Diagonalización de matrices

1. Tema
3
Diagonalizaci´on de
matrices
3.1 Matrices semejantes. El problema de la diago-
nalizaci´on
Definici´on 3.1 Diremos que dos matrices A y B de orden n son semejantes
cuando existe una matriz P de orden n invertible, es decir, |P| = 0, tal que
B = P−1
A P.
Ejemplo 3.1 Sean A =
1 2
0 1
y B =
0 1
−1 2
. Se verifica que A y B
son matrices semejantes ya que existe P =
1 1
−1 1
tal que
P−1
A P =




1
2
−
1
2
1
2
1
2




1 2
0 1
1 1
−1 1
=
0 1
−1 2
= B.
Proposici´on 3.1 Si A, B ∈ Mn(R) son matrices semejantes (B = P−1
A P),
entonces se verifica:
1. |A| = |B|,
2. Bk
= P−1
Ak
P para todo k ∈ N, es decir, Ak
y Bk
son, tambi´en, matrices
semejantes.
29

2. 30 Diagonalizaci´on de matrices
3.2 Autovalores y autovectores de una matriz
cuadrada
Definici´on 3.2 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Diremos que un n´umero
λ es un autovalor o valor propio de A si existe X =





x1
x2
...
xn





∈ Mn×1,
X =





0
0
...
0





, tal que A X = λ X.
Definici´on 3.3 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Diremos que X =




x1
x2
...
xn





∈ Mn×1, X =





0
0
...
0





, es autovector o vector propio de A asociado
al autovalor λ si se verifica que A X = λ X.
Ejemplo 3.2 Sea la matriz A
A =
1 1
0 2
se verifica que
1 1
0 2
1
1
= 2
1
1
,
por tanto podemos asegurar que 2 es un autovalor de la matriz A y que
1
1
es un autovector asociado al autovalor 2.
3.3 C´alculo de autovalores y autovectores
3.3.1 C´alculo de autovalores: polinomio caracter´ıstico
Proposici´on 3.2 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se verifica que:
λ es un autovalor de A si y s´olo si det(A − λ I) = 0,
donde I representa la matriz unidad de orden n.

3. 3.3 C´alculo de autovalores y autovectores 31
Definici´on 3.4 A la expresi´on pA(λ) = det(A − λ I) se le llama polinomio
caracter´ıstico de la matriz A. A la ecuaci´on pA(λ) = det(A − λ I) = 0 se le
denomina ecuaci´on caracter´ıstica de la matriz A.
Por tanto, podemos decir que los autovalores de una matriz A son las ra´ıces de
su polinomio caracter´ıstico o las soluciones de su ecuaci´on caracter´ıstica.
Ejemplo 3.3 Hallar los autovalores de la matriz A =


1 2 0
−1 3 1
0 1 1

.
Para hallar sus autovalores tendremos que resolver su ecuaci´on caracter´ıstica.
En este caso:
1 − λ 2 0
−1 3 − λ 1
0 1 1 − λ
= (1−λ)2
(3−λ)+(1−λ) = (1−λ)[(1−λ)(3−λ)+1] =
= (1 − λ)(λ − 2)2
= 0.
Por tanto, los autovalores de A ser´an: λ1 = 1 y λ2 = 2.
Si λ es una ra´ız m´ultiple del polinomio caracter´ıstico con orden de multiplicidad
k, se dice que λ es autovalor m´ultiple de A y que su multiplicidad algebraica es
k. Cuando k = 1, diremos que el autovalor λ es simple.
Ejemplo 3.4 En el ejemplo anterior tenemos que λ1 = 1 es un autovalor simple
y que el autovalor λ2 = 2 es un autovalor de multiplicidad algebraica 2.
3.3.2 C´alculo de autovectores
Sea A una matriz cuadrada de orden n y sea λ un autovalor de A. Si X =




x1
x2
...
xn





∈ Mn×1 es un autovector de A asociado al autovalor λ, entonces X es
soluci´on no trivial del sistema homog´eneo
(A − λ I)





x1
x2
...
xn





=





0
0
...
0





.
De aqu´ı se deduce que para calcular los autovectores asociados a λ lo que hay que
hacer es resolver el sistema homog´eneo asociado (A − λ I)X = Θ, que, por ser λ

4. 32 Diagonalizaci´on de matrices
autovalor de A (det(A − λ I) = 0), siempre va a ser compatible indeterminado
con soluciones distintas a la trivial. Cada una de las soluciones no triviales es
un autovector asociado a λ.
Ejemplo 3.5 Hallar los autovectores de la matriz A =


1 2 0
−1 3 1
0 1 1

.
Para dicha matriz vimos que sus autovalores eran λ1 = 1 y λ2 = 2 (doble).
Tenemos que calcular los autovectores asociados a ambos autovalores:
λ1 = 1:
(A − I) X = Θ ⇐⇒


1 − 1 2 0
−1 3 − 1 1
0 1 1 − 1




x1
x2
x3

 =


0
0
0


⇐⇒
2x2 = 0,
−x1 + 2x2 + x3 = 0,
cuyas soluciones son x1 = x3, x2 = 0. Por tanto, los autovectores ser´an de la
forma


α
0
α

 con α ∈ R y α = 0.
λ2 = 2:
(A − 2 I) X = Θ ⇐⇒


1 − 2 2 0
−1 3 − 2 1
0 1 1 − 2




x1
x2
x3

 =


0
0
0


⇐⇒
−x1 + 2x2 = 0,
−x1 + x2 + x3 = 0,
cuyas soluciones son x1 = 2x2, x3 = x2. Por tanto, los autovectores ser´an de la
forma


2α
α
α

 con α ∈ R y α = 0.
3.4 Propiedades de los autovalores y autovec-
tores
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se verifican las siguientes propiedades:
1. A cada autovector o vector propio X =





x1
x2
...
xn





∈ Mn×1 de A le corres-
ponde un ´unico autovalor o valor propio λ.

5. 3.5 Diagonalizaci´on en el campo real de una matriz cuadrada 33
2. Cada autovalor λ de A tiene infinitos autovectores asociados.
3. Si X1
=





x1
1
x1
2
...
x1
n





, X2
=





x2
1
x2
2
...
x2
n





, · · · , Xk
=





xk
1
xk
2
...
xk
n





son autovectores
asociados a los autovalores λ1, λ2, · · · , λk, (k ≤ n), todos distintos, de cier-
ta matriz A ∈ Mn(R), entonces se tiene que r





x1
1 x2
1 · · · xk
1
x1
2 x2
2 · · · xk
2
...
...
...
...
x1
n x2
n · · · xk
n





= k.
3.5 Diagonalizaci´on en el campo real de una ma-
triz cuadrada
Definici´on 3.5 Una matriz A ∈ Mn(R) se dice que es diagonalizable en el
campo real si es semejante a una matriz diagonal D ∈ Mn(R), es decir, si
existe una matriz invertible P ∈ Mn(R) tal que
D = P−1
A P.
El problema de la diagonalizaci´on consiste en, dada una matriz cuadrada A,
estudiar qu´e condiciones debe verificar A para que exista una matriz diagonal D
que sea semejante a ella.
Teorema 3.3 La condici´on necesaria y suficiente para que una matriz A ∈
Mn(R) sea diagonalizable es que:
1. El polinomio caracter´ıstico de A tenga todas sus ra´ıces reales. Es decir,
todos los autovalores λ de A sean reales.
2. Podamos encontrar n autovectores, Pj ∈ Mnx1(R), de A tales que la matriz
P = P1 P2 · · · Pn sea inversible, es decir, |P| = 0.
Entonces caso de ser la matriz diagonalizable, la matriz semejante D ser´ıa
D =





λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · λn





,
siendo λ1, . . . , λn los autovalores de A y la matriz P tal que P−1
A P = D ser´ıa

6. 34 Diagonalizaci´on de matrices
P =





p11 p12 · · · p1n
p21 p22 · · · p2n
...
...
...
...
pn1 pn2 · · · pnn





donde cada Pj =





p1j
p2j
...
pnj





es un autoverctor asociado al autovalor λj, j =
1, · · · , n.
A la hora de plantear la diagonalizaci´on de una matriz se pueden presentar los
siguientes casos:
1. El polinomio caracter´ıstico de A tiene ra´ıces que no son reales. Entonces,
y seg´un el resultado anterior, la matriz A no es diagonalizable.
2. El polinomio caracter´ıstico de A tiene todas sus ra´ıces reales. Podemos, a
su vez, distinguir dos casos:
(a) Todas las ra´ıces de pA(λ) son distintas, es decir, todos los autovalores
de A son reales y distintos y, por tanto, simples. Entonces, usando
la propiedad (3) de autovalores y autovectores, podemos encontrar
n autovectores de A, Pj =





p1j
p2j
...
pnj





j = 1, · · · , n, uno por cada
autovalor, de manera que la matriz P = P1 P2 · · · Pn tenga
rango n. Por tanto, |P| = 0 y existir´a P−1
. En este caso, la matriz
A es diagonalizable.
(b) El polinomio caracter´ıstico de A, pA(λ), tiene ra´ıces m´ultiples. Por
ejemplo, supongamos que λ es una ra´ız de orden de multiplicidad k.
Entonces, si n − r(A − λI) = k, podemos encontrar k soluciones,
Pj =





p1j
p2j
...
pnj





j = 1, · · · , k, del sistema (A− λ I)X = Θ tales que la
matriz P1 P2 · · · Pk tenga rango k. Si esto ocurre con cada
autovalor m´ultiple, la matriz A es diagonalizable. Por tanto, en el caso
de autovalores m´ultiples, la matriz A es diagonalizable si para cada
autovalor λ de A con multiplicidad k se verifica que n−r(A−λI) = k.

7. 3.5 Diagonalizaci´on en el campo real de una matriz cuadrada 35
Ejemplos: Estudiar si son diagonalizables o no las siguientes matrices:
Ejemplo 3.6 Sea A ∈ M3(R)
A =


1 2 0
−1 3 1
0 1 1


entonces tenemos que:
pA(λ) = (1 − λ)(λ − 2)2
.
1. λ = 1, 2(doble) ∈ R, es decir, los autovalores son todos reales.
2. 3 − r(A − I) = 1, que coincide con la multiplicidad del autovalor λ = 1.
3−r(A−2I) = 1, que no coincide con la multiplicidad del autovalor λ = 2,
que es 2.
Entonces, la matriz A no es diagonalizable.
Ejemplo 3.7 Sea A ∈ M3(R)
A =


1 −1 −1
1 −1 0
1 0 −1


entonces tenemos que:
pA(λ) = −(1 + λ)(λ2
+ 1) :
Los autovalores de la matriz A son λ = 1, i, −i y como todos no son reales,
entonces la matriz A no es diagonalizable en R.
Ejemplo 3.8 Sea A ∈ M3(R)
A =


5 0 −4
0 3 0
2 0 −1


entonces tenemos que:
pA(λ) = (λ − 3)2
(1 − λ).
1. λ = 3(doble), 1 ∈ R, es decir, los autovalores son todos reales.
2. 3 − r(A − 3I) = 2, que coincide con la multiplicidad del autovalor λ = 3
que es 2.
3 − r(A − I) = 1, que tambi´en coincide con la multiplicidad del autovalor.

8. 36 Diagonalizaci´on de matrices
Luego la matriz A es diagonalizable.
Una matriz diagonal semejante a A podr´ıa ser D =


3 0 0
0 3 0
0 0 1

.
Para determinar la matriz P tal que D = P−1
AP, tendremos que resolver los
sistemas asociados a cada uno de los autovalores.
λ = 3:


5 − 3 0 −4
0 3 − 3 0
2 0 −1 − 3




x
y
z

 =


2 0 −4
0 0 0
2 0 −4




x
y
z

 =


0
0
0

 ⇐⇒
⇐⇒ x − 2z = 0.
Los autovectores son


2α
β
α

 con α, β ∈ R, no simult´aneamente cero. De todos
los autovectores elegimos dos, de la siguiente manera:
• α = 1 y β = 0 =⇒ P1 =


2
0
1

.
• α = 0 y β = 1 =⇒ P2 =


0
1
0

.
λ = 1:


5 − 1 0 −4
0 3 − 1 0
2 0 −1 − 1




x
y
z

 =


4 0 −4
0 2 0
2 0 −2




x
y
z

 =


0
0
0

 ⇐⇒
⇐⇒
x − z = 0
y = 0
Los autovectores son


α
0
α

 con α ∈ R y α = 0. De todas las posibles autovec-
tores elegimos : α = 1 =⇒ P3 =


1
0
1

.
La matriz P podr´ıa ser P =


2 0 1
0 1 0
1 0 1

. Se puede comprobar que P−1
A P =
D.

9. 3.5 Diagonalizaci´on en el campo real de una matriz cuadrada 37
Ejemplo 3.9 Sea A ∈ M3(R)
A =


1 2 0
0 2 0
1 1 3


entonces tenemos que:
pA(λ) = (3 − λ)(1 − λ)(2 − λ)
λ = 1, 2, 3 ∈ R, es decir, los autovalores son todos reales y distintos. La matriz
A es diagonalizable.
Una matriz diagonal semejante a A podr´ıa ser D =


1 0 0
0 2 0
0 0 3

.
Para determinar la matriz P tal que D = P−1
AP, tendremos que resolver los
sistemas asociados a cada uno de los autovalores.
λ = 1:


1 − 1 2 0
0 2 − 1 0
1 1 3 − 1




x
y
z

 =


0 2 0
0 1 0
1 1 2




x
y
z

 =


0
0
0

 ⇐⇒
⇐⇒
y = 0
x + 2z = 0
cuyas soluciones son


−2α
0
α

 con α ∈ R y α = 0. De todos los posibles
autovectores elegimos uno:
α = 1 =⇒ P1 =


−2
0
1


λ = 2:


1 − 2 2 0
0 2 − 2 0
1 1 3 − 2




x
y
z

 =


−1 2 0
0 0 0
1 1 1




x
y
z

 =


0
0
0

 ⇐⇒
⇐⇒
−x + 2y = 0,
x + y + z = 0.
.
Los autovectores son


2α
α
−3α

 con α ∈ R y α = 0. De todos los posibles
autovectores elegimos uno:

10. 38 Diagonalizaci´on de matrices
α = 1 =⇒ P2 =


2
1
−3

.
λ = 3:


1 − 3 2 0
0 2 − 3 0
1 1 3 − 3




x
y
z

 =


−2 2 0
0 −1 0
1 1 0




x
y
z

 =


0
0
0

 ⇐⇒
⇐⇒
x = 0,
y = 0.
Los autovectores son


0
0
α

 con α ∈ R y α = 0. De todos los posibles autovec-
tores elegimos uno:
α = 1 =⇒ P3 =


0
0
1

.
La matriz P podr´ıa ser P =


−2 2 0
0 1 0
1 −3 1

. Se puede comprobar que
P−1
AP = D.
Ejemplo 3.10 Sea la matriz A =


−3 −1 4
−2 a 4
−2 −1 3

. Se pide:
(a) Hallar el valor de a para que λ = 0 sea autovalor de A.
(b) Para a = −2:
(b1) Hallar autovalores y autovectores asociados.
(b2) Estudiar si es diagonalizable y, en caso afirmativo, hallar una matriz
P ∈ M3 tal que P−1
AP sea diagonal.
(b3) Hallar A16
.
Resoluci´on
(a) λ = 0 es autovalor de A si y s´olo si |A − 0I| = 0 ⇐⇒ |A| = 0.
|A| =
−3 −1 4
−2 a 4
−2 −1 3
= −a − 2 = 0 ⇐⇒ a = −2.

11. 3.5 Diagonalizaci´on en el campo real de una matriz cuadrada 39
(b) a = −2 =⇒A =


−3 −1 4
−2 −2 4
−2 −1 3

.
(b1) Autovalores y autovectores asociados.
Autovalores: |A − λI| = 0.
|A − λI| =
−3 − λ −1 4
−2 −2 − λ 4
−2 −1 3 − λ
= −λ−2λ2
−λ3
= −λ (1 + λ)2
.
Por tanto, los autovalores son: λ = 0 (simple) y λ = −1 (doble).
Autovectores:
• Para λ = 0 (simple):
A


x
y
z

 =


0
0
0

 ⇐⇒


−3 −1 4
−2 −2 4
−2 −1 3




x
y
z

 =


0
0
0

 ⇐⇒
−3x − y + 4z = 0
x + y − 2z = 0
⇐⇒ x = z e y = z. Por tanto, los autovec-
tores asociados son de la forma


z
z
z

 con z ∈ R y z = 0.
• Para λ = −1 (doble):
(A+I)


x
y
z

 =


0
0
0

 ⇐⇒


−2 −1 4
−2 −1 4
−2 −1 4




x
y
z

 =


0
0
0


⇐⇒ −2x−y +4z = 0 ⇐⇒ y = −2x+4z. Por tanto, los autovec-
tores asociados son de la forma


x
−2x + 4z
z

 = x


1
−2
0

 +
z


0
4
1

 con x, z ∈ R no simult´aneamente 0.
(b2) Estudiar si A es diagonalizable.
Tenemos que
• los autovalores de A son λ = 0 (simple) y λ = −1 (doble) y, por
tanto, reales, y adem´as
• para el autovalor λ = −1 (doble),
3 − r (A + I) = 3 − r


−2 −1 4
−2 −1 4
−2 −1 4

 = 3 − 1 =
2 =multiplicidad del autovalor (λ = −1).

12. 40 Diagonalizaci´on de matrices
De todo ello se deduce que la matriz es diagonalizable.
Entonces, P =


1 1 0
1 −2 4
1 0 1

 y P−1
AP = D =


0 0 0
0 −1 0
0 0 −1

.
(b3) Como P−1
A P = D =⇒ A = P D P−1
=⇒ A16
= P D16
P−1
.
A16
= P


0 0 0
0 (−1)16
0
0 0 (−1)16

 P−1
= P


0 0 0
0 1 0
0 0 1

 P−1
=
=


1 1 0
1 −2 4
1 0 1




0 0 0
0 1 0
0 0 1




−2 −1 4
3 1 −4
2 1 −3

 =


3 1 −4
2 2 −4
2 1 −3

.
Ejemplo 3.11 Sea A =


m 1 1
0 2 1
0 2 3

. Se pide:
(a) Hallar m para que


1
1
2

 sea autovector de A y calcular el autovalor al
que est´a asociado.
(b) Para m = 1:
(b1) Hallar los autovalores de A y autovectores asociados.
(b2) Estudiar si la matriz es diagonalizable. En caso afirmativo, hallar una
matriz P ∈ M3 tal que P−1
AP sea diagonal.
Resoluci´on
(a) Para que


1
1
2

 sea autovector de A tiene que verificarse que
A


1
1
2

 = λ


1
1
2


para alg´un λ ∈ R, que ser´a el autovalor al que est´a asociado.
A


1
1
2

 = λ


1
1
2



13. 3.5 Diagonalizaci´on en el campo real de una matriz cuadrada 41
⇐⇒


m + 3
4
8

 =


λ
λ
2λ

 ⇐⇒
m + 3 = λ
4 = λ
8 = 2λ



⇐⇒
m = 1,
λ = 4.
(b) Para m = 1: A =


1 1 1
0 2 1
0 2 3

.
(b1) Hallar los autovalores de A y autovectores asociados.
Autovalores: |A − λI| = 0.
|A − λI| =
1 − λ 1 1
0 2 − λ 1
0 2 3 − λ
= (1 − λ) 4 − 5λ + λ2
= − (λ − 1)
2
(λ − 4).
Por tanto, los autovalores son: λ = 1 (doble) y λ = 4 (simple).
Autovectores:
• Para λ = 4 (simple):
(A − 4I)


x
y
z

 =


0
0
0

 ⇐⇒


−3 1 1
0 −2 1
0 2 −1




x
y
z

 =


0
0
0

 ⇐⇒
⇐⇒
−3x + y + z = 0
−2y + z = 0
⇐⇒ x = y e z = 2y.
Por tanto, los autovectores asociados son de la forma


y
y
2y


con y ∈ R, y = 0.
• Para λ = 1 (doble):
(A−I)


x
y
z

 =


0
0
0

 ⇐⇒


0 1 1
0 1 1
0 2 2




x
y
z

 =


0
0
0

 ⇐⇒
⇐⇒ y + z = 0 ⇐⇒ y = −z.
Por tanto, los autovectores asociados son de la forma:

14. 42 Diagonalizaci´on de matrices


x
−z
z

 = x


1
0
0

 + z


0
−1
1


con x y z ∈ R no simult´aneamente 0.
(b2) Como:
• Autovalores de A: λ = 4 (simple) y λ = 1 (doble) y, por tanto,
reales.
• Para el autovalor λ = 1 (doble),
3−r (A − I) = 3−r


0 1 1
0 1 1
0 2 2

 = 3−1 = 2 =multiplicidad
del autovalor λ = 1.
De todo ello se deduce que la matriz es diagonalizable.
Entonces, P =


1 1 0
1 0 −1
2 0 1

 y P−1
AP = D =


4 0 0
0 1 0
0 0 1

.