Movimiento de centro de masas de un sistema de partículas

1. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS
ARMADAS ESPE
CARRERA DE INGENIERÍA MECATRÓNICA
FÍSICA CLÁSICA
TEMA: MOVIMIENTO DE CENTRO DE MASA DE
UN SISTEMA DE PARTICULAS
ESTUDIANTE: OÑA CAYO BYRON EDUARDO
NRC: 7664
SEMESTRE 202050

2. INTRODUCCIÓN
El sistema de partículas también se denomina como el conjunto de partículas
cuyas propiedades globales queremos estudiar. Podemos distinguir varios
modelos:

3. Sistema discreto: cuando el cuerpo se considera formado por un número finito
de partículas. Dentro de este modelo podemos considerar:
 Sistemas indeformables, en los que la distancia relativa entre las partículas del
sistema permanece inalterable en el tiempo.
 Sistemas deformables, en los que puede cambiar la distancia relativa entre las
partículas.

4. Sistemas continuos: cuando un cuerpo puede considerarse formado
por una distribución “continua” de materia (llenando todo el espacio
que ocupa). Estos sistemas se dividen en deformables e
indeformables (sólidos rígidos)

5. CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS.
El centro de masas de un sistema de partículas se define como el punto en el que
se considera aplicada la resultante de todas las fuerzas exteriores y concentrada
toda la masa del sistema. El centro de masas de un sistema de partículas discreto
puede expresarse como:
𝑟𝐶𝑀 =
𝑚1 𝑟1 + 𝑚2 𝑟2 + ⋯ 𝑚 𝑛 𝑟𝑛
𝑚1 + 𝑚2 + ⋯ + 𝑚 𝑛
=
𝑖
𝑛
𝑚𝑖 𝑟𝑖
𝑖
𝑛
𝑚𝑖

6. MOVIMIENTO DE CENTRO DE MASA DE UN
SISTEMA DE PARTÍCULAS.
Comenzará a entender el significado físico y la utilidad del concepto de
centro de masa si toma la derivada con el tiempo del vector posición.

7. POSICIÓN
La posición del centro de masas de un sólido rígido discreto viene dada por:
𝑟𝐶𝑀 =
𝑚1 𝑟1 + 𝑚2 𝑟2 + 𝑚3 𝑟3 + ⋯
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯
=
𝑚𝑖 𝑟𝑖
𝑀
𝑟𝐶𝑀 =
𝑟𝑑𝑚
𝑀
𝑥 𝐶𝑀 =
𝑚𝑖 𝑥𝑖
𝑀
; 𝑦 𝐶𝑀 =
𝑚𝑖 𝑦𝑖
𝑀
; 𝑧 𝐶𝑀 =
𝑚𝑖 𝑧𝑖
𝑀
𝑥 𝐶𝑀 =
1
𝑀
𝑥𝑑𝑚 ; 𝑦 𝐶𝑀 =
1
𝑀
𝑦𝑑𝑚 ; 𝑧 𝐶𝑀 =
1
𝑀
𝑧𝑑𝑚

8. VELOCIDAD
Se sabe que la derivada con el tiempo de un vector de posición es por definición el vector
velocidad. Si supone que M permanece constante para un sistema de partículas (esto es, ninguna
partícula entra o sale del sistema) se obtiene la siguiente expresión para la velocidad del centro de
masa del sistema
𝑣 𝐶𝑀 =
𝑑 𝑟𝐶𝑀
𝑑𝑡
𝑣 𝐶𝑀 =
1
𝑀
(𝑚1
𝑑 𝑟1
𝑑𝑡
+ 𝑚2
𝑑 𝑟2
𝑑𝑡
+ ⋯ )
=
1
𝑀
𝑖
𝑚𝑖
𝑑 𝑟𝑖
𝑑𝑡
𝑣 𝐶𝑀 =
1
𝑀
(𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 + ⋯ )
𝑣 𝐶𝑀 =
1
𝑀
𝑖
𝑚𝑖 𝑣𝑖

9. CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTO LINEAL
Debido a que la cantidad de movimiento lineal total del sistema es igual a la
masa total multiplicada por la velocidad del centro de masa. En otras palabras, la
cantidad de movimiento lineal total del sistema es igual a la de una sola partícula
de masa M que se mueve con una velocidad 𝑣 𝐶𝑀
𝑣 𝐶𝑀 =
1
𝑀
𝑖
𝑚𝑖 𝑣𝑖
𝑣 𝐶𝑀 =
1
𝑀
(𝜌1
+ 𝜌2
+ ⋯ )
𝑣 𝐶𝑀 =
1
𝑀
𝑖
𝜌𝑖
𝑀 𝑣 𝐶𝑀 =
𝑖
𝜌𝑖
= 𝜌 𝑇

10. ACELERACIÓN
La aceleración instantánea, o simplemente aceleración, del centro de masas se
puede obtener derivando respecto al tiempo la expresión de su velocidad. La
fuerza no realiza trabajo sobre el objeto
𝑎 𝐶𝑀 =
𝑑 𝑣 𝐶𝑀
𝑑𝑡
𝑎 𝐶𝑀 =
1
𝑀
(𝑚1
𝑑 𝑣1
𝑑𝑡
+ 𝑚2
𝑑 𝑣2
𝑑𝑡
+ ⋯ )
=
1
𝑀
𝑖
𝑚𝑖
𝑑 𝑣𝑖
𝑑𝑡
𝑎 𝐶𝑀 =
1
𝑀
(𝑚1 𝑎1 + 𝑚2 𝑎2 + ⋯ )
𝑎 𝐶𝑀 =
1
𝑀
𝑖
𝑚𝑖 𝑎𝑖

11. FUERZAS EXTERNAS Y MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
Si la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema de partículas no es cero, el
momento lineal total no se conserva y la velocidad del centro de masa cambia.
Al reordenar esta expresión y usar la segunda ley de Newton se obtiene:
𝑎 𝐶𝑀 =
1
𝑀
𝑖
𝑚𝑖 𝑎𝑖
𝑀 𝑎 𝐶𝑀 =
𝑖
𝑚𝑖 𝑎𝑖 =
𝑖
𝐹𝑖

12. FUERZAS EXTERNAS Y MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑀 𝑎 𝐶𝑀
Hay otra forma útil de describir el movimiento de un sistema de partículas.
Usando 𝑎 𝐶𝑀 =
𝑑𝑣 𝐶𝑀
𝑑𝑡
podemos reescribir la ecuación como:
𝑀 𝑎 𝐶𝑀 = 𝑀
𝑑 𝑣 𝐶𝑀
𝑑𝑡
=
)𝑑(𝑀 𝑣 𝐶𝑀
𝑑𝑡
=
𝑑 𝜌
𝑑𝑡
𝐹𝑒𝑥𝑡 =
𝑑 𝜌
𝑑𝑡
Es decir, la cantidad de movimiento lineal total de un sistema de partículas se conserva si no hay fuerza
neta externa que actúe sobre el sistema. Se sigue que, para un sistema aislado de partículas, tanto la
cantidad de movimiento total como la velocidad del centro de masa son constantes en el tiempo.