Informe sobre ecuaciones diferenciales de primer orden, realizado por la ucv

1. "AÑO DEL BICENTENARIO DEL PERÚ: 200 AÑOS DE
INDEPENDENCIA"
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
Curso: Matemática III
Alumno:
Campos Durand Lenin Martin
Canessa Moreno Scarlet Andrea
Sampertegui Rodríguez Milagritos
Palacios Loayza Jhosep Mac Harry
Parihuaman Camacho Roberto Carlos
Docente: Edwin Raul Lazo Eche
Ciclo: III
Sección: B1T1
Fecha: 30 de junio del 2021
Piura-Perú

2. La esencia de la matemática no es hacer las
cosas simples complicadas, sino en hacer las
cosas complicadas simples.

3. Introducción
Una ecuación diferencial es aquella que relaciona entre su función, sus variables y sus derivadas
con respecto a una o más variables independientes. Las ecuaciones diferenciales juegan un papel
muy importante tanto en la propia Matemática como en otras ciencias como la Física, Química,
Economía, Biología, etc.
Cuando se empezó a desarrollar la teoría de las ecuaciones diferenciales, se trata de hallar
soluciones explícitas de tipos especiales de ecuaciones, pero pronto se advirtió que solo unas
pocas ecuaciones se podían resolver de esta manera.
Si la función que interviene tiene sólo una variable independiente, la ecuación se llama ecuación
diferencial ordinaria. Centrándonos ya en las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden,
veremos que el siguiente teorema nos muestra condiciones suficientes, pero no necesarias, para
que el problema de valor inicial dado.

4. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Se denomina ecuación diferencial a una relación entre una función sus variables y una o varias
derivadas sucesivas de la función.
𝑎𝑛(𝑥)
𝑑𝑛
𝑦
𝑑𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1(𝑥)
𝑑𝑛−1
𝑦
𝑑𝑥𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)
Toda ecuación diferencial de primer orden, expresada en forma normal, y´= f (x, y), se
puede interpretar como una expresión que asocia a cada punto (x, y) ∈ 𝑅2
en el dominio
de la función f, una dirección o, más concretamente, la pendiente de una recta.
En particular un sistema de ecuaciones de primer orden se puede expresar de la siguiente
manera:
f(x,y(x),𝑦′
(𝑥)) = 0
Se denomina lineal cuando la función vectorial f es una función lineal respecto a y(x), 𝑦′(𝑥)
• Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)
donde P(x) y Q(x) son funciones reales.
La solución general de la ecuación diferencial de primer orden
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)
está dada por:
𝑦 = 𝑒−∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
(∫ 𝑄(𝑥)𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑥)
• Demostración de una ecuación diferencial lineal de primer orden.
Reescribiendo la ecuación como:
𝑃(𝑥)𝑦 − 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 0

5. podemos comprobar que 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
es un factor integrante. Multiplicando la ecuación por
este factor tenemos que:
𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+𝑃(𝑥)𝑦=𝑄(𝑥)
De donde:
𝑑(𝑦𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
)
𝑑𝑥
= 𝑄(𝑥)𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
E integrante en x
𝑦𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
= ∫ (𝑄(𝑥)𝑒𝑃(𝑥)𝑑𝑥
)𝑑𝑥
Ejemplo
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑦 = 0
𝑃(𝑥) = −2
𝑄(𝑥) = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)

6. Ejercicios:
1.- 𝑥3 𝑑𝑥
𝑑𝑦
+ 3𝑥2
𝑦 = 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥)
𝑥3
𝑥3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
3𝑥2
3𝑥3
𝑦 =
𝑥
𝑥3
𝑃(𝑥) =
3
𝑥
; 𝑞(𝑥) =
1
𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
3
𝑥
𝑦 =
1
𝑥2
Reemplazamos en "𝜇"
𝜇(𝑥) = 𝑒∫
3
𝑥
𝑑𝑥
= 𝑒3∫
𝑑𝑥
𝑥 = 𝑒3 log 𝑥
𝜇(𝑥) = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝑥3
𝑦 = ∫ 𝑥3 1
𝑥2
𝑑𝑥 → 𝑥3
𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 → 𝑥3
𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 𝜇𝑦 = ∫ 𝜇𝑦𝑑𝑥
Despejamos “y”
𝑥3
𝑦 =
𝑥2
2
+ 𝐶 → 𝑦 =
𝑥2
2𝑥3
+
𝐶
𝑥3
→ 𝑦 =
1
2𝑥
+
𝐶
𝑥3
2.- 𝑥2
𝑦′
+ 2𝑥𝑦 = 3𝑥2
𝑥2𝑦′
𝑥2 +
2𝑥𝑦
𝑥2 =
3𝑥2
𝑥2 𝑦𝜇 = ∫ 𝜇𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶
𝜇 = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑(𝑥)
𝑦′ 2
𝑥
𝑦 = 3 𝑃(𝑥) =
2
𝑥
; 𝑞(𝑥) = 3
𝑦𝑥2
= ∫ 𝑥2
3𝑑𝑥 + 𝐶 𝜇 = 𝑒∫
2
𝑥
𝑑𝑥
𝑦𝑥2
= ∫ 3𝑥2
𝑑𝑥 + 𝐶 𝜇 = 𝑒2∫
𝑑𝑥
𝑥
𝑦𝑥2
= 3∫ 𝑥2
𝑑𝑥 + 𝐶 𝜇 = 𝑒2 log 𝑥
𝑦𝑥2
= 3
𝑥3
3
+ 𝐶 𝜇 = 𝑒𝑙𝑜𝑔𝑥2
𝑦𝑥2
= 𝑥3
+ 𝐶 𝜇 = 𝑥2

7. 𝑦 =
𝑥3
𝑥2
+
𝑐
𝑥2
𝑦 = 𝑥 +
𝑐
𝑥2
3.- 𝑦′
+ 4𝑦 = 𝑒𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥) 𝑃(𝑥) = 4 ; 𝑞(𝑥) = 𝑒𝑥
𝑦𝜇 = ∫ 𝑞 𝜇𝑑𝑥
𝜇 = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝜇 = 𝑒∫ 4𝑑𝑥
=𝑒4∫ 𝑑𝑥
= 𝑒4𝑥
𝑦𝑒4𝑥
= ∫ 𝑒𝑥
𝑒4𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑒5𝑥
𝑑𝑥 ∫ 𝑒𝑣
𝑑𝑣 = 𝑒𝑣
=
1
5
∫ 𝑒5𝑥
5𝑑𝑥 =
1
5
𝑒5𝑥
+ 𝐶
Despejar “y”
𝑦 =
1
5
𝑒5𝑥
𝑒4𝑥
+
𝐶
𝑒4𝑥
𝑦 =
1
5
𝑒𝑥
+ 𝐶𝑒−4𝑥
4.-
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥3−2𝑦
𝑥
𝑌′
+ 𝑃(𝑋)𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑋
𝑋
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
2𝑦
𝑥
=
𝑥3
𝑥
𝑌′
+
2
𝑥
𝑦 = 𝑥2
𝑃(𝑥) =
2
𝑥
; 𝑞(𝑥) = 𝑥2
𝑌 =
1
𝑢(𝑥)
∫ 𝑢(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑢(𝑥) = 𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
Verificamos:𝑒∫ 2/𝑥𝑑𝑥
2 ∫
1𝑑𝑥
𝑥
= 2*lnx
𝑒2𝑙𝑛𝑥
𝑒ln(𝑥2)=𝑥2
𝑦 = 1/𝑥2
∫ 𝑥2
∗ 𝑥2
𝑑𝑥

8. 𝑦 = 1/𝑥2
∫ 𝑥4
𝑑𝑥
𝑦 =
1
𝑥2
(
𝑥5
5
+ 𝑐)
𝑦 =
𝑥5
5𝑥2
+
𝑐
𝑥2
𝑦 =
𝑥3
5
+ 𝑘
comprobación para esta Ecuación Diferencial:
Derivo lo siguiente:𝑦 =
𝑥3
5
+ 𝑘 y nos quedaría: 𝑦 =
3𝑥2
5
y agregar el valor de “Y”
3𝑥2
5
=
𝑥3
− 2 (
𝑥3
5
)
𝑥
5𝑥3
− 2𝑥3
5
𝑥
1
3𝑥2
5
=
3𝑥3
5𝑥
3𝑥2
5
=
3𝑥2
5
Obtenemos nuestra comprobación
Y garantizamos nuestra E.D