El documento presenta la resolución de tres ejercicios de dinámica en coordenadas cilíndricas y esféricas. En el primer ejercicio se resuelve una expresión algebraica. En el segundo se expresa la ecuación del calor en coordenadas cilíndricas elípticas. Y en el tercero se evalúa el operador del gradiente en coordenadas esféricas.

1. RESOLUCION DE PRIMERA PRACTICA DE DINAMICA 27 de septiembre de 2010
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA PROFESIONAL DE
ING. CIVIL
RESOLUCION DE PRIMERA PRACTICA DE DINAMICA
CURSO : DINAMICA
ALUMNOS : ARPASI HUAMAN LITERSON
FLORES COPACATI, ANTONIO
MALDONADO VERA, JOSE AUGUSTO
CORDOVA, JEFFESON JORGE
CICLO : IV
DOCENTE : Ing. ALBERTO FLORES
MOQUEGUA - PERU
2010
UJCM – INGENIERIA CIVIL 2010 – II - DINAMICA 1

2. RESOLUCION DE PRIMERA PRACTICA DE DINAMICA 27 de septiembre de 2010
→ (푺 + 푻
UJCM – INGENIERIA CIVIL 2010 – II - DINAMICA 2
1. Resolver la siguiente expresión ( 푹푿
→ → ) + ( 푻 푿
→ (푹 + 푺
→ → ) + ( 푺 푿
→ (푻 + 푹
→ →)
RESOLUCION:
→ (푺 + 푻
( 푹 푿
→ → ) + ( 푻 푿
→ (푹 + 푺
→ → ) + ( 푺 푿
→ (푻 + 푹
→ →)
i j k k i j j k i
l ll s
m o p
=elmi eljk Ri Sj Tk + ellok ellij Tk Ri Sj +espj eski Sj Tk Ri
=(ʆmj ʆik Ri Sj Tk - ʆmk ʆij Ri Sj Tk)+( ʆoi ʆkj Tk Ri Sj - ʆoj ʆki Tk Ri Sj)
+ (ʆpk ʆji Sj Tk Ri - ʆpi ʆjk Sj Tk Ri)
Contracciones:
m=j m=k o=i o=j p=k p=i
i=K i=j k=j k=i j=i j=k
=(ʆjj ʆkk RK Sj Tk - ʆkk ʆjj Rj Sj Tj)+( ʆii ʆjj Tj Ri Sj - ʆjj ʆii Ti Ri Sj)
+( ʆkk ʆii Si Tk Ri - ʆii ʆkk Sk Tk Ri)
Rk Sj Tk - Rj Sj Tk+ Tj Ri Sj - Ti Ri Sj+ Si Tk Ri - Sk Tk Ri
(TXR)XS-(RXS)XT+(SXT)XR-(TXR)XS+(RXS)XT-(SXT)XR =0

3. RESOLUCION DE PRIMERA PRACTICA DE DINAMICA 27 de septiembre de 2010
2. Expresar en coordenadas cilíndricas elípticas (u, v, z) la ecuación de transmisión de calor por
conducción
퐡ퟏ 퐡ퟑ
퐡ퟐ
훛
훛퐳
훛
훛퐮
UJCM – INGENIERIA CIVIL 2010 – II - DINAMICA 3
흏푼
흏풕
= 풌훁 ퟐ퐔
풙 = 풂풄풐풔풉풖.풄풐풔풉풗
풚 = 풂풔풆풏풉풖.풔풆풏풉풗
풛 = 풛
RESOLUCION:
퐮ퟏ = 퐮
풖ퟐ = 풗
풖ퟑ = 풛
Factor de Escala:
풉ퟏ = 풂√(풔풆풏풉ퟐ 풖.풄풐풔풉ퟐ풗 + 풔풆풏풉ퟐ 풗. 풄풐풔풉ퟐ풖)
풉ퟐ = 풂√(풔풆풏풉ퟐ풖.풄풐풔풉ퟐ풗 + 풔풆풏풉ퟐ풗. 풄풐풔풉ퟐ풖)
풉ퟑ = ퟏ
Jacobiana:
[
−퐚퐬퐞퐧퐡퐮. 퐜퐨퐬퐡퐯 퐚퐜퐨퐬퐡퐮. 퐬퐞퐧퐡퐯 ퟎ
−퐚퐜퐨퐬퐡퐮. 퐬퐞퐧퐡퐯 퐚퐬퐞퐧퐡퐮. 퐜퐨퐬퐡퐯 ퟎ
ퟎ ퟎ ퟏ
]
퐃퐄퐓 = −퐚ퟐ (풔풆풏풉ퟐ풖. 풄풐풔풉ퟐ풗 − 풔풆풏풉ퟐ풗.풄풐풔풉ퟐ 풖) ≠ ퟎ
U=풂풄풐풔풉풖.풄풐풔풉풗 + 풂풔풆풏풉풖.풔풆풏풉풗 +풛
훁 ퟐ퐔 =
ퟏ
퐡ퟏ 퐡ퟐ 퐡ퟑ
훛
훛퐮
((
퐡ퟐ 퐡ퟑ
퐡ퟏ
(
)
훛퐅
훛퐮
) + (
훛
훛퐯
(
)
훛퐅
훛퐯
) + (
(
퐡ퟏ 퐡ퟐ
퐡ퟑ
)
훛퐅
훛퐳
))
훁 ퟐ퐔 =
ퟏ
풂ퟐ 풔풆풏풉ퟐ풖.풄풐풔풉ퟐ풗 + 풔풆풏풉ퟐ 풗. 풄풐풔풉ퟐ풖
((
훛퐅
훛퐮
) + (
훛
훛퐯
훛퐅
훛퐯
)
훛
훛퐳
+ (
(풂ퟐ(풔풆풏풉ퟐ풖. 풄풐풔풉ퟐ풗 + 풔풆풏풉ퟐ풗.풄풐풔풉ퟐ풖 ))
훛퐅
훛퐳
))

4. RESOLUCION DE PRIMERA PRACTICA DE DINAMICA 27 de septiembre de 2010
훛
훛퐮
UJCM – INGENIERIA CIVIL 2010 – II - DINAMICA 4
훁 ퟐ퐔 =
ퟏ
풂ퟐ 풔풆풏풉ퟐ풖.풄풐풔풉ퟐ풗 + 풔풆풏풉ퟐ 풗. 풄풐풔풉ퟐ풖
((
(퐚퐜퐨퐬퐡퐯. 퐬퐞퐧퐡퐮 + 퐚퐬퐞퐧퐡퐯. 퐜퐨퐬퐡퐮)
훛
훛퐯
+ (
(퐚퐜퐨퐬퐡퐮. 퐬퐞퐧퐡퐯 + 퐚퐬퐞퐧퐡퐮. 퐚퐜퐨퐬퐡퐯)
+
훛
훛퐳
(풂ퟐ(풔풆풏풉ퟐ풖. 풄풐풔풉ퟐ풗 + 풔풆풏풉ퟐ풗.풄풐풔풉ퟐ 풖 ))
훁 ퟐ퐔 =
ퟏ
풂ퟐ 풔풆풏풉ퟐ풖.풄풐풔풉ퟐ풗 + 풔풆풏풉ퟐ 풗. 풄풐풔풉ퟐ풖
(( (퐚퐜퐨퐬퐡퐯. 퐜퐨퐬퐡퐮 + 퐚퐬퐞퐧퐡퐯. 퐬퐞퐧퐡퐮)
+ ( (퐚퐜퐨퐬퐡퐮. 퐜퐨퐬퐡퐯 + 퐚퐬퐞퐧퐡퐮. 퐚퐬퐞퐧퐡퐯))
훁 ퟐ퐔 =
(ퟐ퐚퐜퐨퐬퐡퐯. 퐜퐨퐬퐡퐮 + ퟐ퐚퐬퐞퐧퐡퐯. 퐬퐞퐧퐡퐮)
풂ퟐ 풔풆풏풉ퟐ풖.풄풐풔풉ퟐ풗 + 풔풆풏풉ퟐ 풗. 풄풐풔풉ퟐ풖
흏푼
흏풕
= 풌훁 ퟐ퐔
흏푼
흏풕
= ( (ퟐ퐚퐜퐨퐬퐡퐯.퐜퐨퐬퐡퐮+ퟐ퐚퐬퐞퐧퐡퐯.퐬퐞퐧퐡퐮) 퐊
풂ퟐ 풔풆풏풉ퟐ 풖.풄풐풔풉ퟐ풗+ 풔풆풏풉ퟐ 풗.풄풐풔풉ퟐ풖
)

5. RESOLUCION DE PRIMERA PRACTICA DE DINAMICA 27 de septiembre de 2010
3. En el sistema de coordenadas esféricas evaluar 훁. 푭→ 풚 훁 풙 푭→
푭풓 = −ퟑퟎ풂풓 풔풆풏 휽풄풐풔흓 푭휽 = −ퟏퟓ 풂풓풄풐풔휽 풄풐풔흓 푭흓 = ퟏퟓ 풂풓풔풆풏흓
F= −ퟑퟎ풂풓 풔풆풏 휽풄풐풔흓 − ퟏퟓ 풂풓풄풐풔휽 풄풐풔흓 + ퟏퟓ 풂풓풔풆풏흓
UJCM – INGENIERIA CIVIL 2010 – II - DINAMICA 5
a) Hallar 훁. 푭→
RESOLUCION:
ퟏ
퐫ퟐ 퐬퐞퐧훉
(
훛
훛퐫
((퐫ퟐ퐬퐞퐧훉 (−ퟑퟎ풂풓 풔풆풏 휽풄풐풔흓) ) + (
훛
훛휽
풓풔풆풏휽(−ퟏퟓ 풂풓풄풐풔휽 풄풐풔흓 ))
훛
훛흓
+ (
( 풓 ( ퟏퟓ 풂풓풔풆풏흓 ))
ퟏ
퐫ퟐ 퐬퐞퐧훉
(
훛
훛퐫
(−ퟑퟎ퐚퐫ퟑ풔풆풏ퟐ훉 퐜퐨퐬흓 + (
훛
훛휽
(−ퟏퟓ 풂풓ퟐ 풔풆풏휽풄풐풔휽 풄풐풔흓 ))
훛
훛흓
+ (
( ( ퟏퟓ 풂풓ퟐ 풔풆풏흓 ))
ퟏ
퐫ퟐ 퐬퐞퐧훉
( (−ퟗퟎ퐚풓ퟐ 풔풆풏ퟐ훉 퐜퐨퐬흓 + (ퟏퟓ 풂풓ퟐ 풄풐풔흓(풔풆풏ퟐ휽−풄풐풔ퟐ휽 )
+ ( ( ퟏퟓ 풂풓ퟐ 풄풐풔흓 ))
ퟏ
퐫ퟐ 퐬퐞퐧훉
( (−ퟗퟎ퐚풓ퟐ 풔풆풏ퟐ훉 퐜퐨퐬흓 + (ퟏퟓ 풂풓ퟐ 풄풐풔흓)((풔풆풏ퟐ휽−풄풐풔ퟐ휽 + ퟏ)
ퟏ
퐫ퟐ퐬퐞퐧훉
( (−ퟗퟎ퐚풓ퟐ풔풆풏ퟐ훉 퐜퐨퐬흓 + (ퟏퟓ 풂풓ퟐ 풄풐풔흓)((ퟐ풔풆풏ퟐ휽))
( (−ퟗퟎ퐚풔풆풏훉 퐜퐨퐬흓 + (ퟑퟎ 풂풄풐풔흓)풔풆풏휽)
훁. 푭→ = - 60퐚풔풆풏훉 퐜퐨퐬흓

6. RESOLUCION DE PRIMERA PRACTICA DE DINAMICA 27 de septiembre de 2010
UJCM – INGENIERIA CIVIL 2010 – II - DINAMICA 6
b) Hallar 훁풙푭→
RESOLUCION:

7. RESOLUCION DE PRIMERA PRACTICA DE DINAMICA 27 de septiembre de 2010
UJCM – INGENIERIA CIVIL 2010 – II - DINAMICA 7
4. Hallar una expresión equivalente a:
RESOLUCION:
(U X V). (V X W) X (U X W)
i j j k i k
l m n
l
= elij elmn emjk enik Ui² Vj² Wk²
= (ʆim ʆjn emjk enik Ui² Vj² Wk² - ʆin ʆjm emjk enik Ui² Vj² Wk²)
Contracciones: i=m j=n i=n j=m
= (ʆmm ʆnn emnk enmk Um² Vn² Wk² - ʆnn ʆmm emmk ennk Un² Vm² Wk²)
emnk enmk Um² Vn² Wk²
(U .V X W) ² = (W.U x V)2

8. RESOLUCION DE PRIMERA PRACTICA DE DINAMICA 27 de septiembre de 2010
UJCM – INGENIERIA CIVIL 2010 – II - DINAMICA 8
5. Evaluar la laplaciano de:
RESOLUCION
Ahora la laplaciano
)
)
)

9. RESOLUCION DE PRIMERA PRACTICA DE DINAMICA 27 de septiembre de 2010
6. Demostrar que el producto escalar es invariante ante una rotación de ejes
UJCM – INGENIERIA CIVIL 2010 – II - DINAMICA 9
RESOLUCION:
풄풐풔휽 풔풆풏휽 ퟎ
−풔풆풏휽 풄풐풔휽 ퟎ
(
ퟎ ퟎ ퟏ
푨풙
푨풚
푨풛
) (
푨′풙
푨′풚
푨′풛
) = (
)
푨′
풙 = 푨풙 풄풐풔휽 + 푨풚 풔풆풏휽
푨′풚 = −푨풙 풔풆풏휽 + 푨풚 풄풐풔휽
푨′풛 = 푨풛
푩′
풙 = 푩풙 풄풐풔휽 + 푩풚 풔풆풏휽
푩′풚 = −푩풙 풔풆풏휽 + 푩풚 풄풐풔휽
푩′풛 = 푩풛
A´.B´= (푨풙 풄풐풔휽 + 푨풚 풔풆풏휽)( 푩풙 풄풐풔휽 + 푩풚 풔풆풏휽) + (−푨풙 풔풆풏휽 + 푨풚 풄풐풔휽)( −푩풙 풔풆풏휽
+푩풚 풄풐풔휽) + 푩풛 .푨풛
A´.B´= (푨풙푩풙 풄풐풔ퟐ휽 + 푨풚 푩풚 풔풆풏ퟐ휽 + (푨풙푩풙 풄풐풔ퟐ휽 + 푨풚 푩풚 풔풆풏ퟐ휽 + 푩풛 .푨풛
A´.B´= (푨풙푩풙 + 푨풚 푩풚 + 푨풛푩풛)………(1)
EN CARTESIANO:
A=(푨풙 + 푨풚 + 푨풛
B= (푩풙 + 푩풚 + 푩풛 )
A.B= (푨풙푩풙 + 푨풚 푩풚 + 푨풛푩풛) = (푨풙푩풙 + 푨풚 푩풚 + 푨풛푩풛)……….(2)
IGUALAMOS:
A.B= A´.B´

10. RESOLUCION DE PRIMERA PRACTICA DE DINAMICA 27 de septiembre de 2010
UJCM – INGENIERIA CIVIL 2010 – II - DINAMICA 10