Probabilidad y Procesos Estocásticos, Conocimientos previos

A Apéndice
A.1 Tablas Matemáticas
A.1.1 Identidades Trigonométricas
sen2
(x)+cos2
(x) = 1. (A.1)
cos(x±y) = cos(x)cos(y) sen(x)sen(y). (A.2)
sen(x±y) = sen(x)cos(y)±cos(x)sen(y). (A.3)
sen(2x) = 2sen(x)cos(x) (A.4)
cos(2x) = cos2
(x)−sen2
(x) = 2cos2
(x)−1 = 1−2sen2
(x) (A.5)
cos(x)cos(y) =
1
2
cos(x+y)+
1
2
cos(x−y). (A.6)
sen(x)sen(y) =
1
2
cos(x−y)−
1
2
cos(x+y). (A.7)
sen(x)cos(y) =
1
2
sen(x+y)+
1
2
sen(x−y). (A.8)
cos(x)sen(y) =
1
2
sen(x+y)−
1
2
sen(x−y) (A.9)
ejx
= cos(x)+ jsen(x). (A.10)
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46 Capítulo A. Apéndice
cos(x) =
ejx +e−jx
2
. (A.11)
sen(x) =
ejx −e−jx
2 j
. (A.12)
sen2
(x) =
1
2
(1−cos(2x)) (A.13)
cos2
(x) =
1
2
(1+cos(2x)) (A.14)
sen(x) = cos x−
π
2
(A.15)
A.1.2 Expansión en Series
1
1−x
=
∞
∑
k=0
xk
, para |x| < 1. (A.16)
1−xn+1
1−x
=
n
∑
k=0
xk
, para todo x. (A.17)
1
(1−x)n+1
=
∞
∑
k=n
k
n
xk−n
=
∞
∑
k=0
k +n
n
xk
, for |x| < 1. (A.18)
(x+y)n
=
n
∑
k=0
n
k
xk
yn−k
, for all x,y. (A.19)
exp(x) =
∞
∑
k=0
1
k!
xk
cos(x) =
∞
∑
k=0
(−1)k
(2k)!
x2k
sen(x) =
∞
∑
k=0
(−1)k
(2k +1)!
x2k+1
ln(1−x) = −
∞
∑
k=1
1
k
xk
, para |x| < 1. (A.23)
Q(x) =
1
2
+
1
√
2π
∞
∑
k=0
(−1)k+1
k!2k (2k +1)
x2k+1
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47
A.1.3 Algunas Integrales Indeﬁnidas Comunes
udv = uv− vdu donde u y vson funciones de x (A.25)
xn
dx =
xn+1
n+1
excepto para n = −1 (A.26)
x−1
dx = lnx (A.27)
eax
dx =
eax
a
(A.28)
lnxdx = xlnx−x (A.29)
(a2
+x2
)−1
dx =
1
a
tan−1 x
a
(A.30)
(lnx)n
x
dx =
1
n+1
(lnx)n+1
(A.31)
xn
ln(ax)dx =
xn+1
n+1
ln(ax)−
xn+1
(n+1)2
(A.32)
xeax
dx = eax ax−1
a2
(A.33)
x2
eax
dx = eax a2x2 −2ax+2
a3
(A.34)
sen(ax)dx = −
1
a
cos(ax) (A.35)
cos(ax)dx =
1
a
sen(ax) (A.36)
sen2
(ax)dx =
x
2
−
sen(2ax)
4a
(A.37)
xsen(ax)dx =
1
a2
sen(ax)−axcos(ax) (A.38)
x2
sen(ax)dx =
2axsen(ax)+2cos(ax)−a2x2 sen(ax)
a3
(A.39)
cos2
(ax)dx =
x
2
+
sen(2ax)
4a
(A.40)
xcos(ax)dx =
1
a2
cos(ax)+axsen(ax) (A.41)
x2
cos(ax)dx =
1
a3
2axcos(ax)−2sen(ax)+a2
x2
sen(ax) (A.42)
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A.2 Álgebra Matricial
En este apéndice se expone diversas operaciones entre matrices y vectores encon-
tradas en el texto. Las matrices y los vectores se representan indistintamente por
letras en negrita. Las definiciones y operaciones básicas utilizadas son dadas a
continuación.
A.2.1 Matriz
Se llama matriz de dimensión m × n al conjunto de mn elementos, reales o com-
plejos, dispuestos en un arreglo rectangular de n columnas y m filas. Si m = n, la
matriz se denomina Cuadrada. Se utiliza para describir una matriz la siguiente
notación
A =





a11 a12 ··· a1n
a21 a22 ··· a2n
...
...
...
...
am1 am2 ··· amn





(A.55)
A.2.2 Vector
Un vector corresponde al conjunto de n elementos dispuestos en columna. Un
vector de dimensión n es equivalente a una matriz de dimensión n×1. Se emplea
la siguiente notación
x =





x1
x2
...
xn





(A.56)
A.2.3 Escalar
En escalar puede definirse como una matriz de dimensión 1 × 1. O de forma
equivalente, un vector que contiene únicamente un elemento se denomina es-
calar.
A.2.4 Diagonal Principal de una Matriz Cuadrada
La diagonal de los elementos de una matriz cuadrada A de dimensión n × n es
constituida por el conjunto {aii} ; (i = 1,2,··· ,n) de n elementos.
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55
A.2.5 Matriz Diagonal
La Matriz Diagonal es una matriz cuadrada donde los elementos que se encuen-
tran fuera de la diagonal principal son iguales a cero, o sea,
A =





a11 0 ··· 0
0 a22 ··· 0
...
...
...
...
0 0 ··· amn





(A.57)
A.2.6 Matriz Identidad
La Matriz Identidad es una matriz diagonal donde los elementos de la diagonal
principal son todos iguales a 1.
A =





1 0 ··· 0
0 1 ··· 0
...
...
...
...
0 0 ··· 1





(A.58)
A.2.7 Matriz Nula
Se denomina Matriz Nula a una matriz cuyos elementos son todos iguales a cero.
La matriz nula es representada por la notación 0.
A.2.8 Igualdad de Matrices
Dos matrices A y B son iguales se, y solamente si, ellas tienen las misma dimen-
sión y A−B = 0. Esto signiﬁca que los elementos de A son iguales a los elementos
correspondientes de B, o sea,
aij = bij ;i = 1,2,··· ,m , j = 1,2,··· ,n. (A.59)
A.2.9 Matriz Transpuesta
La transpuesta de una matriz A de dimensión m×n se obtiene al intercambiar sus
ﬁlas y columnas. De este modo, la traspuesta de la matriz A en (A.55) es
AT
=





a11 a21 ··· am1
a12 a22 ··· am2
...
...
...
...
a1n a2n ··· amn





(A.60)
Observe que AT posee dimensión n×m.
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A.2.10 Producto Escalar
El Producto Escalar de dos vectores x y y, ambos de dimensión n, es definido por
xT
y =
n
∑
i=1
xiyi (A.61)
observe que xT y es un escalar.
A.2.11 Producto de Matrices
El producto de una matriz A de dimensión m×n por una matriz B de dimensión
n× p es igual a una matriz C cuyo elemento cij es igual al producto escalar de la
i-ésima fila de la matriz A por la j-ésima columna de la matriz B. Observe que,
de acuerdo con esta definición, el producto de dos matrices solo es posible se el
número de columnas de la primera es igual a l número de filas de la segunda
matriz.
Ejemplo A.1 Sea
A =
2 0 1
3 −1 4
y B =


1 4 −1
2 0 −1
1 0 3


se tiene entonces
C =
3 8 1
5 12 10
.
A.2.12 Transformación Lineal de Vectores
Un vector y de dimensión m corresponde a una transformación lineal de un vector
x (de dimensión n) cuando puede ser escrito como
y = Ax+b (A.62)
donde la matriz A tiene dimensión m×n y el vector b tiene dimensión m.
A.2.13 Matrices Menores de una Matriz
Se llama matriz menor de orden (i, j) de la matriz A a la matriz Aij obtenida al
eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz A. De este modo, una
matriz A de dimensión m×n posee mn matrices menores.
Ejemplo A.2 Sea
A =


1 0
3 1
2 4


se tiene entonces las matrices menores
A11 =
1
4
; A21
0
4
; A12
3
2
; A22 =
1
2
; A31
0
1
; A32
1
3
.
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A.2.14 Determinante de una Matriz
El determinante de una matriz cuadrada A de dimensión n×n es definido por la
siguiente relación recursiva
detA =
n
∑
i=1
(−1)i+j
aij detAij ; (jfijo). (A.63)
Note que el determinante de un escalar (matriz de dimensión 1 × 1) es igual al
propio escalar. Es interesante observar que el determinante de la matriz A puede
también ser obtenido a través de la relación
detA =
n
∑
i=1
(−1)i+j
aij detAij ; (ifijo). (A.64)
Ejemplo A.3 Considere la matriz de dimensión 2×2 dada por
A =
a b
c d
.
Se tiene que a partir de (A.63)
detA = a(−1)2
detA11 +c(−1)3
detA21
como A11 = d y A21 = b, se obtiene
detA = ad −bc. (A.65)
Ejemplo A.4 Sea B la matriz de dimensión 3×3 dada por
A =


a b c
d e f
g h i

.
Se tiene a partir de (A.63)
detB = a(−1)2
det
e f
h i
+d(−1)3
det
b c
h i
+g(−1)4
det
b c
e f
utilizando los resultados en (A.65), se obtiene finalmente
detB = a(ei−hf)−d(bi−hc)+g(bf −ec)
o simplificando
detB = aei+dhc+gbf −ahf −dbi−gec. (A.66)
A.2.15 Matriz Característica, Ecuación Característica y Valor Propio
La matriz característica de una matriz cuadrada A de dimensión n×n es definida
por
CA = λ(I−A) (A.67)
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La ecuación
detCA = det(λI−A) = 0 (A.68)
es llamada ecuación característica de matriz A. Las n raíces {λ1,λ2,··· ,λn} de esta
ecuación constituyen los valores propios de la matriz A.
Ejemplo A.5 Sea A la matriz de dimensión 2×2 dada por
A =
2 1
1 2
. (A.69)
La matriz característica de A es entonces dada por
A =
λ−2 −1
−1 λ−2
.
y su ecuación característica, se obtiene considerando (A.67) y (A.68) es
(λ−2)2
−1 = 0 (A.70)
Los valores propios de la matriz A son dados por las raíces de esta ecuación, siendo iguales
a
f(x) =
λ1 = 3
λ2 = 1.
(A.71)
A.2.16 Vectores Propios de una Matriz
Los vectores propios de una matriz cuadrada A de dimensión n × n son los vec-
tores {e1,e2,··· ,en} que corresponde a las soluciones de las ecuaciones
Aei = λiei ; i = 1,2,··· ,n (A.72)
donde los escalares {λ1,λ2,··· ,λn} son los vectores propios de la matriz A.
Ejemplo A.6 En el caso de la matriz A dada por (A.69), cuyos valores propios son dados
por (A.71), se tiene que los vectores
e1 =
1
1
y e2 =
1
−1
satisface, respectivamente, las ecuaciones
Ae1 = 3e1 y Ae2 = e2
siendo, por tanto, los vectores propios de la matriz A en (A.69).
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A.2.17 Matriz de Cofactores
La matriz de confactores de una matriz cuadrada A de dimensión n×n es la ma-
triz Ac cuyos elementos ac
ij son dados por
ac
ij = (−1)i+j
detAij ; i = 1,2,··· ,n , j = 1,2,··· ,n (A.73)
donde las matrices Aij corresponden a las matrices menores de la matriz A deﬁnidas
en el ítem A.2.13 de este apéndice.
Ejemplo A.7 Sea A la matriz cuadrada de dimensión 2×2 dada por
A =
a b
c d
(A.74)
se tiene en este caso,
Ac =
d −c
−b a
. (A.75)
A.2.18 Matriz Adjunta
La matriz adjunta de una matriz cuadrada A es deﬁnida como la transpuesta de
su matriz de cofactores, o sea,
Adj(A) = AT
c (A.76)
Ejemplo A.8 En el caso de la matriz A dada por (A.74) se tiene
Adj(A) = AT
c =
d −b
−c a
. (A.77)
A.2.19 Matriz Inversa
La matriz inversa de una matriz cuadrada A es una matriz A−1 que satisface la
condición
AA−1
= I (A.78)
donde I es la Matriz Identidad.
Propiedad A.6 La matriz inversa de una matriz A puede ser obtenida a través de la
relación
A−1
=
Adj(A)
detA
. (A.79)
Ejemplo A.9 En el caso de la matriz A de dimensión 2 × 2 dada en (A.74) se tiene, a
partir de (A.77) y (A.63)
A−1
=
1
(ad −bc)
d −b
−c a
. (A.80)
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A.2.20 Transpuesta del Producto de Matrices
(AB)T
= BT
AT
. (A.81)
A.2.21 Inversa del Producto de Matrices
(AB)−1
= B−1
A−1
. (A.82)
A.2.22 Determinante del Producto de Matrices
det(AB)T
= detAdetB. (A.83)
A.2.23 Forma Cuadrática
Sea x un vector de dimensión n. Una forma cuadrática en x es definida como la
función
ξ(x) = xT
Ax (A.84)
donde A es una matriz cuadrada de dimensión n×n. Observe que en términos de
los elementos de x y de la matriz A, la forma cuadrática se escribe
ξ(x) =
n
∑
i=1
n
∑
j=1
aij xi xj. (A.85)
A es definida no negativa si xT Ax ≥ 0 para todo x, y definida positiva si xT Ax > 0
para todo x diferente de cero. Como A = [aij] es una matriz de dimensión n × n,
luego la k-ésima submatriz de A es una matriz de dimensión k×k donde Ak = [aij]
posee elementos aij en la i-ésima fila y la j-ésima columna.
Teorema A.1 La matriz simétrica A es definida positiva (definida no negativa) si y úni-
camente si
Todos los valores propios son positivos (no negativos) y
El determinante de todas las submatrices principales son positivos (no negativos).
A.2.24 Diagonalización de una matriz
Dada una matriz A se dice que ésta es diagonalizable si existe una matriz P tal que
P−1AP = D, o equivalentemente AP = PD, D corresponde a la matriz diagonal de
A.
Teorema A.2 A es diagonalizable si y únicamente si A tiene n vectores propios lineal-
mente independientes.
La matriz P es ortogonal si P−1 = PT , o equivalentemente, AAT
= AT A = I.
Un conjunto de vectores {e1,e2,··· ,en} es ortonormal si los vectores son ortog-
onales, es decir, eT
i ej = 0 para i = j, y normales entre sí, es decir, eT
i ei para i =
1,··· ,n.
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Teorema A.3 Si el conjunto de vectores {e1,e2,··· ,en} diferentes de cero y ortogonales
luego ellos también son linealmente independientes.
La matriz A de dimensión n × n es ortogonalmente diagonalizable si existe una
matriz ortogonal P tal que PT AP = D, o de manera equivalente AP = PD, siendo
D la matriz diagonal de A.
La matriz A de dimensión n×n es simétrica si A = AT .
Teorema A.4 Una matriz simétrica A tiene únicamente valores propios reales.
Teorema A.5 Las siguientes condiciones son equivalentes:
A es ortogonalmente diagonalizable,
A tiene un conjunto ortogonal de n vectores propios,
A es una matriz simétrica.
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A.3 Transformada de Fourier
A.3.1 Deﬁniciones
A.3.1.1 Transformada
G(f) = F [g(t)] =
∞
−∞
g(t)e−j2πft
dt (A.86)
A.3.1.2 Transformada Inversa
g(t) = F −1
[G(f)] =
∞
−∞
G(f)ej2πft
d f (A.87)
A.3.2 Propiedades
Operación Función Transformada
1 Linealidad αg(t)+βh(t) αG(f)+βH(f)
2 Traslación en el tiempo g(t −t0) G(f)ej2π ft0
3 Escala g(at) 1
|a| G f
a
4 Conjugado g∗(t) G∗(−f)
5 Dualidad G(t) g(−f)
6 Translación en frecuencia g(t)ejπf0t G(f − f0)
7 Modulación g(t)cos(2πfct +θ) 1
2 G(f − fc)+e−jθG(f + fc)
8 Diferenciaón dn
dtn g(t) (j2πf)nG(f)
9 Integración t
−∞ g(α)dα (j2πf)−1G(f)
10 Convolución g(t)∗h(t) G(f)H(t)
11 Multiplicación g(t)h(t) G(f)∗H(f)
12 Multiplicación por tn tng(t) (−j2π)−n dn
d fn G(f)
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señales y funciones en general de forma simbólica, a través del Toolbox para el cálculo
simbólico. Como ejercicio se plantea calcular la transformada de Fourier y la inversa de
varias funciones de forma simbólica en Matlab.
Las funciones de Matlab que permiten el cálculo simbólico de la Transformada de Fourier
son fourier e ifourier para la transformada y su inversa respectivamente.
Algoritmo A.8: Transformada de Fourier
1 syms t
2 syms a positive;
3
4 % Tabla de Transformadas - linea 1
5 g1=exp(-a*t)*heaviside(t);
6 G1=fourier(g1);
7
9 g3 = abs(t);
10 G3 = fourier(g3);
11
13 g4 = dirac(t);
14 G4 = fourier(g4);
15
17 g5=heaviside(t);
18 G5=fourier(g5);
19
21 g8=sym('1');
22 G8=fourier(g8);
23
25 g10=heaviside(t+a)-heaviside(t-a);
26 G10=fourier(g10);
27 G10=simplify(G10);
Los valores obtenidos al ejecutar el Algortimo A.8 son los siguientes,
Algoritmo A.9: Transformada de Fourier - Soluciones
1 G1 = 1/(a + w*i)
2 G3 = -2/w^2
3 G4 = 1
4 G5 = pi*dirac(w) - i/w
5 G8 = 2*pi*dirac(w)
6 G10 = (2*sin(a*w))/w
Las respuestas son similares a las presentadas en la Tabla A.3.3 al considerar w = 2πf.
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67
Tabla A.1: Valores de Q(x1 +x2)
x2
x1 ↓ 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.00 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641
0.10 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247
0.20 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859
0.30 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483
0.40 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121
0.50 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776
0.60 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451
0.70 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148
0.80 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867
0.90 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611
1.00 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379
1.10 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170
1.20 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985
1.30 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823
1.40 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681
1.50 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559
1.60 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455
1.70 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367
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Bibliografía
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