AO nº3 - unidad nº2 -segunda parte

1. MATEMATICA II
año
2017
1
INSTITUTO
UNIVERSITARIO
AERONAUTICO
Actividad Obligatoria Nº3 - 2da
parte
Por: CRISTIAN MAURO ASSAIN
LIMITES Y CONTINUIDAD
Ejercicio nº23
x
xx
xh
2
3
)(
2


a) Determinar limite de h(x) cuando x->0
2
3
2
)3(
2
32
0lim
)(






x
x
xx
x
xx
xh
una vez efectuados pasos algebraicos, aplicamos sustitución directa.
2
3
2
30
2
3
)(
0lim





x
xh

2. MATEMATICA II
año
2017
2
INSTITUTO
UNIVERSITARIO
AERONAUTICO
b) Demostrarla existencia del límite obtenido en el apartado
anterior mediante la definiciónformal de límite.
Demostración analítica del límite de la función h(x).
Dado un , necesito demostrar la existencia de un tal que cuando
 cx0 entonces  Lxf )(
remplazando
2
3
)(


x
xh , L =
2
3
 y c = 2
buscamos un 0 tal que si  cx0 podemos estar seguros que








 xx
x
Lxf
2
1
2
1
2
3
2
3
)(
Para lograr x
2
1
como el primerfactores unaconstante,al tomar x

2
1
2
1
)(  xLxf
Si exigimos que  2
Obtenemos
  2.
2
1
2
1
2
1
)( xLxf
Concluimos: dado un basta tomar  2 para que si x se pueda
asegurar que  Lxf )(
Por ejemplo, fijando un 0,1 nos determinara usar un = 0,2 para que se
cumpla la condición 1.0
2
3
)( 





xh , o sea: )2.0,0()0,2.0( x

3. MATEMATICA II
año
2017
3
INSTITUTO
UNIVERSITARIO
AERONAUTICO
c) Representacióngráfica de la existencia del límite
x
xx
xh
2
3
)(
2


Observamos en el gráfico que h(x) esta tan cerca de -3/2 como se desee con solo
tomar x suficientemente cerca de 0.
Con lo cual concluimos que
2
3
)(lim
0lim


xh
x
El límite existe en x=0 aunque hD0
d) Análisis de continuidad en el intervalo abierto de extremos -1 y 1
x
xx
xh
2
3
)(
2


h(x) es un cociente, cuyo denominador en x=0 es cero o sea h(x) no esta definida en x=0 por
lo que h(x) no es continua en x=0. Paro todos los demás números reales, h(x) es continua.
En el caso de análisis de continuidad en el intervalo (-1,1) diremos que:
h(x) es continua en los intervalos:
)1,0()0,1( 