Dinamica de La Particula.pdf

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Tema 3: Dinámica de la partícula

2
26/10/2022
BLOQUE I:
Tema 1: INTRODUCCIÓN.
Magnitudes físicas. Análisis dimensional. Escalares y vectores. Algebra vectorial.
Tema 2. CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA.
Introducción. Vector de posición y desplazamiento. Vector velocidad. Vector aceleración. Clasificación de los movimientos. Composición de movimientos.
Movimiento relativo.
Tema 3. DINÁMICA DE LA PARTÍCULA.
Introducción. Leyes de Newton. Fuerzas fundamentales en la naturaleza. Fuerzas de rozamiento. Fuerzas elásticas. Fuerzas de inercia.
Tema 4.- TRABAJO Y ENERGÍA.
Introducción. Trabajo realizado por una fuerza. Definición de energía: Energía cinética. Fuerzas conservativas. Energía
potencial. Conservación de la energía mecánica. Fuerzas no conservativas.
Tema 5.- DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS.
Fuerzas interiores y exteriores de un sistema de partículas. Centro de masas. Cantidad de movimiento y momento cinético: teoremas de conservación. Sistema
de referencia del centro de masas. Energía cinética de un sistema de partículas. Colisiones.
Tema 6.- MECÁNICA DEL SÓLIDO RÍGIDO.
Concepto de Sólido Rígido. Cinemática del sólido rígido. Cálculo de momentos de inercia. Ecuación fundamental: momento de inercia. Momento cinético y su
conservación.
Tema 7.- EQULIBRIO ESTÁTICO Y ELASTICIDAD
Condiciones de equilibrio. Centro de gravedad. Esfuerzo y deformación. Módulos de elasticidad.
Tema 8.- FLUIDOS
Concepto de fluido. Presión y densidad. Ecuación fundamental de la estática de fluidos. Principio de Pascal. Principio de Arquímedes: equilibrio de cuerpos
sumergidos y flotantes. Líneas de corriente: ecuación de continuidad. Dinámica de fluidos ideales: teorema de Bernouilli.. Viscosidad. Régimen laminar: ley de
Poiseuille. Régimen turbulento: número de Reynolds.
BLOQUE II
Tema 10.- MOVIMIENTO OSCILATORIO.
Fuerzas de recuperación elástica. Cinemática y dinámica del movimiento armónico simple. Energía de un oscilador armónico. Ejemplos de osciladores.
Oscilaciones forzadas y resonancia.
Tema 11.- MOVIMIENTO ONDULATORIO.
Concepto de onda. Tipos de ondas. Ecuación de ondas. Ondas armónicas. Intensidad y absorción. Fenómenos de interferencias. Ondas estacionarias.
Programa de la asignatura

1.- ¿Cómo podemos describir el movimiento de los objetos en el espacio?
2.- ¿Por qué existe el movimiento?
CINEMÁTICA
DINÁMICA
Posición, velocidad, y aceleración
Tres leyes de Newton
3.- ¿Qué origen tienen las fuerzas?
Las fuerzas son las
responsables del
movimiento
FUERZAS EN LA
NATURALEZA
Fuerzas fundamentales
Fuerzas de contacto
Fuerzas de rozamiento
Fuerzas elásticas
Fuerza gravitatoria
Fuerza electromagnética
Fuerza nuclear fuerte
Fuerza nuclear débil
La mecánica es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos.
4.- ¿Podemos describir el movimiento en base a una magnitud diferente a la fuerza?
CONCEPTOS DE
TRABAJO Y ENERGÍA
Energía cinética
Energías potenciales
Tema 2: Cinemática
de la partícula
Tema 3: Dinámica
de la partícula

Trabajo y energía. Introducción
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26/10/2022
En los temas anteriores hemos analizado el movimiento de los cuerpos (cinemática) y
las causas que lo producen (leyes de Newton). Desde un punto de vista fundamental, con estos
conocimientos, podríamos abordar el análisis del comportamiento mecánico de cualquier sistema.
Sin embargo, es obvio que la aplicación de las leyes de la Cinemática y de Newton a sistemas
reales es en general muy complicado desde un punto de vista matemático. Esta complicación
proviene de dos factores principales: Las magnitudes que definen el movimiento de los cuerpos
son magnitudes vectoriales y la mayoría de los sistemas están formados por muchos
subsistemas. Esto hace que sea interesante en desarrollar las leyes de Newton para que la
descripción matemática del movimiento sea más simple.
A esto nos vamos a dedicar en este tema y en el siguiente. En este primer tema
introduciremos unas magnitudes físicas escalares, el trabajo de una fuerza y la energía, que bajo
ciertas circunstancias permiten analizar matemáticamente el movimiento de los sistemas
mecánicos de forma más simple. Por otro lado, en el tema siguiente analizaremos resultados
generales que tienen que ver con sistemas mecánicos formados por muchos subsistemas (sistemas
de partículas).
Joseph-Louis Lagrange William Rowan Hamilton

Trabajo y energía. Introducción
6
26/10/2022
4.1.- Introducción.
4.2.- Trabajo realizado por una fuerza.
4.3.- Energía cinética. Concepto de energía.
4.4.- Fuerzas conservativas. Energía potencial.
4.5.- Principio de la conservación de la energía mecánica.
4.6.- Potencia.
ESQUEMA DE DESARROLLO

Trabajo y energía. Trabajo realizado por una fuerza
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26/10/2022
DEFINICIÓN DE TRABAJO DE UNA FUERZA:
X
Y
Z
1
r

2
r

r
∆

F

( )
( )
12 cos
cos
W F r F r F r
F r F r
= ⋅∆ = ∆ ∧ ∆ =
= ⋅∆ ⋅ ∧ ∆
  
  
 
El trabajo que una fuerza hace sobre un sistema cuando este
sufre un desplazamiento infinitesimal se define como:

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DEFINICIÓN DE TRABAJO DE UNA FUERZA:
1
lim
m B
AB i i A
m
i
W F r F dr
→∞
=
= ⋅∆
= ⋅
∑ ∫
 
 
A
B
Si extendemos este concepto a la trayectoria seguida por un sistema mecánico para ir de un
punto A a un punto B podemos definir.
Definición de trabajo de una fuerza: El trabajo que una fuerza realiza sobre una partícula
al trasladarse esta entre dos puntos A y B es igual a la integral de línea de la fuerza a lo
largo de la trayectoria (circulación del campo de fuerzas) que une ambos puntos.
Consecuencias directas de la definición
1.- El trabajo realizado por una fuerza es una magnitud escalar y quedará perfectamente
definido con un número y las unidades de trabajo que estemos utilizando.

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2.- Las unidades del trabajo realizado por una fuerza son el producto de una unidad de
fuerza por una unidad de longitud, es decir:
En el sistema internacional las unidades del trabajo son el Newton por metro que recibe un
nombre especial, Julio (J), es decir:
3.- Debido a que el trabajo se define a partir del producto escalar de dos vectores podemos
escribir también el trabajo como:
por tanto, el trabajo realizado por una fuerza es máximo cuando es tangencial a la
trayectoria de una partícula siendo mínimo (cero) cuando es perpendicular a la trayectoria.
4.- Si dividimos la fuerza en una componente tangente a la trayectoria y otra normal a la
trayectoria tenemos que todo el trabajo será debido a la componente tangencial mientras que
la componente normal no efectuará ningún trabajo, es decir, solo la componente que
produce una variación en el módulo de la velocidad va a producir trabajo.
[ ] [ ]
AB
W F L
 
= ⋅
 

1 J = 1 N m

( )
cos
B B
AB A A
W F dr Fdr F dr
= ⋅ = ∧
∫ ∫
 
 

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5.- En un movimiento circular con velocidad angular constante, la fuerza neta aplicada al
sistema no realiza trabajo alguno.
6.- Si la componente tangencial de la fuerza actúa en el sentido en el que tiene lugar el
movimiento, es decir, el sistema se acelera, el producto escalar resultante y, por tanto, el
trabajo, es positivo. Cuando la componente tangencial de la fuerza actúa en sentido
contrario al movimiento, es decir, el sistema se decelera, el producto escalar resultante y,
por tanto, el trabajo, es negativo.
7.- El trabajo que realiza una fuerza depende, en general, de la trayectoria seguida por la
partícula para ir desde el punto inicial hasta el punto final.
8.- El trabajo que realiza una fuerza tangencial en todo punto a la trayectoria y de módulo
constante para llevar una partícula de un punto A a otro punto B es
donde L es la longitud total de la trayectoria seguida.
B B B
AB A A A
W F dr Fdr F dr FL
= ⋅ =
± =
± =
±
∫ ∫ ∫
 

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Ejercicio.- Si una partícula recorre 6 m bajo la acción de una fuerza constante, calcular: a)
Trabajo realizado por la fuerza si es de 8 N y forma un ángulo de 60º con la horizontal; b)
Valor de la fuerza horizontal necesaria para que el trabajo sea de 18 J.

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1. Planteamos el problema
F

L=6 m
θ=60º

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F

L=6 m
θ=60º
2. Elegimos nuestro sistema de referencia.
X
Y
ˆx
u
ˆy
u

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F

L=6 m
θ=60º
X
Y
ˆx
u
ˆy
u
3. Escribimos las magnitudes vectoriales en función de sus componentes en el sistema de referencia
elegido, utilizamos la definición de trabajo y hacemos el cálculo del trabajo.
( )
6
0
ˆ ˆ
cos( ) sin( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
cos( ) sin( )
x y
x AB x y x
B
AB A
F F u F u
dr dxu W F u F u dxu
W F dr
= θ + θ
= ⇒= θ + θ ⋅=
= ⋅
∫
∫


 
( ) ( )
6
0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
cos( ) sin( ) cos( ) sin( )
x x y x x x y x
F u dxu F u dxu F dx u u F dx u u
= θ ⋅ + θ ⋅ = θ ⋅ + θ ⋅
∫ ( )
6 6
0 0
cos( )
B
F dx
 
= θ
=
 
 
∫ ∫
[ ]
6 6
0
0
cos( ) cos( ) 8 cos(60º) 6 24 J
F dx F x
= θ = θ = ⋅ ⋅
=
∫

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F

L=6 m
4. En el segundo apartado sólo cambia la dirección de la fuerza:
X
Y
ˆx
u
ˆy
u
[ ]
6 6 6 6
0
0 0 0
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) 6
x
x AB x x x x
B
AB A
F Fu
dr dxu W Fu dxu Fdx u u F dx F x F
W F dr
=
= ⇒ = ⋅ = ⋅ = = =
= ⋅
∫ ∫ ∫
∫


 

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F

L=6 m
4. Si la fuerza es horizontal sólo cambia:
X
Y
ˆx
u
ˆy
u
[ ]
6 6 6 6
0
0 0 0
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) 6
x
x AB x x x x
B
AB A
F Fu
dr dxu W Fu dxu Fdx u u F dx F x F
W F dr
=
= ⇒ = ⋅ = ⋅ = = =
= ⋅
∫ ∫ ∫
∫


 
5. Sabiendo que el trabajo total es 18 J podemos calcular la fuerza necesaria.
6 18 3 N
F F
= ⇒ =

Trabajo y energía. Concepto de energía. Energía cinética.
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26/10/2022
ENERGÍA CINÉTICA
Vamos a suponer un cuerpo o sistema mecánico que se mueve desde un punto A a
un punto B y sobre el que actúa una fuerza neta . Por definición tendremos que el trabajo
que realiza la fuerza neta sobre el sistema en dicho desplazamiento será:
En virtud de la segunda ley de Newton, la fuerza neta actuando sobre un cuerpo
tiene que ser igual a la masa inercial del cuerpo por su aceleración:
B
AB A
W F dr
= ⋅
∫
 
A
B
F

( )
2 2 2
2 2
B B B B
AB A A A A
B B B
B A
A
A A
dv dr
W ma dr m a dr m dr m dv
dt dt
m m
m dv v m v dv v v v
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
 
= ⋅
= ⋅ = = −
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
 
     
   

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26/10/2022
Si definimos la energía cinética como:
podemos interpretar el resultado obtenido en diciendo que el trabajo realizado por la fuerza
neta actuando sobre un sistema es igual a la variación de su energía cinética.
2
1
2
C
E mv
=
( )
2 2
2
AB B A
m
W v v
= −
( ) ( )
AB c c
W E B E A
= −

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Ejercicio.- Un objeto de 5 kg de masa se levanta mediante una cuerda que ejerce una
tensión de 75 N y hace que el objeto ascienda 3 m, partiendo del reposo. Determinar: a)
Trabajo realizado por la tensión; b) Trabajo realizado por la gravedad; c) Velocidad final
del objeto.

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del objeto.
h=3 m
P

T

A
B

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del objeto.
2. Elegimos nuestro sistema de referencia
h=3 m
P

T

X
Y
ˆy
u
A
B

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del objeto.
h=3 m
P

T

X
Y
ˆy
u
A
B 3. Calculamos el trabajo realizado por la tensión
[ ]
3 3 3 3
0
0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) 225 J
B
T
AB y y y y
A
W T dr Tu dyu Tdy u u T dy T y
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = = =
∫ ∫ ∫ ∫
 

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del objeto.
h=3 m
P

T

X
Y
ˆy
u
A
[ ]
3 3 3 3
0
0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) 225 J
B
T
AB y y y y
A
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = = =
∫ ∫ ∫ ∫
 
4. Calculamos el trabajo realizado por la gravedad
[ ]
3 3 3 3
0
0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) 150 J
B
P
AB y y y y
A
W P dr mg u dyu mgdy u u mg dy mg y
= ⋅ = − ⋅ =
− ⋅ =
− =
− =
−
∫ ∫ ∫ ∫
 
Tomando g=10 m/s2

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del objeto.
h=3 m
P

T

X
Y
ˆy
u
A
[ ]
3 3 3 3
0
0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) 225 J
B
T
AB y y y y
A
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = = =
∫ ∫ ∫ ∫
 
4. Calculamos el trabajo realizado por la gravedad
[ ]
3 3 3 3
0
0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) 150 J
B
P
AB y y y y
A
W P dr mg u dyu mgdy u u mg dy mg y
= ⋅ = − ⋅ =
− ⋅ =
− =
− =
−
∫ ∫ ∫ ∫
 
5. Calculamos el trabajo total realizado sobre el objeto y utilizamos el
resultado que acabamos de obtener.
2 2 2
1 1 1
225 J 150 J=75 J=E ( ) ( )
2 2 2
T P
AB AB AB c c B A B
W W W B E A mv mv mv
= + = − − = − =
150
= m/s=5.48 m/s
B
v
m
Tomando g=10 m/s2

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Ejercicio.- Una partícula de 5 kg de masa, partiendo con una velocidad inicial de 12 m/s, recorre 3 m
en una trayectoria rectilínea bajo la acción de una fuerza dada por F=Cx3, donde C=2 N/m3.
Determinar el trabajo realizado por la fuerza y la velocidad final de la partícula.

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F

L=3 m

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F

L=3 m
X
Y
ˆx
u
ˆy
u

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F

L=3 m
X
Y
ˆx
u
ˆy
u
2
3
4
3 3 3
3 3 3
0 0 0
0
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) 20.25 40.5 J
4
x
x AB x x x x
B
AB A
F Cx u
x
dr dxu W Cx u dxu Cx dx u u C x dx C C
W F dr
=
 
= ⇒ = ⋅ = ⋅ = = = =
 
 
= ⋅
∫ ∫ ∫
∫


 

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F

L=3 m
X
Y
ˆx
u
ˆy
u
2
3
4
3 3 3
3 3 3
0 0 0
0
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) 20.25 40.5 J
4
x
x AB x x x x
B
AB A
F Cx u
x
dr dxu W Cx u dxu Cx dx u u C x dx C C
W F dr
=
 
= ⇒ = ⋅ = ⋅ = = = =
 
 
= ⋅
∫ ∫ ∫
∫


 
4. Como F es la fuerza neta actuando sobre el sistema el trabajo que realiza tiene que ser
necesariamente igual a la variación de la energía cinética.
2 2 2 2
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 12.66 m/s
2 2
AB
c c AB c c AB B A AB B A
W
E B E A W E B E A W mv mv W v v
m
− = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = + =

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26/10/2022
CONCEPTO DE ENERGÍA
Según lo visto en el apartado anterior, el trabajo está relacionado con la “capacidad”
que tiene una fuerza de producir un cambio en el módulo de la velocidad que tiene el sistema. De
una forma más general nos podemos plantear la “capacidad” que tiene un sistema de producir una
variación en el movimiento de otro sistema. Esta ampliación del concepto de trabajo nos lleva al
concepto de energía.
Podemos definir el concepto de energía de diferentes maneras equivalentes entre sí. Aquí vamos a
analizar dos definiciones equivalentes
Definición 1.- Capacidad de un sistema para hacer un trabajo sobre otro sistema.
Definición 2.- Trabajo “almacenado”, o trabajo latente, en un sistema que puede convertirse en
trabajo bajo condiciones adecuadas.
En cualquiera de las dos definiciones está claro que la energía está relacionada con la
capacidad de un sistema para realizar un trabajo sobre sobre otro sistema. La diferencia entre
ambas estriba en que la primera definición deja abierta la posibilidad de convertir toda la energía
almacenada en un sistema en trabajo, mientras que la segunda, al requerir las “condiciones
adecuadas”, indica que difícilmente toda la energía del sistema podrá convertirse en trabajo. La
primera definición sería más adecuada en sistemas microscópicos mientras que la segunda lo
sería en sistema macroscópicos (por ejemplo en Termodinámica).

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26/10/2022
En ambas definiciones queda claro que puesto que la energía es en realidad la
capacidad de un sistema para realizar un trabajo, el patrón de la energía es el mismo que el
del trabajo que en el sistema internacional hemos visto que es el julio.
Es importante señalar que, al contrario que de lo que ocurría con las fuerzas, la
energía no es un estado físico real, ni una "sustancia intangible" sino sólo una magnitud
escalar que se le asigna al estado del sistema físico, es decir, la energía es una herramienta o
abstracción matemática de una propiedad de los sistemas físicos.
Finalmente nótese, que al estar ligado al trabajo, el concepto de energía está
relacionado con el concepto de fuerza. Esto último hace que, al igual que ocurría en el caso
de las fuerzas, aunque podamos hablar de muchos tipos de energía todos ellos pueden
explicarse en virtud de los cuatro tipos fundamentales de interacciones.

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26/10/2022
Energía gravitatoria
Energía electromagnética
Energía nuclear fuerte

( )
2 2 2
2 2
B B B B
AB A A A A
B B B
B A
A
A A
dv dr
dt dt
m m
m dv v m v dv v v v
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
 
= ⋅
= ⋅ = = −
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
 
     
   
WAB = EC(B)- EC(A)
TEMA 2: CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA Posición, velocidad, y aceleración
TEMA 3: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
Fuerzas de contacto
Fuerzas elásticas
Tipos de fuerza
DEFINICIÓN DE TRABAJO DE UNA FUERZA: ;
B
AB A
W F dr dW F dr
=
⋅ =
⋅
∫
 
 
El trabajo que una fuerza realiza sobre una partícula al trasladarse esta entre dos puntos A y B es igual a la integral de línea de la
fuerza a lo largo de la trayectoria (circulación del campo de fuerzas) que une ambos puntos.
1.- El trabajo realizado por una fuerza es una magnitud escalar y quedará perfectamente definido con un número y las unidades de trabajo que estemos utilizando.
2.- Las unidades del trabajo realizado por una fuerza son el producto de una unidad de fuerza por una unidad de longitud. En concreto, en el sistema internacional,
las unidades del trabajo son el Newton por metro que recibe el nombre de Julio (J).
3.- Debido a que el trabajo se define a partir del producto escalar de dos vectores podemos escribir también el trabajo como:
4.- Si dividimos la fuerza en una componente tangente a la trayectoria y otra normal a la trayectoria tenemos que todo el trabajo será debido a la componente
tangencial mientras que la componente normal no efectuará ningún trabajo, es decir, solo la componente que produce una variación en el módulo de la velocidad
va a producir trabajo.
5.- Si la componente tangencial de la fuerza actúa en el sentido en el que tiene lugar el movimiento, es decir, el sistema se acelera, el producto escalar resultante y,
por tanto, el trabajo, es positivo. Cuando la componente tangencial de la fuerza actúa en sentido contrario al movimiento, es decir, el sistema se decelera, el
producto escalar resultante y, por tanto, el trabajo, es negativo.
6.- El trabajo que realiza una fuerza depende, en general, de la trayectoria seguida por la partícula para ir desde el punto inicial hasta el punto final.
( )
cos
B B
AB A A
W F dr Fdr F dr
= ⋅ = ∧
∫ ∫
 
 
TRABAJO DE LA FUERZA NETAACTUANDO SOBRE UN SISTEMA:
;
B
AB A
W F dr dW F dr
=
⋅ =
⋅
∫
 
 
;
B
AB A
F dr dW F dr
=
⋅ =
⋅
∫
 
 
N
N
= m·a
2
1
2
C
E mv
=
Definición 1.- Capacidad de un sistema para hacer un trabajo sobre otro
sistema.
Definición 2.- Trabajo “almacenado”, o trabajo latente, en un sistema que
puede convertirse en trabajo bajo condiciones adecuadas.
CONCEPTO DE ENERGÍA:

Trabajo y energía. Fuerzas conservativas. Energía potencial.
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26/10/2022
FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS
Supongamos que un sistema se mueve desde un punto A a un punto B del espacio bajo la
acción una fuerza neta. Como hemos visto esta fuerza en general (salvo que dicha fuerza sea normal a
la trayectoria) va a realizar un trabajo sobre el sistema dado por:
Como hemos visto de esta definición se derivaban una serie de cuestiones importantes de
las que aquí destacaremos la dependencia, en general, del trabajo de la trayectoria seguida por el
sistema para ir desde el punto A al punto B.
B
AB A
W F dr
= ⋅
∫
 
A
B
(1)
(2)
(3)
(1) (2) (3)
AB AB AB
W W W
≠ ≠

36
26/10/2022
FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS
Esta consecuencia de la definición de trabajo de una fuerza es general, sin embargo existen
fuerzas para las cuales el trabajo realizado no depende de la trayectoria seguida sino solamente de los
puntos inicial y final. Esta propiedad permite distinguir o hacer una selección de los diferentes tipos de
fuerzas existentes en la naturaleza:
a).- Fuerzas de tipo conservativo: aquellas en las que el trabajo que realizan para pasar de un punto a
otro es independiente de la trayectoria seguida y depende sólo de los puntos inicial y final.
b).- Fuerzas de tipo no conservativo: aquellas en las que el trabajo que realizan para pasar de un punto
a otro depende de la trayectoria seguida.
A
B
(1)
(2)
(3)
(1) (2) (3)
AB AB AB
W W W
= = Fuerza conservativa
A
B
(1)
(2)
(3)
(1) (2) (3)
AB AB AB
W W W
≠ ≠ Fuerza no conservativa

37
26/10/2022
El trabajo realizado por las fuerzas de tipo no conservativo es en general difícil de
evaluar, depende del tipo concreto de fuerza, y, en cualquier caso, no pueden obtenerse
resultados teóricos generales interesantes para el mismo. Aquí vamos a analizar las fuerzas
de tipo conservativo y vamos a ver que, en general, el cálculo del trabajo que realizan va a
ser mucho más sencillo.
Puesto que, por definición, el trabajo de las fuerzas conservativas es
independiente de la trayectoria dependiendo sólo de los puntos inicial y final, debe de
poder escribirse como la diferencia de una función escalar evaluada en dichos puntos, es
decir:
esto significa que la integral debe de tener una función primitiva.
Además, por la definición, dicha función escalar debe de ser la función primitiva
de menos la integral del producto escalar de la fuerza por :
A la función se le denomina energía potencial asociada a la fuerza conservativa y
como se verá a lo largo de este curso las fuerzas gravitatoria y electrostática son
conservativas y podremos definir, por tanto, una energía potencial gravitatoria y una energía
potencial electrostática.
( ) ( )
B
AB p A p B
A
W F dr E r E r
= ⋅ = −
∫
   
( )
p
E r F dr K
=
− ⋅ +
∫

 
( )
p
E r

dr


38
26/10/2022
Energía potencial gravitatoria
En primer lugar vamos a comprobar que la fuerza o interacción gravitatoria es una fuerza
conservativa para ello vamos a calcular el trabajo realizado por dicha fuerza cuando nos
movemos desde un punto con un vector posición a un punto con un vector posición . El
trabajo realizado por la fuerza gravitatoria vendrá dado por:
A
r

B
r

( )
( )
2
2
2
2
ˆ
ˆ ˆ ˆ
1
ˆ ˆ ˆ ˆ
1 1 1 1
B B
A A
B
A
B
A
B
B
A
A
B r r
T
AB r
A r r
r
T
r r
r
r
T r r r
r
r
r
T T T
r
r B A
Gm m
W F dr F dr u dr
r
Gm m
u dru d u
r
Gm m dru u d u u
r
Gm m dr Gm m Gm m
r r r r
⊥
⊥
= ⋅ = ⋅ = − ⋅ =
=
− ⋅ + Θ =
=
− ⋅ + Θ ⋅ =
   
=
− =
=
−
 
 
   
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
 
 




 
  
ˆr
dru
ˆ
d u⊥
Θ
dr

A
B

39
26/10/2022
Podemos calcular fácilmente el valor de la energía potencial gravitatoria evaluando la
integral indefinida
( )
( )
2 2
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
( )
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
T T
p r r r
T
T r r r T
Gm m Gm m
E r F dr K u dr K u dru d u K
r r
Gm m
Gm m dru u d u u K Gm m dr K
r r r
= − ⋅ +
= ⋅ +
= ⋅ + Θ +
=
= ⋅ + Θ ⋅ + = =
− +
∫ ∫ ∫
∫ ∫


  
F dr
⋅
∫
 
Lo habitual es tomar el origen de energía potencial gravitatoria, es decir, Ep=0 en
r→∞, en cuyo caso la constante de integración se anula y la energía potencial
gravitatoria tomaría la forma:
( ) T
p
Gm m
E r
r
= −
ˆr
dru
ˆ
d u⊥
Θ
dr

A
B
Potencial gravitatorio
Otro concepto que aparece ligado a las fuerzas conservativas es el concepto de potencial. Se
define el potencial, en nuestro caso gravitatorio, como el cociente entre la energía potencial gravitatoria
que tiene una partícula de masa m2 debido a la existencia de otra masa m1 y la masa m2, es decir:
( )
p T T
g
E r Gm m Gm
K
V K
m mr m r
′
= =
− + =
− + (si consideramos el potencial gravitatorio terrestre)
T
g
Gm
V
r
= −
(si consideramos el origen de
energía potencial gravitatoria r→∞)

40
26/10/2022
Ejercicio. consideremos dos masas iguales una situada en x=-2 m y otra en x=2 m tal y como se
muestra en la figura. ¿Hay algún punto entre las dos masas en el que se anule el campo gravitatorio?
¿Y en el que se anule el potencial gravitatorio?
X
1 2
-2 -1
m1 m2

41
26/10/2022
Para el campo gravitatorio nos queda.
X
1 2
-2 -1
m1 m2
X
1 2
-2 -1
m1 m2
1
g

2
g
 1
1 2
1
2
2 2
2
Gm
g
r
Gm
g
r
=
=
2
ˆ
T
M
g G r
r
= −

1 2
g g
=

42
26/10/2022
X
1 2
-2 -1
m1 m2
X
1 2
-2 -1
m1 m2
1
g

2
g
 1
1 2
1
2
2 2
2
Gm
g
r
Gm
g
r
=
=
2
ˆ
T
M
g G r
r
= −

1 2
g g
=
Para el potencial gravitatorio tenemos.
( ) T
p
Gm
V r K
r
=
− +
1
1
1 1
2
2
2 1
4
p
p
Gm Gm
V K K
x x
Gm Gm
V K K
x x
=
− + =
− +
=
− + =
− +
−
X
1 2
-2 -1
m1 m2
x1 x2
1 2
1 1
1 1 1 1
4
1 1 4
2 2
4 (4 )
pT p p
Gm Gm
V V V K K
x x
Gm
Gm K K
x x x x
= + =
− + − + =
−
 
=
− + + =
− +
 
− −
 

43
26/10/2022
X
1 2
-2 -1
m1 m2
X
1 2
-2 -1
m1 m2
1
g

2
g
 1
1 2
1
2
2 2
2
Gm
g
r
Gm
g
r
=
=
2
ˆ
T
M
g G r
r
= −

1 2
g g
=
Para el potencial gravitatorio tenemos.
( ) T
p
Gm
V r K
r
=
− +
1
1
1 1
2
2
2 1
4
p
p
Gm Gm
V K K
x x
Gm Gm
V K K
x x
=
− + =
− +
=
− + =
− +
−
X
1 2
-2 -1
m1 m2
x1 x2
1 2
1 1
1 1 1 1
4
1 1 4
2 2
4 (4 )
pT p p
Gm Gm
V V V K K
x x
Gm
Gm K K
x x x x
= + =
− + − + =
−
 
=
− + + =
− +
 
− −
 
1
1 1
2
Si ( ) 0
(4 )
pT
Gm
K V x
x x
= ⇒ =
−

44
26/10/2022
Supongamos ahora que queremos calcular la diferencia de energía potencial gravitatoria entre dos
puntos muy próximos a la superficie de la tierra.
B
A
¿ ( ) ( )?
p p B p A
E E r E r
∆ = −
Superficie de la tierra

45
26/10/2022
B
A
B
r
A
r T
R
¿ ( ) ( )?
p p B p A
E E r E r
∆ = −
2 2
2
2 2
1 1
( ) ( ) T T T T T T
p p B p A T
B A T A T B A B
Gm m Gm m Gm mR Gm mR
E E r E r gm R
r r R r R r r r
 
∆ = − =
− + = − = −
 
 
Utilizando la expresión que acabamos de obtener llegamos a:

46
26/10/2022
2
2 3 2
( )
( ) ( ) 2 ... ( ) ( )
2
T T T T T T T
p T T T
T T T T T T
Gm m Gm m Gm m r R Gm m Gm m Gm m
E r r R r R mg r R
R R R R R R
−
=
− + − − + ≈ − + − =
− + −
B
A
B
r
A
r T
R
¿ ( ) ( )?
p p B p A
E E r E r
∆ = −
2 2
2
2 2
1 1
( ) ( ) T T T T T T
p p B p A T
B A T A T B A B
E E r E r gm R
r r R r R r r r
 
∆ = − =
− + = − = −
 
 
Si utilizamos un desarrollo en serie de Taylor del potencial gravitatorio alrededor del radio de la tierra
obtenemos:

47
26/10/2022
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
T T
p p B p A B T A T B A
T T
Gm m Gm m
E E r E r mg r R mg r R mg r r
R R
∆ = − =
− + − + − − = −
2
2 3 2
( )
( ) ( ) 2 ... ( ) ( )
2
T T T T T T T
p T T T
T T T T T T
Gm m Gm m Gm m r R Gm m Gm m Gm m
E r r R r R mg r R
R R R R R R
−
=
− + − − + ≈ − + − =
− + −
( ) ( )
p p B p A
E E r E r mgh
∆ = − =
B
A
B
r
A
r T
R
¿ ( ) ( )?
p p B p A
E E r E r
∆ = −
2 2
2
2 2
1 1
( ) ( ) T T T T T T
p p B p A T
B A T A T B A B
E E r E r gm R
r r R r R r r r
 
∆ = − =
− + = − = −
 
 
Si utilizamos un desarrollo en serie de Taylor del potencial gravitatorio alrededor del radio de la tierra
obtenemos:
En cuyo caso la expresión que obtenemos para la variación de la energía potencial será:
h

48
26/10/2022
Energía potencial elástica
Como vimos en el tema anterior cuando se ejerce una fuerza moderada de tracción o
compresión sobre un sólido la deformación, elongación o contracción, que sufre es, en
primera aproximación, directamente proporcional a la fuerza a través de una constante que
depende de las propiedades del material y que se denomina constante elástica del material.
F kx

 
F

x

( )
2
2 2
1 1
1
2
2 2
2 1
2 2
x
B x x
AB A x x
x
x k
W F dx kx dx k xdx k x x
 
= ⋅ = − ⋅ =
− =
− =
− −
 
 
∫ ∫ ∫
   
El trabajo realizado por esta fuerza será igual a
Por lo tanto, la energía potencial elástica será igual a:
2
( )
2
P
kx
E x =

Trabajo y energía. Principio de conservación de la energía mecánica.
49
26/10/2022
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
Vamos a considerar un sistema sobre el cual está actuando un conjunto de fuerzas que
podremos separar, según la definición que hemos dado, en conservativas y no
conservativas:
El trabajo realizado por estas será igual a:
El trabajo realizado por la fuerza neta hemos visto que es igual a la variación de la energía
cinética, es decir
( ) ( )
1 1
n m
conservativas no conservativas
i j neta
i j
F F ma F
 
  
 
  

( ) ( )
1 1
( ) ( )
1 1
( ) ( )
1
n m
B
i j
A
i j
n m
B
i j
A
i j
n B
i i
A
i
F F dr
F dr F dr
F dr F d
 
 

 

 
  
 
 

 
 

 
    
 
 

 
   
 

 


  
 
 
 

1
n B B
neta
A A
i
r F dr

 
 

 
( ) ( )
B
neta c c
A
F dr E B E A
⋅ = −
∫
 

50
26/10/2022
Por otro lado, el trabajo realizado por cada una de las fuerzas conservativas puede escribirse
como la diferencia de evaluar una función energía potencial al inicio y al final de la
trayectoria considerada, es decir:
de donde:
Definiendo la energía mecánica como:
Si sobre el sistema no actúan fuerzas no conservativas, no existe trabajo debido a este tipo
de fuerzas y el anterior resultado se simplifica a:
( )
1 1
( ) ( )
i i
n n
B
conservativas
i P P
A
i i
F dr E A E B
 
  
 

 
( )
1 1
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
i i
i i
n n
B
no conservativas
i c c P P
A
i i
n n
c P c P
i i
F dr E B E A E B E A
E B E B E A E A
 
 
     
 


    
 
 
 
 

 
 
( )
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i
n n B
no conservativas
mecanica c P mecanica mecanica i
A
i i
E r E r E r E B E A F dr
 
     
 

   
mecanica
E cte


51
26/10/2022
Ejercicio. Sabiendo que el record de los 100 m lisos es aproximadamente 10 s estime cuanto debe valer
el record de salto con pértiga.

52
26/10/2022

53
26/10/2022
( )
C
E A
( ) ( )
PG PE
E B E B

( )
PG
E C
C
h
( ) ( ) ( )
M M M
E A E B E C
 
Planteamiento

54
26/10/2022
( )
C
E A
( ) ( )
PG PE
E B E B

( )
PG
E C
C
h
( ) ( ) ( )
M M M
E A E B E C
 
2 2
2 2
1 1
( ) ( ) ( ) 0
1 1
2 2
1 2 2
( ) ( ) ( ) 0
2
M C PG A A
A C A C
M C PG C
E A E A E A mv mg mv
mv mgh v gh
E C E C E C m mgh mgh
    
   
    
Planteamiento
Origen de la energía potencial gravitatoria
Desarrollo

55
26/10/2022
( )
C
E A
( ) ( )
PG PE
E B E B

( )
PG
E C
C
h
( ) ( ) ( )
M M M
E A E B E C
 
2 2
2 2
1 1
( ) ( ) ( ) 0
1 1
2 2
1 2 2
( ) ( ) ( ) 0
2
M C PG A A
A C A C
M C PG C
mv mgh v gh
    
   
    
Planteamiento
Desarrollo
Solución
100 m
10 m/s
10 s
A
v  
2
2
A
C
v
h
g


2 2
2
100 m / s
5 m
2 10 m / s
 

56
26/10/2022
( )
C
E A
( ) ( )
PG PE
E B E B

( )
PG
E C
C
h
( ) ( ) ( )
M M M
E A E B E C
 
2 2
2 2
1 1
( ) ( ) ( ) 0
1 1
2 2
1 2 2
( ) ( ) ( ) 0
2
M C PG A A
A C A C
M C PG C
mv mgh v gh
    
   
    
2
2
A
C
v
h
g

100 m
10 m/s
10 s
A
v  

Planteamiento
Desarrollo
Solución
Diferencia muy grande entre el valor estimado
y el real. Además el valor estimado es menor
que el real.
¿Por qué ocurre esto?

57
26/10/2022
Ejercicio.- Si una partícula de 200 g se suspende de un hilo de 80 cm de longitud y se separa 45º de la
vertical, determinar: a) Velocidad cuando pasa por la posición de equilibrio; b) tensión del hilo en esa
posición.
Solución: a) 2.14 m/s b) 3.17 N

58
26/10/2022
posición.
θ=45º
L=0.8 m
m=0.2 kg
1. Planteamiento
A
B

59
26/10/2022
posición.
θ=45º
L=0.8 m
m=0.2 kg
1. Planteamiento
2. La única fuerza que hace trabajo es la gravitatoria y es una fuerza
conservativa, por lo tanto, la energía mecánica se conserva.
A
B
(A) (B)
(A) (A) (B) (B)
M M
C PG C PG
M C PG
E E
E E E E
E E E
=
⇒ + = +
= +

60
26/10/2022
posición.
θ=45º
L=0.8 m
m=0.2 kg
1. Planteamiento
A
B
(A) (B)
(A) (A) (B) (B)
M M
C PG C PG
M C PG
E E
E E E E
E E E
=
⇒ + = +
= +
3. Elegimos el origen de potencial para la energía potencial
gravitatoria y sustituimos en la anterior igualdad las expresiones
obtenidas previamente para la energía cinética y la energía potencial.
Origen de la energía
potencial gravitatoria
hA
2 2 2
A A B B
(A) (A) (B) (B)
1 1 1
2 2 2
C PG C PG
C
PG
E E E E
E mv mv mgh mv mgh
E mgh
+ = +
= ⇒ + = +
=
0; 0
PG
E h
= =

61
26/10/2022
posición.
θ=45º
L=0.8 m
m=0.2 kg
1. Planteamiento
A
B
(A) (B)
(A) (A) (B) (B)
M M
C PG C PG
M C PG
E E
E E E E
E E E
=
⇒ + = +
= +
hA
2 2 2
A A B B
(A) (A) (B) (B)
1 1 1
2 2 2
C PG C PG
C
PG
E E E E
E mv mv mgh mv mgh
E mgh
+ = +
= ⇒ + = +
=
0; 0
PG
E h
= =
4. Tenemos en cuenta que la
partícula parte del reposo y que,
por tanto, en el punto A su
velocidad es cero:
2
A B B A
1
2
2
mgh mv v gh
= ⇒ =

62
26/10/2022
posición.
θ=45º
L=0.8 m
m=0.2 kg
1. Planteamiento
A
B
(A) (B)
(A) (A) (B) (B)
M M
C PG C PG
M C PG
E E
E E E E
E E E
=
⇒ + = +
= +
hA
2 2 2
A A B B
(A) (A) (B) (B)
1 1 1
2 2 2
C PG C PG
C
PG
E E E E
E mv mv mgh mv mgh
E mgh
+ = +
= ⇒ + = +
=
0; 0
PG
E h
= =
4. Tenemos en cuenta que la
partícula parte del reposo y que,
por tanto, en el punto A su
velocidad es cero:
2
A B B A
1
2
2
mgh mv v gh
= ⇒ =
5. Relacionamos hA con la longitud del hilo y el ángulo
que forma inicialmente con la vertical.
cos( )
L θ
( )
A
B
B A
cos( )
2 1 cos( ) 2.14 m/s
2
h L L
v gL
v gh
=
− θ
⇒
= − θ
=
=

63
26/10/2022
posición.
L=0.8 m
6. La partícula sigue una trayectoria circular de radio R=L y con módulo de la
velocidad variable y tiene que estar sometida a una aceleración normal igual
a: 2
v
a
L
⊥ =
ˆy
u P

T


64
26/10/2022
posición.
L=0.8 m
6. La partícula sigue una trayectoria circular de radio R=L y con módulo de la
velocidad variable y tiene que estar sometida a una aceleración normal igual
a: 2
v
a
L
⊥ =
7. Por otro lado, las fuerzas actuando sobre la partícula son el Peso y la
tensión de la cuerda que hilo es la encargada de proporcionar la fuerza
necesaria para que aparezca esta aceleración normal. Por lo tanto, nos
quedará que:
2 2 2
3.1 N
B B B
mv mv v
P T ma T P m g
L L L
⊥
 
− =
− =
− ⇒ = + = + =
 
 
ˆy
u P

T


TEMA 2: CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA Posición, velocidad, y aceleración
TEMA 3: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
Fuerzas de contacto
Fuerzas elásticas
Tipos de fuerza
DEFINICIÓN DE TRABAJO DE UNA FUERZA: ;
B
AB A
W F dr dW F dr
=
⋅ =
⋅
∫
 
 
El trabajo que una fuerza realiza sobre una partícula al trasladarse esta entre dos puntos A y B es igual a la integral de línea de la
fuerza a lo largo de la trayectoria (circulación del campo de fuerzas) que une ambos puntos.
( )
2 2 2
2 2
B B B B
AB A A A A
B B B
B A
A
A A
dv dr
dt dt
m m
m dv v m v dv v v v
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
 
= ⋅
= ⋅ = = −
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
 
     
   
WAB = EC(B)- EC(A)
TRABAJO DE LA FUERZA NETAACTUANDO SOBRE UN SISTEMA (TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS):
;
B
AB A
W F dr dW F dr
=
⋅ =
⋅
∫
 
 
;
B
B A
F dr dW F dr
=
⋅ =
⋅
∫
 
 
N
N
= m·a
2
1
2
C
E mv
=
Definición 1.- Capacidad de un sistema para hacer un trabajo sobre otro
sistema.
Definición 2.- Trabajo “almacenado”, o trabajo latente, en un sistema que
puede convertirse en trabajo bajo condiciones adecuadas.
CONCEPTO DE ENERGÍA:
FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS:
(1) (2) (3)
AB AB AB
W W W
 
Fuerzas conservativas
(1) (2) (3)
AB AB AB
W W W
 
Fuerzas no conservativas
1. Dependen del punto inicial y final y no de la trayectoria.
2. Cualquier fuerza conservativa lleva asociada una energía potencial que
se calcula como
3. El trabajo realizado por una fuerza conservativa puede calcularse como
la diferencia de energía potencial entre el punto inicial y el punto final.
4. Las fuerzas gravitatoria y elástica son fuerzas conservativas.
( ) ;
T
p p
Gm m
E r K E mgh
r
=
− + ∆ =
2
( )
2
P
kx
E x =
TEOREMA DE LA ENERGÍA MECÁNICA:
( )
1
1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
i
n B
no conservativas
mecanica mecanica i
A
i
n
mecanica c P
i
E B E A F dr
E r E r E r


  
 


 
  

67
26/10/2022
Ejercicio.- Una partícula de masa m desliza sin rozamiento por la pista de la figura. Determinar: a)
Valor mínimo de la altura H desde la que hay que dejarla caer para que complete la trayectoria
circular de radio R; b) Velocidad de la partícula en esa posición.
Solución: a) H=2.5R b) gR

68
26/10/2022
1. Planteamiento
H
R
m
A
B

69
26/10/2022
1. Planteamiento
H
R
m
2. La única fuerza que hace trabajo es la gravitatoria y es una fuerza conservativa, por lo tanto, la
energía mecánica se conserva. (A) (B)
(A) (A) (B) (B)
M M
C PG C PG
M C PG
E E
E E E E
E E E
=
⇒ + = +
= +
A
B

70
26/10/2022
1. Planteamiento
H
R
m
(A) (A) (B) (B)
M M
C PG C PG
M C PG
E E
E E E E
E E E
=
⇒ + = +
= +
3. Elegimos el origen de potencial para la energía potencial gravitatoria y sustituimos en la
anterior igualdad las expresiones obtenidas previamente para la energía cinética y la
energía potencial.
2 2 2
A A B B
(A) (A) (B) (B)
1 1 1
2 2 2
C PG C PG
C
PG
E E E E
E mv mv mgh mv mgh
E mgh
+ = +
= ⇒ + = +
=
A
B
0; 0
PG
E h
= =

71
26/10/2022
1. Planteamiento
H
R
m
(A) (A) (B) (B)
M M
C PG C PG
M C PG
E E
E E E E
E E E
=
⇒ + = +
= +
3. Elegimos el origen de potencial para la energía potencial gravitatoria y sustituimos en la
anterior igualdad las expresiones obtenidas previamente para la energía cinética y la
energía potencial.
2 2 2
A A B B
(A) (A) (B) (B)
1 1 1
2 2 2
C PG C PG
C
PG
E E E E
E mv mv mgh mv mgh
E mgh
+ = +
= ⇒ + = +
=
A
B
0; 0
PG
E h
= =
4. Tenemos en cuenta que la partícula parte del reposo y
que, por tanto, en el punto A su velocidad es cero y que las
alturas de los puntos A y B son respecto al punto
considerado origen de la energía potencial gravitatoria
respectivamente H y 2R:
2
1
2 2 ( 2 )
2
B B
mgH mv mg R v g H R
= + ⇒ = −

72
26/10/2022
Solución: a) H=2.5R b) (gR)1/2
5. Por otro lado, de un análisis de las fuerzas que actúan sobre el carro obtenemos
R
θ
P

N

P⊥

P

θ
û⊥
2
Eje paralelo: sin( )
Eje normal: cos( )
P ma
P N ma v
N P m
R
− θ =
+ = ⇒
− θ =

  
û

73
26/10/2022
R
θ
P

N

P⊥

P

θ
û⊥
2
Eje normal: cos( )
P ma
P N ma v
N P m
R
− θ =
+ = ⇒
− θ =

  
û
6. Particularizando la segunda ley de Newton en el eje normal para
el punto más alto del rizo obtenemos:
2 2
cos(180º) B B
v v
N P m N P m
R R
− = ⇒ + =
N

P

B

74
26/10/2022
R
θ
P

N

P⊥

P

θ
û⊥
2
Eje normal: cos( )
P ma
P N ma v
N P m
R
− θ =
+ = ⇒
− θ =

  
û
2 2
cos(180º) B B
v v
N P m N P m
R R
− = ⇒ + =
N

P

7. En esta situación la normal (fuerza de contacto) depende de la
velocidad que lleve la partícula en el punto B.
2
B
v
N m P
R
= −
B

75
26/10/2022
R
θ
P

N

P⊥

P

θ
2
0 B
B
v
m mg v Rg
R
= − ⇒ =
û⊥
2
Eje normal: cos( )
P ma
P N ma v
N P m
R
− θ =
+ = ⇒
− θ =

  
û
2 2
cos(180º) B B
v v
N P m N P m
R R
− = ⇒ + =
N

P

2
B
v
N m P
R
= −
8. Justo cuando la normal se anula significa que se pierde el contacto
con los railes y que el objeto caería por acción de la gravedad.
B

76
26/10/2022
R
θ
P

N

P⊥

P

θ
2
0 B
B
v
m mg v Rg
R
= − ⇒ =
5
2
H R
=
û⊥
2
Eje normal: cos( )
P ma
P N ma v
N P m
R
− θ =
+ = ⇒
− θ =

  
û
2 2
cos(180º) B B
v v
N P m N P m
R R
− = ⇒ + =
N

P

2
B
v
N m P
R
= −
8. Justo cuando la normal se anula significa que se pierde el contacto
con los railes y que el objeto caería por acción de la gravedad.
B
9. Usando el resultado
obtenido en el anterior
apartado llegamos a:
2 ( 2 )
B
v g H R
= −

77
26/10/2022
Ejercicio.- Una partícula se deja en libertad en la parte superior de un plano inclinado de 30º y 4 m de
altura. Si el coeficiente de rozamiento es 0.2, determinar su velocidad al llegar al suelo. Solución: 7.23
m/s.

78
26/10/2022
m/s.
A
B
L=4 m
θ=30º
1. Planteamiento

79
26/10/2022
m/s.
A
B
L=4 m
θ=30º
1. Planteamiento
2. La única fuerza conservativa que actúa sobre el sistema es la
fuerza gravitatoria, por lo tanto, la variación de la energía
mecánica será en este caso de la forma:
2 2
1 1
2 2
M C PG
C M
PG
E E E
E mv E mv mgh
E mgh
= +
= ⇒ = +
=
2
2
( )
1
( ) ( )
1
2
( )
2
M
M M M B
M B
E A mgLH mgL
E E B E A mv mgL
E B mv
= =
⇒ ∆
= − = −
=
Origen de energía

80
26/10/2022
m/s.
A
B
L=4 m
θ=30º
1. Planteamiento
2. La única fuerza conservativa que actúa sobre el sistema es la fuerza
gravitatoria, por lo tanto, la variación de la energía mecánica será en este
caso de la forma:
2
1
( ) ( )
2
M M M B
E E B E A mv mgL
∆ = − = −
Origen de energía
3. Por otro lado, la única fuerza no conservativa
actuando sobre el sistema es la fuerza de rozamiento y el
trabajo que realiza será igual a:
( )
1
n B B B
no conservativas
i r r
A A A
i
F dr F dr F dx

   
  
 
 
r
F

dr


81
26/10/2022
m/s.
A
B
L=4 m
θ=30º
1. Planteamiento
caso de la forma:
2
1
( ) ( )
2
M M M B
E E B E A mv mgL
∆ = − = −
Origen de energía
4. Teniendo en cuenta la segunda ley de Newton
y que la fuerza de rozamiento actúa con su
máximo valor por estar el sistema en
movimiento podemos calcular la fuerza de
rozamiento.
( )
1
n B B B
no conservativas
i r r
A A A
i
F dr F dr F dx

   
  
 
 
r
F

ˆx
u
ˆy
u
Eje X:
Eje Y: 0 cos( ) cos( )
x r
y y r
r
P F ma
N P N P P F P
F N
 
         
 
P

N

x
P

y
P

θ

82
26/10/2022
m/s.
A
B
L=4 m
θ=30º
1. Planteamiento
caso de la forma:
2
1
( ) ( )
2
M M M B
E E B E A mv mgL
∆ = − = −
Origen de energía
rozamiento.
( )
1
n B B B
no conservativas
i r r
A A A
i
F dr F dr F dx

   
  
 
 
r
F

ˆx
u
ˆy
u
cos( )
r
F P
  
P

N

x
P

y
P

θ
5. Ahora, calculamos el trabajo realizado por la fuerza
de rozamiento.
 
cos( ) cos( )
sin( )
B B B
r r A
A A
L
F dr F dx P x P
     

 
 

83
26/10/2022
m/s.
A
B
L=4 m
θ=30º
1. Planteamiento
caso de la forma:
2
1
( ) ( )
2
M M M B
E E B E A mv mgL
∆ = − = −
Origen de energía
rozamiento.
( )
1
n B B B
no conservativas
i r r
A A A
i
F dr F dr F dx

   
  
 
 
r
F

ˆx
u
ˆy
u
cos( )
r
F P
  
P

N

x
P

y
P

θ
5. Ahora, calculamos el trabajo realizado por la fuerza
de rozamiento.
 
cos( ) cos( )
sin( )
B B B
r r A
A A
L
F dr F dx P x P
     

 
 
6. Finalmente, utilizamos el teorema que acabamos de demostrar y calculamos la
velocidad en B.
2
1 sin( ) cos( )
2 7.23 m/s
2 tan( ) sin( )
B
M r B B
A
mgL
E F dr mv mgL v gL
 
µ θ −µ θ
∆ = ⋅ ⇒ − =
− ⇒ = =
 
θ θ
 
∫
 
Tomando g=10 m/s2

84
26/10/2022
Ejercicio.- Un objeto de 3 kg se deja libre a una altura de 5 m sobre una rampa curva y sin rozamiento,
como en la figura. Si el objeto se desliza por la rampa y choca contra un muelle de constante elástica
k=400 N/m, determinar: a) Velocidad del bloque antes de chocar contra el muelle; b) Distancia x
que comprime al muelle antes de quedar momentáneamente en reposo. Solución: a) 10 m/s b) 0.87 m
H=5 m

85
26/10/2022
1. Las fuerzas conservativas que actúan sobre el sistema son la fuerza gravitatoria
y la fuerza elástica del muelle, además dado que no hay fuerzas no conservativas
actuando sobre el sistema la energía mecánica se tiene que conservar.
2
2 2
2
1
1 1
2
2 2
1
2
M C PG PE
C
M
PG
PE
E E E E
E mv
E mv mgh kx
E mgh
E kx
= + +
=
⇒ = + +
=
=
2
2
( )
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
( )
2
M
M B M M M
M
E A mgH
E B mv E A E B E C
E C kx
=
= ⇒ = =
=
A
C
B
2
2
1
( ) ( ) 2
2
1 2
( ) ( )
2
M M B B
M M
E A E B mgH mv v gH
mgH
E A E C mgH kx x
K
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒=
H=5 m

86
26/10/2022
1. Las fuerzas conservativas que actúan sobre el sistema son la fuerza gravitatoria
y la fuerza elástica del muelle, además dado que no hay fuerzas no conservativas
actuando sobre el sistema la energía mecánica se tiene que conservar.
A
C
B
2
2
1
( ) ( ) 2
2
1 2
( ) ( )
2
M M B B
M M
E A E B mgH mv v gH
mgH
E A E C mgH kx x
K
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒=
H=5 m
2. Sustituimos los valores de las variables que nos da el enunciado del problema.
2 2 10 5 10 m/s
2 2 3 10 5
0.87 m
400
B
v gH
mgH
x
K
= = ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅
= = =

87
26/10/2022
Ejercicio.- Un bloque de 2 kg se deja en libertad sobre un plano inclinado de 30º a una distancia de 4 m
de un muelle de constante 100 N/m. Determinar: a) Máxima compresión del muelle en ausencia de
rozamiento; b) Máxima compresión del muelle cuando el coeficiente de rozamiento es µ=0.2; c) Distancia
que subirá el bloque cuando abandone el muelle si µ=0.2. Solución: a) 1 m b) 0.79 m c) 2.32 m

88
26/10/2022
A
B
1. Planteamiento
L=4 m

89
26/10/2022
A
B
1. Planteamiento
L=4 m
x
A
B
C
L=4 m

90
26/10/2022
A
B
1. Planteamiento
L=4 m
x
A
B
C
L=4 m
x
A
C
L

x
A
C
L
91
26/10/2022
1. Planteamiento
2. Las fuerzas conservativas que actúan sobre el sistema son la
fuerza gravitatoria y la fuerza elástica del muelle, por lo tanto,
la variación de la energía mecánica será en este caso de la
forma:
Origen de energía
potencial elástica
Origen de energía
2
2 2
2
1
1 1
2
2 2
1
2
M C PG PE
C
M
PG
PE
E E E E
E mv
E mv mgh kx
E mgh
E kx
= + +
=
⇒ = + +
=
=

x
A
C
L
92
26/10/2022
1. Planteamiento
forma:
Origen de energía
potencial elástica
Origen de energía
2
2 2
2
1
1 1
2
2 2
1
2
M C PG PE
C
M
PG
PE
E E E E
E mv
E mv mgh kx
E mgh
E kx
= + +
=
⇒ = + +
=
=
2
2
( ) ( )sin( )
1
( ) ( ) ( )sin( )
1
2
( )
2
M
M M M
M
E A mgH mg L x
E E C E A kx mg L x
E C kx
= = + θ
⇒ ∆= − = − + θ
=
H

x
A
C
L
93
26/10/2022
1. Planteamiento
forma:
2
1
( ) ( ) ( )sin( )
2
M M M
E E C E A kx mg L x
∆ = − = − + θ
que actúa sobre el sistema es la fuerza de
rozamiento y el trabajo que realiza es igual a:
( )
1
cos( )
cos( )
n B c c
no conservativas
i r r
A A A
i
y
r
F dr F dr F dx
N P P
F N NP

   
  
    
  
 
 
P

N

r
F

x
P

y
P

  ( )
( ) cos( )( )
c c C
r r r r
A
A A
y
F dr F dx F x F L x
P L x mg L x
     
    
 
 

x
A
C
L
94
26/10/2022
1. Planteamiento
forma:
2
1
( ) ( ) ( )sin( )
2
M M M
E E C E A kx mg L x
∆ = − = − + θ
que actúa sobre el sistema es la fuerza de
rozamiento y el trabajo que realiza es igual a:
P

N

r
F

x
P

y
P

( )
1
cos( )( )
n B c
no conservativas
i r
A A
i
F dr F dr
mg L x

   
  
 
 
 
4. Utilizamos el teorema que acabamos de ver.
( )
1
n B
no conservativas
M i
A
i
E F dr

  

 
2
1
( )sin( ) cos( )( )
2
kx mg L x mg L x
     
 
2
0
2 cos( ) sin( )
k
x x L
mg
  
   
 
 
sin( ) cos( ) 4
1 1
2 sin( ) cos( )
mg kL
x
k mg
 
   
 

   
 
    
 

x
A
C
L
95
26/10/2022
5. Calculamos la compresión que sufre el muelle para los datos que
nos han dado:
P

N

r
F

x
P

y
P

 
 
sin( ) cos( ) 2
1 1 0.79 m
sin( ) cos( )
mg kL
x
k mg
 
   
 

   

 
    
 
Con rozamiento:
Sin rozamiento:
sin( ) 2
1 1 1 m
sin( )
mg kL
x
k mg
 
 
 
    
 
 

 
 

Trabajo y energía. Potencia.
96
26/10/2022
La potencia que desarrolla un sistema es igual al trabajo por unidad de tiempo que realiza dicho
sistema:
Las dimensiones de la potencia serán la energía o el trabajo divido por unidad de tiempo, que en el
sistema internacional serán el julio partido por segundo, y a esta unidad se le denomina watio (W):
 
 
 
J J
1 W = 1
s s
W
P
t
  
dW
P
dt

Obsérvese la diferencia entre potencia y trabajo. Dos motores que elevan una determinada carga a igual
distancia realizan el mismo trabajo, mgh, pero el que lo realiza en menos tiempo suministra mayor
potencia.
Es interesante hacer notar que a veces se utiliza la potencia por unidad de tiempo para expresar la energía,
así, por ejemplo, es muy usual hablar, en electricidad, del kilovatio·hora. Sin embargo esta cantidad
equivale a una energía o trabajo y no hay que confundirla con una unidad de potencia.
Es muy usual, sin embargo, utilizar para esta magnitud otro patrón de medida, el caballo de vapor (HP
o CV), cuya relación con el vatio es la siguiente:
3
1 W = 1.3405 10 HP
1 HP = 1 CV = 746 W


POTENCIA

97
26/10/2022
Ejercicio.- Un pequeño motor mueve un ascensor que eleva una carga de ladrillos de peso 800 N a una
altura de 10 m en 20 s. ¿Cuál es la potencia mínima que debe suministrar el motor?

98
26/10/2022
h=10 m
1. Planteamiento
A
B

99
26/10/2022
h=10 m
1. Planteamiento
2. El trabajo que hay que realizar para subir la carga de
ladrillos es igual a la variación de la energía potencial que
sufrirá el sistema, es decir,
8000 J
AB PG
W E mgh
=
∆ = =
A
B
Origen de energía
potencial
gravitatoria.

100
26/10/2022
h=10 m
1. Planteamiento
2. El trabajo que hay que realizar para subir la carga de
ladrillos es igual a la variación de la energía potencial que
sufrirá el sistema, es decir,
8000 J
AB PG
W E mgh
=
∆ = =
A
B
Origen de energía
potencial
gravitatoria.
3. Como quiero que el trabajo se haga en un tiempo máximo de 20 s necesito un motor con una
potencia mínima de:
8000 J
400 W
20 s
AB
W
P
t
= = =

101
26/10/2022
Teniendo en cuenta la definición de potencia y teniendo en cuenta la definición de trabajo se obtiene:
dW
P F dr dr
dt P F
dt dt
dW F dr
 
   
 
  

 
dr
v
dt



P F v
 
 
Si además consideramos que la fuerza es la fuerza neta actuando sobre el sistema nos queda:
P
P ma v mav a
mv
    
  (donde hemos supuesto que la
aceleración y la velocidad van
en la misma dirección y sentido)
Así, para una potencia constante P, la aceleración varía en razón inversa con la velocidad. Un ejemplo
familiar de este hecho es la dificultad de adelantar a un automóvil a velocidad muy alta.
POTENCIA
2
2
2
2
74600
2.23 m/s
1500 22.22
100 CV=74600 W
74600
1.79 m/s
1500 27.78
148300
4.46 m/s
1500 22.22
200 CV=148300 W
148300
3.58 m/s
1500 27.78
a
a
a
a
 


 

 


 

80 km/h=22.22 m/s
100 km/h= 27.78 m/s

102
26/10/2022
Ejercicio.- Un automóvil acelera a máxima potencia de 0 a 96 km/h en 6.5 s. Suponiendo que la
potencia es constante en todo el proceso de aceleración ¿Cuánto tiempo necesitará para acelerar de
80 km/h a 112 km/h?

103
26/10/2022
80 km/h a 112 km/h?
2 2
2
C B A
E v v
W m
P
t t t
 

  
  

104
26/10/2022
80 km/h a 112 km/h?
2 2
2
C B A
E v v
W m
P
t t t
 

  
  
2 2
1
1
1 1 1
2
C B A
E
W v v
m
P
t t t

 
  
  

105
26/10/2022
80 km/h a 112 km/h?
2 2
2
C B A
E v v
W m
P
t t t
 

  
  
2 2
1
1
1 1 1
2
C B A
E
W v v
m
P
t t t

 
  
  
2 2
2
2
2 2 2
2
C D C
E v v
W m
P
t t t
 

  
  
2 2
2
2
D C
v v
m
t
P

 

106
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80 km/h a 112 km/h?
2 2
2
C B A
E v v
W m
P
t t t
 

  
  
2 2
1
1
1 1 1
2
C B A
E
W v v
m
P
t t t

 
  
  
2 2
2
2
2 2 2
2
C D C
E v v
W m
P
t t t
 

  
  
2 2
2
2
D C
v v
m
t
P

 
2 2 2 2
2 1
2 2 2
112 80
6.5 s 4.33 s
96 0
D C
B A
v v
t t
v v
 
    
 

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