Introducción al Movimiento Armónico Simple. Apuntes para bachillerato.

1. Movimiento Armónico Simple y Movimiento
Oscilatorio
(Sí, esta letra de título es un poco hortera, pero es la que me recordaba a algo con muchas curvas, como un M.A.S.)
En el mundo que nos rodea, hay un montón de objetos que funcionan vibrando,
oscilando. De hecho, TODO vibra, TODO oscila. No sólo los péndulos, los muelles, las
cuerdas de guitarra o de violín, no sólo los tambores o las olas del mar, las mareas, la
luz, la electricidad, el sonido, sino también los átomos alrededor de sus posiciones de
equilibrio. Aún cuando pudiéramos coger un átomo y ponerlo a 𝑇𝑇 = 10−12
K, éste
vibraría alrededor de su posición de equilibrio. Por esto es fundamental conocer y
comprender el movimiento oscilatorio.
El movimiento oscilatorio se da en sistemas en equilibrio que han sufrido una
perturbación (usualmente pequeña, en caso contrario puede aparecer una
amortiguación del movimiento) y que se mueven alrededor de su posición de equilibrio
con una cierta amplitud y frecuencia.
El más sencillo de todos, y en el que nos vamos a centrar por ahora, es el
movimiento armónico simple (m.a.s.). Este movimiento es el que se daría al dejar
oscilar un muelle del que colgara una masa, o un péndulo, o el movimiento que haría
un punto de una cuerda que vibrase en una guitarra. Y antes de ponernos más serios,
vamos a dar algunas…
Definiciones.
Ciclo: es una oscilación completa
Posición de equilibrio: es la posición donde se encontraría el sistema si no fuese
perturbado.
Amplitud (𝑥𝑥0): se define como el máximo desplazamiento que sufre el sistema desde
su posición de equilibrio. En el S.I. se mide en m.
Periodo (𝑇𝑇): es el tiempo que tarda el sistema en completar un ciclo. En el S.I. se mide
en s.
Frecuencia (𝑓𝑓 𝑜𝑜 𝜈𝜈): es el número de ciclos que realiza el péndulo por unidad del
tiempo. Es la inversa del periodo. En el S.I. se mide en Hz (1 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 1 𝑠𝑠−1
).
𝑇𝑇 =
1
𝜈𝜈
Frecuencia angular (𝜔𝜔): indica el ángulo barrido en la unidad de tiempo. En el S.I. se
mide en 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑠𝑠−1
.
𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 =
2𝜋𝜋
𝑇𝑇

2. Desfase inicial (𝜙𝜙0): es la separación angular inicial de la posición de equilibrio. En el
caso del péndulo, generalmente, 𝜙𝜙0 = 0.
Estas magnitudes pueden aplicarse a diferentes sistemas, de los cuales los más
sencillos son un muelle y un péndulo.
Ecuaciones de movimiento armónico simple para un muelle y un péndulo.
Lo primero de todo es recalcar que todas las ecuaciones que vamos a ver sirven para
cualquier sistema que realice un m.a.s. Sólo algunas vamos a restringirlas a estos dos
sistemas.
Vamos a suponer un muelle que tira de un objeto sobre una superficie horizontal sin
rozamiento.
En este caso, la fuerza con la que el muelle tira del objeto, cuando éste se desplaza
hacia un lado será contraria al desplazamiento. Es decir, la llamada Ley de Hooke:
𝐹𝐹� = −𝑘𝑘Δ𝑟𝑟⃗ (1)
Para hacer más fácil de ver el cálculo, vamos a considerar el movimiento en una
dimensión sobre el eje X, y renombrar Δ𝑥𝑥̅ → 𝑥𝑥̅, quedando así como:
𝐹𝐹 = −𝑘𝑘𝑘𝑘 (2)
La segunda Ley de Newton nos dice que:
𝐹𝐹� =
𝑑𝑑2
𝑝𝑝⃗(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡2
(3)
Volviendo a poner esto en una dimensión paralela al eje X y suponiendo un sistema
donde 𝑚𝑚 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐, tenemos que:
𝐹𝐹 = 𝑚𝑚
𝑑𝑑2
𝑥𝑥(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡2
= 𝑚𝑚𝑥𝑥̈(𝑡𝑡) (4)
Igualando las ecuaciones (2) y (4) y pasando la masa del cuerpo al otro miembro
obtenemos
𝑥𝑥̈(𝑡𝑡) = −
𝑘𝑘
𝑚𝑚
𝑥𝑥(𝑡𝑡) (5)
Esta es una ecuación diferencial, donde las soluciones serán una combinación lineal
de funciones. Estas funciones deben ser de tal manera que al derivarlas dos veces
obtengamos esa misma función por una constante y un signo menos delante. Esto nos
lleva a que las soluciones deben ser del tipo:
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐵𝐵1 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0) + 𝐵𝐵2 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0
′
) (6)
O bien,
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐵𝐵1
′
𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖
+ 𝐵𝐵2
′
𝑒𝑒−𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖
(7)

3. Esta última forma es la que se suele adoptar en el estudio de las ondas
electromagnéticas, por ejemplo.
Fig. 1 Un muelle que oscile realizará un movimiento que podremos describir mediante una
sinusoidal.
Nosotros, sin embargo, vamos a quedarnos con la ecuación (6). En esta ecuación 𝐵𝐵1 y
𝐵𝐵2 son dos parámetros desconocidos que vamos a descubrir imponiendo una serie de
condiciones iniciales. Estas condiciones van a ser:
1. Inicialmente (𝑡𝑡 = 0), el cuerpo se encuentra en su posición de equilibrio, es decir:
𝑥𝑥(0) = 0 (C1)
2. Cuando lleva un cuarto de ciclo (𝑡𝑡 = 𝑇𝑇/4), debe encontrarse en su posición de máxima
elongación, esto es:
𝑥𝑥 �
𝑇𝑇
4
� = 𝐴𝐴 (C2),
donde 𝐴𝐴 representa la amplitud de la oscilación. Imponiendo la condición C1 en la ecuación (6)
obtenemos que 𝐵𝐵2 = 0; e imponiendo la condición C2, tenemos que 𝐵𝐵1 = 𝐴𝐴. Por tanto:
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔) (8).
El desfase inicial no se tiene en cuenta en este caso, ya que hemos dicho que el tiempo
empieza a contar en el momento en el que el objeto que realiza el M.A.S. se separa de su
posición de equilibrio y, por tanto, 𝜙𝜙0 = 0. Si esto no fuera así, simplemente se añade,
obteniendo la ecuación más general:
𝒙𝒙(𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (9).
La velocidad, y la aceleración del objeto en función del tiempo, las obtenemos derivando. La
velocidad:
𝒗𝒗(𝒕𝒕) =
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅
(𝒕𝒕) = 𝒙𝒙̇ (𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (10),
y la aceleración:
𝒂𝒂(𝒕𝒕) =
𝒅𝒅𝟐𝟐
𝒙𝒙
𝒅𝒅𝒕𝒕𝟐𝟐
(𝒕𝒕) = 𝒙𝒙̈ (𝒕𝒕) = −𝑨𝑨𝝎𝝎𝟐𝟐
𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (11).

4. Podemos obtener de estas tres ecuaciones unas expresiones subsidiarias que pueden ser útiles
(aunque no son, ni mucho menos imprescindibles) en algunos casos. Estas ecuaciones nos van
a relacionar la aceleración con la posición de la masa mediante:
𝑎𝑎(𝑡𝑡) = −𝜔𝜔2
𝑥𝑥(𝑡𝑡) (12).
Y la velocidad con la posición mediante:
𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝜔𝜔�𝐴𝐴2 − 𝑥𝑥2(𝑡𝑡) (13).
Si comparamos esta Ec. (11) con la anterior Ec. (5) observamos que la frecuencia angular, en el
caso de un muelle va a venir dada por:
𝝎𝝎 = �
𝒌𝒌
𝒎𝒎
(14).
Y, por tanto, su periodo por:
𝑻𝑻 = 𝟐𝟐𝟐𝟐�
𝒎𝒎
𝒌𝒌
(15).
Es importante darse cuenta de que el periodo de las oscilaciones (en el caso descrito en el que
se cumple la Ley de Hooke) no depende de la amplitud de la oscilación, sino únicamente de
propiedades intrínsecas al sistema, como la masa que se cuelga y la constante elástica del
muelle.
Podemos hacer también un estudio análogo para un péndulo que oscile libremente una vez
apartado de su posición de equilibrio.
Como indicio de lo que habría que hacer, se puede observar el dibujo que aparece debajo de
estas líneas, donde 𝜃𝜃 ≡ 𝑥𝑥.
Fig. 2 Descomposición de fuerzas en un péndulo de longitud 𝑙𝑙 y masa 𝑚𝑚 .

5. En este caso, llegamos a que el periodo de dicho péndulo vendrá dado por:
𝑻𝑻 = 𝟐𝟐𝟐𝟐�
𝒍𝒍
𝒈𝒈
(16).
Idealmente, esta expresión es exacta para ángulos pequeños, en los que se pueda hacer la
aproximación sin 𝑥𝑥 ≈ 𝑥𝑥.
En ambos casos, la masa que se cuelga debe ser mucho mayor que la masa del muelle o de la
cuerda, respectivamente, y, además, la cuerda debe ser inextensible. De esta forma podemos
despreciar la contribución del peso de la cuerda (o del muelle), que harían los cálculos mucho
más farragosos.
Y aquí lo dejamos, por el momento.