Este documento presenta información sobre varios temas relacionados con el plano numérico y las ecuaciones cónicas. Explica conceptos como puntos, distancia entre puntos, punto medio, circunferencia, parábolas, elipses e hipérbolas. Incluye fórmulas, ejemplos y gráficos para ilustrar cada tema.

1. PLANO NUMÉRICO
Integrantes:
Victor Brito C.I.: 20.017.130
Aracelys Benitez C.I.: 13.785.888
Joselyn Escobar C.I.: 24.399.078
Eliezer Figueredo C.I.: 21.244.055
Shantal Rdriguez C.I.:
Sección DL0302

2. Que es un plano numérico
A cada punto en el plano se le asigna una pareja de números reales (a, b) donde a el
punto de corte sobre el eje X y B es el punto de corte sobre el eje .
La intersección de estas dos rectas (ejes) forman cuatro cuadrantes, el primer
cuadrante tanto X como Y son positivo, en el segundo, X es negativo Y es positivo, en el
tercero los dos son negativo y en el cuarto X es positivo y Y negativo.

3. Distancia
La distancia entre dos putos está vinculada al plano numérico, ya que este permite calcular la
distancia que existe entre ambos punto, a partir de la ubicación de las coordenadas de ambos.
Por su parte, cuando ambos puntos pasan del plano a la superficie terrestre, su distancia se calcula
de otra manera.
Distancia entre puntos sean A = (x1, y2) y B = (x2, y2) puntos la distancia entre A y B viene dada por:
d = (𝑥2 − 𝑥1)2+ (𝑦2 − 𝑦1)2
Ejercicio de ejemplo:

4. ¿Qué es el punto medio?
Es un punto que se ubica exactamente en la mitad de
un segmento de línea que une a dos puntos. Por
ejemplo, si es que tenemos dos puntos y los unimos
con un segmento de línea, el punto medio se ubicará
en la mitad de ese segmento y será equidistante a
ambos puntos.
En el siguiente diagrama tenemos los puntos A y B, los
cuales están unidos por un segmento. El punto C es el
punto medio, ya que está exactamente en la mitad del
segmento.
Fórmula para el punto medio de un segmento
Si es que tenemos los puntos A y B con las
coordenadas A = (𝑋1
, 𝑌1
) y B = (𝑥2
, 𝑦2
), la fórmula
del punto medio es:
Fórmula del punto medio
M =
𝑥1+𝑥2
2
,
𝑦1+𝑦2
2

5. Punto medio
Ejemplo:
Encuentra el punto medio de un segmento que une a los puntos (2, 5) y (6, 9).
Tenemos a las siguientes coordenadas:
◦ ( x1 , x2)= (2 ,5)
◦ ( y1 , y2)= (6, 9)
Ahora , usamos la Formula con las coordenadas dadas :
Formula:
PM =
𝒙𝟏+𝒙𝟐
𝟐
,
𝒚𝟏+𝒚𝟐
𝟐
PM =
𝟐+𝟔
𝟐
,
𝟓+𝟗
𝟐
PM =
𝟖
𝟐
,
𝟏𝟒
𝟐
PM = (4 , 7)

6. Circunferencia
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y es
respecto a éste que trabajamos).
Determinación de una circunferencia
Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:
a) Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
b) El centro y el radio.
c) El centro y un punto en ella.
d) El centro y una recta tangente a la circunferencia.
Así podemos expresarla
Donde:
(d) Distancia CP = r
Fórmula que elevada al cuadrado nos da
(x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
También se usa como
(x ─ h) 2 + (y ─ k) 2 = r 2

7. Circunferencia
Ecuación reducida de la circunferencia
Volviendo a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2 , debemos consignar
que si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0, 0) la
ecuación queda reducida a:
(x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
(x ─ 0) 2 + (y ─ 0) 2 = r 2
x 2 + y 2 = r

8. Circunferencia
Ejercicio con ejemplo de circunferencia

9. Parábolas
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano, , que equidistan de un punto fijo, , llamado
foco y de una recta fija, llamada directriz.
Elementos de la parábola
• Foco (F) Es el punto fijo .
• Directriz (d): Es la recta fija .
• Parámetro (P): Es la distancia del foco a la directriz, se designa
por la letra .
• Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
• Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
• Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la
parábola con el foco.

10. Ecuaciones de una parábola
Ecuacion ordinaria de la parabola
Ecuacion general de la parabola

11. Ejercicio de parábola
6𝑦2 - 12x = 0
6𝑦2 = 12x y² = 2x Despejamos el termino cuadrático
4p = 2 P=
2
4
=
1
2
Identificamos el valor de P
Foco F
1
2
, 0 Localizamos el foco y encontramos la
ecuación de la directriz
Directriz X = -
1
2
Trazamos siguiendo los puntos ya
reflejados

12. Elipse
La elipse es una curva geométrica fascinante que se encuentra en muchos aspectos de la naturaleza y las ciencias.
Desde la antigüedad, matemáticos y astrónomos han estudiado y apreciado la belleza y las propiedades únicas de
esta figura.
En su forma más básica, una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, para los cuales la suma de las
distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
Elementos de la elipse
1- Focos: Son los puntos fijos F’ y F.
2- Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
3- Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF.
4- Centro es el punto de intersección de los ejes.
5- Radios vectores: son los segmentos que van desde un punto de los elipse a los focos PF
y PF.
6- Distancia focal: es el segmento FF de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
7- Vértices: son los puntos de la intersección de la elipse con los ejes A, Aʹ, B y Bʹ.
8- Eje mayor: es el segmento AAʹ de la longitud 2 a , donde a es el valor del semieje mayor.
9- Eje menor: Es el segmento BBʹ de longitud 2b, donde b es el valor del semieje menor.
10- Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o a el eje menor.
11- Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección
de los ejes de simetría.

13. Ecuación del elipse
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
Ecuación canónica
Ejercicio:
Eje mayor
La ecuación de la elipse ya está en
forma canónica por lo que procedemos
a obtener el valor del semieje mayor
𝑥2
16
+
𝑦2
12
= 1
𝑎2
= 16 a = 4
Y así encontrar los vértices que
forman el eje mayor
A (4,0) Aʹ(-4,0)
Eje menor
𝑏2 = 12 b = 2 3 Este seria el valor del semieje
menor.
B (0, 2 3 ; Bʹ (0, -2 3) Por lo tanto, estos son los vértices
que se encuentran en el eje menor.
Focos
C= 16 − 12 ; C = 2
F(2, 0) : Fʹ(-2, 0)
calculamos el valor de la distancia
semifocal.
Y con éste, localizar los focos.
Excentricidad
e =
𝑐
𝑎
=
1
2
La excentricidad es igual al cociente de
la distancia semifocal y el semieje
mayor.
Grafica:

14. Hipérbola
Dados dos puntos F1 y F2 llamados focos, se denomina hipérbola al
conjunto de puntos del plano tales que el valor absoluto de la
diferencia de sus distancias a los focos es constante.
H = {P(x,y)| |d(P;F1) –d (P;F2)| = 2ª = constante}
Si la distancia entre los focos es d(F1, F2) = 2c, la condición para que
sea una hipérbola es:
c > a > 0
c2 > a2
c2 - a2 = b2
→ c² = a² + b²

15. Elementos de una hiperbola
◦ Focos. (F1 y F2). Puntos fijos en los que la diferencia de
distancia entre ellos y cualquier punto de la hipérbola
es siempre la misma.
◦ Eje focal, principal o real. Recta que pasa por los focos.
◦ Eje secundario o imaginario. Mediatriz del segmento
que une los dos focos.
◦ Centro (O): Punto de intersección de los ejes focal y
secundario.
◦ Semidistancia focal (c). La mitad de la distancia entre
los dos focos F y F'. Su valor es c.
◦ Distancia focal (2c). Distancia del segmento que une
los dos focos F y F'. Su longitud es 2c.
◦ Los vértices (V1 y V2). Puntos de la hipérbola que
cortan al eje focal.
◦ Semieje real (a). Segmento que va desde el origen O
hasta cuaqluiera de los vertices A o A'. Su longitud es a.
◦ Semieje imaginario (b). 𝑏 = 𝑐2 + 𝑎2
.

16. Ecuación de la hipérbola
Hipérbola centrada
verticalmente
𝑥²
𝑎²
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Hipérbola centrada
horizontalmente
𝑦²
𝑎²
−
𝑥2
𝑏2 = 1
Ecuación de hipérbolas
centradas en el origen

17. Hipérbola orientada
verticalmente con
centro fuera del
origen
(𝑥 − ℎ)2
𝑎²
−
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
Hipérbola orientada
horizontalmente con
centro fuera del
origen
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎²
−
𝑥 − ℎ 2
𝑏2
= 1
Ecuación de la hipérbola
Ecuación de hipérbolas
centradas fuera del origen

18. (0,0)
V1
V2
F1
F2
-----------------------
-----------------------
1 2 3 4
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4 -1
-2
-3
-4
-5
F1 (0, 13)
x
y
F2 (0, - 13)
V1 (0, 3)
V2 (0, -3)
Ejercicio de ejemplo hiperbola:
Grafica conociendo la ecuacion
canonica (0, 0).
Hiperbola centrada
horizontalmente.
𝑦²
(3)²
−
𝑥2
(2)2
= 1
Datos:
Centro (0, 0)
a = 3
b = 2
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
𝑐2
= 32
+ 22
𝑐2
= 13
c = 13
Lr =
2.𝑏2
𝑎
Lr =
2.22
3
Lr =
2.4
3
Lr =
8
3

19. Graficas de las ecuaciones conicas
Una ecuacion cónica es la intersección de un plano y un cono recto circular doble. Por el cambio del
ángulo y la ubicación de la intersección, podemos producir diferentes tipos de cónicas. Ninguna de las
intersecciones pasara a través de los vértices del cono.

20. Bibliografia
◦ https://www.neurochispas.com/matematicas/punto-medio-de-un-segmento-formula-y-ejemplos/
◦ https://www.definicionabc.com/general/plano-cartesiano.php
◦ https://diccionarioactual.com/distancia-entre-dps-puntos/
◦ https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/conica/parabola.html
◦ https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/conica/ejercicios-de-la-
ecuacion-de-la-parabola.html
◦ https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/conica/ejercicios-de-la-
ecuacion-de-la-elipse.html