El documento presenta dos problemas de programación lineal resueltos mediante el método simplex para maximizar. El primer problema involucra la producción de 3 productos sujetos a restricciones de tiempo de producción, maximizando las utilidades. El segundo problema maximiza las ganancias de la producción de 3 productos con restricciones de horas de máquina y ventas máximas. Ambos problemas son resueltos en detalle aplicando las fases del método simplex.
En optimización matemática, el término algoritmo simplex habitualmente se refiere a un conjunto de métodos muy usados para resolver problemas de programación lineal, en los cuales se busca el máximo de una función lineal sobre un conjunto de variables que satisfaga un conjunto de inecuaciones lineales.
El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables. El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso.
En optimización matemática, el término algoritmo simplex habitualmente se refiere a un conjunto de métodos muy usados para resolver problemas de programación lineal, en los cuales se busca el máximo de una función lineal sobre un conjunto de variables que satisfaga un conjunto de inecuaciones lineales.
El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables. El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso.
2. RESOLVER LOS EJERCICIOS APLICANDO ELMETODO SIMPLEX PARA MAXIMIZAR, DETALLAR CA
DE LAS FASES DEL PROBLEMA:
Se producxe 3 productos "A,B,C" a travéz de 3 operaciones diferentes, los tiempos requeridos
minutos por unidades de cada producto son:
Operación 1: un producto A, dos productos B y un producto C
operación 2: tres productos A, dos productos C
Operación 3: un producto A y cuatro productos B
La capaciadad diaria de las operaciones son de 430, 460 y 420 minutos respectivamente. El pro
deja una utilidad de 3 usd, B de 2 usd y C de 5 usd
EJERCICIO:
MAXIMIZAR Z= 3X1 + 2X2 +5X3
sujeto a: X1+2X2+X3≤ 430
3X1+ 2X3≤ 460
X1+4X2 ≤ 420
X1≥0 , X2≥0, X3≥0
1) CONVERTIR LAS DESIGUALDADES A IGUALDADES
X1+2X2+X3+S1 = 430
3X1+ 2X3+S2 = 460
X1+4X2 + S3 = 420
2) IGUALAR LA FUNCION OBJETIVO SIMPLEX
- 3X1 - 2X2 -5X3 + Z = 0
3) ESCRIBA LA TABLA INICIAL SIMPLEX
TABLA 1
X1 X2 X3 S1 S2
S1 1 2 1 1 0
VARIABLE DE DECISION VARIABLE DE HOLGURABASE
3. S2 3 0 2 0 1
S3 1 4 0 0 0
Z -3 -2 -5 0 0
4) ENCONTRAR LA VARIABLE DE DECISION QUE ESTRA EN LA BASE Y LA VARIABLE DE HOLGURA
QUE SALE DE LA BASE.
Variable de decisión
En este caso el, la variable X3 de coeficiente -5
Variable de holgura
430/1 = 430
460/2 = 230
420/0 = 0
En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 2
5) ENCONTRAR LOS COEFICIENTES DE LA NUEVA TABLA
3/2 = 3/2
0/2 = 0
2/2 = 1
0/2 = 0
1/2 = 1/2
0/2 = 0
460/2 = 230
TABLA 2
X1 X2 X3 S1 S2
r -1/2 2 0 1 -1/2
m 3/2 0 1 0 1/2
l 1 4 0 0 0
Z 9/2 -2 0 0 5/2
Vieja filade X1 1 2 1 1
- - - -
coeficiente 1 1 1 1
nueva fila pivote 3/2 0 1 0
BASE VARIABLE DE DECISION VARIABLE DE HOLGURA
FILA PIVOTE
4. nueva fila = -1/2 2 0 1
Vieja filade X3 1 4 0 0
- - - -
coeficiente 0 0 0 0
nueva fila pivote 3/2 0 1 0
nueva fila = 1 4 0 0
Vieja filade Z -3 -2 -5 0
- - - -
coeficiente -5 -5 -5 -5
nueva fila pivote 3/2 0 1 0
nueva fila = 9/2 -2 0 0
como los elementos de la última fila hay un negativo, -2, significa que no hemos llegado a la solución óptima.
SEGUIMOS EL MISMO PROCESO
4) ENCONTRAR LA VARIABLE DE DECISION QUE ESTRA EN LA BASE Y LA VARIABLE DE HOLGURA
QUE SALE DE LA BASE.
Variable de decisión
En este caso el, la variable X2 de coeficiente -2
Variable de holgura
200/2 = 100
230/0 = 0
420/4= 105
En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 2
5) ENCONTRAR LOS COEFICIENTES DE LA NUEVA TABLA
- ⅟2 /2 = - 1/4
2/2 = 1
0/2 = 0
1/2 = 1/2
- ⅟2 /2 = -1/4
0/2 = 0
200/2 = 100
TABLA 3
FILA PIVOTE
5. X1 X2 X3 S1 S2
b - 1/4 1 0 1/2 - 1/4
h 3/2 0 1 0 1/2
w 2 0 0 -2 1
z 4 0 0 1 2
vieja fila m 3/2 0 1 0
- - - -
coeficiente 0 0 0 0
fila pivote - 1/4 1 0 1/2
nueva fila = 3/2 0 1 0
vieja fila l 1 4 0 0
- - - -
coeficiente 4 4 4 4
fila pivote - 1/4 1 0 1/2
nueva fila = 2 0 0 -2
vieja fila Z 9/2 -2 0 0
- - - -
coeficiente -2 -2 -2 -2
fila pivote - 1/4 1 0 1/2
nueva fila 4 0 0 1
COMO TODOS LOS COEFICIENTES DE LA FILA DE LA FUNCION OBJETIVO SON POSITIVOS, HEMOS LLEGADO A LA
SOLUCIÓN ÓPTIMA.
ASI LA SOLUCIÓN ÓPTIMA VIENE DADA POR EL VALOR DE Z EN LA COLUMNA DE LOS VALORES SOLUCIÓN,
EN NUESTRO CASO ES 1350
EJERCICIO N° 2
Una empresa puede fabricar con determinada máquina trabajando 45 horas semanales 3 productos
diferentes A, B, C
El artículo A deja un beneficio neto de 4 USD, elB 12 usd y el C de 3 USD. La producción por horas de
la maquina es para cada uno de los tres productos de 50 , 25 y 75 respectivamente. Por último las ventas
posibles para los tres productos hacienden a un máximo de 1000 und de A, 500 und de B y 1500 und de C.
Como se deberá repartir la producción de manera que se maximice los beneficios.
BASE VARIABLE DE DECISION VARIABLE DE HOLGURA
6. Maximizar Z = 4a + 12b +3c
sujeto a: 50a ≤ 1000
25b ≤ 500
75c ≤ 1500
a≥0, b≥0, c≥0
1) CONVERTIR LAS DESIGUALDADES EN IGUALDADES
50a + y1 = 1000
25b + y2 = 500
75c + y3 = 1500
2)IGULAMOS LA FUNCION OBJETIVO A CERO
- 4a - 12b -3c + Z = 0
3) ESCRIBA LA TABLA INICIAL SIMPLEX
TABLA 1
a b c y1 y2
y1 50 0 0 1 0
y2 0 25 0 0 1
y3 0 0 75 0 0
Z -4 -12 -3 0 0
4) ENCONTRAR LA VARIABLE DE DECISION QUE ESTRA EN LA BASE Y LA VARIABLE DE HOLGURA
QUE SALE DE LA BASE.
Variable de decisión
En este caso el, la variable c de coeficiente -12
Variable de holgura
1000/0 = 0
500/25 = 20
1500/0 = 0
BASE VARIABLE DE DECISION VARIABLE DE HOLGURA
7. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 25
5) ENCONTRAR LOS COEFICIENTES DE LA NUEVA TABLA
0/25 = 0
25/25 = 1
0/25 = 0
0/25 = 0
1/25 = 1/25
0/25 = 0
500/25 = 20
TABLA 2
a b c y1 y2
y1 50 0 0 1 0
y2 0 1 0 0 1/25
y3 0 0 75 0 0
Z -4 0 -3 0 12/25
LA VARIABLE DE DECISION ES LA a de -4
1000 / 50 = 20
20 / 0 = 0
1500/ 0 = 0
valores para la nueva tabla
50/50 = 1
0 / 50 = 0
0 / 50 = 0
1 / 50 = 1/50
0 / 50 = 0
0 / 50 = 0
1000/50 = 20
TABLA 3
FILA PIVOTE
BASE VARIABLE DE DECISION VARIABLE DE HOLGURA
BASE VARIABLE DE DECISION VARIABLE DE HOLGURA
8. a b c y1 y2
y1 1 0 0 1/50 0
y2 0 1 0 0 1/25
y3 0 0 75 0 0
Z 0 0 -3 2/25 12/25
variable de decisión b de -3
20/0 = 0
20/0 = 0
1500/75 20
valores para la nueva tabla
0/ 75 = 0
0/75 = 0
75/ 75 = 1
0/ 75 = 0
0/75 = 0
0/25 = 0
1 500/75 = 20
TABLA 4
a b c y1 y2
y1 1 0 0 1/50 0
y2 0 1 0 0 1/25
y3 0 0 1 0 0
Z 0 0 0 2/25 12/25
COMO TODOS LOS COEFICIENTES DE LA FILA DE LA FUNCION OBJETIVO SON POSITIVOS, HEMOS LLEGADO
A LA SOLUCIÓN ÓPTIMA.
ASI LA SOLUCIÓN ÓPTIMA VIENE DADA POR EL VALOR DE Z EN LA COLUMNA DE LOS VALORES SOLUCIÓN,
EN NUESTRO CASO ES 380
Z= 4a 12b 3c
380 = 4(20)= 80 12(20)=240 3(20)=60
380 = 380
BASE VARIABLE DE DECISION VARIABLE DE HOLGURA
BASE VARIABLE DE DECISION VARIABLE DE HOLGURA
14. S3
0 100
0 230
1 20
0 1350
1/2 0 230
- - -
0 0 0
- 1/4 0 100
1/2 0 230
0 1 420
- - -
4 4 4
- 1/4 0 100
1 1 20
5/2 0 1150
- - -
-2 -2 -2
- 1/4 0 100
2 0 1350
N POSITIVOS, HEMOS LLEGADO A LA
NA DE LOS VALORES SOLUCIÓN,
as semanales 3 productos
a producción por horas de
vamente. Por último las ventas
, 500 und de B y 1500 und de C.
LE DE HOLGURA
VALORES
SOLUCION
15. y3
0 1000
0 500
1 1500
0 0
RIABLE DE HOLGURA
LE DE HOLGURA
VALORES
SOLUCION
16. pivote operacional, 25
y3
0 1000
0 20
1 1500
0 240
LE DE HOLGURA
VALORES
SOLUCION
LE DE HOLGURA
VALORES
SOLUCION
17. y3
0 20
0 20
1 1500
0 320
y3
0 20
0 20
0 20
0 380
N POSITIVOS, HEMOS LLEGADO
NA DE LOS VALORES SOLUCIÓN,
LE DE HOLGURA
VALORES
SOLUCION
LE DE HOLGURA
VALORES
SOLUCION