en un juego recibe 15 cts cuando saca una sota
o un caballo y recibe 5 cts si saca un rey o un as de una baraja espa˜ola
n
de 40 cartas. Si saca cualquier otra carta paga 4 cts . ¿Cu´l es la ganancia
a
esperada en este juego?
Ejercicio 3. Se tienen tres urnas: la A que contiene dos bolas negras y cuatro
rojas, la B tres negras y tres rojas; y la C con una negra y cinco rojas.
UA = {2 N ; 4 R} UB = {3 N ; 3 R} UC = {1 N ; 5 R}
Se elige una urna al azar y se extrae una bola de ella. Si se saca roja se
Tabla N(0,1)
reciben 3 euros y si se saca negra no se recibe nada. ¿Cu´l es la ganancia
a
esperada?
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12. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 12 2º Bachillerato
r=A+lu
2. La Distribuci´n Binomial
o A
• Experiencias binomiales d
Toda experiencia aleatoria que presenta dos resultados posibles, uno que fi- B
s=B+mv
jamos como “´xito” y lo contrario como “fracaso” se suele denominar de tipo
e SOCIALES
Bernouilli.
Por ejemplo las siguientes experiencias son de tipo Bernouilli: MaTEX
• Jugar a cara o cruz.
Aleatorias
• El nacimiento de un ni˜o (var´n o mujer)
n o
Variables
• Obtener un “4” en el lanzamiento de un dado.
• Obtener un n´mero “par” en el lanzamiento de un dado.
u
• Obtener “copas” al extraer una carta de la baraja espa˜ola.
n
• La fabricaci´n de una pieza en un factor´ (aceptable o defectuosa).
o ıa
• El resultado de una operaci´n (´xito o fracaso).
o e
• El lanzamiento a una canasta (encestar o fallar).
• Aprobar o suspender un examen.
Tabla N(0,1)
Doc Doc
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13. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 13 2º Bachillerato
r=A+lu
Cuando se realizan n pruebas independientes de tipo Bernouilli decimos A
que es una experiencia aleatoria de tipo Binomial.
d
B
Por ejemplo las siguientes experiencias son de tipo Binomial: s=B+mv
SOCIALES
• Jugar 10 veces a cara o cruz .
• Observar 30 nacimientos de un beb´ (ni˜a o ni˜o)
e n n MaTEX
• Obtener el “4” en el lanzamiento de 15 dados.
Aleatorias
• Obtener “copas” al extraer una carta 8 veces de la baraja espa˜ola.
Variables
n
• La fabricaci´n de 1000 piezas en un factor´ (aceptable o defectuosa).
o ıa
• El resultado de 50 operaciones (´xito o fracaso).
e
• El lanzamiento a una canasta n veces (encestar o fallar).
Tabla N(0,1)
Doc Doc
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14. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 14 2º Bachillerato
r=A+lu
• N´meros combinatorios
u A
Lanzamos una moneda 5 veces. Sea el suceso C =“sacar cara” como “´xito”,y
e d
el suceso contrario X como “fracaso”. B
¿ De cu´ntas formas se puede presentar el suceso “sacar dos caras”?
a s=B+mv
SOCIALES
Es como colocar dos C en 5 casillas. La primera C dispone de 5 sitios,
luego la segunda dispone de 4 sitios. Eso har´ 5 · 4 = 20 posibilidades. Pero
ıa
5·4
MaTEX
como las caras C son indistinguibles dividimos por 2. Eso hace = 10.
Aleatorias
2
en efecto
Variables

CCXXX XCXCX  
CXCXX XCXXC 

5·4 5
CXXCX XXCCX = = 10
 2 2
CXXXC XXCXC  

XCCXX XXXCC

5
El n´mero combinatorio
u se lee 5 sobre 2 y se calcula de la forma siguiente:
2
5 5·4
= = 10 Tabla N(0,1)
2 2·1
Las formas de obtener 3 caras en los cinco lanzamientos corresponde de forma
a an´loga a
a
5 5·4·3 Doc Doc
= = 10
3 3·2·1
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15. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 15 2º Bachillerato
r=A+lu
Las formas de obtener 4 caras en seis lanzamientos de una moneda ser´
ıa A
6 6·5·4·3
= = 15 d
4 4·3·2·1 B
s=B+mv
Las formas de aparecer 5 defectuosas en 40 piezas fabricadas ser´
ıa SOCIALES
40
5
=
40 · 39 · 38 · 37 · 36
5·4·3·2·1
= 658008 MaTEX
Aleatorias
En general las formas de obtener k ´xitos en n intentos corresponde a
e
Variables
n n · (n − 1) · · · (n − k + 1)
= (5)
k k!
Para extender la f´rmula anterior se toma 0! = 1.
o
Ejercicio 4. Calcula los siguientes n´mero combinatorios
u
Tabla N(0,1)
4 6 8 10
a) b) c) d)
1 2 3 2
5 7 9 13
e) f) g) h)
0 3 4 2 Doc Doc
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16. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 16 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 2.1. En el lanzamiento de un dado Considera como “´xito” ele A
suceso E =“sacar un 4” y como fracaso el suceso contrario F con p = P (E) =
d
1 5
y q = P (F ) = . Queremos hallar la probabilidad de obtener un ´xito en
e B
6 6 s=B+mv
tres dados. Esto puede ocurrir como se muestra en la tabla SOCIALES
Dado 1 Dado 2 Dado 3 Probabilidad MaTEX
1 5 5
E F F · · = p q2
Aleatorias
6 6 6
Variables
5 1 5
F E F · · = p q2
6 6 6
5 5 1
F F E · · = p q2
6 6 6
3 p q2
3
Como hay formas distintas,la probabilidad de obtener un ´xito en tres
e
1
intentos es:
3
P (X = 1) = p q2
1
Tabla N(0,1)
Si generalizamos el ejemplo anterior obtenemos la distribuci´n bimomial.
o
Doc Doc
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17. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 17 2º Bachillerato
r=A+lu
2.1. Distribuci´n Binomial
o A
Definici´n 2.1 Una variable aleatoria X se llama binomial si su valor en
o d
igual al n´mero de ´xitos que ocurren en n pruebas independientes,teniendo
u e B
s=B+mv
todas ellas la misma probabilidad de ´xito, que designamos por p. Su funci´n
e o SOCIALES
de probabilidad es
n k n−k
MaTEX
P (X = k) = p (1 − p) , para k = 0, 1, . . . , n; (6)
Aleatorias
k
Variables
Si una variable X sigue la distribuci´n binomial de par´metros n y p suele
o a
designarse como
X ∼ B(n; p)
Las constantes n y p son los par´metros de la distribuci´n; obviamente, n 0
a o
es un n´mero entero y 0 ≤ p ≤ 1. La probabilidad de obtener fracaso es 1 − p
u
y se designa con al letra q de forma que p + q = 1.
El c´lculo de la media , la varianza y la desviaci´n t´
a o ıpica es algo laborioso
y resulta
Tabla N(0,1)
µ = n·p
σ2 = n · p · q (7)
√
σ = n·p·q
Doc Doc
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18. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 18 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 2.2. Tiramos una moneda 6 veces y contamos el n´mero de caras
u A
X. Hallar la funci´n de probabilidad y representarla.
o
d
Soluci´n: Se tiene que
o B
s=B+mv
SOCIALES
0.35
X es B(n = 6; p = 1/2)
p(X=k)
6
0.3
MaTEX
P (X = 0) = p0 q 6 = 0.0156 0.25
Aleatorias
0
0.2
Variables
6
P (X = 1) = p1 q 5 = 0.0938
1 0.15
6 0.1
P (X = 2) = p2 q 4 = 0.2344
2 0.05
6 3 3 0
P (X = 3) = p q = 0.3125 0 1 2 3 4 5 6
3 Nº de caras
6
P (X = 4) = p4 q 2 = 0.2344
4 1
µ = np = 10 =5
6 2
P (X = 5) = p5 q 1 = 0.0938 11
Tabla N(0,1)
5 σ 2 = npq = 10 = 2.5
6 22
P (X = 6) = p6 q 0 = 0.0156
6
Doc Doc
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19. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 19 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 2.3. Se extraen cinco bolas con reemplazamiento de una urna que A
tiene 6 bolas blancas y 8 negras. ¿Qu´ es mas probable, sacar 2 rojas o 3
e
d
rojas?. B
s=B+mv
Soluci´n: Sea ´xito sacar roja, con p = 6/14,
o e SOCIALES
Se tiene que
6
0.35
0.3
p(X=k) MaTEX
X es B(n = 5; p = )
Aleatorias
14 0.25
Variables
Probabilidad de sacar 2 bolas ro-
0.2
jas:
2 3 0.15
5 6 8
P (X = 2) =
2 14 14 0.1
= 0.3427 0.05
Probabilidad de sacar 3 bolas ro- 0 1 2 3 4 5
jas: Nº de bolas rojas
3 2
5 6 8
P (X = 3) = Tabla N(0,1)
3 14 14
= 0.2570
Es m´s probable obtener 2 rojas.
a
Doc Doc
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20. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 20 2º Bachillerato
r=A+lu
2.2. Ejercicios A
Ejercicio 5. La probabilidad de que cierto jugador de baloncesto enceste d
una canasta de 3 puntos es 0.3. ¿Cu´l es la probabilidad de que enceste,
a B
s=B+mv
exactamente dos canastas de cinco lanzamientos? SOCIALES
Ejercicio 6. La probabilidad de que un estudiante que ingresa en la Univer-
sidad se licencie en 5 a˜os es de 0.4. Se eligen al azar 10 estudiantes. Calcular
n
MaTEX
Aleatorias
la probabilidad de que:
Variables
a) ninguno se licencie en 5 a˜os.
n
b) todos se licencien en 5 a˜os.
n
c) un unico estudiante se licencie en 5 a˜os.
´ n
Ejercicio 7. Una m´quina produce 12 piezas defectuosas de cada mil que
a
fabrica. Hallar la probabilidad de que al examinar 40 piezas::
a) s´lo haya una defectuosa.
o
b) no haya ninguna defectuosa.
Ejercicio 8. En un grupo de 20 estudiantes de un instituto se ha comprobado Tabla N(0,1)
que cada alumno falta a clase el 4% de los d´
ıas. Calcular la probabilidad de
que en un d´ determinado:
ıa
a) no se registre ninguna falta.
b) falten a clase menos de tres estudiantes. Doc Doc
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21. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 21 2º Bachillerato
r=A+lu
c) falte a clase un unico estudiante.
´ A
Ejercicio 9. En una determinada ciudad, la probabilidad del nacimiento de d
una ni˜a es del 56%. Seleccionamos una familia de cinco hijos. Calcular la
n B
s=B+mv
probabilidad de que SOCIALES
a) tenga exactamente tres ni˜as.
b) tenga al menos dos ni˜as.
n
n
MaTEX
Aleatorias
c) ¿cu´l es el n´mero medio de hijas en las familias con cinco hijos?
a u
Variables
Ejercicio 10. A una fiesta han sido invitadas 8 personas. Cada persona
puede acudir o no con independencia de que lo hagan las dem´s. Si la prob-
a
abilidad de que acuda cada una es 0.85, calcular:
a) la probabilidad de asistan todas.
b) la probabilidad de asistan m´s de 6 personas.
a
c) la probabilidad de asista al menos la mitad.
Ejercicio 11. Si el 20% de las piezas producidas por una m´quina son defec-
a
tuosas, ¿cu´l es la probabilidad de que entre cuatro piezas elegidas al azar, a
a Tabla N(0,1)
lo sumo 2 sean defectuosas?
Ejercicio 12. La probabilidad de que un esquiador debutante se caiga en la
pista es 0,4. Si lo intenta 5 veces, calcula la probabilidad de que se caiga al
menos 3 veces. Doc Doc
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22. MATEMATICAS
Secci´n 3: Variable Aleatoria Continua
o 22 2º Bachillerato
r=A+lu
3. Variable Aleatoria Continua A
Diremos que una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier d
valor en un intervalo. Por ejemplo, el peso o la altura de una persona. Para B
s=B+mv
concretar, consideremos que representamos en un histograma las medida de SOCIALES
la alturas X de los chicos de 15 a˜os. Si tomamos m´s y m´s observaciones
n a a
y haciendo clases cada vez m´s finas, el histograma tender´ a una curva
a a MaTEX
que describir´ el comportamiento de la variable estudiada, como muestra la
a
Aleatorias
figura.
Variables
Eso hace pensar en una funci´n matem´tica f (x) que modelice la frecuen-
o a
cia relativa de la altura para la poblaci´n de los chicos de 15 a˜os.
o n
A dicha funci´n f (x) se le llama funci´n de densidad.
o o
y
f (x)
Tabla N(0,1)
1.53 1.83 x
altura Doc Doc
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23. MATEMATICAS
Secci´n 3: Variable Aleatoria Continua
o 23 2º Bachillerato
r=A+lu
Definici´n 3.1 Una variable aleatoria X se dice que es continua cuando
o A
tiene asociada una funci´n de densidad f (x) que cumple
o
d
1. f (x) ≥ 0 para todos los valores donde est´ definida.
a B
s=B+mv
∞
SOCIALES
2. f (x) dx = 1. (El ´rea bajo la curva es uno)
a
−∞
La probabilidad se determina con MaTEX
Aleatorias
b
P (a x b) = f (x) dx (8)
Variables
a
que corresponde al ´rea de la regi´n limitada por f (x), el eje x y las rectas
a o
x=ayx=b
y
f (x)
Tabla N(0,1)
a b x
P (a x b) Doc Doc
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24. MATEMATICAS
Secci´n 3: Variable Aleatoria Continua
o 24 2º Bachillerato
r=A+lu
3.1. Funci´n de Distribuci´n
o o A
Definici´n 3.2 Es la aplicaci´n FX (x) que asigna a cada valor x de la vari-
o o d
able aleatoria continua X la probabilidad de que la variable tome valores B
s=B+mv
menores o iguales que x SOCIALES
FX (x) = P (X ≤ x) (9)
MaTEX
Ejemplo 3.1. Hallar la funci´n de distribuci´n de la variable aleatoria con-
o o
Aleatorias
tinua X que tiene por funci´n de densidad.
o
Variables
2x 0 x 1
f (x) =
0 en el resto
Soluci´n: De la definici´n (9) se tiene
o o
x f(x)
F (x) =P (X ≤ x) = 2x dx 2
0
x · 2x
=´rea del tri´ngulo gris =
a a = x2 2x
2
F (x) = x2 0x1 Tabla N(0,1)
x 1 X
Doc Doc
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25. MATEMATICAS
Secci´n 3: Variable Aleatoria Continua
o 25 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 3.2. La variable aleatoria X del ejemplo anterior tiene como funci´n
o A
de distribuci´n
o
d
F (x) = x2 0x1 B
s=B+mv
Hallar las siguientes probabilidades: SOCIALES
a) P (x 0.5) b) P (x 0.2) c) P (0.2 x 0.5)
d ) P (x 0.5) e) P (x 0.2) f ) P (0.1 x 0.8) MaTEX
Aleatorias
Soluci´n:
o
Variables
a) P (x 0.5) = F (0.5) = 0.52 = 0.25
b) P (x 0.2) = F (0.2) = 0.22 = 0.04
c) P (0.2 x 0.5) = F (0.5) − F (0.2) = 0.25 − 0.04 = 0.21
d ) P (x 0.5) = 1 − F (0.5) = 1 − 0.25 = 0.75
e) P (x 0.2) = 1 − F (0.2) = 1 − 0.04 = 0.96
f ) P (0.1 x 0.8) = F (0.8) − F (0.1) = 0.64 − 0.01 = 0.63
Para hallar P (a x ≤ b) utilizamos la expresi´n:
o Tabla N(0,1)
P (a x ≤ b) = FX (b) − FX (a) (10)
Doc Doc
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26. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 26 2º Bachillerato
r=A+lu
4. La Distribuci´n Normal
o A
La funci´n de distribuci´n normal juega un papel central en la estad´
o o ıstica ya d
que, adem´s de sus interesantes propiedades de reproductividad y de aprox-
a B
s=B+mv
imaci´n de otras distribuciones, sirve para modelizar una gran cantidad de
o SOCIALES
situaciones pr´cticas.
a
Definici´n 4.1 Distribuci´n Normal. Una variable aleatoria X se dice
o o MaTEX
que tiene una distribuci´n de probabilidades normal con media µ y varianza
o
Aleatorias
σ 2 y se denomina N (µ, σ 2 ) si su funci´n de densidad es de la forma:
o
Variables
(x − µ)2
1 −
f (x) = √ e 2σ 2 , −∞ x ∞.
σ 2π
La media y varianza de una variable normal coinciden con los par´metros µ
a
y σ 2 de la misma.
En la figura se muestra la
funci´n de densidad y se
o
aprecia que es sim´trica re-
e
specto de x = µ y los Tabla N(0,1)
puntos de inflexi´n de la
o
funci´n de densidad se en-
o
cuentran a una distancia σ µ−σ µ µ+σ z
de la media.
Doc Doc
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27. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 27 2º Bachillerato
r=A+lu
En la figura se muestran dos distribuciones normales, con media µ = 0 y A
desviaciones t´
ıpicas σ = 1 y σ = 0.5. Como las dos tienen la misma media
d
µ = 0, la funci´n roja es mas alargada pues tiene menos variabilidad que la
o B
azul. s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Aleatorias
Variables
Tabla N(0,1)
-3 -2 -1 0 1 2 3 Doc Doc
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28. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 28 2º Bachillerato
r=A+lu
4.1. La normal N (0; 1) A
Primero estudiaremos la normal t´ ıpica, que tiene media µ = 0 y desviaci´n
o d
t´
ıpica σ = 1, N (0; 1) y se designa con la letra z. B
s=B+mv
SOCIALES
Para calcular las probabilidades
P (Z ≤ z0 ) = Φ(z0 ) MaTEX
se dise˜a una tabla que pro-
n Φ(z0 )
Aleatorias
porciona las respectivas probabil-
Variables
idades. z0 z
• Manejo de la tabla
A partir de este momento cuando necesites calcular probabilidades con la
normal N (0; 1), pulsa en el icono de la derecha
Tabla N(0,1)
y luego regresas al lugar donde estabas con el icono de la derecha
Volver Tabla N(0,1)
Ahora vas a aprender a a manejar la tabla N (0; 1).
Doc Doc
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29. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 29 2º Bachillerato
r=A+lu
Caso I P (Z ≤ z0 ) y z0 es positivo. A
Para calcular P (Z ≤ 1.25) = Φ(1.25), procedemos de la siguiente forma.
d
Buscamos en la tabla de la N (0; 1) el valor 1.25. En la primera columna B
de la tabla se busca el valor 1.2 y en esta fila nos desplazamos hasta la s=B+mv
SOCIALES
columna con cabecera 0.05, obteniendo el valor 0.8944.
Caso II P (Z ≤ −z0 ) y −z0 es negativo. MaTEX
Se utiliza por simetr´ la siguiente propiedad
ıa
Aleatorias
P (Z ≤ −z0 ) = Φ(−z0 ) = 1 − Φ(z0 )
Variables
Para calcular P (Z ≤ −1.34) = 1 − Φ(1.34), procedemos de la misma
forma. Buscamos en la tabla de la N (0; 1) el valor 1.34. En la primera
columna de la tabla se busca el valor 1.3 y en esta fila nos desplazamos
hasta la columna con cabecera 0.04, obteniendo el valor 0.9099. Luego
P (Z ≤ −1.34) = 1 − Φ(1.34) = 1 − 0.9099 = 0, 0901
Caso III P (z0 ≤ Z ≤ z1 )
Se calcula Φ(z1 ) y Φ(z0 ) y se restan, por la f´rmula
o
P (z0 ≤ Z ≤ z1 ) = Φ(z1 ) − Φ(z0 ) Tabla N(0,1)
As´ por ejemplo
ı
P (1.25 ≤ Z ≤ 1.34) = Φ(1.34) − Φ(1.25) = 0.9099 − 0.8944 = 0, 0155
Doc Doc
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30. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 30 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 4.1. Si z es normal Nz (0; 1) hallar: A
P (z ≤ 0) P (z ≤ 1) P (z ≤ 2) d
B
Soluci´n:
o s=B+mv
SOCIALES
Utiliza la Tabla N(0,1) MaTEX
Aleatorias
Variables
P (z ≤ 0) = Φ(0) = 0.5
Φ(0)
0 z
P (z ≤ 1) = Φ(1) = 0.8413
Φ(1)
1 z
P (z ≤ 2) = Φ(2) = 0.97725 Tabla N(0,1)
Φ(2)
2 z Doc Doc
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31. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 31 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 4.2. Si z es normal Nz (0; 1) hallar: A
P (z ≤ −1) P (z 1) P (z 2) d
B
Soluci´n:
o s=B+mv
SOCIALES
Utiliza la Tabla N(0,1) MaTEX
Aleatorias
Φ(−1)
Variables
P (z ≤ −1) = Φ(−1) = 1−Φ(1) = 0.1587
−1 z
P (z 1) = 1 − Φ(1) = 0.1587
Φ(1)
1 z
P (z 2) = 1 − Φ(2) = 0.02275 Tabla N(0,1)
Φ(2)
2 z Doc Doc
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32. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 32 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 4.3. Si z es normal Nz (0; 1) hallar: A
P (−1 z 1) P (0 z 2) P (1 z 2) d
B
Soluci´n:
o s=B+mv
SOCIALES
Utiliza la Tabla N(0,1) MaTEX
Aleatorias
Variables
P (−1 z 1) =Φ(1) − Φ(−1)
=2 Φ(1) − 1
=0, 6826
−1 1 z
P (0 z 2) =Φ(2) − Φ(0) =
=0.97725 − 0.5
=0, 47725
0 2 z
Tabla N(0,1)
P (1 z 2) =Φ(2) − Φ(1)
=0, 13595
1 2 z Doc Doc
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33. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 33 2º Bachillerato
Ahora vas a manejar la tabla en forma inversa. Nos dan la probabilidad
r=A+lu
A
y calculamos el valor de la variable z0 que acumula dicha probabilidad.
d
Ejemplo 4.4. Hallar z0 de la normal Nz (0; 1) en cada caso: B
s=B+mv
SOCIALES
P (z z0 ) = 0.7019 P (z z1 ) = 0.8997 P (z z2 ) = 0.9625
Soluci´n:
o MaTEX
Utiliza la Tabla N(0,1)
Aleatorias
Variables
• Φ(z0 ) = 0.7019, se busca en la parte central de la tabla normal Nz (0; 1)
la probabilidad 0.7019, observando su fila 0.5 y su columna 0.03, luego
Φ(z0 ) = 0.7019 =⇒ z0 = 0.53
• Φ(z1 ) = 0.8997, se busca en la parte central de la tabla normal Nz (0; 1)
la probabilidad 0.8997, observando su fila 1.2 y su columna 0.08, luego
Φ(z1 ) = 0.8997 =⇒ z1 = 1.28
• Φ(z2 ) = 0.9625, se busca en la parte central de la tabla normal Nz (0; 1)
la probabilidad 0.9625, observando su fila 1.7 y su columna 0.08, luego
Tabla N(0,1)
Φ(z2 ) = 0.9625 =⇒ z2 = 1.78
Doc Doc
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34. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 34 2º Bachillerato
r=A+lu
• Tipificar una variable normal A
Cuando tenemos una variable normal N (µ; σ), para calcular las probabil- d
idades se efect´a un cambio de variable que la convierte en una del tipo
u B
s=B+mv
N (0; 1): SOCIALES
X −µ
X ∼ N (µ; σ) =⇒ Z = ∼ N (0; 1)
σ
A esta variable se la llama normalizada o tipificada. De esta forma, s´lo es
o
MaTEX
Aleatorias
necesario disponer de la tabla correspondiente a la N (0, 1) para realizar un
c´lculo dado, ya que
a
Variables
x0 − µ
PX (X ≤ x0 ) = PZ Z ≤ .
σ
Ejemplo 4.5. Si X es normal N (5; 2) hallar P (X 8).
Soluci´n:
o
Tipificamos
X −5 8−5
P (X 8) =P
2 2 Tabla N(0,1)
=P (z 1.5) = Φ(1.5)
=0.9332 5 8 X
Doc Doc
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35. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 35 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 4.6. Si X es normal N (5; 2) hallar: Utiliza la Tabla N(0,1) A
P (X 8) P (X 2) P (2 X 8) d
B
s=B+mv
Soluci´n:
o SOCIALES
P (X 8) =P
X −5
8−5 MaTEX
2 2
Aleatorias
=P (z 1.5) = Φ(1.5)
Variables
=0.9332 5 8 X
X −5 2−5
P (X 2) =P
2 2
=P (z −1.5)
=1 − Φ(1.5) = 0.0668
2 5 X
2−5 8−5
P (2 X 8) =P z
2 2
=P (−1.5 z 1.5)
Tabla N(0,1)
=Φ(1.5) − Φ(−1.5)
=0.8664
2 5 8 X
Doc Doc
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36. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 36 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 13. En una distribuci´n normal N (18; 4), hallar las siguientes
o A
probabilidades:
d
a) P (x 18)
B
b) P (x 20) s=B+mv
SOCIALES
c) P (x 16, 5)
d) P (x 11)
e) P (19 x 23)
MaTEX
f ) P (11 x 25)
Aleatorias
Variables
Utiliza la Tabla N(0,1)
Ejercicio 14. En la distribuci´n normal Nz (0; 1), hallar el valor de z0 en
o
cada caso
a) P (z z0 ) = 0.50
b) P (z z0 ) = 0.8729 Tabla N(0,1)
c) P (z z0 ) = 0.3300
d) P (z z0 ) = 0.9015
e) P (z z0 ) = 0.9971
f ) P (z z0 ) = 0.1190 Doc Doc
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37. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 37 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 4.7. Si la estatura X de 500 estudiantes es normal de media 172 A
cm y desviaci´n t´
o ıpica 5 cm, hallar el n´mero de estudiantes con estatura
u
d
a) entre 170 y 175 cm b) mayor de 180 cm B
s=B+mv
SOCIALES
Soluci´n:
o
Por comodidad, tipificamos los valores que vamos a usar
170 − 172 175 − 172 180 − 172
MaTEX
z1 = = −0.4 z2 = = 0.6 z3 = = 1.6
Aleatorias
5 5 5
Variables
P (170 X 175) =P (−0.4 z 0.6)
=Φ(0.6) − Φ(−0.4)
=0.3811
N = 500 × 0.3811 ≈ 190 estudiantes −0.4 0.6 z
P (X 180) =P (z 1.6)
=1 − Φ(1.6) Tabla N(0,1)
=0.0548
N = 500 × 0.0548 ≈ 27 estudiantes 1.6 z
Doc Doc
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38. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 38 2º Bachillerato
r=A+lu
4.2. Ejercicios A
Ejercicio 15. La temperatura T durante el mes de mayo est´ distribuida de
a d
forma normal con media 21o y desviaci´n t´
o ıpica 4o . Hallar el n´mero de d´
u ıas B
s=B+mv
esperados en que haya una temperatura entre 19o y 23o . SOCIALES
Ejercicio 16. El tiempo en d´ de duraci´n de los focos producidos por una
ıas o
empresa, es una variable normal de media 780 y desviaci´n t´
o ıpica de 40 d´ıas.
MaTEX
Aleatorias
Calc´lese el porcentaje de focos con una duraci´n superior a 800 d´
u o ıas.
Variables
Ejercicio 17. Los pesos de los individuos de una poblaci´n se distribuyen
o
normalmente con media 70 kg y desviaci´n t´
o ıpica 5 kg. Calcular:
a) La probabilidad de que el peso de un individuo est´ comprendido entre
e
65 y 80 kg.
b) La probabilidad de que un individuo pese m´s de 100 kg.
a
Ejercicio 18. En una panader´ se cortan panecillos con un peso que se
ıa
ajusta a una variable normal de media 100 g y desviaci´n t´
o ıpica 9 g. ¿Cu´l a
es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso oscile entre 80 g y la
media? Tabla N(0,1)
Ejercicio 19. La distribuci´n de la duraci´n de un embarazo en mujeres
o o
es aproximadamente normal con media 266 d´ y desviaci´n t´
ıas o ıpica 16 d´
ıas.
Calcular:
Doc Doc
a) La probabilidad de que un embarazo dure m´s de 242 d´
a ıas.
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39. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 39 2º Bachillerato
r=A+lu
b) El 20% de los embarazos duran menos de ¿cu´ntos d´
a ıas? A
c) El 50% de los embarazos duran menos de ¿cu´ntos d´
a ıas? d
B
Ejercicio 20. Una empresa instala en una ciudad 20.000 bombillas. La du- s=B+mv
SOCIALES
raci´n de una bombilla sigue una distribuci´n normal con media 302 d´ y
o o ıas
desviaci´n t´
o ıpica 40 d´
a
ıas. Calcular:
a) ¿Cu´ntas bombillas se espera que se fundan antes de 365 d´
ıas?
MaTEX
Aleatorias
b) ¿Cu´ntas bombillas durar´n m´s de 400 d´
a a a ıas?
Variables
Ejercicio 21. Una compa˜´ de autobuses conoce que el retraso en la llegada
nıa
sigue una ley normal con media 5 minutos, y que el 68.26% de los autobuses
llega con un retraso comprendido entre los 2 y los 8 minutos:
a) ¿Cu´l es la desviaci´n t´
a o ıpica?.
b) ¿Cu´l es la probabilidad de que un autob´s llegue antes de la hora?.
a u
c) ¿Cu´l es la probabilidad de que un autob´s se retrase de m´s de 10
a u a
minutos?.
Ejercicio 22. Cierto tipo de bater´ dura un promedio de 3 a˜os, con una
ıa n
Tabla N(0,1)
desviaci´n t´
o ıpica de 0,5 a˜os. Suponiendo que la duraci´n de las bater´ es
n o ıas
una variable normal:
a) ¿Qu´ porcentaje de bater´ se espera que duren entre 2 y 4 a˜os?.
e ıas n
b) Si una bater´ lleva funcionando 3 a˜os, ¿ cu´l es la probabilidad de
ıa n a Doc Doc
que dure menos de 4,5 a˜os?
n
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40. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 40 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 23. En un examen de matem´ticas, en el que se ha evaluado de
a A
0 a 20 puntos, el 67% de los alumnos ha obtenido una puntuaci´n igual o
o
d
menor que 12,2 y el 9% ha obtenido puntuaci´n superior a 16,7. Suponiendo
o B
que la distribuci´n de las puntuaciones sea normal, calcular su media y su
o s=B+mv
SOCIALES
desviaci´n t´
o ıpica.
Ejercicio 24. Un estudio de un fabricante de televisores indica que la du- MaTEX
raci´n media de un televisor es de 10 a˜os, con una desviaci´n t´
o n o ıpica de
Aleatorias
0,7 a˜os. Suponiendo que la duraci´n media de los televisores sigue una
n o
Variables
distribuci´n normal,
o
a) Calcula la probabilidad de que un televisor dure m´s de 9 a˜os.
a n
b) Calcula la probabilidad de que dure entre 9 y 11
Tabla N(0,1)
Doc Doc
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41. MATEMATICAS
Secci´n 5: Aproximaci´n de la distribuci´n binomial por la normal
o o o 41 2º Bachillerato
r=A+lu
5. Aproximaci´n de la distribuci´n binomial por la normal
o o A
Supongamos que X en una variable aleatoria con distribuci´n de probabil-
o d
idad binomial B(n, p) y que el par´metro n tiende a infinito mientras que
a B
s=B+mv
el par´metro p permanece constante. Entonces, puede demostrarse que la
a SOCIALES
funci´n de distribuci´n 1 de la variable aleatoria
o o
Z=
X − np
(11)
MaTEX
np(1 − p)
Aleatorias
Variables
tiende a la funci´n de distribuci´n normal est´ndar. Esto justifica que, si
o o a
np 5 y np(1 − p) 5, se use la aproximaci´n
o
x − np
FX (x) Φ , para x = 0, 1, . . . , n. (12)
np(1 − p)
La aproximaci´n (12) puede mejorarse con la llamada correcci´n por con-
o o
tinuidad, de forma que
x − np + 0.5
FX (x) Φ , para x = 0, 1, . . . , n. (13)
np(1 − p)
Tabla N(0,1)
1 Doc Doc
Debe notarse que la funci´n de probabilidad binomial no tiende a la funci´n de den-
o o
sidad normal est´ndar.
a
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42. MATEMATICAS
Secci´n 5: Aproximaci´n de la distribuci´n binomial por la normal
o o o 42 2º Bachillerato
r=A+lu
A
El gr´fico muestra como se
a 0.35
aproxima la binomial a la 0.3
n=12 d
normal, a medida que n au- n=18
B
s=B+mv
0.25
menta n=24
SOCIALES
0.2
0.15
n=30 MaTEX
n=60
Aleatorias
0.1
Variables
0.05
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1
Ejemplo 5.1. Sea X binomial B 100; que tiene de media µ = np = 50
2
√ 1 1
yσ= npq = 100 · · = 5. Si aproximamos por una normal N (50; 5),
2 2
se tiene
• Con la Binomial el valor exacto es P (X ≤ 55) = 0.8644
Tabla N(0,1)
• Con la aproximaci´n por la normal el valor es
o
55.5 − 50
P (X ≤ 55) =P z≤ = Φ (1.1) = 0.8643
5
Doc Doc
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