El documento resume las definiciones fundamentales de distancia entre puntos, punto medio, secciones cónicas (elipse, parábola, hipérbola y circunferencia), y proporciona ejemplos y ecuaciones para cada una. Explica cómo calcular la distancia entre dos puntos y encontrar el punto medio. Luego describe las características geométricas clave y las ecuaciones de cada sección cónica.

1. DISTANCIA,
PUNTO MEDIO Y
CÓNICAS
OMAR PEREIRA
27025001
SECCIÓN: DL0412

2. Distancia entre dos puntos en el plano
Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2),
definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud
del segmento que los separa. Y viene dada por la ecuación:
𝑑(𝐴, 𝐵) = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1
2
)
Ejemplo:
Dados los puntos 𝐴 = 0,4 y 𝐵 = −4,0 hallar las distancia de A a
B.
𝑑 𝐴, 𝐵 = (−4 − 0)2+(0 − 4)2
𝑑 𝐴, 𝐵 = 16 + 16
𝑑 𝐴, 𝐵 = 32
𝑑 𝐴, 𝐵 = 5.65

3. En matemáticas, es el punto que se encuentra a la misma
distancia de cualquiera de los extremos.
𝑀 =
𝑥𝑎 + 𝑥𝑏
2
,
𝑦𝑎 + 𝑦𝑏
2
Punto medio o punto equidistante:
Ejemplo:
Dados los puntos 𝐴 = (−4,2) y 𝐵 = (0, −2), hallar el punto medio entre
A y B.
𝑀 =
−4 + 0
2
,
2 − 2
2
=
−4
2
,
0
2
= −2,0
𝒙𝒂 𝒙𝒃
𝒚𝒂
𝒚𝒃
𝒙𝒎
𝒚𝒎 𝑴

4. Secciones cónicas
Se denomina sección
cónica a todas las
curvas resultantes de
las diferentes
intersecciones entre un
cono y un plano; si
dicho plano no pasa
por el vértice, se
obtienen las cónicas
propiamente dichas
elipse, parábola,
hipérbola y
circunferencia.
Circulo es la
sección
producida por un
plano
perpendicular al
eje.
Elipse es la sección
producida en una
superficie cónica de
revolución por un plano
oblicuo al eje, que no
sea paralelo a la
generatriz y que forme
con el mismo un ángulo
mayor que el que
forman eje y generatriz.
Parábola es la
sección producida
en una superficie
cónica de
revolución por un
plano oblicuo al
eje, siendo paralelo
a la generatriz.
Hipérbola es la
sección producida en
una superficie cónica
de revolución por un
plano oblicuo al eje,
formando con él un
ángulo menor al que
forman eje y
generatriz, por lo que
incide en las dos hojas
de la superficie cónica.

5. Circunferencia
Se define como el lugar geométrico de
los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo 𝑪 = 𝒂, 𝒃 que
llamamos centro.
Por lo tanto, cada punto se expresa de la
síguete forma 𝑷 = 𝒙, 𝒚 .
así que la circunferencia viene dada por
la ecuación.
(𝒙 − 𝒂)𝟐
+(𝒚 − 𝒃)𝟐
= 𝒓𝟐
llamada
ecuación ordinaria.
A su ves cuando el centro se encuentra
en el origen la ecuación toma la forma.
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝒓𝟐
llamada ecuación
canónica.
En la siguiente figura se ve
graficada la circunferencia de
ecuación:
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝟐𝟓

6. Parábola
Dados un punto F (foco) y una recta r (directriz), se denomina
parábola al conjunto de puntos del plano que equidistan del foco
y de la directriz.
El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa por el
foco. Es el eje de simetría de la parábola.
El punto de la parábola que pertenece al eje focal se
llama vértice 𝒗 = (𝒂, 𝒃) y la distancia del vértice al foco y del
vertice a la directriz es igual a “c”
.
Es así que la ecuación de la parábola con eje focal paralelo a “y”
es 𝒙 − 𝒂 𝟐
= 𝟒𝒄(𝒚 − 𝒃) y con eje focal paralelo a “x”
es 𝒚 − 𝒃 𝟐 = 𝟒𝒄(𝒙 − 𝒂)
Si el vértice se encuentra en el origen la ecuación toma la forma
𝒙𝟐
= 𝟒𝒄𝒚 y 𝒚𝟐
= 𝟒𝒄𝒚 respectivamente.
En la siguiente figura se ve graficada una parábola de ecuación
𝑥2 = 4𝑦

7. Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma
de distancias a dos puntos fijos llamados focos es
constante.
Elementos de la elipse
Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con
los ejes: a, a', b y b'.
Focos: Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje mayor: Es el segmento 𝑎𝑎′ de longitud 2a, a es el
valor del semieje mayor.
Eje menor: Es el segmento 𝑏𝑏′ de longitud 2b, b es el
valor del semieje menor.
Y a su vez la ecuación de la elipse es:
𝑥 − 𝑥0
2
𝑎2 +
𝑦 − 𝑦0
2
𝑏2 = 1
En la siguiente figura se ve graficada una
elipse cuya ecuación es:
𝒙−𝟏 𝟐
𝟖𝟏
+
𝒚−𝟏 𝟐
𝟏𝟔
= 𝟏

8. Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia
de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante en
valor absoluto.
Elementos de la hipérbola
1)Focos: son los puntos fijos F Y F'.
2)Eje focal: principal o real: es la recta que pasa por los focos.
3)Eje imaginario: es la recta perpendicular al eje focal.
4)Centro: es el punto de intersección de los ejes.
5)Vértices: los puntos A y A' son los puntos de intersección de
la hipérbola con el eje focal.
6)Eje mayor: es el segmento 𝐴𝐴′de longitud 2a.
7)Eje menor: es el segmento 𝐵𝐵′de longitud 2b. Los puntos b
y b' se obtienen como intersección del eje imaginario con la
circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de
radio c.
8)Asíntotas: son las rectas de ecuaciones:𝑦 = −
𝑏
𝑎
𝑥 y 𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥
9)Relación entre los semiejes: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
Así que las ecuaciones de la hipérbola son:
𝑥2
𝑎
−
𝑦2
𝑏
= 1centrada en el origen con eje real
horizontal.
𝑦2
𝑏
−
𝑥2
𝑎
= 1 centrada en el origen con eje real
vertical.
𝑥−ℎ 2
𝑎
−
𝑥−𝑘 2
𝑏
= 1 no centrada en el origen
con eje real horizontal.
𝑦−𝑘 2
𝑏
−
𝑥−ℎ 2
𝑎
= 1 no centrada en el origen
con eje real vertical.

9. Ejemplo: en la
siguiente figura esta
graficada una hipérbola
cuya ecuación es.
𝑥2 − 𝑦2 = 1
𝑎 = 1,𝑏 = 1,𝑐 = 1.41
Nótese que la ecuación
es muy similar a la
circunferencia de 𝑟 = 1
cambiando solo el
signo (-)

10. Ejercicio sugerido
Realiza la ecuación de la
circunferencia de radio 4, cuyo centro
se encuentra en el punto (2,3) y grafica
en el plano.