1. Reflexiones Matemáticas
Nagua, Rep. Dom.
Inversa de una matríz.
La matríz inversa de una matríz K de orden PxQ denotada por K-1 es otra matríz
A del mismo orden, de forma que el producto (K).(A)=I, donde I es la matríz
identidad.
Es decir:
1 0 0
I= 0 1 0
0 0 1
Cabe destacar que para que una matríz sea invertible su determinante debe ser
diferente de cero.
Para obtener la inversa de la matríz K, multiplicamos la matríz traspuesta de la
matríz adjunta de K por el opuesto multiplicativo del determinante de k.
Es decir: K-1 = KT.
1
[K]
En el caso de que K sea de orden 3x3, entonces:
Ejemplo 1.
Halle la inversa de la siguiente matríz.
4 1
A= 2 2
0 0
K-1=
1
0
[K]
0
1
0
1
0
0 T
0
1
3
0
1
Paso 1.
Calculamos el determinante de A.
4
Det. A = 2
0
1
2
0
3 4 1
0 2 2
1 0 0
Det. A= 8+0+0 –(0+0+2)
Det. A= 8 –2
Det. A= 6
Fíjate en el siguiente
ejemplo, donde se
muestra como hallar la
inversa de una matríz de
orden 3x3
Puesto que el determinante de la matríz A es diferente de cero, se concluye que
la matríz inversa de A existe.
Paso 2.
Se calculan los elementos adjuntos, teniendo en cuenta que si la suma de los
sub-índices es negativa el elemento cambia de signo.
a11= (−1)4 (2x1)−(0x0)=2−0=2
a12= (−1)3 [(2x1)−(0x0)]= −[2−0]= −2
a13= (−1)4 (2x0) –(0x2)= 0−0= 0
Reflexiones Matemáticas
a21= (−1)3 [(1x1)−(0x3)]= − [1−0]= −1
a22= (−1)4 (4x1)−(0x0)]= 4−0 = 4
a23= (−1)5 [(4x0)–(0x1)]= −[0−0]= 0
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2. Reflexiones Matemáticas
Nagua, Rep. Dom.
a31= (−1)4 (1x0)−(2x3)=0−6= −6
a32= (−1)5 [(4x0)−(2x3)]= − [0−6]= 6
a33= (−1)6 (4x2)–(2x1)= 8−2= 6
Luego la matríz adjunta es:
2
A= −1
−6
−2
4
6
0
0
6
2
Por lo que: AT = −2
0
−1
4
0
−6
6
6
2
1
En conclusión A −1 =
−2
6
0
1
−1
A−1 = −1
3
6
2
3
3
0
0
−1
4
0
−6
6 =
6
1
−1
3
−1
6
2
3
3
0
0
−1
1
1
−1
1
1
Ahora se realiza el producto (A).(A−1) para verificar si el resultado
de dicho producto es la matríz identidad.
4
2
0
4
3
2
1 3
2 0 X
0 1
1
−1
3
−1
6
2
3
3
0
0
1
−4
2
6
−2
− 3 + 0,
− 3 + 0,
0 + 0 + 0,
3
1
0
0
0 0
1 0
0 1
−1
1
1
2
+ 3 − 0, −4 + 1 + 3
Realizamos
el producto
multiplicando las
filas de la matríz
A por las
columnas de la
matríz adjunta.
4
+ 3 + 0, −2 + 2 + 0
0 + 0 + 0, 0 + 0 + 1
6
L.Q.Q.D.
Reflexiones Matemáticas
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3. Reflexiones Matemáticas
Nagua, Rep. Dom.
Ejemplo 2.
Halle la inversa de la siguiente matríz.
3
Q= 0
1
5 0
2 6
3 4
Paso I.
Calculamos el determinante de Q.
3
Q= 0
1
5
2
3
Recuerda:
Siempre debes calcular el
determinante de la matríz
para saber si tiene
inversa.
0 3 5
6 0 2
4 1 3
Det. Q= 24+30+0 –(0+54+0)
Det. Q= 54−54
Det. Q=0
Puesto que el determinante de Q es igual a cero, se entiende claramente que
dicha matríz no tiene inversa.
Ejemplo 3.
Hallar la inversa de la matríz
−1 0
B= 3 6
5 4
2
1
−8
Solución:
Paso I.
Calculamos el determinante de B.
−1
Det B= 3
5
0
6
4
2 −1
1
3
−8 5
0
6
4
Det B= 48+0+24 − (60−4+0)
Det B=72−56
Det B= 16
Reflexiones Matemáticas
Para calcular este determinante
se aplicó la regla de Zarrus, la
cual consiste en repetir las dos
primeras filas o las dos
primeras columnas de una
matríz 3x3, luego se
multiplicaron los elementos de
las diagonales, teniendo en
cuenta que a la suma algebraica
de los productos de las
diagonales principales se le
resta la suma algebraica de los
productos de las diagonales
secundarias.
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4. Reflexiones Matemáticas
Nagua, Rep. Dom.
Paso II.
Calculamos los elementos adjuntos.
a11= (−1)4 (6x−8)−(4x1)= −48 − 4= −52
a12= (−1)3 [(3x−8)−(5x1)]= (−1)(−24−5)= 29
a13= (−1)4 (3x4) –(5x6)= 12−30= −18
a21= (−1)3 [(0x−8)−(4x2)]= (−1) (0−8)= 8
a22= (−1)4 (−1x−8)−(5x2)]= 8−10 = −2
a23= (−1)5 [(−1x4)–(5x0)]= −[−4 − 0]= 4
a31= (−1)4 (0x1)−(6x2)=0−12= −12
a32= (−1)5 [(−1x1)−(3x2)]= − [−1 −6]= 7
a33= (−1)6 (−1x6)–(3x0)= −6 −0= −6
Luego la matríz adjunta es
B=
−52
8
−12
29
−2
7
−18
4
−6
Por lo que la traspuesta de la adjunta es:
BT=
−52
29
−18
8
−2
4
−12
7
−6
La matríz inversa de B es:
B −𝟏 =
−52
29
𝟏𝟔
−18
8
−2
4
𝟏
−𝟏𝟑
−𝟑
𝟒
𝟐𝟗
𝟐
−𝟏
𝟒
𝟕
𝟏𝟔
−𝟗
𝟖
𝟏
𝟏𝟔
−𝟑
𝟖
B −𝟏=
𝟏
𝟒
−12
7
−6
𝟖
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5. Reflexiones Matemáticas
Nagua, Rep. Dom.
Aplicación de la matríz inversa en la solución de
sistemas de ecuaciones lineales.
Una de las aplicaciones de la matriz inversa es que se puede utilizar para hallar la
solución de sistemas de ecuaciones lineales de dos y tres variables.
Ahora bien, para resolver un sistema de ecuaciones por matríz inversa, debemos
formar una matríz con los coeficientes de las variables que aparecen en el sistema
de ecuaciones y calcular su determinante teniendo en cuenta que si el determinante
es igual a cero, dicha matríz no tiene inversa y por tanto el sistema de ecuaciones
dado no podrá resolverse el por este método.
Si tenemos una matríz A formada por los coeficientes de las variables de un sistema
de ecuaciones y tenemos los vectores K y Q, donde K es el vector que representa las
variables del sistema y donde Q es el vector que representa los términos
independientes, entonces se cumple que:
A.K=Q, entonces:
K=A-1.Q
Ejemplo 1.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por matríz
inversa.
3x+5m+2k=37
4x+2m+k=21
2x+3m+4k=31
A este sistema de ecuaciones corresponde la siguiente matríz:
3
A= 4
2
x
K= m
k
5 2
2 1
3 4
y
37
Q= 21
31
Solución:
Formamos una matríz con los coeficientes de las variables y calculamos
su determinante.
3
Det A= 4
2
5
2
3
2 3 5
1 4 2
4 2 3
Det A= 24+10+24 –(8+9+80)
Det A=58 −97
Det A= −39
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6. Reflexiones Matemáticas
Nagua, Rep. Dom.
Buscamos los elementos adjuntos para formar la matríz
de cofactores.
a11= (-1)2 (8−3)=1(5)= 5
a12= (-1)3 (16−3)= (-1)(14)= −14
a13= (-1)4 (12−44)=1(8)= 8
a21= (-1)3 (20−6)= (−1)(14)= −𝟏4
a22= (-1)4 (12−4)= (1)(8)= 8
a23= (-1)5 (9−4)=( −1)(−1)= 1
a31= (-1)4 (5−4)= (1)(1)= 𝟏
a32= (-1)5 (3−8)= (−1)(−5)= 5
a33= (-1)6 (6−20)=(1)(−14)= −14
Con estos elementos formamos la matríz adjunta de A.
5 −14
8
A= −14
8
1
1
5 −14
Escribimos ahora la matríz traspuesta de la adjunta.
5
AT= −14
8
−14
8
1
1
5
−14
Ahora aplicamos la fórmula
A-1 =
5 −14
−14
8
−𝟑𝟗
8
1
𝟏
𝟓
−𝟑𝟗
𝟏𝟒
𝟑𝟗
−𝟖
𝟑𝟗
−𝟏
1
5
−14
𝟑𝟗
𝟏𝟒
𝟑𝟗
[A]
𝟑𝟗
−𝟓
𝟑𝟗
−𝟖
1
−𝟏
𝟑𝟗
A-1 =
𝟏𝟒
A-1 = AT.
𝟑𝟗
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7. Reflexiones Matemáticas
Nagua, Rep. Dom.
Luego de hallar la matríz inversa, entonces debe
cumplirse que:
K=A-1.Q
Por lo que:
5
14
39
39
−8
39
−5
39
−1
39
14
39
−39
x
14
m =
39
k
−8
−1
−185
39
+
294
−
31
39
39
39
37
2
518
168
159
. 21 =
−
−
= 5
39
39
39
31
3
−296
21
434
39
+
39
+
39
𝑥=2
𝑚=5
𝑘=3
La solución del sistema es:
Ejemplo 2.
Resuelve por matríz inversa el siguiente sistema de
ecuaciones.
2x+3y+z=5
x+2y+4z=10
2x+y+5z=11
Se organizan los elementos del sistema en una matríz
y dos vectores, uno correspondiente a las variables y el
otro correspondiente a los términos independientes.
2
Q= 1
2
3
2
1
1
4
5
𝑥
K= 𝑦
𝑧
5
R= 10
11
Ahora calculamos el determinante de Q
2 3
𝑄= 1 2
2 1
1 2 3
4 1 2
5 2 1
𝑄 =20+24+1−(4+8+15)
𝑄 = 45−27
𝑄 = 18.
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8. Reflexiones Matemáticas
Nagua, Rep. Dom.
Ahora buscamos los elementos adjuntos.
a11= (-1)2 (10−4)=1(6)= 6
a12= (-1)3 (5−8)= (-1)(−3)= 3
a13= (-1)4 (1−4)=1(−3)= −3
a21= (-1)3 (15−1)= (−1)(14)= −𝟏4
a22= (-1)4 (10−2)= (1)(8)= 8
a23= (-1)5 (2−6)=( −1)(−4)= 4
a31= (-1)4 (12−2)= (1)(10)= 𝟏𝟎
a32= (-1)5 (8−1)= (−1)(7)= −7
a33= (-1)6 (4−3)=(1)(1)= 1
Con estos elementos formamos la matriz adjunta.
6
3
Q= −14
8
10 −7
−3
4
1
Ahora formamos la matríz traspuesta de Q
QT=
6 −14 10
3
8 −7
−3
4
1
Luego la matríz inversa de Q es:
Q-1=
1 .
1 .
QT =
18
𝑄
6
18
3
18
8
18
4
18
1
18
10
−7
1
18
−7
18
−3
−14
8
4
10
18
Q-1=
−14
6
3
−3
18
Luego K= Q-1. R, por lo que:
6
18
3
18
8
18
−7
18
−3
18
4
18
1
18
30
10
18
K=
−14
18
Puesto que K=
𝑥
𝑦
𝑧
.
5
10 =
11
−
18
15
+
18
−15
18
140
18
80
+
−
18
40
+
18
110
18
77
18
11
+
0
= 1
2
18
𝑥=0
entonces: 𝑦 = 1
𝑧=2
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9. Reflexiones Matemáticas
Nagua, Rep. Dom.
Evaluación.
Evalúe las siguientes matríces y diga cuáles de ellas
tiene inversa.
2
M= 3
8
1
0
7
2
3
8
9 −8
R= 4 −3
6
5
2
N= −1
5
−2
1
10
6
4
3
1
2
9
10
K= −2
7
1
6
4
3
0
5
¡Es hora de poner en
práctica lo que
aprendiste!!
Halle la inversa de las siguientes matríces.
3
A= 5
2
H=
12
5
−2
1 4
8 7
9 10
1
8
9
4
−3
10
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando
matríz inversa.
4m+2x+3b=31
5m+6x+2b=37
3m+4x+7b=52
5k−2c+3y=29
4k+3c−5y= −36
8k+2c+4y=28
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