Ecuaciones Diferenciales Parciales I

1. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES 1
GUÍA DE EJERCICIOS: TEMA 1
PROF. ROBERT QUINTERO
2do. 2016
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
POSTGRADO DE INGENIERÍA
MATEMÁTICA APLICADA
 EDO DE 1er ORDEN
 EDO LINEALES DE ORDEN 2
 PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE

2. UNIVERSIDAD DEL ZULIA POSTGRADO DE INGENIERÍA MATEMÁTICA APLICADA
EDP 1 UNIDAD No. 1 PROF. ROBERT QUINTERO
I. EDO DE 1er ORDEN
1) Compruebe, derivando explícita o implícitamente, si la expresión dada es solución o no de
la correspondiente EDO ( 𝑐 es una constante).
𝐚) 𝑦𝑦′
= 𝑒2𝑥
; 𝑦2
= 𝑒2𝑥
+ 1. 𝐛) 𝑥𝑦′
+ 𝑦 = 𝑦′√1 − 𝑥2 𝑦2 ; 𝑦 = arcsin(𝑥𝑦).
𝐜) [𝑦 cos(𝑦) − sin(𝑦) + 𝑥]𝑦′
= 𝑦; 𝑦 + sin (𝑦) = 𝑥 . 𝐝) (𝑟2
+ 𝑡2)𝑑𝑟 = 𝑟𝑡𝑑𝑡; 𝑡 = √ 𝑟2 − 𝑐𝑟.
𝐞) 𝑥𝑦2
𝑑𝑦 + 𝑦3
𝑑𝑥 =
1
𝑥
𝑑𝑥; 𝑦3
=
1
𝑥
+
𝑐
𝑥
. 𝐟) 𝑦(𝑦′)2
+ 2𝑥𝑦′
= 𝑦 + 1; 𝑦2
+ 2𝑐𝑥 = 𝑐2
.
2) Determine una región del plano para la cual la EDO de 1er orden dada tenga solución única
que pase por un punto (𝑥0, 𝑦0) de la región.
𝐚) 𝑦′
= 𝑦
3
2⁄
; 𝐛) 𝑦′
= 𝑦
2
3⁄
; 𝐜) 𝑦′
= √ 𝑥𝑦; 𝐝) (4 − 𝑦2)𝑦′
= 𝑥2
; 𝐞) (𝑥2
+ 𝑦2)𝑦′
= 𝑦2
3) Resolver las siguientes EDO lineales de 1er orden.
𝐚) 𝑦′
+ 2𝑦 − 𝑥2
− 2𝑥 = 0; 𝐛) (𝑥2
+ 2𝑥 − 1)𝑦′ − (𝑥 + 1)𝑦 = 𝑥 − 1; 𝐜) 𝑥𝑦′ = 𝑦 + 𝑥2
sin(𝑥);
𝐝) 𝑦′
+ 𝑦 cos 𝑥 = sin 𝑥 cos 𝑥 , con 𝑦(0) = 1; 𝐞) 𝑦′
− 𝑦 tan 𝑥 = sec 𝑥 , con 𝑦(0) = 0.
4) Una EDO de 1er orden se dice tipo Bernoulli si se puede expresar en la forma:
𝑦′
+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑦 𝛼
, donde 𝛼 ∈ ℝ.
i. Pruebe que el cambio de variable 𝑧 = 𝑦1−𝛼
, transforma la ecuación de Bernoulli en una
EDO lineal de 1er orden con incógnita 𝑧 = 𝑧(𝑥).
ii. Aplique la parte i) para resolver las siguientes EDO:
𝐚) 3𝑥𝑦′
− 2𝑦 = 𝑥 (
𝑥
𝑦
)
2
; 𝐛) 8𝑥𝑦′ − 𝑦 =
−1
𝑦3√ 𝑥 + 1
; 𝐜) 𝑥2
𝑦′ + 2𝑥3
𝑦 = 𝑦2(1 + 2𝑥2);
𝐝) (1 − 2𝑦2
𝑥)𝑑𝑦 = 𝑦3
𝑑𝑥, 𝑦(0) = 1; 𝐞)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑥𝑦3
+
𝑦
𝑥
= 0, 𝑦(1) = 2.
1

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5) Una ecuación de Riccati es una EDO de 1er orden que puede expresarse en la forma:
𝑦′
+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑦2
+ 𝑅(𝑥).
i. Pruebe que si 𝑢 = 𝑢(𝑥) es una solución conocida de la ecuación de Riccati, el cambio de
variable: 𝑣 = 𝑦 − 𝑢, la transforma en una EDO de 1er orden tipo Bernoulli.
ii. Aplique la parte i) para encontrar la solución general de la ecuación de Riccati:
𝑦′
= 𝑥3
(𝑦 − 𝑥)2
+
𝑦
𝑥
, sabiendo que 𝑢 = 𝑥 es una solución particular de la ecuación.
6) Un modelo para el crecimiento poblacional es suponer que la tasa per cápita de crecimiento,
es decir:
1
𝑃
𝑑𝑃
𝑑𝑡
es igual a la tasa promedio de nacimientos, la cual supondremos constante,
menos la tasa promedio de defunciones, la cual supondremos proporcional a la población, por
lo tanto la EDO del modelo es:
1
𝑃
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝛽 − 𝛼𝑃
Donde 𝛼 y 𝛽 son constantes positivas y 𝑃 = 𝑃(𝑡) es la cantidad de población presente en
el tiempo 𝑡. Este modelo de crecimiento poblacional es llamado Modelo Logístico y la EDO
asociada es la Ecuación Logística.
a) Pruebe que la solución de la Ecuación Logística para una población inicial 𝑃(0) = 𝑃0, es:
𝑃(𝑡) =
𝑃0 𝛽𝑒 𝛽𝑡
𝛽−𝛼𝑃0+𝛼𝑃0 𝑒 𝛽𝑡
.
b) Pruebe que lim
𝑡→∞
𝑃(𝑡) =
𝛽
𝛼
.
7) Un tanque está lleno de 100 litros de agua en los que se ha disuelto 20 kilogramos de sal.
Otra mezcla que contiene 1 kilogramo de sal por litro es bombeada al tanque a razón de 7
litros por minuto. La solución mezclada es bombeada hacia el exterior a razón de 8 litros
por minuto. Determinar la función que da la cantidad de sal en cada instante. ¿Se vaciará
totalmente el tanque?
2

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8) En un tanque que contiene 1000 litros de agua, comienza a introducirse una solución de
salmuera a una velocidad constante de 6 lts/min. Dentro del tanque la solución se mantiene
bien agitada y fluye hacia el exterior del mismo a una velocidad de 6 lts/min.
a) Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1 kg/lts, determinar
cuando la concentración de sal en el tanque será de 0, 5 kg/lts.
b) Determinar la concentración de sal en el tanque si ahora suponemos que la salmuera sale
de él a una velocidad constante de 5 lts/min.
9) La corriente sanguínea lleva un medicamento hacia el interior de un órgano a razón de 3
cm3
/sg y sale de el a la misma velocidad. El órgano tiene un volumen de líquido de 125 cm3
.
Si la concentración del medicamento en la sangre que entra en el órgano es de 0.2 gr/cm3
,
se pide:
a) ¿Cuál es la concentración del medicamento en el órgano en cada instante si inicialmente no
había vestigio alguno del medicamento?
b) ¿Cuándo la concentración del medicamento en el órgano será de 0.1 gr/cm3
?
II. EDO LINEALES DE 2do ORDEN
1) Resolver las siguientes EDO lineales homogéneas de 2do orden con coeficientes
constantes:
𝐚) 2𝑦′′
+ 𝑦′
= 0; 𝐛) 𝑦′′
− 10𝑦′
+ 25𝑦 = 0; 𝐜) 12𝑦′′ − 5𝑦′ − 3𝑦; 𝐝) 3𝑦′′ + 2𝑦′ + 2𝑦 = 0;
𝐞) 𝑦′′
+ 2𝑦′
+ 2𝑦 = 0, 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 1; 𝐟) 𝑦′′ − 2𝑦′ + 2𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦(𝜋) = 1.
𝐠) 𝑦′′
− 𝑦′
+ 7𝑦 = 0; 𝐡) 4𝑦′′
− 4𝑦′
− 3𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 5
2) Resolver las siguientes EDO lineales no homogéneas de 2do orden con coeficientes
constantes:
𝐚) 4𝑦′′
− 4𝑦′
− 3𝑦 = cos(2𝑥); 𝐛) 2𝑦′′
+ 𝑦′
= 2𝑥 + 5 + 𝑒−
1
2
𝑥
; 𝐜) 𝑦′′ − 2𝑦′ + 5𝑦 = 𝑒 𝑥
cos (2𝑥);
3

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𝐝) 𝑦′′
− 4𝑦 =
𝑒2𝑥
𝑥
; 𝐞) 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 3𝑥𝑒−𝑥
+ sin (𝑒 𝑥
); 𝐟) 3𝑦′′ − 6𝑦′ + 6𝑦 = 𝑒 𝑥
sec (𝑥);
𝐠) 𝑦′′
+ 2𝑦′
− 8𝑦 = 2𝑒−2𝑥
− 𝑒−𝑥
, 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0; 𝐡) 𝑦′′ + 𝑦 = cos 2
(𝑥), 𝑦(0) = 𝑦′(0) = 0.
3) Un cuerpo de masa M = 1 kg está unido a un resorte de constante k = 5 N/m y a un
amortiguador, con constante c = 2 Ns/m. Se alarga el resorte una distancia de 0,3 m y se
suelta del reposo. Determine los tiempos en que se obtienen el desplazamiento máximo y el
desplazamiento mínimo. Calcule también la amplitud y el ángulo fase del movimiento.
4) Un resorte de 21 cm alcanza 30,8 cm después de colgarle una masa de 1/4 de kilogramo.
El medio por el que se mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 3 veces
la velocidad instantánea.
i. Encontrar la función de posición del movimiento en función del tiempo, si la masa se libera
de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 2 m/s.
ii. Si sobre el sistema actúa una fuerza externa 𝑓(𝑡) = 2 cos(2𝑡) N y si la masa está en
reposo al momento de liberarla, encuentre la posición de la masa 2 s más tarde.
5) Una masa de 9 kg atada a un resorte hace que el este se estire 2/5 m antes de llegar a su
posición de equilibrio. Si el sistema es sumergido en un medio que ofrece un amortiguamiento
de constante c = 2 Ns/m y si el resorte es estirado 1 m y se suelta en reposo, encontrar la
posición de la masa en cualquier instante y su velocidad a los 5 min.
6) Una masa de 2 Kg se sujeta a un resorte suspendido del techo. Esto ocasiona que el resorte
se estire 20 cm al quedar en reposo en equilibrio. En el instante 𝑡 = 0, la masa se desplaza
5 cm debajo de la posición de equilibrio, y se suelta. Si sobre el sistema actúa la fuerza
externa: 𝑓(𝑡) = 0.3 cos(2𝑡) N y si la constante de amortiguación del sistema es de
5 Ns/m, determinar la ecuación del movimiento de la masa. ¿Cuál es la frecuencia de
resonancia del sistema?
7) Un sistema no amortiguado forzado está regido por la EDO de 2do orden:
4

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𝑚𝑥′′
+ 𝑘𝑥 = 𝐹0 cos(𝛾𝑡) , 𝑥(0) = 𝑥′(0) = 0
Donde 𝛾 ≠ 𝜔 = √
𝑘
𝑚
.
i. Pruebe que la solución del sistema puede expresarse en la forma:
𝑥(𝑡) =
2𝐹0
𝑚(𝜔2 − 𝛾2)
sin [(
𝜔 + 𝛾
2
) 𝑡] ∙ sin [(
𝜔 − 𝛾
2
) 𝑡]
ii. Grafique las curvas 𝑥(𝑡) para: 𝐹0 = 32, 𝑚 = 2, 𝜔 = 9 y 𝛾 = 7, 8 y 8.5.
iii. Comente los resultados.
III- PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE
1) Determine las funciones propias y la ecuación que define los valores propios para los
siguientes problemas de valores en la frontero determinados por la EDO de 2do orden:
𝑦′′
+ 𝜆𝑦 = 0.
𝐚) 𝑦′(0) = 0, 𝑦(1) + 𝑦′(1) = 0; 𝐛) 𝑦(0) + 𝑦′(0) = 0, 𝑦(1) = 0; 𝐜) 𝑦′(0) = 0, 𝑦′(𝐿) = 0
𝐝) 𝑦(−𝐿) = 𝑦(𝐿), 𝑦′(−𝐿) = 𝑦′(𝐿); (Condiciones Límites Periódicas).
2) Para los problemas de valores en la frontera que siguen, a) Encuentre los valore propios y
las funciones propias; b) Escriba la ecuación en su forma auto-adjunta; c) De una relación
de ortogonalidad.
𝐢) 𝑦′′
+ 𝑦′
+ 𝜆𝑦 = 0, 𝑦(0) = 0 = 𝑦(2); 𝐢𝐢) 𝑥2
𝑦′′
+ 𝑥𝑦′
+ 𝜆𝑦 = 0, 𝑦(1) = 0 = 𝑦(5)
5

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SOLUCIONES DE ALGUNOS EJERCICIOS
 Parte I
1) a) Si; b) Si; e) No; f) No.
2) b) ℝ2
− {(𝑥, 𝑦): 𝑦 = 0}; d) Regiones del plano tal que: 𝑦 > 2, 𝑦 < −2 𝑜 − 2 < 𝑦 < 2.
3) a) 𝑦 = 𝐶𝑒−2𝑥
+
1
4
(2𝑥2
+ 2𝑥 − 1); b) 𝑦 = 𝑥 + 𝐶√𝑥2 + 2𝑥 − 1; c) 𝑦 = 𝐶𝑥 − 𝑥 cos 𝑥;
j) 𝑦 = 2𝑒− sin 𝑥
+ sin 𝑥 − 1; k) 𝑦 =
𝑥
cos 𝑥
.
4) a) 𝑦3
− 𝑥3
= 𝐶𝑥2
; b) 𝑦4
= 𝐶√ 𝑥 + √ 𝑥 + 1; c)
1
𝑦
= 𝐶𝑒 𝑥2
+
1
𝑥
; e)
4
𝑦2 = 𝑥2(1 + 8 ln 𝑥).
7) 𝑥(𝑡) = 100 − 𝑡 −
8
1015
(100 − 𝑡)8
; si a los 100 𝑚𝑖𝑛.
8) a) 117 min, aproximadamente; b) 𝐶(𝑡) = 1015(1000 + 𝑡)−5
+ 10−3
𝑡 + 1.
9) a) 𝐶(𝑡) =
1
5
(1 − 𝑒−
3
125
𝑡
) ; b) 29,2 𝑠𝑔.
 Parte II
1) a) 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒−
𝑥
4; b) 𝑦 = (𝐶1 + 𝐶2 𝑥)𝑒−4𝑥
; c) 𝑦 = 𝐶1 𝑒
2𝑥
3 + 𝐶2 𝑒−
𝑥
4; d) 𝑦 = 𝑒−𝑥(2 cos 𝑥 + 3 sin 𝑥)
g) 𝑦 = 𝐶1 𝑒
𝑥
2cos (
3√3
2
𝑥) + 𝐶2 𝑒
𝑥
2 sin (
3√3
2
𝑥).
2)
c) 𝑦 = 𝑒 𝑥
[𝐶1 cos(2𝑥) + 𝐶2 sin(2𝑥) +
1
4
𝑥 sin(2𝑥)]; d) 𝑦 = 𝑒2𝑥
[𝐶1 +
1
4
ln|𝑥|] + 𝑒−2𝑥
[𝐶2 +
1
4
∫
1
𝑡
𝑒4𝑡
𝑑𝑡
𝑥
𝑥0
]
f) 𝑦 = 𝑒 𝑥
[(𝐶1 +
1
3
𝑥) sin(𝑥) + (𝐶2 +
1
3
ln|cos(𝑥)|) cos(𝑥)]; g) 𝑦 =
4
9
𝑒−4𝑥
+
25
36
𝑒2𝑥
−
1
4
𝑒−2𝑥
+
1
9
𝑒−𝑥
 PARTE III
1) a) 𝑦𝜆 = cos(√𝜆 𝑥) , con ctg(√𝜆 ) = √𝜆;
b) 𝑦𝜆 = {sin(√𝜆 𝑥), √𝜆 cos(√𝜆 𝑥)}, con tag(√𝜆 ) = √𝜆; c) 𝑦𝑛 = cos (
𝑛𝜋
𝐿
𝑥) , con 𝜆 𝑛 = (
𝑛𝜋
𝐿
)
2
, 𝑛 ∈ ℕ∗
;
c) 𝑦𝜆 = {sin (
𝑛𝜋
𝐿
𝑥), cos (
𝑛𝜋
𝐿
𝑥)} , 𝑛 ∈ ℕ∗
2) ii) 𝐚) 𝜆 𝑛 = (
𝑛𝜋
ln 5
)
2
, 𝑦𝑛 = sin (
𝑛𝜋
ln5
𝑥); 𝐛) (𝑥𝑦′)′
+
𝜆
𝑥
𝑦 = 0; 𝐜) ∫ [
1
𝑥
sin (
𝑛𝜋
ln 5
𝑥) sin (
𝑚𝜋
ln5
𝑥)] 𝑑𝑥
5
1
= 0
6