metodologia

1. NORMA DIN 1319 — 1972/PARTE 3
TÉRMINOS FUNDAMENTALES DE LA PRÁCTICA DE LA MEDICIÓN
DEFINICIONES DE ERRORES QUE OCURREN EN LAS MEDICIONES
CONTENIDO
1. Alcance
2. Fuentes y tipos de error.
3. Errores de los instrumentos y su corrección.
4. Estimación de errores de valores medidos. Determinación de errores
aleatorios: Media aritmética, desviación estándar, límites de confianza del
valor medio.
5. Propagación del error.
6. Incertidumbre en la medición.
7. Limites de error.
1. Alcance
Esta norma se aplica generalmente en la consideración de errores de un
instrumento de medición y la estimación de errores en valores individuales
medidos y valores promedio obtenidos de una serie de mediciones.
2. Fuentes y tipos de error
2.1. El resultado de cualquier medición es falsificado por imperfecciones en el
objeto medido, en el instrumento de medición (incluyendo
“Maßverkörperungen” (medidas materializadas), como por ejemplo, pesas o
bloques patrón) y en el método de medición utilizado, por influencia de las
condiciones ambientales y del observador y además, por los cambios que
sufren todas estas fuentes de error con el tiempo (ver Notas).
2.1.
Una importante fuente de error puede ser la indefinición de la cantidad
magnitud medida; frecuentemente un valor medido es determinado por medio
del promedio de un grupo de mediciones individuales como ocurre, por
ejemplo, en la determinación de la dureza de un componente hecho de acero.
Cuando las mediciones se hacen en prueba de materiales, la muestra debe
tomarse del material en una forma preestablecida y con una técnica

2. adecuada. Cuando se involucran patrones de la más alta exactitud, toda
cantidad medida puede ser considerada como indefinida.
2.1.1. Las influencias ambientales notables, que tienden a falsificar los
resultados de las mediciones como por ejemplo, la temperatura, la presión
atmosférica, la humedad, el voltaje, la frecuencia y los campos eléctricos o
magnéticos extraños,
2.1.2. La influencia del personal que tiende a falsificar el resultado, se deriva
de las características y capacidad del observador (por ejemplo, su atención,
grado de habilidad, agudeza visual y poder de estimación).
2.1.3. Además, el resultado de una medición puede ser falsificado por errores
cometidos por el observador, por la selección de mediciones o métodos de
evaluación inadecuados y por una falta al tomar en cuenta alguna fuente de
error. Los descuidos de esta clase son definitivamente evitables y por lo tanto
no se toman en cuenta en esta norma.
2.2.1. Los errores sistemáticos ocurren primariamente, por imperfecciones
que afectan a los instrumentos de medición, a los métodos de medición y al
objeto medido y, además por efectos ambientales y del personal (ver Sección
2.2.3)
2.2.2. Los errores sistemáticos tienen una magnitud y signo definidos (+ ó -).
Los errores sistemáticos detectables, se eliminarán aplicando correcciones
(ver Sección 3.3). Si el valor medido no es corregido, el resultado será
incorrecto, tendrá un error (sistemático) (ver Notas y Sección 3)
2.2.2.
Los errores sistemáticos conocidos, establecidos por ejemplo a través de
calibración, son permitidos para corrección de acuerdo a la sección 3. En los
casos, en que solo es posible y significativa una estimación de errores
sistemáticos, el valor de la incertidumbre en la medición (sección 6) o el
intervalo de confianza del valor medio presente como resultado, debe
incrementarse por una cantidad correspondiente.
2.2.3. Hay otros errores sistemáticos, que permanecen indeterminados, ya
que no son detectables, por métodos confiables. Frecuentemente, es posible
estimar estos errores, de tal forma que nos permitan calcular la incertidumbre
de una medición, de acuerdo a la sección 6 (ver Notas).

3. 2.2.3.
Los errores sistemáticos que no se determinan directamente, pueden
aumentar a consecuencia del hecho que un instrumento tienen un error
sistemático desconocido ó a través de una falla que ocasiona disturbios
inevitables que afectan el método de medida. Un ejemplo de esto es la
pérdida de calor por fugas en mediciones de temperatura y de calorías. La
única forma de obtener la información necesaria en un caso como este, es
utilizando alternativamente uno o más tipos de instrumentos de medición o
uno o más tipos de métodos de medición
2.2.4. Los errores aleatorios son ocasionados por variaciones que afectan al
instrumento de medición (como la fricción o el desgaste), el objeto medido, el
medio ambiente y el observador; estas variaciones no pueden ser detectadas
y no pueden ser influenciadas. Cuando el mismo observador, repita una
medición de la misma magnitud, en el mismo objeto de medición, usando el
mismo instrumento de medición, bajo las mismas condiciones, o cuando un
observador lleve a cabo varias comparaciones del mismo instrumento de
medición, con el mismo patrón y bajo las mismas condiciones, se encontrará
que hay discrepancia entre los valores individuales medidos; de hecho, están
dispersos (ver Notas y Secciones 4.5.1 y 4.5.2)
2.2.4.
La dispersión encontrada en los valores individuales de una serie de
mediciones puede ser debida al hecho de que el objeto de medición ha
cambiado por sí mismo durante el periodo en que fueron tomadas las
mediciones; en otras palabras, la propiedad que es medida, está sujeta a
variaciones aleatorias. Aún en esta situación, que es una muy común en la
práctica, es significativa la obtención del valor promedio y la desviación
estándar, y como consecuencia, establecer un intervalo de confianza que
incluirá la variabilidad de la magnitud medida.
Los errores aleatorios varían de manera no uniforme en magnitud y signo (±).
No pueden determinarse individualmente y su presencia ocasiona
incertidumbre en el resultado. No obstante, deben tomarse en cuenta y
caracterizarse por medio de un coeficiente; y esto puede hacer más confiable
si se incrementa el número de mediciones (ver Sección 4)
3. Errores de los instrumentos de medición y su corrección.

4. 3.1. Los valores de una magnitud medida, obtenidos por medio de un
instrumento de medición, nunca están libres de error (ver Sección 2). La
diferencia que existe entre el valor medido (indicado o dado) xa y el valor xr,
obtenido ya sea directamente (medición absoluta) o por comparación con un
instrumento patrón o con un patrón que sea aceptado como “correcto”, se
denomina error (F). Este error es, fundamentalmente, de carácter sistemático
(ver Notas).
3.1.
La determinación experimental confiable de un error F requiere que la
incertidumbre de la medición (ver Sección 6) para el método utilizado, sea
considerablemente más pequeña que F. En la medida en que el error F es
más pequeño con relación a la incertidumbre de la medición u, se considera a
F como error de carácter aleatorio.
Lo siguiente se considera válido para todos los instrumentos de medición:
error es igual valor indicado (dado), menos el valor correcto:
(F = xa – xr)
Más específicamente debería notarse lo siguiente:
3.1.1. En el caso de la indicación de instrumentos de medición, xa es el valor
“indicado” leído del instrumento de medición; esto es establecido como la
indicación (indicación real). El valor correcto xr (indicación deseada) es la
indicación que debería obtenerse de un instrumento de medición libre de
errores (encontrado en la práctica por comparación con otro, por ejemplo un
patrón).
3.1.2. En el caso de medidas materializadas “Maßverkörperungen”, la
dimensión nominal (valor nominal) xn mostrado por la inscripción, corresponde
al valor xa (indicación). El valor correcto xr, es el valor de la medida
materializada, establecido por medición o calibración; por ejemplo, por
comparación con un patrón. En caso de duda, siempre es necesario
establecer en que se basa el error (por ejemplo, indicación, inscripción, etc.).
3.2. El error relativo de indicación de un instrumento de medición,
normalmente se refiere al valor correcto; entonces se establece:
Indicación menos valor correcto
Error relativo =
Valor correcto

5. Como característica del instrumento de medición, el error relativo también se
refiere algunas veces al valor final del alcance (rango) de medición:
Indicación menos valor correcto
Error relativo =
Valor final del alcance de medición
En caso de duda, siempre es necesario establecer sobre que base se
determina el error relativo (ver Notas).
3.2.
En el caso de instrumentos eléctricos de medición, con escala de graduación
altamente no lineal por ejemplo, el error relativo está referido a la longitud de
la escala, es decir
Indicación menos indicación verdadera
Error relativo =
Longitud de la escala
Para cumplir con esta expresión, ambos valores de indicación deberían
expresarse en unidades de longitud.
Para una medida materializada, con el significado de la sección 3.1.2 se
aplica la siguiente relación:
Dimensión nominal (valor nominal) menos valor correcto
Error relativo =
Valor correcto
3.3. La corrección es una definición ampliamente utilizada y se define como
sigue: La corrección tiene el mismo valor numérico absoluto que el error, pero
signo opuesto (ver Notas y Sección 2.2.2).
3.3.
En cualquier caso, debe aclararse perfectamente si se está indicando el error
o la corrección.
De aquí que se pueda aplicar lo siguiente:
Valor correcto = indicación + corrección
o
Valor correcto de la medida materializada = dimensión nominal (valor
nominal) + corrección.
4. Estimación de errores de valores medidos. Determinación de errores
aleatorios: Media aritmética, desviación estándar, límites de confianza del
valor medio (ver Notas).

6. 4.
Cuando se crea que los errores residen exclusivamente en los instrumentos
de medición o el método de medición empleado, y no en la inconsistencia del
objeto en medición, las mediciones deberían evaluarse estadísticamente
como se establece en DIN 51848 parte 1. Sin embargo, si las propiedades del
objeto en medición son tan inconsistentes que las variaciones entre los
valores medidos son notablemente mayores que lo indicado por el
instrumento de medición y el método empleado, se deben tener en cuenta las
indicaciones de DIN 53804. En lugar de las definiciones usadas en la sección
4, que están siendo adoptadas para incrementar la literatura internacional; las
siguientes expresiones aún son ampliamente usadas por ejemplo: error
cuadrático medio o error promedio en lugar de desviación estándar; error
promedio del valor promedio para el intervalo (rango) comprendido por los
limites de confianza del valor promedio (intervalo de confianza); error
promedio del error promedio para el intervalo (rango) comprendido por los
limites de confianza de la variación estándar; corrección en lugar de variación;
cantidad observada en lugar de cantidad media. El símbolo gaussiano de
suma también se usa aquí y, por ejemplo [x] se escribe ∑x . La norma DIN
1302 solo recomienda el uso del símbolo ∑
4.1. Media aritmética, valor promedio (ver Notas).
4.1.
Aparte del valor medio convencional, a menudo se emplea el valor medio
ponderado:
,
1
1
∑
∑
=
=
= n
i
i
n
i
ii
p
xp
x
donde pi es el peso de la i-ésima medición individual.
Este caso adquiere importancia, por ejemplo, cuando dos o más
observadores determinan una cantidad de distinta manera bajo condiciones
iguales, por ejemplo, con la misma variación estándar, cada observador
obtiene un valor promedio ix , pero con diferente número de valores
individuales ni. Entonces, por ejemplo, el peso pi puede igualarse con ni y en
este caso se puede obtener la media ponderada como:

7. ∑
∑ −
=
i
ii
g
n
xn
x
Si una serie de mediciones realizadas de acuerdo con las precauciones
establecidas en la sección 2.2.4, ha producido n valores individuales son x1, . .
. xi, . . . xn, el resultado generalmente se expresa como la media aritmética de
los n valores individuales y se describe brevemente como el valor promedio
x
∑=
=
n
i
ix
n
x
1
1
4.1 y 4.2.
Las ecuaciones establecidas en las secciones 4.1 y 4.2 se pueden exponer en
forma conveniente que permita el uso de una regla de cálculo:
( )∑ −+= ;
1
aia xx
n
xx
( ) ( ){ }
1
1 22
−
−−−
=
∑ ∑
n
xx
n
xx
s
aiai
Donde xa es un valor redondeado, cercano al valor promedio estimado.
Cuando se usa calculadora electrónica, pueden emplearse convenientemente
las siguientes expresiones:
;
1
∑= ix
n
x
( )
( ) 11
222
−
−
=
−
−
=
∑ ∑∑∑
n
xxx
nn
xxn
s iiii
Para mayor información a este respecto, consultar la norma DIN 55302,
secciones 1 y 2, sobre métodos estadísticos, distribución de frecuencias, valor
promedio y dispersión.
4.2. Desviación estándar (ver Notas).

8. El cálculo más importante de la variación aleatoria de los valores individuales
respecto de su valor promedio es la variación cuadrática media (error
cuadrático medio de la observación individual) el cual es denominado
variación estándar s y se define como:
( )∑=
−
−
+=
n
i
i xx
n
s
1
2
1
1
4.2.
Para evitar cualquier confusión, debería entenderse que, en estudios
estadísticos, en el cálculo de errores aleatorios es predominantemente usada
la cantidad s2
, conocida como varianza, además de la variación estándar s.
4.2.1. Cuando n es suficientemente grande, s se aproxima a una cantidad
definida como la desviación estándar σ de la población (muy grande) (ver
Notas).
4.2.1.
Se ha utilizado deliberadamente la expresión "muy grande” con cierta falta de
sutileza en este contexto. El mínimo valor permisible de n, que satisface la
condición de "muy grande" depende en cada caso, del grado de certeza
estadística p adoptada y de los límites de confianza considerados adecuados
para la variación estándar s.
De la misma forma que ocurre con el valor medio x , la variación estándar s,
solamente se determina con cierto grado de indeterminación, la cual es
caracterizada por los “límites de confianza de la variación estándar” (como
con el valor promedio). Los valores para estos límites de la variación estándar
están dados en la literatura en forma de gráficas y en forma tabulada para P =
95% en la norma británica BS 2846:1957. Si por ejemplo, se desea
determinar la variación estándar s con una certeza de P = 95%, dentro de
límites de confianza del orden de ± 10% (basado en la variación estándar),
será necesario usar una cantidad de 150 a 200 valores individuales. Por otra
parte, si es suficiente tener la variación estándar con un conocimiento
aproximado de ± 20%, serán suficientes n = 50 valores individuales (para P =
95%). Para una certeza estadística P = 68.3% el número n requerido, por
supuesto es más pequeño que para P = 95%. Con este ejemplo, solo se
pretende dar una idea del orden de magnitud de n. En situaciones reales, los
limites de confianza de la variación estándar s, no se establecen
simétricamente alrededor del valor calculado de s.

9. 4.2.2. En lugar de emplear la definición de variación estándar s, muy a
menudo es preferible utilizar la variación estándar relativa
%;
100
x
s
x
s
sr ==
llamada coeficiente de variación.
4.2.3. Suponiendo distribución gaussiana o normal, se encuentra que 1000
valores individuales arrojan los siguientes resultados:
317 se encuentran afuera del intervalo (rango) σ00.1=x
(certeza estadística P = 68.3%)
46 se encuentran afuera del intervalo (rango) σ0.2=x
(certeza estadística P = 95.4%)
3 se encuentran afuera del intervalo (rango) σ0.3=x
(certeza estadística P 99,7% o más precisa mente 99.73%)
Una certeza estadística de P = 68.3%, significa que el 68.3% de un número
muy grande n de valores individuales se encuentran dentro del intervalo
(rango) σ00.1=x
En lugar de la certeza estadística P (también denominada probabilidad
informativa), la matemática estadística prefiere el uso de la cantidad (1—P),
llamada “probabilidad de exceso”.
Para propósitos de control de calidad de producción industrial, la certeza
estadística P = 95%, es ampliamente usada, teniendo también muchas
aplicaciones la probabilidad de P = 99%.
Para estos valores, se encuentra que de 1000 valores individuales
independientes, se tiene los siguientes resultados:
50 se encuentran afuera del intervalo (rango) σ96.1=x (P = 95%)
10 se encuentran afuera del intervalo (rango) σ58.2=x (P = 99%)
(ver Notas)
4.3. Limites de confianza e intervalo de confianza del valor promedio (ver
Notas).
El valor medio como se definió en la sección 4.1, a menudo se da como el
resultado final de la medición partiendo de una serie de mediciones (que ha
arrojado valores individuales obtenidos independientemente, iguales en

10. confiabilidad). El observador supondrá que dicho valor medio es igual al valor
verdadero deseado que puede obtenerse de un gran número de mediciones
individuales, en ausencia de errores sistemáticos. Sin embargo, es posible
establecer dos límites por encima y por debajo del valor promedio encontrado,
entre los cuales (en ausencia de errores sistemáticos), y suponiendo una
distribución normal, el valor verdadero probablemente se encontrará con el
grado de certidumbre estadística P adoptada. Estos límites son conocidos
como límites de confianza del valor promedio. El intervalo de valores incluidos
entre estos es límites (intervalo entre límites de confianza) es denominado el
intervalo de confianza.
Tanto la certeza estadística P, como la probabilidad de exceso (1 – P)
deberían establecerse, en todos los casos, con respecto al intervalo de
confianza de la misma manera que toda la información relativa a los errores.
4.2.3.
En cuanto a la aplicación práctica de las tres certidumbres estadísticas o
intervalos (rangos) “preferidos” es necesario decir lo siguiente:
En física y prospección, es ampliamente usado el "error promedio" de la
observación individual, siendo mejor expresado como una simple variación
estándar s; de esta manera, el usuario se satisface con una baja certeza
estadística P = 68.3%. En biología, se ha considerado más adecuado trabajar
con la alta certeza estadística de P = 99.73%; y recientemente se ha preferido
internacionalmente trabajar con P = 99%. Similarmente, en física, la
incertidumbre en la medición de constantes internacionales está dada dentro
de ± 3σ. Para propósitos industriales, se ha dado preferencia estadística a P =
95%. Esta es la base de industrias tales como las del petróleo o textiles.
También es la base de todas las normas ASTM sobre productos petroleros.
En Gran Bretaña, se ha llegado a recomendar, como resultado de la
cooperación de industrias e instituciones científicas una certidumbre
estadística de P = 95%.
Una estimación más confiable de los resultados de experimentos, se obtiene
registrando la distribución de frecuencias de valores individuales. Los detalles
de estos métodos se encuentran en la norma DIN 55302, partes 1 y 2.
4.3.1. La desviación estándar(sección 4.2.1) de la población es desconocida.
En este caso, los limites de confianza están dados por las siguientes
expresiones:
Limite superior: s
n
t
x +

11. Limite inferior:
s
n
t
x −
En una forma más sencilla, se establece en intervalo de confianza como:
s
n
t
±
En esta expresión, el factor t depende del valor adoptado para la certeza
estadística P y el número n de valores individuales. (Consultar tabla en la
Sección 4.3.1.1).
4.3.1.1. Para los tres valores predominantes de certeza estadística
comúnmente utilizados P = 68.3%, P = 95.0% y P = 99.73%, además de P =
99%, los valores asociados para el factor t (distribución t de acuerdo a
Student) y t/√n, se agrupan en la siguiente tabla (ver Notas). La correlación
con una certeza estadística especifica P, está sujeta a la existencia de una
distribución normal.
El aumento de t, cuando n es pequeño, más allá de cualquier límite con
significado físico, particularmente cuando la certidumbre estadística P es alta,
muestra que cuando solo hay dos mediciones, no es posible hacer ninguna
inferencia estadística, a menos que s ó σ se conozcan de observaciones
previas (sección 4.3.2)
TABLA 4.3.1.1
Valores de t y t/√n (valores numéricos redondeados) para varios grados de
certidumbre estadística P
Valores de t y t/√n
1 σ
P = 68.3%
3 σ
P= 99.73%
1.96 σ
P = 95%
2.58 σ
P=99%
Número n de
valores
individuales
t t/√n t t/√n t t/√n t t/√n
(2)
3
4
5
6
8
(1,8) (1,3)
1,32 0,76
1,20 0,60
1,15 0,51
1,11 0,45
1,08 0,38
(235) (166)
19,2 11,1
9,2 4,6
6,6 3,0
5,5 2,3
4,5 1,6
(12,7) (9,0)
4,3 2,5
3,2 1,6
2,8 1,24
2,6 1,05
2,4 0,84
64 45
9,9 5,7
5,8 2,9
4,6 2,1
4,0 1,6
3,5 1,24

12. 10
20
30
50
100
200
1,06 0,34
1,03 0,23
1,02 0,19
1,01 0,14
1,00 0,10
1,00 0,07
4,1 1,29
3,4 0,77
3,3 0,60
3,1 0,45
3,1 0,31
3,0 0,22
2,3 0,72
2,1 0,47
2,0 0,37
2,0 0,28
2,0 0,20
1,9 0,14
3,2 1,03
2,9 0,64
2,8 0,50
2,7 0,38
2,6 0,26
2,6 0,18
"muy grande"
(mayor que
200)
1,0 0 3,0 0 1,96* 0 2,58 0
* A menudo es suficiente considerar t ≈ 2
4.3.2. La variación estándar σ de la población (ver Sección 4.2.1) es conocida.
Si la desviación estándar de la población (σ) se conoce de un número de
mediciones primitivas (ver Notas), las expresiones simbólicas para los límites
de confianza e intervalo de confianza del valor medio de n mediciones
individuales, pueden simplificarse de la siguiente manera:
⋅±
n
x
σ
para una certidumbre estadística P = 68.3%
n
x
σ3
± para una certidumbre estadística P = 99.73%
n
x
σ96.1
± para una certidumbre estadística P = 95%
n
x
σ58.2
± para una certidumbre estadística P = 99%
4.4. Establecimiento del resultado de medición (ver Notas).
El resultado completo de una serie de mediciones que comprende los n
valores individuales (resultado de la medición), se establece como el valor
promedio Ex (del cual se han eliminado los errores sistemáticos) y el intervalo
de confianza (para una certidumbre estadística P), ambos en las unidades de
la magnitud medida, como se indica de la siguiente manera:
s
n
t
xE ±
o, si se desea expresar el intervalo de confianza con relación al valor
promedio, como:

13. )1( ε±xE ; donde:
xE
s
n
t
⋅=ε (ver Sección 4.2.2)
4.1 a 4.4.
El siguiente ejemplo, es para ilustrar las definiciones usadas.
Una barra cuya longitud nominal es 200 mm, se mide 20 veces con un
instrumento de medición adecuado. Se supone que el error sistemático del
instrumento es tan pequeño que puede despreciarse.
Los 20 valores individuales x1 a x20 se encuentran tabulados enseguida. Se
calculan los resultados de la media aritmética x , la variación estándar s, el
intervalo de confianza y los limites de confianzas del valor promedio, para una
certidumbre estadística P = 95% * a).
a) Valores individuales x1 a x20
Medición longitud xi
(mm)
Medición longitud xi
(mm)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
200,10
200,00
199,85
200,15
199,95
193,90
200,35
200,00
200,15
199,80
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
199,95
200,20
200,15
199,95
200,15
199,85
200,20
200,10
199,95
200,25
b) Valor promedio: ( ) mmxx iE 05,200
20
1 20
1
== ∑
c) Variación estándar: ( ) mmxs i 15,005,200
19
1 2
=−= ∑
d) Intervalo de confianza del valor promedio:
Para P = 95%, t = 2.1 de acuerdo con la tabla de la Sección 4.3.1.1, entonces,
el intervalo de confianza es:
mmmms
n
t
07,015,047,0 ±=•±=±
El resultado se establece de la siguiente forma:

14. mmmms
n
t
xE 07,005,200 ±=±
o de otra forma, usando el intervalo de confianza, como:
( ) ( )mmxE %035,0105,2001 ±=± ε
Limite superior de confianza: 200,12 mm
Límite inferior de confianza: 199,98 mm
4.5. Condiciones de prueba.
Antes del tratamiento estadístico de los valores de una magnitud medida, se
debería comprobar si las mediciones se han llevado acabo bajo idénticas
condiciones de prueba e independientes una de otra. En cuanto a las
condiciones prácticas de prueba, se pueden distinguir los siguientes casos
extremos:
4.5.1. Condiciones de repetición.
Es cuando un solo observador determina la cantidad medida con el mismo
instrumento de medición, en forma sucesiva, bajo idénticas condiciones de
trabajo (ver notas y Sección 2.2.4) Bajo condiciones de repetición, los errores
sistemáticos no son detectables.
4.5.1 y 4.5.2.
En geodesia la "exactitud interna", corresponde a las condiciones de
repetición y la "exactitud externa" a las condiciones de comparación.
4.5.2. Condiciones de comparación.
Bajo estas condiciones, las mediciones se llevan a cabo por diferentes
observadores, trabajando en diferentes laboratorios y/o usando diferentes
instrumentos de medición del mismo tipo. En este caso, la variación estándar
generalmente es mayor que en el caso descrito como condiciones de
repetición en 4.5.1, porque bajo condiciones de comparación, los resultados
de la medición obtenidos pueden diferir también de uno a otro como
consecuencia del error sistemático "inter-laboratorios".
4.5.3. Las condiciones de repetición y comparación (Secciones 4.5.1 y 4.5.2),
han tenido una mención especial como casos extremo. Las condiciones de
repetición corresponden a la situación que generalmente prevalece en un solo
laboratorio, mientras que las condiciones de comparación se aplican, por
ejemplo, cuando un experimento coordinado se lleva a cabo por algunos

15. laboratorios participantes (ver Notas). Sujeto a un número de participantes
suficientemente grande en un experimento coordinado, la desviación estándar
"dentro de los laboratorios" (condiciones de repetición) e "inter-laboratorios”
(condiciones de comparación) se puede distinguir con ayuda de un análisis de
varianza.
4.5.3.
Cuando los resultados de las mediciones se establecen sobre la base de lo
estipulado en la sección 4.4, debería aclararse si el intervalo de confianza se
relaciona a las condiciones de repetición de acuerdo a la sección 4.5.1 ó las
condiciones de comparación de acuerdo a la sección 4.5.2. Solo en el último
caso, la medición resultante adquiere validez general.
Por ejemplo, en muchos métodos de medición normalizados en el campo de
pruebas de aceite mineral, la variación estándar, bajo condiciones de
comparación, es aproximadamente el doble de la variación estándar bajo
condiciones de repetición. En la medición de dureza Rockwell, la relación de
las dos variaciones estándar es aproximadamente 5:1. Solo en casos
excepcionales, los dos valores son iguales.
5. Propagación de error.
Las anteriores observaciones se han limitado a definir los errores sistemáticos
y los factores usados en el cálculo de errores aleatorios (variación estándar,
intervalo de confianza) y la incertidumbre de la medición, surgidos de la
determinación experimental de una magnitud simple medida. Cuando el
resultado de una medición es función de una o más magnitudes medidas
(valores medidos), el error del resultado debe determinarse aplicando la regla
de propagación de error. El tratamiento de la propagación error difiere
dependiendo si se aplica a errores sistemáticos determinados o a los factores
usados para cálculo de errores aleatorios (ver Notas).
5.
Si la incertidumbre uj de la medición de una cantidad xj, se determina de
acuerdo a la sección 6, la incertidumbre uy del resultado de la medición de
( )νxxxFy j ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 1 , se puede estimar con alguna confianza si la componente de
los errores sistemáticos contenidos en uj que son desconocidos, pero pueden
ser estimados sin exceder considerablemente la componente de errores
aleatorios. Sujeta a esta condición, la incertidumbre uy de la medición, puede
calcularse, con la siguiente expresión (ver Sección 5.2)

16. ∑=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
ν
1
2
j
j
j
y u
x
F
u
En general, solo es permisible usar las incertidumbres uj en la expresión de
arriba y no las incertidumbres uj/xj. Sin embargo, si “y” es un producto puro o
una relación o una función exponencial de la cantidad xj, la raíz cuadrada
toma una forma simple con la incertidumbres relativas de la medición.
En este caso para 2
2
1
1
mm
xxCy ⋅⋅= ,por ejemplo, la incertidumbre relativa en la
medición llega a ser:
⋅⋅⋅⋅+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅=
2
2
2
2
2
1
1
1
x
u
m
x
u
m
y
uy
Para el caso que ocurre frecuentemente en la práctica, donde no es conocida
la incertidumbre de la medición y solo se conocen los limites de error Gj (ver
Sección 7) de los valores medidos, xj, no hay una regla establecida
matemáticamente para determinar los límites de error Gy de la medición
resultante ( )νxxxFy j ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 1 . Es cierto que los límites de error Gy de la
medición resultante y no son mayores que:
G’y ∑ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
±= j
j
G
x
F
Ya que es improbable que este desfavorable caso ocurra frecuente mente, la
sumatoria cuadrática a menudo se usa como:
G’’y ∑ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
±=
2
j
j
G
x
F
La dependencia de los límites de error G’’y respecto a la medición resultante
y, no se ha clarado aún.
Como ejemplo, supóngase que el factor de potencia
IU
P
y == ϕcos será
determinado de mediciones simultáneas de la potencia P, corriente I y voltaje
terminal U entre las terminales. Considérese conocidos los límites relativos de
error (limites de error garantizados de los instrumentos de medición), durante
la determinación de las cantidades medidas de potencia, corriente y voltaje,
como:
%5,0
1
1
±=
∆
=
P
P
x
G
; %1
2
2
±=
∆
=
I
I
x
G
; %1
3
3
±=
∆
=
U
U
x
G
Trabajando con las ecuaciones anteriores, se obtienen los siguientes limites
relativos del error totaI:
G’y/y ( ) %5,2025,001,001,0005,0 ±=±=++±=

17. G’’y/y ( ) ( ) ( ) %5,1015,001,001,0005,0
222
±=±=++±=
5.1. Propagación de error cuando se aplica a errores sistemáticos.
El error sistemático ∆y de una función
y = F (x1, x2, . . . . . xj, . . . . . . xν).
se calcula de los errores sistemáticos individuales ∆x1 a ∆xν (que deben ser
suficientemente pequeños) de cantidades x1 a xν, mutuamente
independientes, por medio de la siguiente fórmula (despreciando los términos
de orden superior):
ν
ν
ν
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
F
y
j
j
j
∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
∂
∂
=⋅∆ ∑=
...2
2
1
11
(Observar los signos!)
Por ejemplo, si y = k·xm
, el error de la función y es
x
x
y
my ∆=∆
y su error relativo es
x
x
m
y
y ∆
=
∆
El cálculo de la propagación de errores sistemáticos detectables, se puede
evitar si estos son eliminados de los valores medidos.
5.2. Error de propagación cuando se aplica al cálculo de errores aleatorios.
Si se supone una distribución normal de los valores medidos, las variaciones
estándar s1 a sν (obtenidas de series de mediciones que producen igual
número de valores individuales), de cantidades individuales medidas
mutuamente independientes 1x a νx son conocidas, la variación estándar sy
del resultado de medición ( )νxxxFy j ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 1 puede calcularse de la
siguiente fórmula considerando que sj < jx :
∑=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
∂
∂
=
ν
1
2
j
j
j
y s
x
F
s
Si la variación estándar σ de la población se conoce en cada caso, puede
sustituirse s por σ; la ecuación para sy solo se aplica estrictamente a σy y σj.
Si por ejemplo, la medición resultante “y” es una función lineal

18. νν xaxaxay ⋅⋅⋅⋅++= 2211 ,
de las variables 1x a νx cuyas variaciones estándar s1 a sν, se conocen, la
medición resultante tiene la variación estándar establecida por:
( ) ( ) ( )22
22
2
11 νν sasasasy ⋅⋅⋅⋅++=
Cuyas ecuaciones en sy serán usadas cuando la medición resultante “y” esté
dada como función de los valores medios por ejemplo:
( )νxxxFy ⋅⋅⋅⋅= ,, 21
o “r” como una función de los valores individuales por ejemplo:
( )νxxxFy ⋅⋅⋅⋅= ,, 21
En el último caso, los valores sj deben indicarse a partir de las mediciones
más primitivas. Si, en particular, la medición resultante, es una función de
valores medios jx , cada uno de los cuales se obtiene de una comprobación al
azar con el mismo número m de valores individuales independientes, de tal
manera que ∑=
=
m
i
ijj x
m
x
1
1
con los apropiados intervalos de confianza js
m
t
, (con
el mismo grado de certeza estadística en cada ocasión), es posible calcular el
intervalo de confianza ys
m
t
de la medición resultante “y".
El procedimiento es el de la sección 5.2, con los intervalos de confianza js
m
t
substituidos para sj dentro de la raíz.
6. Incertidumbre en la medición.
La incertidumbre del resultado de una medición, es decir, la incertidumbre en
la medición implícita en un resultado, como se estableció para propósitos
prácticos, siempre incluye errores aleatorios (expresados matemáticamente
por la variación estándar o el intervalo de confianza) de todas las variables
individuales usadas en el cálculo del resultado de la medición y además, los
errores sistemáticos que no son determinables porque no se pueden medir,
pudiendo, solo ser estimados. Siempre se da por descontado que todos los
errores sistemáticos detectables son corregidos (ver Nota y Secciones 2 y 3).
Por consiguiente, el resultado final “y” de una serie de mediciones,
consistentes de n valores individuales independientes, tomando Ex como el
valor promedio libre de errores sistemáticos detectables y u como la
incertidumbre de la medición, está dado por: uxy E ±=

19. Actualmente, hay tres formas de determinar la incertidumbre u de una
medición, como se indica a continuación:
6.
La incertidumbre en la medición u, se establece en las unidades del resultado
de la medición como ± u o en forma relativa con relación al resultado como
±εu, para leer el resultado como: ( )uExy ε±= 1 , donde:
E
u
x
u
=ε .
En geodesia, cuando los errores aleatorios y sistemáticos se operan
simultáneamente; los errores sistemáticos a menudo se tratan como errores
aleatorios, de aquí que la incertidumbre o "error promedio", es calculado como
la raíz de la suma de los cuadrados de los errores sistemáticos y aleatorios.
De acuerdo a esto, el "error promedio" también es evaluado como una
incertidumbre “medida” para mediciones que comprenden errores de acción
unidireccional. Sin embargo, se debe distinguir el subsiguiente tratamiento de
"errores promedio” de esta clase.
6.1. La incertidumbre en la medición del resultado de una medición específica,
puede caracterizarse por el intervalo de confianza del valor medio, encontrado
en n valores individuales de aquí, que se puede aplicar la siguiente relación
(ver Sección 4.3.1):
fs
n
t
u +=
donde f es una cantidad estimada, permitida para los errores sistemáticos no
detectables y no detectados.
n
t
se determina a partir de la tabla de la
sección 4.3,1.1 para un valor seleccionado de P.
6.2. De acuerdo a la definición de la sección 6.1, u depende del número n
seleccionado arbitrariamente. Sin embargo, en la práctica a menudo es más
importante tener una estimación de la confiabilidad del método de medición, el
instrumento de medición o aún de un solo resultado, que es independiente de
n. En tales casos, es apropiado representar la “incertidumbre de la medición”,
como la cantidad σ o un múltiplo (dependiendo de la certidumbre estadística
de P); si σ se puede suponer conocida sobre la base de una adecuada
experiencia metrológica y entonces, se tendrá: u = tσ.

20. En la industria se prefieren los valores t = 1 o t = 2, de acuerdo al campo de
actividad que se trate, y es menos frecuente t = 3 (ver última fila de la Tabla
4.3.1.1 y Nota para 4.2.3)
6.3. En campos específicos de la industria, es práctica común caracterizar la
incertidumbre en la medición de un procedimiento, como la diferencia entre
dos valores cualesquiera x1 y x2, obtenidos independientemente uno de otro
(aleatoriamente); de los cuales se sabe, por experiencia, que solo un caso en
20 estará afuera del intervalo.
Estadísticamente es probable, en este importante caso (donde P = 95%), que
la diferencia entre dos valores individuales independientes, satisfaga la
relación (ver Sección 4.2.3):
σσ 77.296.1221 =⋅=≤−=∆ rxxx
La determinación de esta forma se recomienda para aplicaciones prácticas,
por ejemplo, cuando se trata del procedimiento normal en un laboratorio para
hacer solo dos mediciones individuales, cuando el valor “r” es conocido (es
decir dado por una regla).
6.4. Esto aún lleva a la interrogante sobre que probabilidad estadística será
tomada como base para los datos. Es recomendable seguir el ejemplo de
otros países, que generalmente dicen que los cálculos deberían realizarse
con una probabilidad estadística P = 95% (probabilidad de exceso (1 - P) =
0,05 ó 5%), cuando se establecen errores.
La expresión "Exactitud de la medición" deberá ser evitada cuando se hacen
estimaciones cuantitativas (ver Nota para 6 y 7).
7. Limites de error.
Los limites de error (ver Notas) se distinguen rigurosamente de las
definiciones de error e incertidumbre de la medición, discutidas en las
secciones 2 a 4.
6 y 7.
Es muy imperante hacer notar que cuando se trata de resultados de medición,
métodos e instrumentos de medición, así como instrucciones para medición y
ajuste, no se debe indicar o puntualizar una "exactitud" especifica, sino que
deben usarse los términos incertidumbre de la medición y limites de error.

21. La incertidumbre de la medición (ver Sección 6), es una medida de la
extensión hasta la cual un resultado de medición es incierto (Sección 2.2.4);
originada principalmente por errores aleatorios y no puede ser especificada.
La indicación numérica de una incertidumbre debe caracterizarse por la
adición de términos, tales como "incertidumbre de la medición" o
“incertidumbre”. La indicación de variación estándar, es deseable en casos
específicos (ver Sección 6).
Ejemplos:
a) La incertidumbre en la medición de un termómetro con divisiones de
1/10 K es ± 0,02 K.
b) La incertidumbre relativa en la medición de la determinación de la
conductividad térmica de metales es ± 2%.
c) La frecuencia medida de 10 MHz tuvo una incertidumbre de ± 10 Hz.
d) La viscosidad cinemática se determinó con un viscosímetro Ubbelohde
indicando ν = 1,2 cm2
s-1
(= 120 cSt), una variación estándar σ = 0,003
cm2
s-1
(= 0,3 cSt).
Los limites de error (ver Sección 7) indican los limites dentro de los cuales se
permite la variación de un valor medido (resultado de medición) respecto del
valor correcto, es decir, la extensión hasta la cual se permite "ser incorrecto”.
Estos límites, son originados principalmente por errores sistemáticos que
generalmente se derivan de variaciones inevitables en la manufactura de los
instrumentos de medición (ver Nota para 7.1) y también incluyen la
incertidumbre de la medición. El intervalo determinado por los límites de error,
será considerablemente mayor que la incertidumbre de la medición (ver
Sección 7.2). En lo que a la formulación práctica concierne, la declaración "la
cantidad medida es para ser determinada con ± a” significa que el valor
medido (la indicación) debe estar dentro del intervalo ± a, alrededor del valor
correcto; de aquí que siempre implica los limites de error.
Para mayor ilustración se dan los siguientes ejemplos:
e) El controlador de temperatura mantiene la temperatura prefijada de 22
°C, constante dentro de los limites de error ± 0,5 K.
f) El voltímetro tiene límites de error de ± 0,2 % del valor final del alcance
de medición.
g) La masa de la pieza, debe permanecer dentro de los límites-de error ± 1
mg.

22. h) Para establecer la corriente especificada, debería usarse un
amperímetro de clase 0.5.
i) La resistencia es para ser igualada a 5,00 Ω ± 0,01 Ω.
k) El intervalo de tiempo debe ser determinado (correcto) a ± 1 ms.
La definición "límites de error" solo se puede omitir si ningún error es posible
como resultado (ejemplos h a k).
7.1. Los limites de error para mediciones prácticas, son las variaciones
extremas permitidas garantizadas, por encima y por debajo de la indicación
deseada o del valor nominal o algún otro valor especificado de la magnitud
medida. Los limites de error, pueden ser unilaterales (signo + ó -) o bilaterales
(±) y no deben excederse sin importar la incertidumbre de la medición con la
cual puede determinarse el valor medido o el resultado de la medición (ver
Notas).
7.1.
La definición dada para límites de error se aplica generalmente en ausencia
de cualquier acuerdo especial en contrario, los límites de error comprenden
los errores sistemáticos detectables y, además, las variaciones originadas por
prácticas técnicas e inconsistencias inevitables en la fabricación, así como los
efectos debidos a envejecimiento. Si los límites de error solo se aplican bajo
condicionas restrictivas dadas (por ejemplo: a una temperatura de 20 °C o en
un intervalo de 10 a 30 °C), estas condiciones deben ser debidamente
especificadas.
Las tolerancias, por ejemplo, para condiciones de entrega en el campo de
pruebas de aceite mineral, y en el campo de ingeniería de producción están
de acuerdo con los límites de error garantizados.
Importantes casos especiales de los límites de error, como se han definido,
son los limites de error garantizados y los limites de error de calibración de un
instrumento de medición (ver Secciones 7.1.1 y 7.1.2).
7.1 y 7.1.2.
Los siguientes ejemplos se dan a manera de ilustración de los términos
definidos en el texto (ver también DIN 1319 parte 2)
Ejemplo 1. Sea de O a 50 °C, el intervalo de indicación de un termómetro de
mercurio graduado en 1/10 K. De acuerdo a las reglamentaciones de
calibración, los límites de error para propósitos de calibración (es decir, los

23. limites de error de acuerdo a la Sección 7) para este termómetro son: ± 0,15
K. Supóngase también que cuando se prueba en un baño de agua a la
temperatura "correcta" de 20 °C, determinada por un termómetro patrón, el
termómetro bajo prueba indica una temperatura de 20,10 °C (lectura,
indicación). En este punto de medición, además del error sistemático en
indicación menos el valor correcto = 20,10 °C - 20,00 °C = + 0,10 K; está
dentro de los límites de error para propósitos de calibración. A condición de
que esto también sea cierto para los otros puntos de medición, se puede dar
el certificado de calibración si satisface las otras regulaciones involucradas.
Considérese una incertidumbre en la medición para un termómetro como ±
0,02 K. Por tanto, con limites de error de ± 0,15 K para propósitos de
calibración, el error de indicación aun puede ser determinado con suficiente
exactitud (ver Sección 7.2). El usuario de este instrumento, puede estar
satisfecho de haber recibido el "certificado de calibración" de su termómetro y
decir que mide "correctamente” dentro de limites de ± 0,15 K; o puede hacer
evaluaciones más exactas y se debe entonces tomar la diferencia entre la
indicación de 20,10 °C y el valor de 20,00 °C como error sistemático, de
acuerdo a la Sección 3. En este caso, desde luego, el usuario puede medir
"correctamente" con el instrumento, dentro de la incertidumbre de medición u
= ± 0,02 K
Si se establece la corrección y no el error, la relación es:
Valor correcto = Valor indicado + corrección, para el presente ejemplo (con
error F = +0,10 K, la corrección es = -0,10 K):
20,00 °C = 20,10 °C – 0,10 K.
Para aclarar aun más lo anterior, se tiene la figura 1 para mostrar como se
interpretan los límites de error en el caso del ejemplo 1. Dicha figura muestra
tres casos:
Caso 1. Corresponde al ejemplo que acaba de ser considerado, en el cual la
indicación (indicación real) es A1 = 20,10 °C.
Caso 2. Representa un caso limite en el cual la indicación (indicación real) A2
= 19,85 °C es igual al mínimo valor medido que se permite y los límites de
error, se cumplen ajustadamente para propósitos de calibración.

24. Caso 3. La indicación A3 = 20,16 °C está fuera de los limites de error para
propósitos de calibración; a este termómetro no se da estampado de
calibración.
Figura 1. Ejemplos de indicaciones
En algunos casos, es conveniente llegar a un acuerdo sobre la forma correcta
en que se utilizará la indicación real (por ejemplo, como un solo valor medido;
o como un valor promedio tomado de un número especifico de valores
individuales, por ejemplo n = 3 valores individuales).
Ejemplo 2. La longitud total de una pieza de acero de 1 m es 1 000,3 mm
cuando se verifica su exactitud por comparación con un patrón. Por tanto, el
valor correcto de acuerdo a la sección 3.1.2 será 1 000,3 mm y la dimensión
nominal (valor nominal) será 1 000,00 mm.
De la sección 3.1.2 se observa que:
Error F = 1 000,0 mm – 1000,3 mm = - 0,3 mm
La corrección para la dimensión nominal (valor nominal) es + 0,3 mm. Ya que
los límites de error para propósitos de calibración son ± 0,4 mm, es decir, el

25. intervalo permitido se extiende de 999,6 mm a 1 000,4 mm, recibe su
estampado de calibración.
7.1.1. Limites garantizados del instrumento de medición.
Cuando el fabricante de un instrumento de medición, garantiza que los errores
de los valores medidos (indicación), obtenidos con el instrumento, cuando se
emplea bajo las condiciones especificadas, permanece dentro de los limites
prescritos; los limites garantizados en esta forma se llaman limites de error
garantizados del instrumento (ver Notas).
7.1.2. Limites de error de calibración de un instrumento de medición (ver
Notas).
7.1.1.
Condiciones especiales aplicadas a instrumentos eléctricos de medición.
De acuerdo con los límites garantizados de error (± a % para la clase “a”), se
está garantizando a los valores nominales (o en los intervalos nominales) de
factores de influencia especifica A, B... Partiendo de los valores nominales (o
intervalos nominales), ciertos intervalos de influencia son proporcionados para
esos factores.
Si todos los factores de influencia coinciden con sus valores nominales o
cubren el intervalo nominal, y si uno de esos factores, por ejemplo el factor de
influencia A, se aleja de su valor nominal (o del valor límite de un intervalo
nominal), y pasa a un intervalo de influencia adyacente, el cambio en la
indicación ocurrido, no excederá de ± a %.
Ejemplo. Un voltímetro de clase 0,2 con un alcance de medición de 150 V,
tiene limites de error de ± 0,2 % del valor final del intervalo de medición; es
decir 150 x 0,002 = ± 0,3 V, cuando cada factor de influencia especificado
está en su valor nominal (o permanece en su intervalo nominal). Por ejemplo,
si la temperatura es un factor de influencia A (valor nominal 20 °C) se supone
algún valor dentro del intervalo de influencia 10 ... 20 °C ó 20 .... 30 °C;
entonces la indicación dada bajo estas condiciones no variará en más de ±
0,3 V de la indicación dada a 20 °C.
Los limites de error de calibración de un instrumento de medición, denotan las
más grandes variaciones de la indicación ó dimensión nominal (valor
nominal), respecto del valor correcto (ver Sección 3), los cuales son
aceptables bajo el código de calibración por comparación con un patrón. El

26. instrumento de medición se adjudica el certificado de calibración, solo si la
indicación o dimensión nominal (valor nominal) permanece dentro del
intervalo: Valor correcto (calificado como correcto) ± límites de error de
calibración.
7.2. Para asegurarse que los limites de error especificados pueden ser
confiables, la incertidumbre de la medición (ver Sección 6), con la cual una
cantidad puede ser medida, será considerablemente más pequeña
(preferiblemente no mayor de 1/5) que el intervalo establecido por los límites
de error, ya sean límites de error garantizados o limites de error de calibración
(ver Notas y Figura 1).
7.3. Los límites de error se denotan de dos maneras.
a) Comunmente, mediante el establecimiento del intervalo dentro del cual
se permite que se encuentre el valor medido; por ejemplo, los límites de error
garantizado de un instrumento de medición, son ± 0,2% sobre la base del
valor final, o en otro caso, para propósitos de calibración, los limites de error
de un termómetro son ± 0,15 K a 20 ºC.
b) Estableciendo los limites de la cantidad medida, por ejemplo, los valores
máximo y mínimo permisibles son 20,15 ºC y 19,85 ºC.