Expocicion de matematica para ingenieros iii ecuacion del calor
1.
2. La hipótesis de la sustancia calórica fue apoyada por
la Teoría de la Conducción del Calor desarrollada por
J. B. Fourier entre 1811y 1822.
Hasta entonces existía sólo para la Mecánica una
teoría matemática, fundada por Newton, mientras
que la enseñanza de los fenómenos calóricos era
empírica y tan sólo contenía caracteres descriptivos.
Fourier fue el primero en lograr construir una teoría
matemática del calor con su ecuación de conducción
y el Método de Series de Fourier utilizado por primera
vez al resolverla.
Partió de la hipótesis de la sustancia calórica y
demostró que su teoría cumplía con la condición de la
conservación del caloricum.
3. La ecuación del calor es de una importancia
fundamental en numerosos y diversos
campos de la ciencia. En las matemáticas,
son las ecuaciones parabólicas en derivadas
parciales por antonomasia. En la estadística,
la ecuación del calor está vinculada con el
estudio del movimiento browniano a través
de la ecuación de Fokker–Planck. La
ecuación de difusión, es una versión más
general de la ecuación del calor, y se
relaciona principalmente con el estudio de
procesos de difusión química.
4. La ecuación del calor predice que si un cuerpo a
una temperatura T se sumerge en una caja con
agua a menor temperatura, la temperatura del
cuerpo disminuirá, y finalmente (teóricamente
después de un tiempo infinito, y siempre que no
existan fuentes de calor externas) la temperatura
del cuerpo y la del agua serán iguales (estarán en
equilibrio térmico).
5. La ecuación del calor es una importante
ecuación diferencial en derivadas parciales
parabólica que describe la distribución del calor
(o variaciones de la temperatura) en una región
a lo largo del transcurso del tiempo. Para el caso
de una función de tres variables en el espacio
(x,y,z) y la variable temporal t, la ecuación del
calor es:
donde α es la difusividad térmica, que es
una propiedad del material.
6. POR SERIES DE FOURIER
* ECUACION UNIDIMENSIONAL DEL CALOR
(ECUACION BASE)
POR INTEGRALES DE FOURIER
* ECUACION UNIDIMENSIONAL DEL CALOR
(ECUACION BASE)
7. La técnica mas popular y ampliamente utilizada para
resolver la ecuación de calor unidimensional es la de
separación de variables, en la cual se usan series de
Fourier de medio rango.
Su éxito depende de la habilidad para expresar la
temperatura T(x,t) en función de la posición x y el
tiempo t, como el producto de dos funciones X(x)
Y(t).
Donde X(x) depende solo de x y Y(t) depende solo de
t. Si no se puede lograr esta separación, entonces se
usan otras técnicas. En el siguiente ejemplo
mostramos como aplicar esta técnica.
